Operads of natural operations I: Lattice paths, braces and Hochschild cochains
Michael Batanin, Clemens Berger, Martin Markl
在这一系列的第一篇论文中，我们研究了Hochschild上链上的各种自然运算以及它们之间的关系。
In this first paper of a series we study various operads of natural operations on Hochschild cochains and relationships between them.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The lattice path operad and Hochschild cochains
我们介绍了两个有色操作集-格路径操作和循环扩张它-密切相关的迭代闭路空间和上链上的通用操作。作为主要应用，我们给出了一个$E_2$ -action的形式化构造（分别为.框架$E_2$ -作用）在结合的（相应地）Hochschild上链复形上的作用。对称Frobenius）代数。
Hochschild cochains as a Frobenius algebra
本文在群环k[G]的Hochschild上链上构造了一个Frobenius代数结构，它推广了HH^0（k[G]; k[G]）上的<1，2>拓扑量子场论的已知结构，k是场，G是有限群.卷积积在上链上扩展到同伦交换Gerstenhaber积，Frobenius余积在霍赫希尔德同调下扩展到链复形上的余积，并且Hochschild上存在满足Frobenius结合性的对偶.配对，但是，退化的某一子复杂的Hochschild上链。单纯上积下的群上同调的上链复形作为Gerstenhaber积下的Hochschild上链复形的同伦交换子代数出现。
The Hochschild cohomology ring of the singular cochain algebra of a space
确定了上同调为多项式代数的空间上系数在域上的奇异上链代数的Hochschild上同调的代数结构。一个谱序列计算的Hochschild上同调也被描述。特别地，当底层域的特征2，我们确定了相关的双阶Batalin-Vilkovisky代数结构上的Hochschild上同调的奇异上链的空间，其上同调是一个外代数。
Brace algebras and the cohomology comparison theorem
Gerstenhaber和Schack的上同调比较定理证明了一个代数的Hochschild复形与一个空间的奇异上链复形之间存在上链等价。我们表明，这个比较定理保持支撑代数结构。这个结果给出了最近的结果建立精细的拓扑结构的Hochschild上同调的结构原因，和一个简单的方法来获得它们从相应的性质的上链复形。
Hochschild and Simplicial Cohomology
研究了由相干上链产生的全$E_2$ -Hochschild上链复形的一个自然存在的$E_{\infty}$ -子代数.对于群环和某些范畴代数，这些上链检测$H^*(B {\cal{C}})$，即基础群或范畴的分类空间的单纯上同调，$\cal{C}$。在这种情况下，$B{\cal{C}}$上的上链的单纯上积与Gerstenhaber积一致，Steenrod上链的杯一积与pre-Lie积一致。我们把凝聚上链的概念推广到比范畴代数更一般的代数上，并把所得的上链称为自生成的。系数来自具有单位的交换环$k$，不一定是域。
Cyclic brace relation and BV structure on open-closed Hochschild cohomology
本文研究开闭同伦代数的Hochschild上同调，在循环且带单位的条件下，利用循环括号运算的上链级恒等式构造出BV代数结构。
Hochschild Cohomology, Monoid Objects and Monoidal Categories
本文进一步扩展了在arXiv：1605.00842中研究过的关于丰富于阿贝尔群的幺半范畴中的monoid对象的Hochschild上同调的范畴理论公式。该主题也在2019年4月伊朗伊斯法罕的ISCRA上提出。本文旨在给出Hochschild上链复形的一个更直观的形式，并将其推广到值为双模对象的Hochschild上同调.此外，在阿贝尔群范畴中，给出了Hochschild上链复形关于上单纯对象的等价形式.
