Constant Angle Surfaces in a warped product
Franki Dillen, Marian Ioan Munteanu, Joeri Van der Veken, Luc Vrancken
设$I \subseteq \R$为开区间，$f : I \to \R$为严格正函数，用$\E^2$表示欧氏平面.我们对翘曲积流形$I \times_f \E^2$中单位法向与$I$相切的方向成一个常角的所有曲面进行分类。
Let $I \subseteq \R$ be an open interval, $f : I \to \R$ a strictly positive function and denote by $\E^2$ the Euclidean plane. We classify all surfaces in the warped product manifold $I \times_f \E^2$ for which the unit normal makes a constant angle with the direction tangent to $I$.
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Classification of constant angle hypersurfaces in warped products via eikonal functions
给定实直线与任意维数的黎曼流形的翘曲积，我们对切空间与实方向相切的向量场成常角的超曲面进行了分类.我们表明，这是一个自然的设置中，在这个方向上由几位作者所作的扩展以前的结果。此外，当常角超曲面是黎曼流形上的图时，我们证明了所涉及的函数满足一个广义程函方程，并通过几何方法求解。最后证明了极小常角超曲面是极小子流形上的柱面。
Geometry of warped product and CR-warped product submanifolds in Kaehler manifolds: modified version
两个黎曼流形$(N_1,g_1)$和$(N_2,g_2)$的翘积$N_1\times_f N_2$是具有翘积度量$g=g_1+f^2 g_2$的积流形$N_1\times N_2$，其中$f$是$N_1$上的正函数。翘曲积在微分几何和物理学中起着非常重要的作用。Kaehler流形$\tilde M$的子流形$M$称为$CR$ -翘曲积，如果它是复子流形$M_T$和$\tilde M$的全实子流形$M_\perp$的翘曲积$M_T\times_f N_\perp$.本文综述了Kaehler流形中翘曲积子流形和PDMATHAMV-翘曲积子流形的最新结果。还将介绍几个密切相关的结果。
On doubly warped product immersions
本文研究了双翘曲积浸入的基本几何性质，它是翘曲积浸入的推广。此外，我们还研究了等距浸入任意黎曼流形中的双曲积的几何不等式。
Einstein doubly warped product manifolds with a semi-symmetric metric connection
本文研究了具有半对称联络的双曲积流形。利用双曲积流形的分支的曲率，得到了具有半对称度量联络的双曲积流形的曲率公式。我们还证明了一个双曲积流形是曲积流形的充要条件。我们得到了关于半对称度量联络的A类Einstein双曲乘积流形和类Einstein双曲乘积流形的一些结果。
Warped Poisson Brackets on Warped Products
本文将具有乘积Poisson结构的乘积伪黎曼流形（\cite{Nas2}）的几何推广到具有翘曲Poisson结构的伪黎曼流形的翘曲乘积的几何.我们在乘积流形上构造了三个双向量场，并证明了它们在一定条件下都能导出泊松结构。这些双向量场之一将被称为扭曲双向量场。对于伪黎曼流形的一个翘曲积，我们计算了相应的逆变Levi-Civita联络和与之相关的曲率.
