Symmetric nonnegative forms and sums of squares
我们研究对称非负形式及其与对称平方和的关系。对于固定数量的变量$n$和度$2d$，对称非负形式和对称平方和形式封闭，凸锥在向量空间的$n$ -变量对称形式的度$2d$。利用对称群的表示论，我们以统一的方式刻画了这两个锥。进一步，我们研究的渐近行为时的程度$2d$是固定的变量$n$增长。在这里，我们表明，在鲜明的对比，一般情况下，对称非负形式和平方和之间的差异不会增长任意大的任何固定程度$2d$。我们考虑的情况下，对称四次形式更详细，并给出一个完整的四次对称平方和的特征。此外，我们证明了在度$4$的锥的非负对称形式和对称的平方和接近相同的限制，因此这两个锥渐近变得更接近的变量的数量的增长。我们猜想这在任意次数$2d$上都是正确的。
2020-02-17 math.AG math.OC
Sums of squares and varieties of minimal degree
设X是实非退化射影子簇，使得其实点集是Zebraki稠密的。证明了X上非负的实二次型都是线性型的平方和当且仅当X是极小次数簇。这大大扩展了希尔伯特著名的非负形式与平方和相等的特性。我们得到了一个完整的列表的情况下，平等的，也是一个分类的格多面体Q的每一个非负的洛朗多项式的支持包含在2Q是平方和。
2013-08-03 math.AG
Multihomogenous Nonnegative Polynomials and Sums of Squares
我们完善和扩展的定量界，非负多项式的平方和的分数，多齐次的情况下。
2018-04-11 math.AG math.MG
On nonnegative invariant quartics in type A
本文研究A型反射群中不变四次式的非负性与平方和问题，证明两者锥相等当且仅当变量数至多3或为奇数。
2024-02-06 math.AG
Volumes of Nonnegative Polynomials, Sums of Squares and Powers of Linear Forms
研究了非负多项式锥、平方和锥与线性型幂和锥之间的定量关系。我们推导出的体积（提高到幂倒数的环境尺寸）的三个锥的紧凑部分的界限。我们证明了，如果度是固定的，变量的数目趋于无穷大的边界是渐近准确的。当次数大于2时，则非负多项式明显多于平方和，平方和明显多于线性型的幂和。此外，我们量化了锥之间的确切差异;从我们的界限可以看出，差异随着变量数量的增加而增加。
2004-02-10 math.AG math.MG
There are Significantly More Nonnegative Polynomials than Sums of Squares
研究了非负多项式与多项式平方和之间的定量关系。我们表明，如果程度是固定的，变量的数量增长，那么有显着更多的非负多项式比平方和。更具体地说，我们采取紧凑的基础上的锥的非负多项式和锥的平方和，并推导出边界的基础上的体积。如果度是大于2，那么我们表明，基地的体积比，提高到幂倒数的环境尺寸，趋于0的变量的数量趋于无穷大。
2003-09-07 math.AG math.CA math.MG
Dimensional Differences Between Faces of the Cones of Nonnegative Polynomials and Sums of Squares
我们研究的非负多项式的圆锥和圆锥的平方和的面的尺寸，我们表明，有相应的这些圆锥面之间的尺寸差异。这些尺寸差距发生在所有情况下，存在非负多项式，不是平方和。间隙是一般性的，它们不是选择圆锥体的特殊面的产物。对于三元形式和四元四次曲线，当观察到这些差异时，我们完全表征。此外，我们提供了一个明确的描述，这些差异在两个最小的情况下，其中锥的非负多项式和锥的平方和是不同的。我们的结果是从关于射影空间中点的消失理想的第二普通幂和第二符号幂之间的关系的更一般的结果得到的。
2013-05-03 math.AC math.AG
A Positivstellensatz for Sums of Nonnegative Circuit Polynomials
最近，第二和第三作者发展了非负回路多项式的和（SONC）作为实多项式非负性的新证明，它独立于平方和。本文证明了在非负多项式锥中SONC锥是全维的。我们建立了一个Positivstellenum，它保证了每个多项式是积极的一个给定的紧，半代数集可以表示的集合和SONC多项式的约束。在此基础上，我们提供了一个层次的下界收敛于一个给定的紧集$K$上的多项式的最小值。此外，我们表明，这些新的边界可以有效地计算通过内点方法使用有关相对熵函数的结果。