Brace operations and Deligne's Conjecture for module-algebras
本文证明了模代数的Kaygun Hopf-Hochschild上链复形是一个带乘法的支撑代数。因此，（i）Deligne猜想的类似物对模代数成立，（ii）模代数的Hopf-Hochschild上同调具有Gerstenhaber代数结构。
A Comparison of Products in Hochschild Cohomology
我们将自由闭路空间映射（S^1，BG）上的奇异上链的Steenrod cup-i积转移到Hochschild的原上链复形Hom（k[G]^*，k[G]）上，定义了Hochschild上同调.这里G是一个离散群，k是一个任意的系数环，BG是G的分类空间.对于BG上的上链，证明了Gerstenhaber的上积与单纯上积一致，Gerstenhaber的pre-Lie积与Steenrod的cup-one积一致.因此，对于BG上支撑的上圈f和g，在Hochschild上同调中Gerstenhaber括号[f，g] = 0。这是解释的Batalin-Vilkovisky结构的Hochschild上同调k[G]。
Gerstenhaber algebra and Deligne's conjecture on Tate-Hochschild cohomology
利用非交换微分形式，构造了域上任意结合代数的奇异Hochschild上链复形。这个复形的上同调同构于Buchweitz意义下的Tate-Hochschild上同调。通过无刺仙人掌操作数的细胞链操作数的自然作用，引入了R。Kaufmann，在奇异Hochschild上链复形上，我们给出了Deligne猜想的一个证明.更具体地说，复形是小$2$ -圆盘操作数链的（dg）操作数上的代数。利用这一作用，我们还得到了奇异Hochschild上链复形具有$B$ -无穷代数结构，其上同调环是Gerstenhaber代数.受原有有限群的Tate上同调定义的启发，我们定义了一个广义的Tate-Hochschild复形，其中Hochschild链为负度，Hochschild上链为非负度.有一个自然的嵌入到奇异的Hochschild上链复形这个复杂的。在自内射代数的情况下，这个嵌入成为一个拟同构。特别地，对于一个对称代数，这使我们能够证明，配备了Gerstenhaber代数结构的Tate-Hochschild上同调环是Batalin-Vilkovisky代数。
Crossed interval groups and operations on the Hochschild cohomology
证明了Hochschild上同调自然运算的运算子B具有小盘奇异链运算子的同伦型。为了实现这一目标，我们引入了交叉区间群，并证明了B是同伦类型已知的算子T的一定交叉区间扩展。这就完成了几十年来对Hochschild上链复形代数结构的研究。
Combinatorial operad actions on cochains
通过对称群的棒构造，形成了一个经典的E-无穷运算。M. Barratt和P. Eccles在单纯集的上下文中，以便有一个类似的Milnor FK-建设无限闭路空间。证明了单纯集的正规上链复形上的结合代数结构推广到Barratt-Eccles运算上的代数结构.我们还证明了Barratt-Eccles算子上的微分分次代数构成一个闭模型范畴。类似的结果也适用于结合代数的正规化Hochschild上链复形。更确切地说，Hochschild上链复形是由Barratt-Eccles操作数的一个子操作数作用的，它等价于经典的小平方操作数。
Dyer-Lashof-Cohen operations in Hochschild cohomology
我们给出了Hochschild上同调中类似于双闭路空间中同调的运算的显式公式。作为推论，我们得到了任何有限特征的支撑代数都是限制李代数。
Hyper-commutative algebras and cyclic cohomology
本文介绍了Deligne-Mumford运算的链模型，它是通过对加框圆盘链模型中的圆进行同伦平凡化而形成的。然后，我们表明，根据退化的Hochschild循环上同调谱序列，一个已知的行动框架小磁盘上Hochschild上链升降机的行动，这个新的链模型。因此，我们建立同伦超交换代数结构的Hochschild和循环上链复形，我们解释的重力括号循环上同调作为障碍退化的谱序列。我们的结果给出的语言的变形复合体的循环操作。
Multivariable cochain operations and little n-cubes
这是对2001年6月4日首次发表的一篇论文的修订。它将出现在AMS杂志上。本文构造了一个自然作用于拓扑空间的正规上链$S^*X$的小$E_\infty$链运算$§$.对于每个$n$，我们还构造了一个子运算子$§_n$，它与小$n$ -立方运算子的归一化奇异链是准同构的. $n=2$的情况下，导致我们的Deligne的Hochschild上同调猜想的早期证明大大简化。
