Duality of Hamiltonian and Lagrangian formulations for integrable systems
University of Basilicata（巴西利卡塔大学）；Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Napoli（意大利国家核物理研究所那不勒斯分部）；Loughborough University（拉夫堡大学）
本文探讨了通过Hamiltonian势变量将Hamilton算子映射为辛算子的对偶方法，构建了双Hamilton系统Lagrangian结构，并提出Lagrangian多形式对偶体，针对KdV方程及其极限情况给出新的Lagrangian多形式。
2026-10-01 nlin.SI
Discrete Lagrangian Multiforms for ABS Equations II: Tetrahedron and Octahedron Equations
本文构造了与ABS可积四边形方程相关的四种离散拉格朗日2-形式，证明四边形方程系统等价于四面体与八面体方程的组合系统，并研究了外导数的双零性质，为八面体方程提供变分解释。
2025-07-18 math-ph math.MP nlin.SI
Hamiltonian multiform description of an integrable hierarchy
出于拉格朗日多形的概念，它提供了一个拉格朗日制定的可积性，和结果的作者的作用，协变的哈密顿形式主义的可积场论，我们提出了可积$1+1$维场论的哈密顿多形的概念。它们提供了拉格朗日多形的哈密顿对应物，并将可积层次内的任意数量的流封装在单个对象中。对于一个给定的层次，拉格朗日多形为出发点，我们提供了一个系统的建设的基础上的广义技术的协变哈密顿场论的哈密顿多形。这也产生了另外两个重要的对象：一个辛多形和相关的多时间泊松括号。他们减少到一个多辛形式和相关的协变泊松括号，如果我们限制我们的注意力到一个单一的流的层次。我们的框架提供了一种替代方法来定义和推导守恒定律的层次结构。我们说明我们的结果上三个例子：潜在的Korteweg-de Vries层次，正弦戈登层次（在光锥坐标）和Ablowitz-Kaup-Newell-Segur层次。
2020-12-09 hep-th math-ph math.MP
Lagrangian multiforms on Lie groups and non-commuting flows
本文提出一个用于非交换流的变分框架，扩展拉格朗日多形式理论，以李群作为多时间，并通过开普勒、有理Calogero-Moser及推广的AKNS系统等例子展示其应用，作为李群作用纯变分方法的第一步。
2023-03-09 math-ph math.MP nlin.SI
Lie dialgebras, gauge theory, and Lagrangian multiforms for integrable models
University of Leeds（利兹大学）
本研究通过两种方法构建了拉格朗日一形式，解决了可积层次结构中的核心问题，并建立了3维BF理论与希奇金系统的经典联系。
2026-02-11 hep-th math-ph math.MP
Lagrangian multiforms on coadjoint orbits for finite-dimensional integrable systems
本文利用李对代数构造有限维可积系统在余伴随轨道上的拉格朗日多形式，其欧拉-拉格朗日方程给出Lax形式相容方程，并推广至一般轨道，以开Toda链和Gaudin模型为例验证。
2024-01-09 hep-th math-ph math.MP
On the Lagrangian multiform structure of the extended lattice Boussinesq system
本文证明扩展晶格Boussinesq系统的Lagrangian结构可表示为晶格Gel'fand-Dikii层级各成员Lagrangian的线性组合，并揭示其Lagrangian多重形式具有“双重零”结构。
2024-01-27 math-ph math.MP nlin.SI
Lagrangian multiform structure of discrete and semi-discrete KP systems
本文利用拉格朗日多重形式为势 AKP 系统建立变分结构，涵盖完全离散方程、半离散变体及其 Lax 表示，并揭示拉格朗日 3-形式的双零结构与相应 Lax 系统的变分表述。
2024-07-07 math-ph math.MP nlin.SI
The Darboux-KP system as an integrable Chern-Simons multiform theory in infinite dimensional space
本研究在已有广义Darboux系统拉格朗日3-形式结构基础上，为Darboux-KP系统建立Miwa变量无穷维空间中的Chern-Simons作用量拉格朗日多形式族，给出嵌入该空间的通用3维可积系统的变分形式。
