Convex Forms that are not Sums of Squares
轨道拓扑是一个点在紧群作用下的轨道的凸包。我们推导出的轨道的极体部分的体积上的界限，扩展我们以前开发的方法。作为应用，我们将凸形锥实现为非负双齐次锥的一个截面，并估计了它的体积。一个凸形式必须是非负的，但以前没有证明存在不是平方和的凸形式。结合已知的界，我们证明了当阶数固定时，凸形式的锥与非负形式的锥具有渐近相同的大小，并且渐近地显著大于平方和锥.这意味着存在的凸形式，不是平方和，虽然仍然没有已知的例子。
2009-10-05 math.AG math.MG
Moments, Sums of Squares, and Tropicalization
本文用热带化刻画半代数集上矩锥与伪矩锥的组合结构，借此区分非负多项式与平方和，并揭示平方和逼近的局限。
2025-09-01 math.AG math.CO math.FA
Symmetric nonnegative functions, the tropical Vandermonde cell and superdominance of power sums
本文研究固定次数对称非负函数与平方和函数的极限锥，给出非平方和非负多项式的显式例子，并揭示偶对称情形对偶锥的热带化与分拆上的超支配序之间的自然联系。
2024-08-08 math.AG math.CO math.OC
Symmetric nonnegative forms and sums of squares
我们研究对称非负形式及其与对称平方和的关系。对于固定数量的变量$n$和度$2d$，对称非负形式和对称平方和形式封闭，凸锥在向量空间的$n$ -变量对称形式的度$2d$。利用对称群的表示论，我们以统一的方式刻画了这两个锥。进一步，我们研究的渐近行为时的程度$2d$是固定的变量$n$增长。在这里，我们表明，在鲜明的对比，一般情况下，对称非负形式和平方和之间的差异不会增长任意大的任何固定程度$2d$。我们考虑的情况下，对称四次形式更详细，并给出一个完整的四次对称平方和的特征。此外，我们证明了在度$4$的锥的非负对称形式和对称的平方和接近相同的限制，因此这两个锥渐近变得更接近的变量的数量的增长。我们猜想这在任意次数$2d$上都是正确的。
2020-02-17 math.AG math.OC
Intermediate Cones between the Cones of Positive Semidefinite Forms and Sums of Squares
在$2d$度的$n+1$变量中的所有半正定（PSD）实型的锥$\mathcal{P}_{n+1,2d}$（$n,d\in\mathbb{N}$）包含那些可表示为半度$d$实型的有限平方和（SOS）的子锥$Σ_{n+1,2d}$。1888年，希尔伯特证明了这些锥在希尔伯特情形$(n+1,2d)$与$n+1=2$或$2d=2$或$(n+1,2d)=(3,4)$中完全重合。为了在任何非希尔伯特情况下建立严格包含$Σ_{n+1,2d}\subsetneq\mathcal{P}_{n+1,2d}$，可以证明在基本非希尔伯特情况$(4,4)$和$(3,6)$中验证断言就足够了。本文构造了一个介于$Σ_{n+1,2d}$和$\mathcal{P}_{n+1,2d}$之间的中间锥过滤.这种过滤是诱导通过革兰氏矩阵的方法（由崔，林和Reznick）的过滤不可约的投影品种$V_{k-n}\subsetneq \ldots \subsetneq V_n \subsetneq \ldots \subsetneq V_0$包含Veronese品种。这里，$k$是$d$度的$n+1$变量中实形式的向量空间的维数。通过证明$V_0,\ldots,V_n$是最小程度的变体，我们证明了相应的中间锥与$Σ_{n+1,2d}$一致。同样，对于$n=2$的特殊情况，$V_{n+1}$也是极小次数的一个变种，相应的中间锥也…
2023-03-23 math.AG
Hyperbolic polynomials, interlacers, and sums of squares
双曲多项式是实多项式，其实超曲面是嵌套的卵形体，其最内部是凸的。这些多项式出现在数学的许多领域，包括优化，组合数学和微分方程。在这里，我们研究了双曲多项式和交错它的多项式集合之间的特殊联系，这个交错多项式集合是一个凸锥，我们把它写成非负多项式锥的线性切片。特别是，这使我们能够实现任何双曲锥作为一个切片的锥的非负多项式。利用平方和松弛，我们然后近似的双曲锥的投影的光谱面体。一个来自Vamos拟阵的多仿射例子表明，这种松弛并不总是精确的。利用这一理论，我们刻画了具有确定行列式表示的实稳定多重仿射多项式，并在行列式表示存在时构造了行列式表示。
2013-11-03 math.AG math.CO math.OC
Separating inequalities for nonnegative polynomials that are not sums of squares
三元六次曲线和四元四次曲线是存在非平方和（SOS）的非负多项式的最小情况。G. Blekherman通过分析相应的对偶锥的极值光线，得到了一个新的近似解。然而，一个精确的计算方法，以建立分离的极端射线的非负多项式，不是平方和是一个广泛开放的问题。我们提供了一种方法，大大简化了这种计算的PSD锥的边界上的某些类的多项式。特别是，我们的方法产生分离极端射线的每一个非负三元六次曲线至少有七个零。作为进一步的实例的应用，我们计算一个合理的证书证明Motzkin多项式不是SOS。
2012-08-01 math.AG
Do Sums of Squares Dream of Free Resolutions?