2017-03-17 math.AG math.OC
Symmetric nonnegative functions, the tropical Vandermonde cell and superdominance of power sums
本文研究固定次数对称非负函数与平方和函数的极限锥，给出非平方和非负多项式的显式例子，并揭示偶对称情形对偶锥的热带化与分拆上的超支配序之间的自然联系。
2024-08-08 math.AG math.CO math.OC
Positive Gorenstein Ideals
我们引入了正Gorenstein理想。这些都是Gorenstein理想的分次环$\RR[x]$与脚柱在2d度，这当被视为一个线性泛函的$\RR[x]_{2d}$是非负的平方。等价的正Gorenstein理想是平方上的非极性理想，它的微分算子是非负的。正Gorenstein理想自然出现在非负多项式和平方和的上下文中，它们为研究平方和表示的具体方面提供了一个强大的框架。我们提出了应用程序的正Gorenstein理想在真正的代数几何，分析和优化。特别是，我们提出了一个简单的证明希尔伯特的几乎被遗忘的结果表示三元非负形式的平方和的有理函数。借鉴我们以前的工作，我们的主要工具是Cayley-Bacharach对偶和初等凸几何。
2012-03-16 math.AG
Amoebas, Nonnegative Polynomials and Sums of Squares Supported on Circuits
我们完全刻画部分的锥的非负多项式，凸多项式和平方和多项式支持电路，一类真正的稀疏多项式。特别是，非负性的特征在于一个不变量，它可以立即从初始多项式导出。此外，这种多项式$f$的非负性与$f$的变形虫的坚固性一致，即，$f$的代数簇$\mathcal{V}(f) \subset (\mathbb{C}^*)^n$的对数绝对值图像。这些结果推广了早期的作品都在变形虫理论和真正的代数几何Fidalgo，Kovacec，Reznick，Theobald和德沃尔夫和解决一个开放的问题Reznick。他们建立了阿米巴理论和实多项式的非负性之间的第一个直接联系。此外，这些陈述产生了一个全新的非负性证书，独立于平方和证书。
2015-10-25 math.AG math.CO
Geometrical Study of the Cone of Sums of Squares plus Sums of Nonnegative Circuits
本文从几何角度研究SOS与SONC之和构成的凸锥，证明其正常性、非封闭性，并给出希尔伯特定理类比的新证明，表明其为两者的真超集。
2024-12-16 math.AG math.CO math.OC
Optimization over the Boolean Hypercube via Sums of Nonnegative Circuit Polynomials
理论计算机科学中的各种关键问题都可以表示为布尔超立方体上的多项式优化问题。证明这类问题复杂性界限的一个特别成功的方法是基于平方和（SOS）作为非负性证书。在这篇文章中，我们通过最近的另一种证书，称为非负回路多项式（SONC）的总和，开始分析布尔超立方体上的优化问题。我们发现，基于SOS的证书的关键结果仍然有效：第一，多项式，这是非负的$n$变量布尔超立方体的程度$d$的约束，存在一个SONC证书的程度最多$n+d$。其次，如果存在布尔超立方体上多项式的非负性的次数$d$ SONC证书，则还存在短次数$d$ SONC证书，其最多包括$n^{O(d)}$非负电路多项式。
2018-02-27 cs.CC cs.DS math.AG
On odd powers of nonnegative polynomials that are not sums of squares
本文系统研究了奇数次幂非平方和的“固执”非负多项式，提出了实孤立零点的SOS-不变量，并据此证明了6次非负三元形式极射线多项式及更高次形式的固执性，同时揭示了非固执多项式构成内部为严格正多项式的凸锥。
2024-07-31 math.AG math.OC
Isoparametric polynomials and sums of squares
希尔伯特第17问题问的是，是否每个非负多项式都可以是有理函数的平方和。阿廷对此作出了肯定的回答。然而，一个给定的非负多项式是否是多项式的平方和的问题仍然是实代数几何中的一个中心问题。本文完全解决了由E。Cartan，它定义了相应的等参超曲面的焦点子流形。