Warped area-minimizing hypersurface and warped product metric
本文研究扭曲面积最小超曲面，证明在谱Ricci或谱标量曲率下界条件下，度量可局部分解为扭曲积度量。
Isometric immersions of warped products
我们提供的条件下的等距浸入的（翘曲）产品的流形到一个空间型必须是（翘曲）产品的等距浸入。
Conformal Warped Product Submersion
本文将黎曼扭曲乘积淹没推广为共形扭曲乘积淹没，该淹没保持水平向量间角度，并推导了相应的基本张量。
Multiply Warped Products with a Quarter-symmetric Connection
本文研究了具有四分之一对称连接的Einstein弯曲积和乘弯曲积。我们还研究了具有常数数量曲率的四分之一对称连接的翘曲积和乘翘曲积。然后将我们的结果应用于具有四分之一对称联络的广义Robertson-Walker时空和具有四分之一对称联络的广义Kasner时空。
An almost splitting theorem for a warped product space
本文证明了具有翘曲函数$f(r)=\cosh\left(r\sqrt{\fracλ{n-2}}\right)$的翘曲积空间的几乎分裂定理。
On the geometry of Riemannian warped product maps
本文引入Clairaut黎曼扭曲乘积映射，基于Ricci曲率建立正则曲线成为测地线的条件，利用曲率张量研究Ricci soliton结构，推导Bochner型公式与标量曲率积分公式，并扩展至conformal映射的几何性质，构造了相关实例。
A Structural Analysis of Warped Product Yamabe Gradient Solitons
本文针对扭曲乘积流形类的Yamabe梯度孤立子开展结构分析，证明非平凡情形下纤维的常数量曲率性质，排除一类非平凡孤立子存在性，并推导相关曲率与函数的估计。
Warped product pointwise bi-slant submanifolds of locally product Riemannian manifolds
本文引入并研究了局部积黎曼流形的扭曲积逐点双斜子流形，给出了相关刻画结果及非平凡实例。
Affine connections on singular multiply warped products and singular twisted products
本文推广了[Y. Wang：奇异翘曲积上的仿射联络。Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 18（5），2150076，（2021）。]到奇异乘扭曲积和奇异扭曲积。研究了半对称度量联络和半对称非度量联络下的奇异乘曲积和奇异扭积及其曲率。我们还讨论了奇异乘扭曲积和奇异扭曲积的几乎积结构及其曲率的Koszul形式。最后，给出了几个例子来证明理论结果。
On warped product submanifolds of Kenmotsu manifolds
本文研究了Kenmotsu流形的翘曲积半斜子流形。利用正则结构得到了Kenmotsu流形的翘曲积半斜子流形的存在性结果。
Killing Vector Fields on Multiply Warped Products with a Semi-symmetric Metric Connection
本文定义了半对称度量Killing向量场，研究了具有半对称度量联络的翘曲积和多重翘曲积上的半对称度量Killing向量场.我们还研究了多重翘曲积上的Killing和2-Killing向量场。
Warped-like product manifolds with exceptional holonomy groups
在本文中，我们回顾$G_2$和$Spin(7)$几何与一种特殊类型的度量结构，我们称之为warped-like产品度量。给出了类扭曲积度量的一般性分析，作为类扭曲积的定义。考虑到纤维基分解，通过允许纤维度量为非块对角，将类弯曲积的定义看作是多重弯曲积流形的推广。对于某些特殊情形，给出了$M=F\times B$类弯曲乘积流形的例子，其中基$Spin(7)$是二维黎曼流形，纤维$F$是$F=F_1\times F_2$形式，其中$F_i$的$(i=1,2)$是黎曼$3$ -流形.此外，还研究了具有$G_2$完整性的$(3+3+1)$类扭曲积流形的一个显式例子.从文献中，其他一些特殊的扭曲类产品度量与$G_2$ holonomy也提出了在本研究中。我们相信，我们的方法的扭曲的产品度量将是一个重要的概念，使用扭曲和多重扭曲的产品结构的几何，特别是特殊的holonomy流形。
