The Arf-Kervaire Invariant of framed manifolds
这项工作调查的经典和最近的进展存在的奇异微分结构的领域及其连接到稳定的同伦理论。
2010-01-26 math.AT
Abelian varieties and the Kervaire invariant
在2011年4月的ICMS（爱丁堡）会议上关于Kervaire不变量问题的最新解决方案的演讲笔记。这是一个完全暂时的帐户，强调与理论的拓扑自守形式的连接。
2011-05-03 math.AG math.AT
Kervaire Invariant One [after M. A. Hill, M. J. Hopkins, and D. C. Ravenel]
问题时的Kervaire不变量是非平凡的是唯一的问题留下未解决的Kervaire和米尔诺在1963年的研究之间的关系群体的同伦球面和稳定同伦群。2009年，迈克·希尔（Mike Hill）、迈克·霍普金斯（Mike Hopkins）和道格·拉文埃尔（Doug Ravenel）通过一个高度创新的攻击解决了这个问题，除了一维之外，这个攻击使用了大量的等变稳定同伦理论和少量的计算。本文件是布尔巴基研讨会关于这项工作的报告。
2012-06-05 math.AT
Kervaire invariants and selfcoincidences
例如，最小数决定一个给定的从球面到球面空间型的映射f：S^m --> S^n/G是否可以变形为映射f'，使得f（x）对于S^m中的所有x都不等于f'（x）。在本文中，我们将最小数与（几何定义的）尼尔森数（更可计算）进行比较。在稳定的维数范围内，这些数是一致的。但已经在第一个非稳定的范围内（当m=2n-2）的Kervaire不变量出现作为一个决定性的额外的障碍，检测有趣的几何重合现象。在接下来的七个维度范围内（当1<m-2n+3<9时），得到了类似的结果（例如涉及Hopf不变量，取模4）。的selfcoincidence上下文也产生一个精确的几何标准的开放性问题是否Kervaire不变消失的126干或没有。
2013-05-07 math.AT
Geometric approach towards stable homotopy groups of spheres. The Kervaire invariant II
引入斜框架浸入的几何$\Z/2 \oplus \Z/2$ --自相交控制的概念和$\Z/2 \oplus \Z/2$-框架浸入的自相交流形上的$\Z/2 \oplus \Z/4$ -结构（循环结构）的概念.它示出，斜帧沉浸$f:M^{\frac{3n+q}{4}} \looparrowright \R^n$，$0 < q <<n$（在$\frac{3n}{4}+ε$ -范围内）承认一个几何$\Z/2 \oplus \Z/2$ -控制，如果这个沉浸的斜帧的特征类承认一个缩回的顺序$q$，即存在一个映射$κ_0: M^{\frac{3n+q}{4}} \to \RP^{\frac{3(n-q)}{4}}$，这样，这个组合$I \circ κ_0: M^{\frac{3n+q}{4}} \to \RP^{\frac{3(n-q)}{4}} \to \RP^{\infty}$是$f$的斜帧的特征类。利用$\Z/2 \oplus \Z/2$ -控制的概念，我们证明了对于一个足够大的$n$，$n=2^l-2$，一个任意浸入的$\D_4$ -框架流形在正则配边类（模奇挠）中允许一个具有$\Z/2 \oplus \Z/4$ -结构的浸入.在最后一节中，我们提出了一种方法对Kervaire不变一问题。
2008-01-09 math.AT math.GT
The non-multiplicativity of the signature modulo 8 of a fibre bundle is an Arf-Kervaire invariant
Chern，Hirzebruch和Serre证明了纤维丛的特征标是乘法的，如果基的基本群平凡地作用在纤维的实系数上同调环上，则全空间的特征标等于基与纤维的特征标之积. Hambleton、Korzeniewski和Ranicki证明了在任何情况下签名都是模4乘法的。本文给出了关于模8乘性的两个结果：首先，我们用Pontryagin平方运算的Arf-Kervaire不变量来确定模8乘性的障碍。此外，我们证明了，如果纤维是偶数维和行动的基本群的基础是平凡的纤维与$\mathbb{Z}_4$系数的中间上同调，那么这个Arf-Kervaire不变量取值0，因此签名是乘法模8。
2017-08-30 math.AT math.GT math.KT
