使用连分数重新审视 Erdős--Moser 方程 $1^k+2^k+...+(m-1)^k=m^k$

On the unsolvability of certain equations of Erdős-Moser type

Let $S_k(m):=\sum_{j=1}^{m-1}j^k$ denote a power sum. In 2011, Kellner proposed the conjecture that for $m>3$ the ratio $S_k(m+1)/S_k(m)$ is never an integer, or, equivalently, that for any positive integer $a$, the equation $aS_k(m)=m^k$ has no solutions in positive integers $k$ and $m$ with $m>3$. In this paper, we show that for many integers $a$ the equation $aT_k(m)=(2m+1)^k$, where $T_k(m):=\sum_{j=1}^m(2j-1)^k$, has no solutions in positive integers $k$ and $m$. This leads us to the conjecture that for $m>1$ the ratio $T_k(m+1)/T_k(m)$ is never an integer.

使用近似方法对 Erdös-Moser 方程 $ \sum_{i=1}^{m-1} i^k = m^k $ 的解析探索

An Analytical Exploration of the Erdös-Moser Equation $ \sum_{i=1}^{m-1} i^k = m^k $ Using Approximation Methods

本文利用 Euler-MacLaurin 公式和有理根定理对 Erdös-Moser 方程进行近似解析，确认 k=1 时唯一解为 m=3，并提示 k≥2 时无其他正整数解，但强调该方法不能替代严格证明。

锦标赛得分序列、Erdős-Ginzburg-Ziv数与Lévy-Khintchine方法

Tournament score sequences, Erdős-Ginzburg-Ziv numbers, and the Lévy-Khintchine method

该研究利用格路表示与Lévy-Khintchine公式，简短证明了锦标赛得分序列数与Erdős-Ginzburg-Ziv数的关联，并用该方法证明了Moser关于得分序列数渐近行为的猜想。

通过改进$k$-构型的界解决Erdős--Moser无和集问题

The Erdős--Moser sum-free set problem via improved bounds for $k$-configurations

本文通过改进$k$-构型的存在性界，为Erdős–Moser无和集问题提供了与已知最优界形式一致的新下界证明。

Erdős-Straus猜想的取整连分数方法：反例的启发式有限性

A Ceiling Continued Fraction Approach to the Erdős-Straus Conjecture: Heuristic finiteness of counterexamples

提出取整连分数（FCT）框架构造Erdős-Straus猜想的三项埃及分数表示，利用移位整数p+i的除数结构而非同余技巧，推导出失败概率的超多项式上界，结合Borel-Cantelli引理启发式证明反例有限，并在10^17、10^52和10^131附近的10^9个素数上验证无反例。

莫泽关于方程1^k +2^k +.+的数学工作(m-1)^k = m ^k

Moser's mathemagical work on the equation 1^k+2^k+...+(m-1)^k=m^k

如果标题的方程有一个整数解，k>= 2，则m> 10 ^{10^6}。利奥·莫泽在1953年用令人惊讶的基本方法证明了这一点。经过50多年的后见之明，他的证明可以在某种程度上简化。进一步证明了Moser的结果可以由一个vonStaudt-Clausen型定理导出。本文根据这一方程的最新发展，利用数列2 ^{2e +1}+1，e = 0，1，2，.中数的整除性质，得到了一个新的结果.在最后一节中，我们表明，某些Erdos-Moser型方程在最近的论文中所产生的Kellner可以完全解决。

A remark on a conjecture of Erdős and Straus

The aim of this note is to show that given a positive integer $n \geq 5$, the positive integral solutions of the diophantine equation $4/n = 1/x + 1/y+1/z$ cannot have solution such that $x$ and $y$ are coprime with $xy < \sqrt{z/2}$. The proof uses the continued fraction expansion of $4/n$.

连续幂和的禁用整数比

Forbidden integer ratios of consecutive power sums

令$S_k(m):=1^k+2^k+\cdots+(m-1)^k$表示幂和。在2011年，Bernd Kellner提出了一个猜想：对于$m\ge 4$，两个连续幂和之比$S_k(m+1)/S_k(m)$永远不是整数。我们将开发一些技术，允许一个排除许多整数$ρ$作为一个比率，并将它们结合起来，以排除整数$3\le ρ\le 1501$，并假设一个猜想非正则素数是真的，一组密度$1$的比率$ρ$。为了排除比率$ρ$，必须证明Erdens-Moser型方程$(ρ-1)S_k(m)=m^k$没有非平凡解。