我们关联到一个真正的投影品种$X$两个凸锥是基本的真正的代数几何：锥$P_X$的二次型非负的$X$，和锥$Σ_X$的平方和的线性形式。对偶锥$Σ_X^\ast$是一个谱面体，并证明了它的凸性与$X$的同调性质密切相关.例如，我们证明了$Σ_X^\ast$的所有极端射线都有秩1当且仅当X具有Castelnuovo-Mumford正则性2。更一般地，如果$Σ_X^\ast$具有秩为$p > 1$的极端射线，则$X$不满足性质$N_{2,p}$。我们发现，在各种各样的情况下，相反的也成立：最小的$p$的属性$N_{2,p}$不持有等于最小的秩的一个极端射线的$Σ_X^\ast$大于1。这些结果使我们能够推广的工作Blekherman-Smith-Velasco平等的非负多项式和总和的平方从不可约的品种减少计划和分类所有的spectrahedral锥只有秩一个极端射线。我们的结果可应用于正半定矩阵的完备化问题和射影簇上的截断矩问题。
2016-12-03 math.AG
There are Significantly More Nonnegative Polynomials than Sums of Squares
研究了非负多项式与多项式平方和之间的定量关系。我们表明，如果程度是固定的，变量的数量增长，那么有显着更多的非负多项式比平方和。更具体地说，我们采取紧凑的基础上的锥的非负多项式和锥的平方和，并推导出边界的基础上的体积。如果度是大于2，那么我们表明，基地的体积比，提高到幂倒数的环境尺寸，趋于0的变量的数量趋于无穷大。
2003-09-07 math.AG math.CA math.MG
Convexity properties of the cone of nonnegative polynomials
研究了齐次非负多元多项式的锥与线性型的幂和锥的度量性质，以及这两种锥之间的关系。我们计算了非负多项式锥的自然底的最大体积椭球和线性型幂锥的自然底的最小体积椭球，并计算了基的对称系数。乘以（x_1^2 +. + x_n^2）^m导出$2k$次多项式空间到2（k+m）次多项式空间的等距嵌入，这允许我们比较$2k$次非负多项式的锥和线性型的2（k+m）次幂和的锥。我们估计的两个锥体的基础的体积比和速度，它接近1的m增长。
2002-11-11 math.AG math.CO math.MG
The Duality of SONC: Advances in Circuit-based Certificates
非负回路和锥（SONC）是非负多项式/指数和锥的子集，近年来得到了广泛的研究。在本文中，我们构造了SONC锥的一个子集，我们称之为DSONC锥。DSONC锥可以看作是双SONC锥的扩展;成员资格可以通过线性规划进行测试。我们表明，DSONC锥是一个适当的，全维锥，我们提供了一个描述其极端的光线，并收集几个属性，平行的SONC锥。此外，我们证明了DSONC锥中的函数不能有实零点，这使得DSONC锥不与SONC锥的边界相交。此外，我们还讨论了DSONC锥与SOS和SDSOS锥的相交问题。最后，我们表明，电路功能在边界的DSONC锥的平衡点，因此是类似物的奇点在原始的SONC锥，并与DSONC锥热带几何。
2022-04-08 math.AG math.OC
A Positivstellensatz for Sums of Nonnegative Circuit Polynomials
最近，第二和第三作者发展了非负回路多项式的和（SONC）作为实多项式非负性的新证明，它独立于平方和。本文证明了在非负多项式锥中SONC锥是全维的。我们建立了一个Positivstellenum，它保证了每个多项式是积极的一个给定的紧，半代数集可以表示的集合和SONC多项式的约束。在此基础上，我们提供了一个层次的下界收敛于一个给定的紧集$K$上的多项式的最小值。此外，我们表明，这些新的边界可以有效地计算通过内点方法使用有关相对熵函数的结果。
2017-03-17 math.AG math.OC
Real Zeros of SONC Polynomials