Conformal vector fields on doubly warped product manifolds and applications
在这篇文章中，我们提出了一个完整的研究两类不相交的共形向量场的双翘曲积流形以及双翘曲时空。然后我们研究了具有这类共形向量场的双曲积流形上的Ricci孤子。
Warped product rigidity
本文研究了一个含有Hessian函数的超定线性系的解空间。我们表明，如果解决方案空间的维数大于1，那么底层流形有一个非常严格的翘曲产品结构。我们得到了一个唯一的结果，规定的里奇曲率的翘曲产品流形在一个固定的基础。作为一个应用，该翘曲积结构将在“翘曲积爱因斯坦度量及其应用的统一性”中用于研究翘曲积爱因斯坦结构。
Warped product submanifolds of Lorentzian paracosymplectic manifolds
本文研究了Lorentz仿共辛流形的翘积子流形，得到了一些不存在性结果。证明了Lorentz仿辛流形的{ $M=M_{T}\times_{f}M_{\bot}$ }形式的曲积半不变子流形，使得特征向量场垂直于$M$，是通常的黎曼积流形，其中曲积的全测地子流形是不变的，全脐子流形是反不变的.证明了翘曲积半不变子流形定义中涉及的分布总是可积的。得到了Lorentz仿共辛流形的半不变子流形是翘曲积半不变子流形的一个充要条件。我们还研究了Lorentz仿共辛流形中曲积半斜子流形和曲积反斜子流形的存在性和不存在性。
On Doubly Warped Product Finsler Manifolds
本文引入了水平和垂直翘积Finsler流形。证明了每一个C-可约或真Berwaldian双曲积Finsler流形都是黎曼流形。然后，我们找到了双曲积Finsler流形与其分支的Riemmanian曲率之间的关系，并考虑了这类流形是平坦的或具有标量旗曲率的情况。定义了翘曲积流形的双翘曲Sasaki-Matsumoto度量，并给出了水平和垂直切丛全测地的条件。同时，我们还得到了一个叶状流形约化为Reinhart流形的条件。最后，我们研究了双曲积Finsler流形的狭缝切丛上的一个殆复结构。
Flat 3-manifolds with diagonal metrics and applications to warped products
本文研究了具有对角度量的3维子流形的平坦条件，并探讨了扭曲积类型流形的平坦性及其不存在结果。
Characterization of warped product submanifolds of Lorentzian concircular structure Manifolds
最近Hui等人（\cite{HAP}，\cite{HAN}）研究了$(LCS)_n$ -流形$\bar{M}$的切触CR-翘曲积子流形和翘曲积伪斜子流形。在本文中，我们研究了这两类翘曲积子流形的特征。证明了$(LCS)_n$ -流形不存在真的翘曲积双斜子流形。虽然我们构造了$(LCS)_n$ -流形的一个双斜子流形的例子。
Geometry of pointwise semi-slant warped products in locally conformal Kaehler manifolds
本文研究了局部共形Kaehler流形中点态半斜翘曲积的几何性质。特别地，我们得到了Kaehler流形中CR-弯曲积子流形的Chen不等式的几个推广结果。同时，我们也研究了相应的等式情形。本文还证明了点态半斜翘曲积的几个相关结果。
Weighted isoperimetric inequalities in warped product manifolds
我们证明了一些等周型不等式在翘曲积流形，或更一般的，乘翘曲积流形。然后，我们将它们与涉及高阶平均曲率积分的不等式。我们也应用我们的结果得到了空间型中尖锐的特征值估计和一些尖锐的几何不等式。
A survey on geometry of warped product submanifolds
两个黎曼流形$(N_1,g_1)$和$(N_2,g_2)$的翘积$N_1\times_f N_2$是具有翘积度量$g=g_1+f^2 g_2$的积流形$N_1\times N_2$，其中$f$是$N_1$上的正函数。翘曲积流形的概念是黎曼积的最有成果的推广之一。这一概念在微分几何和物理学，特别是广义相对论中起着非常重要的作用。曲积流形的研究已经有很长一段时间了。相比之下，翘曲积子流形的研究直到本世纪初才开始。在这篇文章中，我们综述了各种环境流形中的翘曲积子流形的重要结果。作者希望这篇综述性文章能对翘曲积子流形的理论做一个很好的介绍，同时也为这一充满活力的研究课题的进一步研究提供有益的参考。
Liouville-type theorems for twisted and warped products manifolds
本文证明了Liouville型定理：黎曼流形的完全扭曲和弯曲积的不存在性定理，推广和补充了紧致流形的类似结果.