Non-factorisation of Arf-Kervaire classes through ${\mathbb RP}^{\infty} \wedge {\mathbb RP}^{\infty}$
作为上三角技术方法的应用，（V.P. Snaith：{ \em Stable homotopy-around the Arf-Kervaire invariant}; Birkhäuser Progress on Math. Series vol.273（April 2009）），它表明，不存在稳定的同伦类的$ {\mathbb RP}^{\infty} \wedge {\mathbb RP}^{\infty}$在维度$2^{s+1}-2$与$s \geq 2$，其组成与霍普夫映射到$ {\mathbb RP}^{\infty}$，其次是Kahn-Priddy映射给出了Arf-Kervaire不变球面稳定同伦中的一个元素。
2010-02-25 math.AT
Geometric approach to stable homotopy groups of spheres II; Arf-Kervaire Invariants
本文通过几何方法解决球面稳定同调群中的凯瓦里不变量问题，引入了新的对称结构并证明了相关定理。
2025-12-16 math.AT
Towards the $p=3$ Kervaire Invariant Problem: The $E_2$-page for the homotopy fixed points spectral sequence computing $π_*({E_6}^{hC_9})$
针对 $p=3$ 的 Kervaire 不变量问题，本文证明了相关检测定理，并利用 $E_6$ 上 $C_9$ 作用的猜想形式，计算了 $π_* E_6^{hC_9}$ 同伦不动点谱序列在非零同调度处的 $E_2$ 页。
2025-07-14 math.AT
Kairvaire Problems in Stable Homotopy Theory
Kervaire问题是稳定同伦理论中一个未解决的问题。第一个有趣的例子是在维度$30$中。存在Arf-Kervaire不变量为1的闭稳定可平行流形$\tilde{M}^{30}$.这是未知的，如果这样的流形存在于维度$126$？本文的目的是回忆流形$M^{30}$的构造并研究它的性质。
2016-08-03 math.AT
Generalised geometric weak conjecture on spherical classes and non-factorisation of Kervaire invariant one elements
本文是关于Curtis猜想的。我们证明了Hurewicz同态$h:π_*Q_0S^0\to H_*(Q_0S^0;\mathbb{Z})$的象，当限制于正维元素的乘积时，由$\mathbb{Z}\{h(η^2),h(ν^2),h(σ^2)\}$决定.本地化在$p=2$，这证明了一个几何版本的结果洪和彼得森的Lannes-Zarati同态。我们应用这一点来证明，对于$p=2$和$G=O(1)$或任何素数$p$和$G$，任何具有李代数$\mathfrak{g}$的紧李群，使得$\dim\mathfrak{g}>0$，组合$${_pπ_*}QΣ^{n\dim\mathfrak{g}}BG_+^{\wedge n}\to {_pπ_*}Q_0S^0\stackrel{h}{\to}H_*(Q_0S^0;\mathbb{Z}/p)$$，其中$Σ^{n\dim\mathfrak{g}}BG_+^{\wedge n}\to S^0$是$n$ -fold转移，如果$n>2$是平凡的。此外，我们表明，对于$n=2$，上述组成的图像消失在亚当斯过滤的所有元素至少$1$，即那些元素的${_2π_*^s}Σ^{n\dim\mathfrak{g}}BG_+^{\wedge n}$表示的永久循环$\mathrm{Ext}_{A_p}^{s,t}(\widetilde{H}^*Σ^{n\dim\mathfrak…
2015-12-07 math.AT
The fibre of the degree $3$ map, Anick spaces and the double suspension