2022-10-12 math.AG math.DG
Moments, Sums of Squares, and Tropicalization
本文用热带化刻画半代数集上矩锥与伪矩锥的组合结构，借此区分非负多项式与平方和，并揭示平方和逼近的局限。
2025-09-01 math.AG math.CO math.FA
Convex Forms that are not Sums of Squares
轨道拓扑是一个点在紧群作用下的轨道的凸包。我们推导出的轨道的极体部分的体积上的界限，扩展我们以前开发的方法。作为应用，我们将凸形锥实现为非负双齐次锥的一个截面，并估计了它的体积。一个凸形式必须是非负的，但以前没有证明存在不是平方和的凸形式。结合已知的界，我们证明了当阶数固定时，凸形式的锥与非负形式的锥具有渐近相同的大小，并且渐近地显著大于平方和锥.这意味着存在的凸形式，不是平方和，虽然仍然没有已知的例子。
2009-10-05 math.AG math.MG
Sums of Squares: A Real Projective Story
非负多项式与平方和的关系是实代数几何中的中心问题之一。一个现代的方法是研究实簇上的非负多项式和平方和。我们调查这一领域的丰富历史，并侧重于最近的发展，突出意想不到的联系，复杂的代数几何和交换代数。
2021-01-14 math.AG math.OC
Discriminants, symmetrized graph monomials, and sums of squares certificates
在这里，我们提出了5类6-边多重图的证明，其对称化图单项式可以表示为平方和，但不能表示为分区平方图的线性组合。这是对判别式、对称化图单项式和平方和中结果的补充。
2012-02-02 math.AG
Sums-of-Squares Formulas over Algebraically Closed Fields
本文考虑平方和公式的存在性是否依赖于基场。我们把存在的问题重新表述为代数几何中的问题。我们证明了，当p足够大时，代数闭域上平方和公式的存在性与特征无关。我们明确了p上的界，证明了在代数闭域上固定型平方和公式的存在性在理论上（虽然不是实际上）是可计算的。
2016-10-31 math.AG
Sums of Separable and Quadratic Polynomials
Princeton University（普林斯顿大学）；INSEAD（欧洲工商管理学院）
我们研究可分加二次（SPQ）多项式，即，多项式是不同变量的一元多项式和二次多项式之和。受非负可分多项式和非负二次多项式都是平方和这一事实的启发，我们研究了非负SPQ多项式是否是（i）一个非负可分多项式和一个非负二次多项式的和，以及（ii）一个平方和.我们建立了问题（i）的答案对于一元加二次多项式和凸SPQ多项式是正的，但是对于二元四次SPQ多项式已经是负的。我们利用我们对凸SPQ多项式的分解结果表明，凸SPQ多项式最优化问题可以用“小”半定规划来求解。对于问题（ii），我们提供了一个完整的表征的答案的程度和SPQ多项式的变量的数量的基础上。我们还证明了当次数至少为4时，SPQ多项式的非负性检验是NP-困难的。最后，我们提出的应用程序的SPQ多项式上界稀疏的解决方案，线性规划，多项式回归问题的统计，和推广的牛顿法，其中包括可分离的高阶导数信息。
2021-05-11 cs.LG math.AG math.OC
A sum of squares approximation of nonnegative polynomials
我们证明，每个实非负多项式$f$都可以根据需要通过平方和的多项式序列$\{f_ε\}$来近似。每一个$f_ε$都有一个简单而明确的形式，表示为$f$和$ε$。对于凸半代数集上的非负凸多项式，也得到了一种特殊的表示。
2004-12-20 math.AC math.AG
Polynomials nonnegative on the cylinder
在2010年，马歇尔解决了带状猜想，根据该猜想，$\mathbb{R}[x,y]$中的每个多项式，在带状$[-1,1]\times\mathbb{R}$上非负，是平方和和平方乘以$1-x^2$。考虑$C$在$\mathbb{R}$上的仿射非奇异曲线，并研究了在$C(\mathbb{R})\times\mathbb{R}$上非负的$f$在$\mathbb{R}[C][y]$上的平方和问题.在$f$在$C(\mathbb{R})\times\mathbb{R}$中只有1/2个零的条件下，我们给出了肯定的回答。对于$C$是圆$x_1^2+x_2^2=1$，我们无条件地证明了这个结果.
