Lamplighter graphs do not admit harmonic functions of finite energy
Agelos Georgakopoulos
本文证明了有限图上的局部有限图的点灯图不存在具有有限Dirichlet能量的非常数调和函数。
We prove that a lamplighter graph of a locally finite graph over a finite graph does not admit a non-constant harmonic function of finite Dirichlet energy.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Harmonic functions with finite $p$-energy on lamplighter graphs are constant
本说明的目的是表明，点灯图的空间图是无限的，最多两端和灯图是最多两端不承认调和函数与梯度$\ell^p$（\ie有限$p$ -能源）的任何$p\in [1,\infty[$除了常数（和，等价地，他们减少$\ell^p$上同调是平凡的程度一）。利用类似的论证，证明了许多图的直积（包括Cayley图的所有直积）在$\ell^p$中不允许有梯度的非常数调和函数.证明依赖于一个定理的张拉森在广场上的图线。
We study the minimal possible growth of harmonic functions on lamplighters. We find that $(\mathbb{Z}/2)\wr \mathbb{Z}$ has no sublinear harmonic functions, $(\mathbb{Z}/2)\wr \mathbb{Z}^2$ has no sublogarithmic harmonic functions, and neither has the repeated wreath product $(\dotsb(\mathbb{Z}/2\wr\mathbb{Z}^2)\wr\mathbb{Z}^2)\wr\dotsb\wr\mathbb{Z}^2$. These results have implications on attempts to quantify the Derriennic-Kaimanovich-Vershik theorem.
One variable equations over the lamplighter group
研究证明了灯光群中一元方程的可判定性，并提出了一种具有超指数时间复杂度的求解算法，同时指出在大多数情况下可高效判定。
Lamplighters, Diestel-Leader graphs, random walks, and harmonic functions
$\mathbb Z$上的点灯者群是圈积$\mathbb Z_q \wr \mathbb Z$。对于一个自然生成集，它的Cayley图是Diestel-Leader图$DL(q,q)$ .我们研究了“简单”Laplacian在这个图上的调和函数，更一般地说，对于一类随机游动在$DL(q,r)$，其中$q,r \ge 2$。DL-图是两棵树的满圈积，我们利用这两棵树的边界给出了所有正调和函数的完整刻画。特别地，我们确定了最小Martin边界，即最小正调和函数的集合。
Positive harmonic functions for semi-isotropic random walks on trees, lamplighter groups, and DL-graphs
我们确定了一类“半各向同性”随机游动的所有正调和函数，即，q阶循环群与无限循环群的圈积积。这是可能的，通过几何实现的凯莱图，该组作为迪斯特尔-领导者图DL（q，q）。更一般地说，DL（q，r）是两个具有各自度$q+1$和$r+1$的齐次树的horocyclic积，我们的结果适用于所有DL-图。这是基于一个仔细研究的最小调和函数的半各向同性走在树上。
Let $A$ be a finite set and $G$ a group. A closed subset $X$ of $A^G$ is called a subshift if the action of $G$ on $A^G$ preserves $X$. If $K$ is a closed subset of $A^G$ such that membership in $K$ is determined by looking at a fixed finite set of coordinates, and $X$ is the intersection of all translates of $K$ under the action of $G$, then $X$ is called a subshift of finite type (SFT). If an SFT is nonempty and contains no finite $G$-orbits, it is said to be weakly aperiodic. A virtually cyclic group has no weakly aperiodic SFT, and Carroll and Penland have conjectured that a group with no …
Regular maps from the lamplighter to metabelian groups
本文证明灯夫群可单射利普希茨映射到任何非虚拟幂零的有限生成亚阿贝尔群，从而说明这类群满足Hume等人提出的解析薄/解析厚二分法。
Dead ends on wreath products and lamplighter groups
本文证明任意有限群与有限生成群的圈积（灯夫群）存在无界深度的标准生成集，并在阿贝尔基群情形推广到所有标准生成集；对自由积基群，用几何常数刻画无界深度，并发现与一维情形的差异。
Shifts on the lamplighter group
本文通过两个一般模拟定理证明了灯夫群具有强非周期SFT、不可判定的铺砖问题，并完全刻画了其SFT熵为非负上半天可计算实数，同时将结果推广到亚贝尔Baumslag-Solitar群。
Proper actions of lamplighter groups associated with free groups
给定一个有限群$H$和一个自由群$F_n$，我们证明了圈积$H\wr F_n$在希尔伯特空间上有度量恰当的等距作用.
Cross-wired lamplighter groups
给出了Diestel-Leader图的等距群中的局部紧群同构于闭余紧子群的一个充要条件.由于这个条件，我们看到，每一个共紧格的等距群的迪斯特-领袖图承认一个传递，适当的行动，其他一些迪斯特-领袖图。我们也给出了一些实际上不是点灯人的格的例子。这意味着类的离散群可dumblighter集团是不封闭的拟等距下，并结合工作的Eskin，Fisher和Whyte，给出了一个特征的拟等距类。
What is a horocyclic product, and how is it related to lamplighters?