Null Sectional Curvatures of Warped Products
本文研究了Lorentz弯曲积流形的零（类光）截面曲率。我们导出了许多著名的翘曲积空间-时间模型如乘广义Robertson-Walker时空、广义Kasner时空和标准静态时空的零截面曲率公式。
On Bach flat warped product Einstein manifolds
本文证明了具有$n \geq 4$维Bach张量为零的紧翘积Einstein流形是具有$(n-1)$维Einstein纤维的翘积的有限商.如果$n=4$，则纤维具有恒定曲率。
Warped product submanifolds in metallic Riemannian manifolds
该研究聚焦金属（黄金）黎曼流形中真扭曲积子流形的存在性，讨论三类扭曲积子流形的相关性质，并给出欧氏空间中的对应示例，丰富了黎曼几何子流形理论的研究内容。
Warped Product Pointwise Semi-slant Submanifolds of Almost Contact Manifolds
最近，B Y. Chen和O. J. Garay研究了几乎Hermitian流形的点态倾斜子流形。利用点态倾斜子流形的概念，研究了Sasakian流形和余辛流形中点态半倾斜子流形及其翘曲积的几何性质。证明了在Sasakian流形中，除了切触CR-弯曲积之外，不存在真的点态半斜弯曲积子流形。我们给出了余辛流形中这类子流形的非平凡例子，并得到了几个基本结果，包括对翘曲积点态半斜子流形的一个刻画。
Geometric inequalities on bi-warped product submanifolds of locally conformal almost cosymplectic manifolds
本文不仅给出了局部共形几乎余辛流形的双曲积子流形的一些性质，而且还证明了当双曲积子流形有一个适当的斜子流形作为基或纤维时，其第二基本型的平方范数与双曲积的曲化函数之间的关系.
An necessary condition for isoperimetric inequality in warped product space
本文证明了在翘曲的积空间中，若$(ϕ')^2-ϕ"ϕ\leq 1$条件不成立，则等周不等式存在反例.
Warped Product Pointwise Bi-slant Submanifolds of Kaehler Manifolds
曲积流形的研究已经有很长一段时间了。相比之下，从外在的角度研究翘曲积子流形是由第一作者在本世纪初在[7，8]中发起的。从那时起，翘曲积子流形的研究已经被许多几何学家所研究。几乎厄米流形的斜子流形的概念是在[5]中引入的。几乎切触度量流形中的双斜子流形在文献[4]中得到了定义。Cabrerizo等在[26]中研究了Kaehler流形中的双斜子流形和翘积双斜子流形。本文研究了Kaehler流形的翘积点态双斜子流形。我们的主要结果推广了文[7，21-23，27]中关于翘曲积斜子流形的几个重要结果。
On doubly warped product submanifolds of Generalized $(κ,μ)$-Space Forms
本文建立了一个涉及黎曼流形中等距浸入的双弯曲积的弯曲函数的Laplacian与平方中曲率的一般不等式。此外，我们还得到了广义$(κ,μ)$ -空间型的C-全实双曲积子流形的一些几何不等式。
Sequential Warped Products: Curvature and Killing Vector Fields
在这篇文章中，我们引入了一种新的翘曲积，称为序列翘曲积，以涵盖更广泛的爱因斯坦方程的精确解。首先，我们研究了序列翘曲积的几何，得到了序列翘曲积的共变导数、曲率张量、里奇曲率和数量曲率公式。最后，给出了这些公式的一些重要结论.给出了序列翘积流形上测地线和两种不同类型的共形向量场，即Killing向量场和共圆向量场的刻画.最后，我们考虑了两类序列扭曲积空间-时间模型的几何性质，它们是序列广义Robertson-Walker时空和序列标准静态时空。
Biharmonic CMC Hypersurfaces in the Warped Product Space
在特殊的翘曲积空间中，得到了真双调和CMC超曲面的充要条件。进一步，我们得到了那里不存在真的双调和CMC紧超曲面。
Super warped products with a semi-symmetric metric connection
本文定义了超黎曼流形上的半对称度量联络。在超翘曲积空间上计算了半对称度量联络及其曲率张量和Ricci张量。引入了两类具有半对称度量联络的超翘曲积空间，并给出了这两类具有半对称度量联络的超翘曲积空间是具有半对称度量联络的Einstein超空间的条件.
