Max Noether Theorem for Singular Curves
Max Noether定理断言，如果$ω$是非奇异非超椭圆射影曲线的对偶层，则自然态射$\text{Sym}^nH^0(ω)\to H^0(ω^n)$对所有$n\geq 1$都是满射。许多不同的作者以不同的方式将该结果扩展到Gorenstein曲线。最近，它被证明为曲线与射影正常的典型模型，曲线的非Gorenstein点是双分支在更坏的。在此基础上，我们讨论了一般情况下的组合数学，并将结果推广到任意积分曲线。
2022-02-18 math.AG
On the Noether and the Cayley-Bacharach theorems with PD multiplicities
本文证明了用PD算子描述重数的Noether定理。尽管已知的模拟版本，在这种情况下，所提供的条件是必要和充分的。我们还证明了Cayley-Bacharach定理与PD多重性。据我们所知，这是这个定理在多个相交情况下的第一个推广。
2020-04-22 math.AG
Max Noether's Theorem for Integral Curves
对于积分曲线，我们推广了MaxNoether关于光滑非超椭圆曲线n-对偶层的整体瓣截面的一个著名结果.这是我们的主要结果。我们还获得了一个嵌入的非Gorenstein曲线的方式，我们可以表示的理想的主要不变量的曲线的组件的尺寸。然后，我们重点讨论了非Gorenstein曲线的角性，Clifford指数和Koszul上同调，允许无挠的层秩为1的定义。我们找到了一个上界的一致性，这与Brill-Noether的一个合理的和单支曲线。我们刻画曲线的亏格5与Clifford指数1，最后，我们研究了格林猜想的某一类曲线，称为近Gorenstein。
2014-03-17 math.AG
The maximal rank conjecture and rank two Brill-Noether theory
本文描述了Koszul上同调在秩为2的向量丛的Brill-Noether理论中的应用。除此之外，我们证明了在每个亏格g>10中，存在使秩为2的丛的Mercat猜想失效的曲线。另一方面，我们证明了Mercat猜想对有界亏格的一般曲线成立，其失效轨迹是曲线的模空间中的Koszul因子。我们还制定了一个猜想，适当的一般曲线的贝蒂图的极小性，并指出其后果秩2 Brill-Noether理论。
2010-12-22 math.AG
Tropical Methods in Hurwitz-Brill-Noether Theory
分裂型轨迹是Brill-Noether曲线簇的自然推广，其特征映射为射影直线。给出了H.拉尔森，表明分裂型轨迹有预期的尺寸一般元素的赫尔维茨空间。我们的证明使用了一个明确的描述分裂型轨迹上的某个家庭的热带曲线。我们进一步表明，这些热带分裂型轨迹连接在余维1，并描述了一个算法计算他们的基数时，他们是零维的。我们提供了一个猜想的数值类分裂型轨迹，我们确认在一些情况下。
2020-07-27 math.AG
Distinguishing Brill-Noether loci
本文通过构造携带特定特殊线性系的曲线，证明曲线模空间中 Brill-Noether 轨迹间的非包含关系，并完全证明 Maximal Brill-Noether Loci 猜想。
2024-06-28 math.AG
Recent Developments in Brill-Noether Theory
我们简要地调查最近的结果有关的线性系列的曲线，一般在各种模空间，突出代数几何之间的相互作用，一般曲线和组合退化。突破包括最大秩定理的证明，它确定了M_g中一般曲线上给定次数和秩的一般线性级数的Hilbert函数，以及Hurwitz空间中一般曲线的标准Brill-Noether定理的完全类似物。其他进展包括在一个类似的方向的线性系列的部分结果在Prym轨迹的一般unramified双覆盖的一般k-cross曲线和实例的强最大秩猜想。
2021-10-30 math.AG
Interpolation for Brill-Noether curves in $\mathbb{P}^4$
本文计算了$\mathbb{P}^4$中一般Brill-Noether曲线所通过的一般点的个数。我们还证明了一个类似的定理时，一些点被限制在横向超平面。正如arXiv：1809.05980中所解释的，这些结果在第一作者的最大秩猜想的证明中起着至关重要的作用。
2018-09-19 math.AG