设$S^{2n+1}\{p\}$表示$S^{2n+1}$的度$p$自映射的同伦纤维.对于素数$p \ge 5$，Selick的工作证明了$S^{2n+1}\{p\}$允许非平凡循环空间分解当且仅当$n=1$或$p$ .不可分解性，但在所有这些方面得到的显示，一个非平凡的分解$ΩS^{2n+1}\{p\}$意味着存在一个$p$ -主要的Kervaire不变的一个元素的顺序$p$在$π_{2n(p-1)-2}^S$。我们证明了这最后一个含义的逆，并观察到同伦分解问题的$ΩS^{2n+1}\{p\}$是等价于强$p$ -主要的Kervaire不变问题的所有奇素数。对于$p=3$，我们使用的$3$ -主要Kervaire不变元素$θ_3$给一个新的分解$ΩS^{55}\{3\}$类似于Selick的分解$ΩS^{2p+1}\{p\}$和作为一个应用程序证明两个新的情况下，一个长期存在的猜想，说明纤维的双悬浮$S^{2n-1} \longrightarrow Ω^2S^{2n+1}$同伦等价于双回路空间的Anick的空间。
2019-08-14 math.AT
Towards a Browder theorem for spherical classes in $Ω^lS^{n+l}$
Browder证明了若$4n+2\neq 2^{t+1}-2$，则$(4n+2)$维流形$M^{4n+2}$的协边类的Kervaire不变量为零，且$M^{2^{t+1}-2}$是Kervaire不变量1当且仅当$h_t^2\in\mathrm{Ext}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)$是永久圈.另一方面，根据Madsen，如果$4n+2\neq 2^t-2$，则$M^{4n+2}$与球面协边（因此是Kervaire不变零），而$M^{2^{t+1}-2}$与球面不协边（因此是Kervaire不变一）当且仅当某些元素$p_{2^{t}-1}^2\in H_*QS^0$是球面的。此外，已知$p_{2^t-1}^2$是球面的当且仅当$h_t^2$是Adams谱序列中的永久循环。此外，具有$2n+1\neq 2^t-1$的类$p_{2n+1}^2\in H_*QS^0$很容易从球形中消除。因此，布劳德定理承认在$H_*QS^0$中某些正方形类是球面的陈述和证明（另见Akhmetev和Eccles的工作）。本文考虑用$n>0$和$4\leqslant l\leqslant +\infty$确定球类$H_*Ω^lS^{n+l}$的问题.我们证明：（1）如果$ξ^2\in H_*Ω^lS^{n+l}$是由$\dimξ+1\neq 2^t$、$\dim ξ+1\equiv …
2017-12-24 math.AT
Some homotopy theoretical questions arising in Nielsen coincidence theory
基本的例子表明，重合理论是密切相关的中心议题的微分拓扑和同伦理论，如Kervaire不变量和整除性质的Whitehead产品和霍普夫不变量。我们回顾了最近的一些结果，并提出了一些问题，这些问题对于更全面的理解似乎很重要。
2013-05-07 math.AT
Beta-elements and divided congruences
f-不变量是从Adams-Novikov谱序列的2-线到与椭圆模形式的可除同余密切相关的群的单同态。本文计算了两个无穷族β-元的f-不变量，并说明了除同余运算与Kervaire不变量问题的关系。
2006-07-12 math.AT
Geometric approach to stable homotopy groups of spheres. I. The Hopf invariant
基于Pontryagin-Thom构造，给出了球面的稳定同伦群的一种几何方法.这种方法的任务是获得另一种证明的希尔-霍普金斯-拉弗内尔定理[H-H-R]的Kervaire不变量在所有方面，除了可能的，有限数量的维度。在这种方法的框架下，亚当斯定理的霍普夫不变量进行了研究，为所有的尺寸与例外的15，31，63，127。该方法基于几何拓扑方法。
2014-04-11 math.AT
On the form of potential spherical classes in $H_*Q_0S^0$
这篇笔记是关于$H_*Q_0S^0$中的球形类的。一个猜想，由于柯蒂斯，预测只有霍普夫不变的一个和Kervaire不变的一个元素将产生球形类在$H_*Q_0S^0$。然而，这一猜想还没有得到证实。假设这个猜想不成立，那么在$H_*Q_0S^0$中一定存在其他的球面类。本文确定了这些潜在的球形类的形式，并为希望证明该猜想的人设定了目标，在这个意义上，柯蒂斯猜想的正确性将与本文中预测的任何球形类的失败相同。
2009-09-21 math.AT
The A-decomposability of the Singer construction