Height estimate for special weingarten surfaces of elliptic type in warped product
研究扭曲乘积空间中紧致椭圆型特殊 Weingarten 曲面的几何问题，核心贡献是建立垂直高度估计。
Ricci solitons on singly warped product manifolds and applications
本文研究Ricci孤立子扭曲积流形对其底流形和纤维流形的蕴含，证明因子也是Ricci孤立子，并探讨共形或并发向量场及扭曲积时空上的Ricci孤立子。
Pseudo-Projective Tensor on Sequential Warped Products
本文主要研究序列翘曲积上的伪射影张量，得到序列翘曲积是伪射影平坦的充要条件。此外，我们还给出了伪射影平坦序列广义Robertson-Walker和伪射影平坦序列标准静态时空的刻画。
$2-$Killing Vector Fields on Warped Product Manifolds
本文研究了翘曲积流形上的$2-$ Killing向量场，并在标准静态和广义Robertson-Walker时空上刻画了这种结构。得到了翘曲积流形上的$2-$ Killing向量场平行的若干条件。此外，还得到了关于翘曲积流形的曲率与$2-$ Killing向量场的关系。最后，我们应用我们的结果来描述$2-$ Killing向量场的一些著名的翘曲积空间-时间模型。
On equivalence of two non-Riemannian curvatures in warped product Finsler metrics
本文研究了翘曲积Finsler度量，证明了迷向$E$ -曲率和迷向$S$ -曲率的概念对于这类度量是等价的.
Geometry of PR-warped products in para-Kaehler manifolds
在本文中，我们开始研究para-Kähler流形中的$\p R$ -翘曲积，并证明了关于这类子流形的一些基本结果。特别地，我们建立了仅涉及翘曲函数和第二基本型的para-Kähler流形中的$\p R$ -翘曲积的一般最优不等式.此外，我们还对最小余维平坦仿Kähler流形中满足不等式等式情形的$\p R$ -翘曲积进行了完全分类.
Information geometry of warped product spaces
信息几何是研究统计模型的重要工具。在统计模型中有一些重要的例子被认为是扭曲的产品。本文研究了翘曲积的信息几何。我们考虑的情况下，翘曲的产品和纤维空间配备有双平坦的连接，并在特定的情况下，锥，特征的连接上的底空间$\mathbb{R}_{>0}$。结果得到的连接是$α$ -与$α= \pm{1}$的连接。
A New Type Warped Product Metric in Contact Geometry
本文证明了乘积流形$M_{1}\times β(I)$上存在$α$-Sasakian结构，其中$M_{1}$是具有正合1-形式的Kaehler流形，$β(I)$是开曲线.在此基础上，我们定义了一种新的曲积度量来研究几乎厄米特流形与几乎切触度量流形的曲积。
Warped Product Conformal Kahler Manifolds and Kenmotsu Structures
本文研究了Kenmotsu流形和实直线的扭曲积流形成为共形Kahler流形的条件。这个结果证明了Kenmotsu流形和Kahler流形的密切关系。
Warped product Quasi Bi-slant Submanifolds of Kaehler Manifolds
本文引入Kaehler流形中的warped product quasi bi-slant submanifolds概念，证明其必为Riemannian product或warped product quasi hemi slant submanifold，并给出实例。
A general inequality for contact CR-warped product submanifolds in cosymplectic space forms
B.- Y.陈开始研究翘曲产品子流形在他的基本开创性论文\cite{C1,C2,C2.1}。本文研究了余辛空间型的切触CR-翘积子流形，利用Gauss方程和Codazzi方程证明了一个最优不等式。此外，我们还得到了具有紧不变因子的切触CR-弯曲积子流形的两个几何不等式。
Affine connections on singular warped products
本文在奇异半黎曼流形上引入了半对称度量Koszul型和半对称非度量Koszul型。半正则翘曲积的半对称度量Koszul型和半对称非度量Koszul型及其曲率都用因子流形的曲率表示。我们还引入了奇异概积半黎曼流形上的概积结构的Koszul形式。半正则几乎积翘曲积的几乎积结构及其曲率的Koszul形式用因子流形的Koszul形式表示。此外，我们将\cite{St2}中的结果推广到奇异乘翘曲积.