2023-05-04 hep-th math-ph math.MP
Quantum Variational Principle and quantum multiform structure: the case of quadratic Lagrangians
可积性的现代概念是多维一致性（MDC），它经典地意味着对于同一个因变量，多个自变量中的（交换）动力流共存。这一性质既适用于连续动力系统，也适用于定义在离散时空中的离散动力系统。在离散情况下，最简单的例子可能是线性四边形晶格方程，它可以被看作是著名的晶格势KdV方程的线性化版本。尽管线性，MDC属性是非平凡的系统的参数。这些方程的拉格朗日方面，以及它们的非线性类似物，导致了拉格朗日多形式结构的概念，其中拉格朗日不再是标量函数（或体积形式），而是独立变量的多维空间中的真正形式。变分原理不仅涉及关于场变量的变分，而且涉及关于自变量空间中的几何的变分。在本文中，我们考虑一个量子模拟的新的变分原理的量子传播（或等价的费曼路径积分）。在二次拉格朗日函数的情况下，这些可以用高斯积分来计算。我们还研究了晶格的周期约化导致的离散多时间动力学交换映射，其中最简单的例子是离散谐振子，这令人惊讶地揭示了丰富的可积结构背后，在此研究的基础上，我们提出了一个新的量子变分原理的多形式路径积分。
2017-03-15 math-ph math.MP nlin.SI
Classical Yang-Baxter equation, Lagrangian multiforms and ultralocal integrable hierarchies
本文利用依赖经典 r-矩阵的生成性 Lagrange 多重形式，将 CYBE 纳入变分框架，并据此构造和耦合一大类超局部可积层级。
2024-01-26 hep-th math-ph math.MP
Semi-discrete Lagrangian 2-forms and the Toda hierarchy
给出了可积微分差分方程（半离散可积系统）的变分理论。这是一个自然的延伸的想法称为“拉格朗日多型”和“Pluri-Lagrange系统”，这已经建立在完全离散和完全连续的情况下。这些思想的主要特点是在一个单一的变分原理中捕获交换方程的层次。我们的主要例子来说明新的半离散理论的拉格朗日多形是户田格。这个常微分方程描述了具有最近邻相互作用的一维粒子晶格在连续时间内的演化。它是常微分方程的可积层次的一部分，每个常微分方程都涉及一个关于连续变量的导数和一些格移。我们将使用拉格朗日多形理论来推导Toda层次的连续变量的偏微分方程，它不涉及任何晶格位移。作为第二个例子，我们简要地讨论了半离散势KdV方程，这是相关的Volterra晶格。
2022-12-05 math-ph math.MP nlin.SI
Lagrangian 3-form structure for the Darboux system and the KP hierarchy
本文建立了描述正交曲线坐标系的达布系统的推广形式的拉格朗日多形结构。它已被证明，在过去，这个系统的耦合偏微分方程实际上是一个编码的整个Kadomtsev Petviashvili（KP）层次的条款，所谓的Miwa变量。因此，在提供一个拉格朗日描述这个多维一致的系统相当于一个新的拉格朗日3-形式结构的连续KP系统。矩阵（也称为非阿贝尔）KP系统的推广进行了讨论。
2023-03-06 nlin.SI
On the Lagrangian structure of integrable hierarchies
我们发展了可积族的多拉格朗日结构的概念。这是一个连续对应的多拉格朗日（或拉格朗日多形式）理论的可积晶格系统。我们推导出多时间欧拉-拉格朗日方程在其充分的一般性层次的二维系统，并构建一个多拉格朗日制定潜在的Korteweg-de Vries层次。
2015-10-13 math-ph math.MP math.SG
Lagrangian formulation of the Darboux system
Department of Applied Mathematics Ningbo University（宁波大学应用数学系）；Department of Mathematical Sciences Loughborough University（拉夫堡大学数学科学系）
本文提出达布系统的拉格朗日表述，并将其与KP层次结构的生成偏微分方程联系起来，同时构建了不同版本的拉格朗日形式。
2026-10-12 nlin.SI
Lagrangian 1-form structure of Calogero-Moser type systems