2016-07-29 math.AG
Sums of three squares and Noether-Lefschetz loci
证明了二元实多项式是有理函数的三个平方和的集合在半正定的集合中是稠密的。我们还证明了P^3中函数域为2的实曲面的集合在无实点的实曲面的集合中稠密。
2017-12-18 math.AG
Do Sums of Squares Dream of Free Resolutions?
我们关联到一个真正的投影品种$X$两个凸锥是基本的真正的代数几何：锥$P_X$的二次型非负的$X$，和锥$Σ_X$的平方和的线性形式。对偶锥$Σ_X^\ast$是一个谱面体，并证明了它的凸性与$X$的同调性质密切相关.例如，我们证明了$Σ_X^\ast$的所有极端射线都有秩1当且仅当X具有Castelnuovo-Mumford正则性2。更一般地，如果$Σ_X^\ast$具有秩为$p > 1$的极端射线，则$X$不满足性质$N_{2,p}$。我们发现，在各种各样的情况下，相反的也成立：最小的$p$的属性$N_{2,p}$不持有等于最小的秩的一个极端射线的$Σ_X^\ast$大于1。这些结果使我们能够推广的工作Blekherman-Smith-Velasco平等的非负多项式和总和的平方从不可约的品种减少计划和分类所有的spectrahedral锥只有秩一个极端射线。我们的结果可应用于正半定矩阵的完备化问题和射影簇上的截断矩问题。
2016-12-03 math.AG
Refined Asymptotics for Multigraded Sums of Squares
要证明一个多项式在R^n上是非负的，可以尝试证明它是多项式平方和（SOS）。后者的问题是现在已知的是减少到一个半定规划（SDP）的计算速度比经典的代数方法，从而使新的加速代数优化。然而，究竟有多少次非负多项式实际上是多项式的平方和仍然是一个悬而未决的问题。布莱克曼最近能够证明，对于n个变量的k次多项式（k>=4固定），当n趋于无穷大时，SOS多项式在R^n上的非负多项式中所占的比例非常小。着眼于小n的情况下，我们完善Blekherman的边界纳入基础的牛顿多面体，同时锐化他的一些老边界的道路上。我们改进的渐近性表明，某些牛顿多面体可能会导致家庭的多项式，有效的SDP仍然可以用于大多数输入。
2010-10-26 math.AG math.OC
Nonnegative Polynomials and Circuit Polynomials
非负回路多项式和（SONC）的概念是近年来提出的一种新的证明非负性的方法，特别适用于稀疏多项式。本文研究了非负多项式与SONC多项式之间的关系。作为第一个结果，我们给出了具有一般Newton多面体的非负多项式是SONC多项式的充分条件，推广了以前关于具有单纯形Newton多面体的非负多项式的结果.其次，我们证明了每个SONC多项式允许SONC分解没有取消。换句话说，SONC分解可以精确地保持非负多项式的稀疏性，这与经典的平方和（SOS）分解有很大的不同，并且是基于SONC分解设计有效的稀疏多项式优化算法的关键属性。
2021-04-04 math.AG math.CO
Existence of positive definite noncoercive sums of squares
正定形式$f$是平方和，它被构造成具有一个附加的性质，即平方和为$f$的任何形式集合的成员必须共享一个非平凡的复根。
2007-12-13 math.AG math.AP
Strong nonnegativity and sums of squares on real varieties
受概型理论的启发，我们引入了实簇的强非负性，它具有平方和强非负的性质。我们证明了这个代数性质等价于非奇异实簇的非负性。此外，对于奇异簇，我们将Gouveia和Netzer的障碍推广到实簇的凸体逼近实簇的凸包的θ体族的收敛性.