Differential calculus of Hochschild pairs for infinity-categories
本文给出了Hochschild上同调谱（上链复形）与霍赫希尔德同调谱对上的代数结构的一种新的概念性构造，它类似于流形上微积分的结构.这种代数结构是由Kontsevich和Soibelman引入的双色运算编码的。证明了对于一个稳定的幂等完备无穷范畴，它的Hochschild上同调谱和同调谱对自然地包含算子上代数的结构。此外，我们证明了一个推广的等变的情况下。
A solution of Deligne's conjecture
Deligne在1993年问是否Hochschild上链复形的结合环有一个自然的行动的奇异链的小2立方运算。本文对此问题给予肯定的回答。我们还证明了结合环谱的拓扑Hochschild上同调谱具有等价于小2-立方的运算作用。
Posets, their Incidence Algebras and Relative Operads, and the Cohomology Comparison Theorem
该研究深入探究 Gerstenhaber-Schack 上同调比较定理，证明其保持偏序集关联代数相关复形上的多种代数结构，为偏序集与拓扑学提供新联系。
Singular Hochschild cohomology and algebraic string operations
给定一个微分分次（dg）对称Frobenius代数$A$，我们构造了一个无界复形$\mathcal{D}^{*}(A,A)$，称为Tate-Hochschild复形，它是一个二重复形的总和，其中Hochschild链为负列，Hochschild余链为非负列.证明了复$\mathcal{D}^*(A,A)$计算$A$的奇异Hochschild上同调.在$\mathcal{D}^*(A,A)$上构造了一个循环（或Calabi-Yau）$A$ -无穷代数结构，它扩展了经典的Hochschild杯积和卡积，并构造了一个$L$ -无穷代数结构，它扩展了经典的Gerstenhaber括号.证明了上同调代数$H^*(\mathcal{D}^*(A,A))$是一个具有BV算子的Batalin-Vilkovisky（BV）代数，BV算子推广了Connes的边界算子.最后，我们证明了，如果两个Frobenius代数是准同构的dg代数，那么他们的Tate-Hochschild上同调是同构的，我们使用这个不变性的结果与串拓扑的Tate-Hochschild复杂。
A detailed look on actions on Hochschild complexes especially the degree $1$ co-product and actions on loop spaces
我们解释了我们以前的结果有关Hochschild行动[Kau 07 a，Kau 08 a]，特别是涉及到在[GH 09]中以不同形式出现的副产品，并提供了一个新的外观的结果。我们回顾了一般作用量，专门讨论了上述的余积，并证明了[Kau 08 a]中为了方便而作的交换性假设是不必要的。我们给出了详细的背景材料闭路空间，Hochschild复合物和对偶，并讨论了这些技术的细节和扩展工作的所有操作[Kau 07 a，Kau 08 a]。关于闭路空间，我们证明了，共-产品是很好地定义模常数循环和更进一步的情况下，一个分次Gorenstein Frobenius代数，共-产品是很好地定义在减少规范化Hochschild复杂。本文还讨论了“时间反转”对偶及其引起的几种运算同伦，给出了一种上同调运算，它是余积的反对称化的同伦。如果Frobenius代数是分次Gorenstein的，则在约化的归一化Hochschild复形上的障碍再次消失。进一步的结构，如“动画”和BV结构和着色的操作链和上链和Gerstenhaber双括号进行了简要的处理。
On the Hochschild homology of open Frobenius algebras
证明了$m$次对称开Frobenius代数$A$的移位Hochschild链复形$C\_*(A,A)[m]$具有自然同伦coBV-代数结构.因此，$HH\_*(A,A)[m]$和$HH^*(A,A^\vee)[-m]$分别是coBV和BV代数。基本的余代数和代数结构可能不一致。大写的和单数的。我们还在$C\_*(A,A)[m]$上引入了一个自然同伦BV-代数结构，从而在$HH\_*(A,A)[m]$上引入了BV-结构。证明了$HH\_*(A,A)[m]$上的积和余积满足Frobenius相容条件，即$HH\_*(A,A)[m]$是一个开Frobenius代数.如果$A$是交换的，我们还在移位的相对霍赫希尔德同调$\widetilde{HH}\_*(A)[m-1]$上引入了一个自然的BV结构。当$A$是$M$的交换上链代数模型时，我们猜想这个BV结构的乘积与自由环空间上同调的Goresky-Hingston \cite{GH}乘积相同.
