Optimal Constant-Time Approximation Algorithms and (Unconditional) Inapproximability Results for Every Bounded-Degree CSP
Raghavendra（STOC 2008）给出了一个优雅而令人惊讶的结果：如果Khot的唯一博弈猜想（STOC 2002）为真，则对于每个约束满足问题（CSP），最佳逼近比可以通过一个简单的半定规划和一个舍入方案来获得。具体来说，我们提出了以下几点：（一）对于每个CSP，我们构建了一个预言服务的访问，在恒定的时间，一个接近最优的解决方案，一个基本的LP松弛的CSP。(ii)使用预言机，我们给出了一个常数时间舍入方案，实现了近似比与基本LP的完整性间隙相一致。(iii)最后，我们给出了一个通用的转换，从基本LP的完整性差距的硬度结果。所有这些结果均为\textit{unconditional}。因此，对于每一个有界度CSP，我们给出了最佳的常数时间近似算法。一个CSP实例被称为$ε$ -如果我们必须删除至少一个$ε$ -部分约束以使其可满足，则远非可满足。如果存在一个常数时间算法，该算法以至少$2/3$的概率区分可满足实例和$ε$ -远实例，则CSP被称为可测试的。利用上面的结果，我们还得到，在一个技术假设下，一个等价的条件下，CSP是可测试的有界度模型。
2010-10-29 cs.DS
Faster algorithm for Unique $(k,2)$-CSP
在$(k,2)$ -约束满足问题中，我们给出了对$(k,2)$-ary变量对的一组任意约束，并被要求找到这些变量的值分配，以便满足所有约束。$(k,2)$-CSP问题推广了$k$ -着色和$k$ -列表着色等问题。在唯一$(k,2)$-CSP问题中，我们增加了一个假设，即输入约束集最多有一个满意的分配。Beigel和Eppstein给出了一个$(k,2)$的算法-CSP在时间上运行$O\left(\left(0.4518k\right)^n\right)$用于$k>3$和$O\left(1.356^n\right)$用于$k=3$，其中$n$是变量的数量。Feder和Motwani改进了用于$k\geq 11$的Beigel-Eppstein算法。Hertli、Hurbain、Millius、Moser、Scheder和Szedl{á}k改进了每个$k\geq 5$的唯一$(k,2)$-CSP的这些界限。本文改进了Hertli等人的结果，得到了~ $k\geq 5$的Unique~ $(k,2)$-CSP的较好界.特别地，我们将Unique~ $(5,2)$ -CSP的运行时间从~ $O\left(2.254^n\right)$提高到~ $O\left(2.232^n\right)$，将Unique~ $(6,2)$ -CSP的运行时间从~ $O\left(2.652^n\righ…
2022-06-29 cs.DS
Tractable hypergraph properties for constraint satisfaction and conjunctive queries
约束满足问题研究中的一个重要问题是理解描述约束关联结构的图或超图对问题复杂性的影响。对于二进制CSP实例（即，其中每个约束仅涉及两个变量），情况很好理解：问题的复杂性基本上取决于约束图的树宽。然而，这是不正确的答案，如果约束与无限数量的变量是允许的，特别是，CSP实例所产生的查询评估问题，在数据库理论。形式上，如果H是一类超图，则令CSP（H）是限制于其超图在H中的实例的CSP。我们的目标是刻画那些类的超图，其中CSP（H）是多项式时间可解的或固定参数易处理的，参数化的变量的数量。注意，在与数据库查询评估相关的应用中，我们通常假设变量的数量远小于实例的大小，因此通过变量的数量进行参数化是一个有意义的问题。使CSP（H）多项式时间可解的H的最普遍的已知性质是有界分数超树宽度。本文引入了一个新的超图测度子模宽度，并证明了H的有界子模宽度蕴涵CSP（H）是固定参数易处理的。在匹配硬度的结果，我们表明，如果H有无界的子模宽度，那么CSP（H）是不是固定参数易处理的，除非指数时间假设失败。
2011-12-06 cs.CC cs.DB cs.DM
A Hypergraph Based Approach for the 4-Constraint Satisfaction Problem Tractability
约束满足问题（CSP）是一个用于建模和求解各种现实问题的框架。一旦问题被表示为一组有限的约束条件，目标就是找到满足这些约束条件的变量值。尽管这个问题一般是NP完全的，但有一些近似和实用的技术来解决它的棘手性。最广泛使用的技术之一是约束传播。它包括显式地排除某些变量的值或值的组合，只要它们使给定的约束子集不满足。本文讨论了一个CSP子类，我们称之为4-CSP，它的约束网络推导出以下形式的关系：$\{ x \sim α, x-y \sim β, (x-y) - (z-t) \sim λ\}$，其中$x, y, z$和$t$是实变量，$α, β$和$ λ$是实常数，$ \sim \in \{\leq , \geq \} $ .本文首先给出了4-CSP可处理性的图证明，并详细阐述了基于正线性依赖理论、超图闭包和约束传播技术的4-CSP求解算法。证明了求解算法的时间复杂度和空间复杂度均为多项式。