The embedding theorem in Hurwitz-Brill-Noether Theory
本文将经典Brill-Noether理论中的Eisenbud-Harris嵌入定理推广到Hurwitz-Brill-Noether理论中。更确切地说，在经典的Brill-Noether理论中，嵌入定理指出，如果r至少为3，则在亏格g的一般曲线上的次数为d且秩为r的一般线性级数是嵌入。若\(f \colon C \to \mathbb{P}^1\)是k次的一般覆盖，L是C上的线丛，作者最近的工作表明，\(f_* L\)的分裂型提供了经典Brill-Noether理论中对（r，d）的适当推广.在Hurwitz-Brill-Noether理论的背景下，r至少为3的条件不再足以保证一般的线性级数是嵌入。我们证明了保证一般线性级数|L|是嵌入所需的附加条件是\(f_* L\)的分裂型至少有三个非负部分。这个新的额外条件反映了k-S曲线的独特几何形状，这些曲线位于\(\mathbb{P}^r\)中的卷轴上。
2023-03-27 math.AG
Constructing Reducible Brill--Noether Curves II
本文研究可约曲线$f : C \cup_ΓD \to \mathbb{P}^r$上的映射。我们限制我们的注意力在两种情况下：第一，当$f|_D$因子通过超平面$H$和$f|_C$是横向的$H$ ;第二，当$r = 3$。退化到稳定的地图，这种类型发挥了至关重要的作用，在工作的哈茨霍恩，巴利科，和其他人，对特殊情况下的最大秩猜想。然而，研究这种具有特定组合类型的稳定映射何时存在的一般问题仍然是开放的。在这里，我们给出了第一种类型的Brill-Noether曲线存在的条件，即具有指定的次数$d$和亏格$g$，使得$f|_C$具有指定的次数$d'$和亏格$g'$。我们还给出了标准，锐化作者以前的结果，存在的Brill-Noether空间曲线的指定组合类型。正如arXiv：1809.05980中所解释的，这些结果在作者证明最大秩猜想中起着关键作用。
2018-09-18 math.AG
Brill-Noether special cubic fourfolds of discriminant 14
我们研究的Brill-Noether理论的曲线上的K3曲面，霍奇理论上与三次四倍的判别式14。我们证明了极化类中的任何平滑曲线都有最大Clifford指数，并推导出一个三次四重曲面包含不相交平面的充要条件是它存在一个14次Brill-Noether特殊伴随K3曲面.作为应用，在三次四重的模空间中，在判别式14的Noether-Lefschetz因子内的Pfronan轨迹的补包含在包含两个不相交平面的三次四重的不可约轨迹中。
2021-06-08 math.AG
Brill-Noether existence with secants
University of Cambridge（剑桥大学）；Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学）
本文完全刻画了一般曲线存在沿线性空间为k-割线的非退化映射的条件，证明自然必要条件即充分，推广了Brill-Noether存在性定理，并基于稳定映射形变理论在任意特征下成立。
2026-09-23 math.AG
Martens-Mumford's Theorems for Brill-Noether Schemes arising from Very Ample Line Bundles
本文描述了V^r_d（L）的切空间，即C_d的由C上各种线丛产生的特殊子概型.然后证明了这类方案的马氏定理，并由此确定了曲线C，使得对于C上的某个非常充分的线丛L和某个整数r和d，d \leq h^{0}（L）-2，子方案V^r_d（L）可能达到其最大维数。
2015-05-03 math.AG
Hyperkähler varieties as Brill-Noether loci on curves
考虑具有标准行列式的曲线$C$上稳定秩r向量丛的模空间$M_C(r; K_C)$，设$h$为这些丛的线性无关整体瓣的最大个数.如果$C$嵌入K3曲面$X$中作为$Pic(X)$的生成元，且$C$的亏格$g$足够高，则具有$h$整体瓣的丛的Brill-Noether轨迹$BN_C \subset M_C(r; K_C)$是一个光滑的$2g -2r \lfloor \frac{g}{r}\rfloor$维射影Hyperkähler流形，同构于$X$上稳定向量丛的模空间.