我们提供了一个完整的和明确的表征非负回路（SONC）多项式的总和，最近的非负多项式的平方和独立的证书的实零点。作为结果，我们得到了一个确切的决定数$B''_{n+1,2d}$的所有$n$和$d$。定义$B''_{n+1,2d}$为SONC锥中所有$2d$次齐次$n+1$ -变量多项式的零点个数的上确界。非负锥和平方和锥的类似定义数$B_{n+1,2d}$和$B'_{n+1,2d}$首先由Choi、Lam和Reznick引入并研究。与我们的情况形成强烈对比的是，对于一般的$n$和$d$，$B_{n+1,2d}$和$B'_{n+1,2d}$的确定仍然是一个悬而未决的问题。此外，我们开始了对SONC锥的暴露面的研究。特别是，我们显式地考虑小尺寸和分析尺寸界限上的暴露面。当将SONC锥的暴露面与非负性锥的暴露面进行比较时，我们观察到它们之间的尺寸差异。
2020-11-07 math.AG math.CO math.OC
A unified framework of SAGE and SONC polynomials and its duality theory
我们介绍和研究锥，它由一类广义多项式函数，并提供了一个共同的框架，最近的非负性证书的多项式在稀疏设置。具体地说，这个$\mathcal{S}$锥推广和统一的算术-几何平均指数（SAGE）和非负电路多项式（SONC）的总和。我们提供了一个全面的表征的对偶锥的$\mathcal{S}$锥，即使其专业化提供了新的和投影自由的描述。作为这一结果的应用，我们给出了一个确切的表征的极端射线的$\mathcal{S}$锥，从而也其专业化，我们提供了一个子类的功能，其非负性符合成员资格的$\mathcal{S}$锥。此外，我们从对偶理论推导出一个非负一元多项式的逼近结果，并表明，一个SONC模拟的Putinar的Positivstellenstructures不存在，即使在一元的情况下。
2020-09-21 math.AG math.OC
Rational Dual Certificates for Weighted Sums-of-Squares Polynomials with Boundable Bit Size
本文研究加权平方和多项式有理对偶证书的比特大小复杂度，给出一般性界并分析一元多项式等特殊情形，同时提出一个有理算术算法来计算具有可界定比特大小的证书。
2023-08-10 math.AG math.OC
Extreme Rays of the Hankel Spectrahedra for Ternary Forms
Hankel谱面是实多项式平方和锥的对偶凸锥，本文从凸代数几何的角度研究了它。我们证明了三元形式的Hankel谱面体的所有极端射线的并集的Zapriki闭包是余维为10的不可约簇。它是所有corank至少为4的Hankel（或中Catalecticant）矩阵的簇。利用平面曲线的Cayley-Bacharach定理，我们明确地构造了一条最大秩的有理极值射线。在前三种非平凡情形d = 3，4，5下，给出了Hankel谱面的极端射线的半代数集的秩分层.对偶地，我们通过射影对偶理论得到了平方和锥的代数边界的刻画，扩展了Blekherman，Hauenstein，Ottem，Ranestad和Sturmfels以前的工作。
2015-06-20 math.AC math.AG math.OC
Global Optimization via the Dual SONC Cone and Linear Programming
利用非负回路和的对偶锥（SONC），我们给出了全局最优化问题的松弛形式，以最小化一个指数和，作为一个特例，最小化一个多元实多项式.我们的方法建立在两个关键的观察。第一，双SONC锥包含在原始锥中。因此，在这个圆锥中的包容是非负性的证明。第二，我们证明了成员资格的对偶锥可以验证一个线性规划。我们实现的算法，并提出初步的实验结果比较我们的方法，现有的方法。
2020-10-22 math.AG math.OC
Algebraic boundaries of Hilbert's SOS cones
我们研究了非负多项式和平方和之间的差异的几何基础。区分这两个锥的三元六次曲线和四次四次曲线的超曲面被证明是K3曲面的Noether-Lefschetz轨迹。这些超曲面的射影矩阵由Hankel矩阵的秩约束定义。我们使用数值代数几何计算他们的程度，从而验证由于Maulik和Pandharipande的结果。非负形式的两个锥的非SOS极值射线分别由平面有理六次线的Severi簇和四次对称面簇参数化。
2011-07-10 math.AG
On odd powers of nonnegative polynomials that are not sums of squares
本文系统研究了奇数次幂非平方和的“固执”非负多项式，提出了实孤立零点的SOS-不变量，并据此证明了6次非负三元形式极射线多项式及更高次形式的固执性，同时揭示了非固执多项式构成内部为严格正多项式的凸锥。