令$R_s M$表示素数为2的Steenrod代数$A$上的不稳定模$M$上的Singer构造，$R_s M$是$P_s\otimes M$的正则子对象，其中$P_s$是s生成元上的一次多项式代数.通过$A$ -不可分解给出了自然变换$R_s M \rightarrow F \otimes_A (P_s \otimes M)$，它与辛格转移和Lannes-Zarati同态的合成的对偶相同。本文的主要结果证明了第一作者提出的弱广义代数球面类猜想。也就是说，当s>2时，这个态射在正次数的元素上是平凡的。条件s>2是必要的，如由Hopf不变项的球面类和Kervaire不变项的球面类所展示的。
2018-09-27 math.AT
Spherical classes in some finite loop spaces of spheres
Curtis猜想在素数$2$上预言，在正维数下，$H_*QS^0$中的球面类只能由Hopf不变元和Kervaire不变元产生. Eccles猜想指出，在正维情形下，对于路径连通空间$X$，$H_nQX$中的一个类是球面的，如果它是稳定球面的，或者它是由一个稳定映射$S^n\to X$产生的，而这个稳定映射是由它的映射锥中的一个初等运算检测到的. (i)本文利用Hopf不变一的结果在某些有限的球面闭路空间上验证了Eccles猜想，即对于$X=S^k$，我们完全确定了$H_*(Ω^dS^{k+d};\mathbb{Z}/2)$中的球面类，对于$d$，$k$的特定值，在这些情况下，球面类只产生于Hopf不变一元. (ii)我们完全确定球面的单，双，和三重闭路空间，即$ΩS^{n+1}$，$Ω^2 S^{n+2}$，和$Ω^3S^{n+3}$与$n>0$同源的球面类。这些计算验证了我们所考虑的有限闭路空间上的Eccles猜想。我们还记录了一些观察到的两个结构之间的关系。对于$X=S^k$和$k>0$的后一个猜想为前者的正确性提供了一些证据。
2016-10-30 math.AT
Quadratic functions in geometry, topology,and M-theory
我们描述的Kervaire不变量的维$4k+2$的黎曼流形的阿贝尔簇$H^{2k+1}(M)\otimes R/Z$上的全纯线丛的解释。我们的结果受到Witten在$M$理论中关于五膜分拆函数的工作的启发（hep-th/9610234，hep-th/9609122）。我们的构造需要对光滑流形的代数拓扑进行改进，以更好地满足数学物理的需要，并且是基于我们的“微分函数”理论。这些微分函数推广了Cheeger-Simons的微分特征，本文的大部分内容都致力于它们的研究。
2005-08-24 hep-th math-ph math.AT
The Adams differentials on the classes $h_j^3$
本文在Adams过滤3中证明了类$h_j^3$（$j \geq 6$）上存在无穷多个非平凡$d_4$-微分，证实Mahowald猜想，并利用$\mathbb{C}$-motivic与$\mathbb{F}_2$-合成同伦理论，同时确定了$h_j^2$和$h_6^2$的存活页。
2024-11-09 math.AT
Filtered finiteness of the image of the unstable Hurewicz homomorphism with applications to bordism of immersions
在最近的工作希尔，霍普金斯，和Ravenel对Kervaire不变的一个问题，以及亚当斯的解决方案的霍普夫不变的一个问题，一个直接的后果柯蒂斯猜想是，集的球面类在$H_*Q_0S^0$是有限的。同样，埃克尔斯猜想，当专门用于$X=S^n$与$n>0$，连同亚当斯的霍普夫不变一定理，意味着集的球形类在$H_*QS^n$是有限的。我们证明了上述有限性性质的过滤版本。我们表明，如果$X$是一个任意的$CW$ -复杂的$H_*X$是有限维的，那么图像的组合${_2π_*}Ω^lΣ^{l+2}X\to{_2π_*}QΣ^2X\to H_*QΣ^2X$是有限的，有限性仍然有效，如果我们正式取代$X$与$S^{-1}$。作为一个直接和有趣的应用，我们观察到，对于任何紧李群$G$与$\dim\mathfrak{g}>1$和任何$n>0$的图像的组成${_2π_*}QΣ^{\dim\mathfrak{g}}BG_+^{[n]}\to{_2π_*}QΣ^{\dim\mathfrak{g}}BG_+\to {_2π_*}Q_0S^0\to H_*Q_0S^0$是有限的，其中$Σ^{\dim\mathfrak{g}}BG_+\to S^0$是一个适当扭曲的转移映射。接下来，我们考虑Koschorke和Sanderson的工作，其中使用P-Pontrjagin构造提供了$1$ - $1$对应（如果$m+d>…
2018-01-03 math.AT
