Sums of Squares and Sparse Semidefinite Programming
我们考虑两个看似无关的问题：非负多项式和平方和之间的关系，真正的品种，和稀疏半定规划。当实簇$X$由二次无平方单项式理想定义时，这种联系是自然的。在这种情况下，$X$上的非负多项式和平方和也是正半定矩阵完备化的自然对象。$X$上的非负二次型自然对应于部分指定的矩阵，其中所有完全指定的正方形块都是PSD，并且平方和二次型自然对应于部分指定的矩阵，其可以被完成为PSD矩阵。我们展示了定量的结果近似的非负多项式的平方和，从而导致应用稀疏半定规划。
2021-06-14 math.AG
Nonnegative Polynomials and Sums of Squares
在最小的情况下，存在非负多项式，不是平方和，我们提出了一个完整的解释这种区别。平方和锥严格包含在非负多项式锥中的根本原因是$d$次数的多项式满足某些线性关系，称为Cayley-Bacharach关系，这是满次数2d的多项式所不满足的。对于任何非平方和的非负多项式，我们都可以写出一个来自凯莱-巴查拉赫关系的线性不等式，证明这一事实。我们还刻画了位于平方和锥边界上的严格正的平方和以及平方和锥的对偶锥的极端射线
2012-02-08 math.AG
Dimensional Differences between Nonnegative Polynomials and Sums of Squares
我们研究的非负多项式的圆锥和圆锥的平方和的面的尺寸，我们表明，有相应的这些圆锥面之间的尺寸差异。这些尺寸差距发生在所有情况下，存在非负多项式，不是平方和。当变量的次数或数量增长时，间隙变得非常大，间隙渐近地接近2d次的$n$变量中多项式的向量空间的全维。间隙是一般性的，它们不是选择圆锥体的特殊面的产物。使用这些尺寸的差异，我们展示了如何推导出的不等式，分离非负多项式的平方和，不等式将举行所有的平方和，但会失败的一些非负多项式。
2009-07-08 math.AG
Existence of positive definite noncoercive sums of squares
正定形式$f$是平方和，它被构造成具有一个附加的性质，即平方和为$f$的任何形式集合的成员必须共享一个非平凡的复根。
2007-12-13 math.AG math.AP
Sums of three squares and Noether-Lefschetz loci
证明了二元实多项式是有理函数的三个平方和的集合在半正定的集合中是稠密的。我们还证明了P^3中函数域为2的实曲面的集合在无实点的实曲面的集合中稠密。
2017-12-18 math.AG
Lectures on Nonnegative Polynomials and Sums of Squares
这些课堂讲稿提供了非负多项式和平方和理论的非正式介绍。我们强调的历史和一些最近的发展，特别是新的连接与经典（复）代数几何和交换代数。我们简要地讨论连接到半定规划和应用。我们希望读者熟悉代数和代数几何的基本原理，在研究生课程的水平上，并知道关于正半定矩阵的基本事实。
2021-05-29 math.AG
Sums of Squares: A Real Projective Story
非负多项式与平方和的关系是实代数几何中的中心问题之一。一个现代的方法是研究实簇上的非负多项式和平方和。我们调查这一领域的丰富历史，并侧重于最近的发展，突出意想不到的联系，复杂的代数几何和交换代数。
2021-01-14 math.AG math.OC
Sums of squares and varieties of minimal degree
设X是实非退化射影子簇，使得其实点集是Zebraki稠密的。证明了X上非负的实二次型都是线性型的平方和当且仅当X是极小次数簇。这大大扩展了希尔伯特著名的非负形式与平方和相等的特性。我们得到了一个完整的列表的情况下，平等的，也是一个分类的格多面体Q的每一个非负的洛朗多项式的支持包含在2Q是平方和。
2013-08-03 math.AG
Sums of squares of polynomials with rational coefficients
我们构造一族显式多项式f的有理系数是多项式的平方和的实数，但不是在有理数。是否存在这样的例子是一个开放的问题最初提出的斯特姆费尔斯。我们还研究了表示的f的平方和的有理函数与合理的系数。在三元四次曲线的情况下，我们证明了我们的反例Sturmfels的问题是唯一的。
2013-06-14 math.AG math.NT
Symmetric nonnegative forms and sums of squares