本文研究了Calogero-Moser（CM）型长程模型的拉格朗日1型结构的变分原理。多形式变分原理涉及场变量以及与多时间空间中的时间曲线的变形相对应的独立变量的变化。随后的广义欧拉-拉格朗日（gEL）方程包括一个系统的多时间EL方程，以及从所谓的“外来衍生物”和“角落方程”所产生的不同的坐标曲线上的变化如何匹配的约束。封闭关系，即EL系统解的Lagrange 1-形式的封闭性，保证了作用泛函在时间曲线变形下的平稳性，从而保证了相应的gEL系统的多维一致性。使用这作为拉格朗日水平上的可积性标准，我们将系统应用于拉格朗日分量的动力学形式上的一些ansätze，与CM类型的模型相关联，而不指定潜在的。我们表明，从这个可积性标准的一般椭圆形的三个系统，Calogero-Moser，Ruijsenaars-Schneider，金鱼系统，可以推导出来。我们扩展到相关的哈密顿形式主义的分析，通过诺特定理和应用勒让德变换。因此，多形式的变分原理导致一个系统的广义Hamilton方程描述的Hamilton交换流所提到的椭圆模型。
2024-10-21 math-ph math.MP nlin.SI
Continuum limits of pluri-Lagrangian systems
多拉格朗日（或拉格朗日多形式）结构是可积性的一个属性，主要是在多维一致格点方程的背景下研究的。它统一了多维的一致性与变分性质的方程。一个类似的连续结构存在于可积族的微分方程。本文提出了一个求解多拉格朗日系统的连续极限方法。在这个过程中，晶格参数被解释为Miwa变量，描述了一个特定的嵌入在连续多时间的网格上的离散系统的生活。然后，我们寻求微分方程的解决方案内插嵌入离散解决方案。用这种方法得到的连续系统是微分方程的级数。我们表明，这种连续极限也可以适用于相应的多拉格朗日结构。我们将我们的方法应用于离散Toda晶格和ABS列表中的方程H1和Q1 $_{δ= 0}$。
2019-02-21 math-ph math.MP nlin.SI
Hamiltonian structures for integrable hierarchies of Lagrangian PDEs
本文提出从多元拉格朗日表述中获取可积PDE层次哈密顿结构的程序，证明拉格朗日形式外微分与泊松括号的关联，并以Toda、开普勒及KdV等层次为例验证。
2021-09-09 math-ph math.MP nlin.SI
An integrable multicomponent quad equation and its Lagrangian formulation
我们提出了一个层次的离散系统，其第一个成员是晶格修改Korteweg-de Vries方程，晶格修改Boussinesq方程。层次结构中的第N个成员是定义在二维晶格中的基本元格上的N分量系统。该系统是多维一致的，并且是尊重这一特征的拉格朗日量，即，其具有所需的封闭性能。
2012-04-25 nlin.SI
A variational perspective on continuum limits of ABS and lattice GD equations
多拉格朗日结构是格方程和微分方程族的可积性的一个属性。它结合了多维一致性（在离散的情况下）或交换性的流动（在连续的情况下）的概念与变分原理。最近，我们开发了一个连续极限程序的多拉格朗日系统，我们现在适用于大多数的ABS列表和一些成员的格Gelfand-Dickey层次。我们获得了许多层次的可积偏微分方程的多拉格朗日结构，这种结构是以前未知的。这包括Krichever-Novikov层次，双层次的sine-Gordon和修改的KdV方程，和第一个例子的连续多分量pluri-Lagrange系统。
2019-06-03 nlin.SI
Two-dimensional variational systems on the root lattice $Q(A_{N})$
本文研究了根格点$Q(A_{N})$上的二维变分系统，即多拉格朗日系统。在这里，我们遵循的计划，这已经被用来定义二维多拉格朗日系统的晶格$\mathbb{Z}^{N}$和三维多拉格朗日系统的晶格$\mathbb{Z}^{N}$以及$Q(A_{N})$。我们将证明$Q(A_{N})$上的二维多拉格朗日系统比$\mathbb{Z}^{N}$上的二维多拉格朗日系统更一般，因为它们可以在$\mathbb{Z}^{N}$上编码几个不同的多拉格朗日系统。这也意味着，某些双曲型方程，所谓的四方程组的几个系统的变分公式，可以从一个和同一个多拉格朗日系统$Q(A_{N})$。
2016-01-20 math-ph math.MP math.SG
On the Lagrangian formulation of multidimensionally consistent systems
多维相容性已成为定义在“时空”格点上的偏差分方程（P $Δ$ Es）的一个关键可积性性质。它导致，在其他主要的见解，分类的标量仿射线性四边形P $Δ$ ES拥有这一属性，导致所谓的ABS列表。最近，一个新的变分原理已被提出，描述的多维一致性的离散拉格朗日多形式。这种描述是基于这些可积格点方程的拉格朗日量的一个基本的和高度非平凡的性质，即在相应的P $Δ$ E的解上，拉格朗日形式是封闭的，即它们服从{ \it封闭关系}。在这里，我们将这些结果扩展到连续的情况下：它是已知的，与可积的P $Δ$ ES存在系统的偏微分方程，实际上是微分方程的参数的晶格作为独立的变量，它同样具有属性的多维一致性。本文建立了仿射线性四元格的泛Lagrange结构和相应的连续偏微分方程的泛Lagrange多形式结构，并证明了Lagrange多形式具有封闭性.