2024-07-31 math.AG math.OC
Sums of squares in polynomial time
Universität zu Köln（科隆大学）；Université de Toulouse（图卢兹大学；LAAS-CNRS）；LAAS-CNRS
研究判定多项式能否表示为平方和的问题，证明弱成员问题属于P，并给出计算ε-松弛最近平方和多项式的多项式时间算法。
2026-06-25 cs.CC math.AG math.OC
Randomization, Sums of Squares, and Faster Real Root Counting for Tetranomials and Beyond
设f是一个D次实一元多项式，它正好有4个单项式项。本文提出了一个计算f的实根个数的算法，其复杂性多项式平均为log D（相对于稳定的对数一致测度）。以前最好的算法在D上具有超线性复杂度。我们还讨论了连接到平方和A-判别式，包括明确的障碍表示正定稀疏多项式的平方和几个稀疏多项式。我们的关键工具是引入有效的可计算腔锥，边界区域的系数空间中的实根的数量可以很容易地计算。我们的大部分理论扩展到n-变量（n+3）-Nomials。
2011-01-13 cs.CC math.AG
Amoebas, Nonnegative Polynomials and Sums of Squares Supported on Circuits
我们完全刻画部分的锥的非负多项式，凸多项式和平方和多项式支持电路，一类真正的稀疏多项式。特别是，非负性的特征在于一个不变量，它可以立即从初始多项式导出。此外，这种多项式$f$的非负性与$f$的变形虫的坚固性一致，即，$f$的代数簇$\mathcal{V}(f) \subset (\mathbb{C}^*)^n$的对数绝对值图像。这些结果推广了早期的作品都在变形虫理论和真正的代数几何Fidalgo，Kovacec，Reznick，Theobald和德沃尔夫和解决一个开放的问题Reznick。他们建立了阿米巴理论和实多项式的非负性之间的第一个直接联系。此外，这些陈述产生了一个全新的非负性证书，独立于平方和证书。
2015-10-25 math.AG math.CO
On nonnegative invariant quartics in type A
本文研究A型反射群中不变四次式的非负性与平方和问题，证明两者锥相等当且仅当变量数至多3或为奇数。
2024-02-06 math.AG
Two remarks on sums of squares with rational coefficients
存在具有$\mathbb Q$ -系数的齐次多项式$f$，其是$\mathbb R$上的平方和，但不是$\mathbb Q$上的平方和。迄今为止已知的此类多项式的唯一系统构造使用具有特定伽罗瓦理论性质的全虚数域$K/\mathbb Q$作为其关键成分。我们首先表明，人们可以放松这些属性相当不失去的结论，这种放松是尖锐的，至少在弱意义上。在第二部分中，我们讨论了开放的问题是否任何$f$如上必然有一个（非平凡的）实零。在极小开情形$(3,6)$和$(4,4)$中，我们证明了所有不含实零点的例子都包含在平方和锥边界的一个薄子集中.
2021-01-03 math.AG
The Morrison--Kawamata cone conjecture for singular symplectic varieties
我们证明了Morrison-Kawamata锥猜想的投影本原辛簇与$\Q$ -阶乘和终端奇异与$b_2\geq 5$，从中我们得到例如有限性的极小模型，这样的品种，直到同构。为了证明这个猜想，我们建立了一些结果沿道路上的monodromy组可能是有趣的，在自己的权利，如事实上，反映在总理例外因子是积分霍奇monodromy运营商，连同monodromy运营商提供的双有理变换，产生半直积分解monodromy组霍奇等距。
2022-07-29 math.AG math.CV
Blenders
混合器是实齐次多项式的闭凸锥，在变量的线性变化下也是闭的。非平凡的混合器只在偶数次出现。例子包括psd形式的锥、sos形式的锥、凸形式的锥以及次数形式的$v$的$2u$次幂和。我们给出了混合器的一些一般性质，并分析了一些特殊混合器的极值元素。
2011-02-14 math.AG math.CO math.NT