On the cohomology algebra of free loop spaces
设$X$是单连通空间，$\Bbb K$是任意域.正规化奇异上链$N^*(X; {\Bbb K})$具有自然强同伦交换代数结构，它在空间$X$的霍赫希尔德同调调$HH_* N^*X$上诱导自然积.我们证明了，赋予这个产品，$HH_*N^*X$是同构的上同调代数的自由闭路空间的$X$与系数在$\Bbb K$。我们还展示了如何构建一个更简单的Hochschild复杂，允许直接计算。
The cyclic Deligne conjecture and Calabi-Yau structures
本文证明了循环Deligne猜想，指出配备Calabi-Yau结构的线性范畴的Hochschild上链具有framed $E_2$-代数结构，并应用于相对环路同调上的弦拓扑运算。
Deformations of algebras over operads and Deligne's conjecture
本文发展了算子和算子上代数的变形理论。自由分解（通过Boardman-Vogt方法构造）用于描述变形的形式模空间。我们应用一般理论证明了Deligne猜想。后者认为结合代数的Hochschild复形在小圆盘操作数的链操作数上具有dg-代数的标准结构。在证明的过程中，我们构建了一个操作的几何性质的Hochschild复杂的行为。它似乎不同于支撑操作数（后者用于以前的方法德利涅猜想）。从我们的结果可以得出，Grothendieck-Teichmüller群（同伦）作用在Hochschild复形上的2-代数的结构的模空间上。在附录中，我们发展了一个理论的分段代数链和形式。它适用于带角的实半代数流形（如点的配置空间的富尔顿-麦克弗森紧化）。
A combinatorial approach to Kontsevich's Swiss cheese conjecture
本文通过构造新的操作算子SC(P)和Hochschild对象，证明了当P为小n-盘操作算子时，SC(P)等价于瑞士奶酪操作算子SC_n，并应用此结果证明了交换代数的n阶Hochschild-Pirashvili余链上存在E_{n+1}-作用。
Proof of Swiss Cheese Version of Deligne's Conjecture
对于一个结合代数A，我们考虑“Hochschild上链复形C*（A，A）和代数A”这对.有一个自然的2色操作数作用于这对。我们表明，这个操作是准同构的奇异链操作的Voronov的瑞士奶酪操作。这个陈述是M. Kontsevich in arXiv：math/9904055.
Steenrod operations and Hochshild homology
设$X$是单连通空间，${\Bbb F}_p$是素域.正规化奇异上链$N^*(X; {\Bbb F}_p)$的代数存在一个自然同伦结构，它在空间$X$的霍赫希尔德同调$HH_* N^*(X;{\Bbb F}_p)$上诱导自然Steenrod运算.本文的主要目的是证明J.Jones同构$HH_*N^*(X;{\Bbb F}_p) \cong H ^*(X^{S^1};{\Bbb F}_p)$将这些Stenrood运算与定义在自由闭路空间上同调上的那些Stenrood运算等同起来，其中系数是${\Bbb F}_p$中的.本文的另一个目标是描述一个理论模型，允许做一些计算。
Maurer-Cartan Elements and Cyclic Operads
首先，我们认为，许多BV和同伦BV结构，包括熟悉的和新的例子，产生于一个共同的基础建设。这种构造的输入是一个循环操作数以及一个相关李代数中的循环不变的Maurer-Cartan元素。利用这一结果，我们介绍和研究循环不变运算的运算，与循环上同调和$S^1$等变同调中出现的实例。我们计算循环不变运算的同调;结果是$\mathcal{M}_{0,n+1}$的同调运算，穿孔黎曼球面的非紧化模空间，我们称之为格茨勒之后的重力运算。受Deligne猜想的启发，我们构造了“循环支撑操作”，将引力关系诱导到上链层次的同伦。受弦拓扑的启发，我们证明了这样一个引力-BV对与一个长正合序列有关。例子和影响进行了讨论的过程中。
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