我们研究对称非负形式及其与对称平方和的关系。对于固定数量的变量$n$和度$2d$，对称非负形式和对称平方和形式封闭，凸锥在向量空间的$n$ -变量对称形式的度$2d$。利用对称群的表示论，我们以统一的方式刻画了这两个锥。进一步，我们研究的渐近行为时的程度$2d$是固定的变量$n$增长。在这里，我们表明，在鲜明的对比，一般情况下，对称非负形式和平方和之间的差异不会增长任意大的任何固定程度$2d$。我们考虑的情况下，对称四次形式更详细，并给出一个完整的四次对称平方和的特征。此外，我们证明了在度$4$的锥的非负对称形式和对称的平方和接近相同的限制，因此这两个锥渐近变得更接近的变量的数量的增长。我们猜想这在任意次数$2d$上都是正确的。
2020-02-17 math.AG math.OC
Approximating amoebas and coamoebas by sums of squares
Amoebas和coamoebas分别是代数簇的对数象和代数簇在arg-map下的象。我们提出了新的技术计算问题的变形虫和coamoebas，从而建立新的连接（共）变形虫，半代数和凸代数几何和半定规划。我们的方法是基于制定的成员资格问题，阿米巴（分别coamoebas）作为一个合适的真正的代数可行性问题。使用真正的零点，这允许通过平方和技术和半定规划来解决这个问题。我们的方法产生多项式的身份作为证书的非包容性的一个点在变形虫或coamoeba。作为主要的理论结果，我们建立了多项式证书的一些度界。此外，我们提供了一些实际的计算变形虫的平方和方法的基础上。
2013-06-13 math.AG
Separating inequalities for nonnegative polynomials that are not sums of squares
三元六次曲线和四元四次曲线是存在非平方和（SOS）的非负多项式的最小情况。G. Blekherman通过分析相应的对偶锥的极值光线，得到了一个新的近似解。然而，一个精确的计算方法，以建立分离的极端射线的非负多项式，不是平方和是一个广泛开放的问题。我们提供了一种方法，大大简化了这种计算的PSD锥的边界上的某些类的多项式。特别是，我们的方法产生分离极端射线的每一个非负三元六次曲线至少有七个零。作为进一步的实例的应用，我们计算一个合理的证书证明Motzkin多项式不是SOS。
2012-08-01 math.AG
Sums of squares on hypersurfaces
本文证明了在特定条件下，形如$\mathbb{R}[x,y, \sqrt{f(x,y)}]$的环的毕达哥拉斯数为无限，揭示了超曲面环中平方和表示的新性质。
2024-02-07 math.AG
Square-root cancellation for sums of factorization functions over squarefree progressions in $\mathbb F_q[t]$
我们证明了估计的莫比乌斯函数，冯Mangoldt函数，和除数函数在平方无级数的多项式环在有限域的分布水平。当$q$变为$\infty$时，每个分布级别收敛到$1$，并且当$q$变为$\infty$时，功率节省收敛到平方根消除。这些结果实际上适用于更一般的一类函数，即因子分解函数，它包括这三个。除数估计可应用于$L$-函数的矩，而von Mangoldt估计可应用于单能级密度。
2022-07-11 math.AG math.NT
Dimensional Differences Between Faces of the Cones of Nonnegative Polynomials and Sums of Squares
我们研究的非负多项式的圆锥和圆锥的平方和的面的尺寸，我们表明，有相应的这些圆锥面之间的尺寸差异。这些尺寸差距发生在所有情况下，存在非负多项式，不是平方和。间隙是一般性的，它们不是选择圆锥体的特殊面的产物。对于三元形式和四元四次曲线，当观察到这些差异时，我们完全表征。此外，我们提供了一个明确的描述，这些差异在两个最小的情况下，其中锥的非负多项式和锥的平方和是不同的。我们的结果是从关于射影空间中点的消失理想的第二普通幂和第二符号幂之间的关系的更一般的结果得到的。
2013-05-03 math.AC math.AG
Hermitian Sums of Squares Modulo Hermitian Ideals
在这项工作中，我们研究的问题写一个埃尔米特多项式作为埃尔米特平方和模埃尔米特理想。研究了Putinar-Scheiderer的一个新思想，得到了Hermitian多项式为模Hermitian理想的Hermitian平方和的必要矩阵正性条件.我们表明，条件是充分的一类例子，使连接到运营商值的Riesz-Fejer定理和块Toeplitz形式。这项工作符合更大的主题埃尔米特版本的希尔伯特的第17个问题和表征的积极性。
2020-12-07 math.AG math.FA math.OC
Strong nonnegativity and sums of squares on real varieties
受概型理论的启发，我们引入了实簇的强非负性，它具有平方和强非负的性质。我们证明了这个代数性质等价于非奇异实簇的非负性。此外，对于奇异簇，我们将Gouveia和Netzer的障碍推广到实簇的凸体逼近实簇的凸包的θ体族的收敛性.