On the geometry of Clairaut warped product Riemannian maps
本文引入Clairaut warped product Riemannian maps，通过推导正则曲线的测地线条件，得出该类映射的成立条件并求出其曲率张量。
Warped product pointwise bi-slant submanifolds in metallic Riemannian manifolds
本文研究了局部金属黎曼流形中翘积点态双斜子流形的一些性质，并在欧几里得空间中构造了一些例子。
A Note on Doubly Warped Product Contact CR-Submanifolds in trans-Sasakian Manifolds
直到2001年，在B.Y.尘紧接着，另一条研究路线，类似于关于佐佐木几何的奇维版本的凯勒几何，被开发出来，即翘曲的产品接触CR-子流形在佐木流形。本文证明了trans-Sasakian流形中不存在真的双曲积切触CR-子流形。
On Riemannian Poisson warped product space
给出了Riemannian Poisson流形、Riemannian Poisson扭曲积空间上Killing 1-形式和2-Killing 1-形式的形式处理。利用这种方法，我们得到了紧Riemann Poisson流形，紧Riemann Poisson翘曲积空间上Killing 1-形式和2-Killing 1-形式的Bochner型结果.最后给出了$(\mathbb{R}^2,g,Π)$上2-Killing 1-形式的刻画.
Sequential warped product submanifolds having factors as holomorphic, totally real and pointwise slant
引入了Kaehler流形的序列翘积子流形，给出了例子，建立了这类子流形的Chen不等式。平等的情况下也进行了研究。此外，受Lawson和Simons关于子流形的积分流定理的启发，我们对序列翘曲积子流形找到了一个类似的Pinching不等式，并在满足等式情形时得到了几何结果.
Warped product skew semi-invariant submanifolds of order 1 of a locally product Riemannian manifold
引入局部积黎曼流形的$1$阶翘曲积斜半不变量子流形。给出了一阶斜半不变量子流形是局部翘曲积的一个充要条件。我们还证明了子流形定义中涉及的不变分布在一定条件下是可积的。此外，我们还发现了这类子流形的翘曲函数与第二基本型的平方范数之间的一个不等式。还讨论了平等问题。
On the construction of gradient Ricci soliton warped product
本文证明了一个膨胀的或稳定的梯度Ricci孤子弯曲积$B^n\times_f F^m$，$m>1$，如果其弯曲函数$f$同时达到最大值和最小值，则它一定是一个黎曼积.此外，我们还给出了构造梯度Ricci孤子弯曲积的一个充要条件。作为应用，我们给出了一类以非正数量曲率的Einstein流形为纤维的扩展Ricci孤子弯曲积。我们还讨论了这种构造的一些障碍，特别是在翘曲产品的底部是紧凑的情况下。
Global isometric embeddings of multiple warped product metrics into quadrics
本文在半欧几里得空间的二次曲面中构造了多重翘曲积流形的光滑等距嵌入。我们的主要定理推广了Blanusa，Rozendorn，Henke和Azov的结果.
Geometric flows on warped product manifold
通过引入一种新的提升向量表示法和Levi-Civita联络，得到了任意弯曲积流形上里奇曲率张量的统一公式，该公式有助于进一步研究弯曲积流形上的里奇流（RF）、双曲几何流（HGF）和发展方程.我们刻画了弯曲函数在RF和HGF下的行为。同时，我们给出了一些简单的例子来说明这种翘曲函数解的存在性。此外，我们还得到了一般的曲积流形和第二因子流形为Einstein度量的特殊曲积流形上的度量和里奇曲率的发展方程.
Remarks on metallic warped product manifolds
该研究用金属型映射刻画两金属型流形乘积的金属型结构，给出两局部金属型黎曼流形的扭曲积为局部金属型的充要条件，还讨论了积流形特例并给出相关例子。
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