2011-10-16 math.AG math.OC
Hyperbolic polynomials, interlacers, and sums of squares
双曲多项式是实多项式，其实超曲面是嵌套的卵形体，其最内部是凸的。这些多项式出现在数学的许多领域，包括优化，组合数学和微分方程。在这里，我们研究了双曲多项式和交错它的多项式集合之间的特殊联系，这个交错多项式集合是一个凸锥，我们把它写成非负多项式锥的线性切片。特别是，这使我们能够实现任何双曲锥作为一个切片的锥的非负多项式。利用平方和松弛，我们然后近似的双曲锥的投影的光谱面体。一个来自Vamos拟阵的多仿射例子表明，这种松弛并不总是精确的。利用这一理论，我们刻画了具有确定行列式表示的实稳定多重仿射多项式，并在行列式表示存在时构造了行列式表示。
2013-11-03 math.AG math.CO math.OC
Sums of Squares on the Hypercube
设X是R^n中的一个有限集。X上的多项式p非负可以写成有理函数模消失理想I（X）的平方和。从应用的角度来看，如多项式优化，我们感兴趣的是小次数的有理函数表示。我们得到了一个一般的上界的希尔伯特函数的X，我们表明，这个上界是紧的情况下，二次函数的超立方体C={0，1}^n，一个非常好的研究情况下，在组合优化。利用C的下界，我们构造了一族全局非负的四次多项式，它们不是小次数有理函数的平方和。据我们所知，这是第一次建设希尔伯特的第17个问题的一个家庭的多项式的有界程度，需要增加的程度，在有理函数表示的数量n的变量趋于无穷大。我们注意到，对称群S_n的表示论在我们的下界证明中起着至关重要的作用。
2014-02-18 math.AG math.OC
Sums of squares of polynomials with rational coefficients
我们构造一族显式多项式f的有理系数是多项式的平方和的实数，但不是在有理数。是否存在这样的例子是一个开放的问题最初提出的斯特姆费尔斯。我们还研究了表示的f的平方和的有理函数与合理的系数。在三元四次曲线的情况下，我们证明了我们的反例Sturmfels的问题是唯一的。
2013-06-14 math.AG math.NT
Convexity properties of the cone of nonnegative polynomials
研究了齐次非负多元多项式的锥与线性型的幂和锥的度量性质，以及这两种锥之间的关系。我们计算了非负多项式锥的自然底的最大体积椭球和线性型幂锥的自然底的最小体积椭球，并计算了基的对称系数。乘以（x_1^2 +. + x_n^2）^m导出$2k$次多项式空间到2（k+m）次多项式空间的等距嵌入，这允许我们比较$2k$次非负多项式的锥和线性型的2（k+m）次幂和的锥。我们估计的两个锥体的基础的体积比和速度，它接近1的m增长。
2002-11-11 math.AG math.CO math.MG
An Approach to Constrained Polynomial Optimization via Nonnegative Circuit Polynomials and Geometric Programming
在这篇文章中，我们结合了多项式优化的两个发展。一方面，我们考虑基于非负回路多项式之和的非负性证书，这是第二和第三作者最近提出的。另一方面，我们研究了约束多项式最优化问题的几何规划方法，这是最近由Ghasemi和Marshall发展起来的。我们表明，这两个结果的组合产生一个新的方法来解决某些类的约束多项式最优化问题。我们测试的新方法实验和比较它的半定规划在各种例子。
2018-06-05 math.AG math.OC
An Effective Positivstellensatz over the Rational Numbers for Finite Semialgebraic Sets
Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进会数学研究所）
本文研究了有限半代数集上多项式非负性的有效表示方法，提出基于有理数平方和的构造，并给出了度数和位复杂度的界，改进了多项式优化中的矩/平方和层次结构结果。
2025-08-28 math.AC math.AG math.OC
Hermitian Sums of Squares Modulo Hermitian Ideals
在这项工作中，我们研究的问题写一个埃尔米特多项式作为埃尔米特平方和模埃尔米特理想。研究了Putinar-Scheiderer的一个新思想，得到了Hermitian多项式为模Hermitian理想的Hermitian平方和的必要矩阵正性条件.我们表明，条件是充分的一类例子，使连接到运营商值的Riesz-Fejer定理和块Toeplitz形式。这项工作符合更大的主题埃尔米特版本的希尔伯特的第17个问题和表征的积极性。
2020-12-07 math.AG math.FA math.OC