2011-10-16 math.AG math.OC
Isoparametric polynomials and sums of squares
希尔伯特第17问题问的是，是否每个非负多项式都可以是有理函数的平方和。阿廷对此作出了肯定的回答。然而，一个给定的非负多项式是否是多项式的平方和的问题仍然是实代数几何中的一个中心问题。本文完全解决了由E。Cartan，它定义了相应的等参超曲面的焦点子流形。
2022-10-12 math.AG math.DG
Moments, Sums of Squares, and Tropicalization
本文用热带化刻画半代数集上矩锥与伪矩锥的组合结构，借此区分非负多项式与平方和，并揭示平方和逼近的局限。
2025-09-01 math.AG math.CO math.FA
Sums of squares in function fields over Henselian local fields
给出了整Hensel优良局部环的分式域上函数域的水平和Pythagoras数的上界.特别是，我们证明了$\mathbb{R}((x_1,\dots,x_n))$的毕达哥拉斯数是$\leq 2^{n-1}$，这肯定地回答了崔，戴，林和Reznick的问题。
2019-11-08 math.AG math.NT
Geometrical Study of the Cone of Sums of Squares plus Sums of Nonnegative Circuits
本文从几何角度研究SOS与SONC之和构成的凸锥，证明其正常性、非封闭性，并给出希尔伯特定理类比的新证明，表明其为两者的真超集。
2024-12-16 math.AG math.CO math.OC
Randomization, Sums of Squares, and Faster Real Root Counting for Tetranomials and Beyond
设f是一个D次实一元多项式，它正好有4个单项式项。本文提出了一个计算f的实根个数的算法，其复杂性多项式平均为log D（相对于稳定的对数一致测度）。以前最好的算法在D上具有超线性复杂度。我们还讨论了连接到平方和A-判别式，包括明确的障碍表示正定稀疏多项式的平方和几个稀疏多项式。我们的关键工具是引入有效的可计算腔锥，边界区域的系数空间中的实根的数量可以很容易地计算。我们的大部分理论扩展到n-变量（n+3）-Nomials。
2011-01-13 cs.CC math.AG
On Sum of Squares Representation of Convex Forms and Generalized Cauchy-Schwarz Inequalities
度大于1的凸形式总是非负的，因为它在原点与梯度一起消失。2007年，Parrilo提出了凸形式是否总是平方和的问题。几年后，Blekherman回答了这个问题的负面显示，通过大量的参数，为足够高的变量，必须有凸形式的程度低至4，而不是平方和。值得注意的是，迄今为止还没有已知的例子。本文证明了4元4次凸形式都是平方和。我们还表明，如果一个猜想的Blekherman有关所谓的凯莱-Bacharach关系是真的，那么同样的陈述成立凸形式的3个变量和度6。这是两个最小的情况下，人们将有任何希望看到凸形式，而不是平方和（由于已知的障碍）。证明的一个主要成分是某些“广义柯西-施瓦茨不等式“的推导，这可能是独立的利益。
2019-09-17 math.AG math.OC
Sums of squares in polynomial time
Universität zu Köln（科隆大学）；Université de Toulouse（图卢兹大学；LAAS-CNRS）；LAAS-CNRS
研究判定多项式能否表示为平方和的问题，证明弱成员问题属于P，并给出计算ε-松弛最近平方和多项式的多项式时间算法。
2026-06-25 cs.CC math.AG math.OC
Reflection groups and cones of sums of squares
我们认为锥的实形式是平方和形式和不变的（有限）反射群。我们展示了如何表示论，这些群体允许使用这些锥固有的对称性，以提供更有效的描述。我们特别关注的$A_{n}$，$B_n$，和$D_n$的情况下，我们使用所谓的更高的Specht多项式给这些锥的统一描述。例如，这些描述使我们能够研究这些视锥细胞与非负形式的联系。特别地，我们给出了一个新的证明结果哈里斯谁表明，每一个非负三元甚至对称八次形式是一个平方和。
2021-12-14 math.AC math.AG math.RA