2022-05-02 math.AG
Brill-Noether theory for curves of a fixed gonality
本文证明了Brill-Noether定理在一般曲线$C$上的特殊因子簇$W^r_d(C)$的推广。我们的主要定理给出了$W^r_d(C)$维数的一个闭公式。我们建立在以前的工作的Pflueger，谁使用了分析的热带因子理论的特殊链的周期给上界的尺寸布里尔-诺特品种等曲线。我们证明了他的猜想，这上界是实现一般曲线。我们的方法引入对数稳定映射作为Brill-Noether理论中的系统工具。利用圈链上的因子理论与相应的热带映射理论之间的精确关系，证明了具有负Brill-Noether数的线性级数的新的再生定理.该策略涉及混合分析的障碍理论的对数稳定的地图与几何形状的Berkovich曲线。为了显示这些方法的实用性，我们提供了一个简短的新的推导提升特殊因子链上的周期与通用的边缘长度，证明使用不同的技术卡特赖特，詹森和佩恩。一个关键的技术成果是一个新的实现定理的热带稳定映射的障碍几何，推广一个著名的定理Speyer亏格1曲线到任意亏格。
2020-11-17 math.AG
Degenerations of Curves in Projective Space and the Maximal Rank Conjecture
本文综述了利用退化方法研究射影空间中Brill-Noether曲线的一种新方法。特别地，我们给出了最大秩猜想证明的路线图。
2018-09-16 math.AG
Constructing Reducible Brill--Noether Curves
最近，一条具有非特殊超平面截面的非退化曲线可以通过多少个一般点得到了精确的确定。这就产生了一种构造具有一般节点的可约曲线$C_1 \cup_ΓC_2 \to \mathbb{P}^r$的方法：我们取一般点的有限集$Γ\subset \mathbb{P}^r$，在$\mathbb{P}^r$中找到通过$Γ$的指定次数和属的非退化非特殊曲线$C_1$和$C_2$，并沿着$Γ$粘合在一起。本文的目的是表明，在某些温和的假设下，以这种方式构造的稳定映射在于从一般模的曲线，即BN-曲线的非退化稳定映射的轨迹的封闭。正如arXiv：1809.05980中所解释的，这些结果在作者证明最大秩猜想中起着关键作用。
2019-04-22 math.AG
Ulrich sheaves and higher-rank Brill-Noether theory
嵌入投射簇上的乌尔里希层是具有最大可能独立部分数的正规化算术科恩-麦考利层。Ulrich层在Chow型理论、Boij-Soderberg理论、广义Clifford代数和交换代数中的Lech猜想的研究中都有重要的应用。本文将射影簇X上的Ulrich层的构造归结为有限曲线映射的Ulrich层的构造，这又等价于X上某类曲线的高阶Brill-Noether问题.然后，我们表明，存在一个乌尔里希层的有限映射的曲线意味着尖锐的数值约束，涉及的程度的地图和分歧因子。
2015-07-31 math.AC math.AG
A speciality Theorem for curves in $\mathbb{P}^5$ contained in Noether-Lefschetz general fourfolds
设$C\subset \mathbb P^r$是一整射影曲线。定义$C$的特殊性指标$e(C)$为使得$h^0(C,ω_C(-t))>0$的最大整数$t$，其中$ω_C$表示$C$的对偶层.本文考虑$C\subset \mathbb P^5$是整数次$d$曲线，用$s$表示存在含$C$的次超曲面的最小次数.我们假设$C$包含在两个光滑超曲面$F$和$G$中，其中有$deg(F)=n>k=deg (G)$ .另外，我们假设$F$是Noether-Lefschetz一般的，即$F$的$2$ -th Néron-Severi群是由线性截面类生成的。我们的主要结果是，在这种情况下的特殊性指数是有界的$e(C)\leq {\frac{d}{snk}}+s+n+k-6.$此外，等式成立当且仅当$C$是一个完全的交叉$T:=F\cap G$与超曲面度$s$和${\frac{d}{snk}}$。
2016-12-28 math.AG
On Resolving Singularities of Plane Curves via a Theorem attributed to Clebsch
本文讨论了双有理几何中的一个中心定理，该定理首先由EugenioBertini于1891年证明。J.L.柯立芝描述了贝尔蒂尼的证明背后的主要思想，但他认为这个定理是克莱布什的。他这样做是因为一个简短的说明，菲利克斯克莱因附加到再版贝尔蒂尼的文章在1894年。确切的情况下，导致克莱因的干预可以很容易地重建从信克莱因交换最大诺特，谁是然后完成工作的长篇报告，他和亚历山大布里尔发表的历史代数函数[布里尔/诺特1894年]。这封信揭示了诺特对这份报告在证实他自己的优先权和更大的知识遗产方面的重要性的深切关注。
2019-12-05 math.AG math.HO