2010-08-11 math-ph math.MP math.SG
Multi-time Lagrangian 1-forms for families of Bäcklund transformations. Relativistic Toda-type systems
我们建立了相对论Toda型系统的贝克隆变换族的复拉格朗日结构。关键的想法是一种新的嵌入这些离散时间（一维）系统到某些二维多拉格朗日晶格系统。这种嵌入使我们能够识别角方程（这是多时间欧拉-拉格朗日方程的主要组成部分）与局部叠加公式的贝克隆变换。这些叠加公式，反过来，是必要的理解和证明交换性的多值贝克隆变换的关键成分。此外，我们发现了一个二维推广的频谱属性已知的家庭的贝克隆变换。这一结果产生了一个家庭的局部守恒律的二维多拉格朗日格点系统，与密度的衍生物的离散2-形式相对于Bäcklund（谱）参数。因此，多元拉格朗日结构与更传统的可积性概念的关系被建立。
2014-08-11 math-ph math.MP nlin.SI
On the Lagrangian structure of Calogero's Goldfish model
离散时间有理Calogero的金鱼系统是由Anglesia拉克斯对得到的。该系统的离散时间拉格朗日量具有离散时间Calogero-Moser系统和离散时间Ruijsenaars-Schneider系统的离散时间1-形式结构。通过两步连续极限，得到了系统的拉格朗日级数。预期的是，系统的连续时间拉格朗日1-形式结构成立。此外，还建立了与格KP系统的联系。
2014-09-25 math-ph math.MP nlin.SI
A discrete time peakons lattice
本文介绍了Peakons格的一种离散化，它与连续时间系统属于同一层次。该构造举例说明了具有$r$ -矩阵Poisson括号的李代数系统的可积离散化的一般方案。差分方程的初值问题是用一个群分解问题来求解的。找到了插值哈密顿流，并给出了变分（拉格朗日）公式。
1995-12-01 nlin.SI solv-int
On the Lagrangian structure of integrable quad-equations
多维格上作用泛函的翻转不变性是离散可积系统的一个重要特征。Bazhanov、Mangazeev和Sergeev以及Lobb和Nijhoff证明了可积四元方程几种特殊情形的翻转不变性。我们提供了一个简单的和情况无关的证明所有可积的四元方程。此外，我们发现一个新的关系拉格朗日在一个基本的四边形，这似乎是一个基本的积木的各种版本的翻转不变性。
2010-02-21 math-ph math.MP nlin.SI
Continuous symmetries of Lagrangians and exact solutions of discrete equations
在离散时空中研究物理理论时遇到的困难之一是描述基本的连续对称性（如洛伦兹或伽利略不变性）。解决这个困难的方法之一是考虑点变换同时作用于差分方程和格。在前一篇文章中，我们已经分类了在点变换李群下不变的普通差分格式。本文研究标量单变量差分格式的不变拉格朗日形式。该方法用于获得第一积分和显式精确解的计划。考虑了在二维和三维拉格朗日对称群下不变的方程.
2003-07-23 math-ph math.MP nlin.SI
Discrete-time Ruijsenaars-Schneider system and Lagrangian 1-form structure
我们研究了（理性）Ruijsenaars-Schneider（RS）系统的拉格朗日形式主义，无论是在离散时间还是在连续时间，作为最近论文[24]意义上的拉格朗日1-形式结构的另一个例子。RS系统的离散时间模型是在一段时间前通过拉克斯对的一个Anonymous建立的，并被证明导致一个精确的可积对应（多值映射）[15]。在本文中，我们考虑了一个扩展系统表示家庭的这种类型的通勤流，并建立一个连接的格KP系统。在该扩展模型的拉格朗日1-形式结构中，利用运动方程验证了闭合关系。对RS系统进行连续连续极限，建立了RS模型相应连续情形的Lagrange 1-形式结构。
2013-06-25 math-ph math.MP nlin.SI
On the variational interpretation of the discrete KP equation
研究了离散Kadomtsev-Petviashvili（dKP）方程的变分结构，给出了其多拉格朗日形式.我们考虑了立方格点${\mathbb Z}^{N}$和根格点$Q(A_{N})$上的dKP方程及其变分形式。我们证明了，在至少4维的格上，相应的Euler-Lagrange方程等价于dKP方程。
2015-06-02 math-ph math.MP math.SG