这是一个相当个人的介绍性大纲的一个有趣的类几何，resp。图论和群论结构。在介绍了它们的起源之后，给出了素环积的一般结构。三个密切相关的基本结构，这种类型的更详细的解释：迪斯特尔领导图，树型空间，溶胶群，分别。- 歧管。重点是它们的几何，等距群，拟等距分类和边界在无穷远。随后，它是澄清的参数化下，他们承认离散群的等距作用与紧凑的商。最后，对今后的发展作了简要的评述。备注：发布的版本包含对IMN中出现的版本中第22页底部出现的错误的更正。
Green kernel estimates and the full Martin boundary for random walks on lamplighter groups and Diestel-Leader graphs
我们确定了Diestel-Leader图$DL(q,r)$上带漂移的简单随机游动的Green核的精确渐近行为（在空间上），其中$q,r \ge 2$ .后者是两个具有各自度$q+1$和$r+1$的齐次树的时循环积。当$q=r$时，它是圈积（点灯群）${\mathbb Z}_q \wr {\mathbb Z}$关于生成元的自然集合的凯莱图。我们描述了完整的马丁紧化的随机游动的$DL$ -图，特别是，点灯组。这完成并提供了一个更好的方法，以前的结果Woess，谁确定了所有最小的正调和函数。
Absence of non-constant harmonic functions with $\ell^p$-gradient in some semi-direct products
为了得到具有有界调和函数的群（不是双曲的），最常用的方法之一是研究一些半直积（\eg点灯群）。这里的目的是表明，许多这些半直积不承认调和函数的梯度$\ell^p$，为$p\in [1,\infty[$。
Harmonic Labeling of Graphs
哪些图允许一个整数值调和函数是$\Z$上的内射和满射？当图是$\Z^2$正方形网格时，构造这样的函数，我们称之为调和标号。证明了对任何至少含有一条边的有限图$G$，不存在$ G \times \Z$的调和标号.
We prove that the topological full group $[[X]]$ of a two-sided full shift $X = Σ^{\mathbb{Z}}$ contains every right-angled Artin group (also called a graph group). More generally, we show that the family of subgroups with "linear look-ahead" is closed under graph products. We show that the lamplighter group $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ embeds in $[[X]]$, and conjecture that it does not embed in $[[X]]$ with linear look-ahead. Generalizing the lamplighter group, we show that whenever $G$ acts with "unique moves" (or at least "move-$A$ithfully"), we have $A \wr G \leq [[X]]$ for finite abelian…
A compactly generated group is noncompact if and only if it admits a nonconstant harmonic function (for some, equivalently for every, reasonable measure). This generalizes the known fact that a finitely generated group is infinite if and only if it admits a nonconstant harmonic function (for some, equivalently every, reasonable measure).
Horocyclic products of trees
设T_1，...，T_d是度为q_1+1，.，q_d+1>=3。对于每棵树，设h：T_j->Z是关于固定边界点（端点）的Busemann函数。它的水平集是horocycles。T_1的素环积，...，T_d是图DL（q_1，.，q_d）由所有d元组x_1. x_d in T_1x. xT_d，其中h（x_1）+.+ h（x_d）=0，具有自然邻域关系。在本文中，我们探讨了这些图及其等距群的几何，代数，分析和概率性质。若d=2，q_1=q_2=q，则得到了点灯群（圈积）（Z/qZ）wr Z的Cayley图.若d=3且q_1=q_2=q_3=q，则DL是一个可表示群的Cayley图，点灯人群自然嵌入到该图中.当d>=4且q_1=...= q_d=q使得q的分解中的每一个素幂都大于d-1，我们证明了DL是一个n-表现群的Cayley图.该组的类型为F_{d-1}，但不是F_d。它不是自动的，但在大多数情况下它是一个自动机组。另一方面，当q_j不全部一致时，DL（q_1，.，q_d）是点传递图，但不是有限生成群的Cayley图.事实上，它甚至不承认具有多个轨道和有限点稳定器的群作用。DL上的"简单随机游动“算子的l^2-谱总是纯点.当d=2时，它从以前的工作中显式地知道，而对于d=3，我们显式地计算它。最后，我们确定了DL上一类群不变随机游动的Poisson边界。它与DL的几何边界的一部分…
Discrete random walks on the group Sol
Kaimanovich描述了与离散随机游动规律$μ$相关的群$Sol$边界上的调和测度$ν$。我们研究了它关于勒贝格测度何时是绝对连续的或奇异的。利用熵与速度之比，证明了任意可数非交换子群都存在一个具有奇异调和测度$ν$的有限一阶矩非退化$μ$.另一方面，我们证明了某些具有阶支撑步分布的随机游动允许正则调和测度。最后，我们构造了一些特殊的随机游动具有任意小的速度，但奇异的调和测度。后两个结果是通过比较伯努利卷积，使用结果埃尔德什和Solomyak。
We prove various results connecting structural or algebraic properties of graphs and groups to conditions on their spaces of harmonic functions. In particular: we show that a group with a finitely supported symmetric measure has a finite-dimensional space of harmonic functions if and only if it is virtually cyclic; we present a new proof of a result of V. Trofimov that an infinite vertex-transitive graph admits a non-constant harmonic function; we give a new proof of a result of T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert and J. Dodziuk that the Laplacian on an infinite, connected, locally finite …
Invariant Percolation and Harmonic Dirichlet Functions
本文的主要目标是回答问题1.10，解决Benjamini-Lyons-Schramm [BLS 99]的猜想1.11，该猜想将图上的调和Dirichlet函数与Bernoulli渗流唯一性阶段的无限簇的调和Dirichlet函数联系起来。我们将结果扩展到更一般的不变量，包括随机簇模型。本文证明了在含有非常数调和Dirichlet函数的单模传递局部有限图上Bernoulli渗流的非唯一性相的存在性（并对Random-Cluster模型的非唯一性相作了一些改进）.这是通过使用$\ell^2$贝蒂数的装置来完成的。
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