2019-05-22 cs.DM cs.DS cs.LO
On Diverse Solutions to Max-k-CSP and Bounded Degree k-SAT
Queens College, City University of New York（纽约市立大学皇后学院）；Rutgers University（罗格斯大学）
本文研究Max-k-CSP和有界度k-SAT的多样化解生成问题，针对约束多样性和变量多样性两种度量，设计了双准则近似算法，并在Lovász局部引理机制下证明了精确多样性问题的NP困难性及给出了多项式时间近似算法。
2026-09-29 cs.DS
Min-CSPs on Complete Instances
本文研究完全实例上的 Min-$k$-CSP，给出 Min-2-SAT 的常数近似算法，并刻画布尔及更大字母表 CSP 的准多项式可解性。
2024-10-24 cs.DS
3-Coloring in Time O(1.3289^n)
我们考虑NP完全问题的最坏情况时间界，包括3-SAT，3-着色，3-边着色和3-列表着色。我们的算法是基于这些问题的约束满足（CSP）制定。3-SAT等价于（2，3）-CSP，而上述其他问题是（3，2）-CSP的特殊情况;从（a，b）-CSP到（b，a）-CSP也有一个自然的对偶变换。我们给出了（3，2）-CSP的一个快速算法，并使用它来改善解决上述其他问题的时间界限。我们的技术涉及戴维斯-普特南风格的回溯与更复杂的匹配和网络流的想法的混合物。
2000-06-30 cs.DS
Improved Algorithms for 3-Coloring, 3-Edge-Coloring, and Constraint Satisfaction
我们考虑NP完全问题的最坏情况时间界，包括3-SAT，3-着色，3-边着色和3-列表着色。我们的算法是基于这些问题的约束满足（CSP）制定; 3-SAT是等价于（2，3）-CSP，而上述其他问题是（3，2）-CSP的特殊情况。我们给出了（3，2）-CSP的一个快速算法，并使用它来改善解决上述其他问题的时间界限。我们的技术涉及戴维斯-普特南风格的回溯与更复杂的匹配和网络流的想法的混合物。
2000-09-13 cs.DS
Robust algorithms with polynomial loss for near-unanimity CSPs
约束满足问题（CSP）的一个例子是由一个家庭的约束重叠的变量集，目标是从一个固定的域的变量，使所有的约束都得到满足的值。在优化版本中，目标是最大化满足的约束的数量。CSP的近似算法被称为鲁棒的，如果它输出满足任何$(1-\varepsilon)$-可满足实例上的约束的$(1-g(\varepsilon))$分数的分配，其中损失函数$g$使得$g(\varepsilon)\rightarrow 0$为$\varepsilon\rightarrow 0$。我们研究了CSP的鲁棒逼近性如何依赖于实例中允许的约束关系集，即所谓的约束语言。Barto和Kozik已经描述了所有允许鲁棒多项式时间算法（带有一些$g$）的约束语言，其中损失$g$的一般界是双指数的，特别是$g(\varepsilon)=O((\log\log(1/\varepsilon))/\log(1/\varepsilon))$。人们自然会问，什么时候可以实现更好的损失：特别是对于某个常数$k$的多项式损失$g(\varepsilon)=O(\varepsilon^{1/k})$。在本文中，我们认为CSP的约束语言具有近多态性。我们给出了两个具有多项式损失的随机鲁棒算法：一个适用于任何近似多态性，损失中的参数$k$依赖于域的大小和$Γ$中关系的arity，而另一个适用于一种特殊的三元近似操作，称为dual parallel，其…
2018-12-04 cs.CC cs.DS cs.LO
Certifiable Near-Optimality: A Simple Framework for Unifying Search and Refutation for (Semi)random CSPs
MIT（麻省理工学院）；The Institute for Advanced Study（普林斯顿高等研究院）；TTIC（东京工业计算中心）
该工作统一了随机CSP的反驳与搜索算法，证明它们均输出带证书的近似最优解，并针对半随机CSP及强污染模型设计了可证明最优的算法。
2026-10-01 cs.DS
Discovering Archipelagos of Tractability for Constraint Satisfaction and Counting
约束满足问题（CSP）是一个中心的、通用的计算问题，它为许多理论和实际应用提供了一个共同的框架。研究的中心线是确定CSP可以在多项式时间内求解的实例类，这些类通常被称为“易处理性岛”。为CSP定义易处理性岛的一个突出方法是将约束中可能出现的关系限制在一个固定的集合中，称为约束语言，而约束语言如果包含所有一元关系，则是保守的。本文讨论了CSP和#CSP的易处理性结果的一般限制，即它们仅适用于所有约束都属于单个易处理语言的情况（通常，两个易处理语言的联合是不可处理的）。我们表明，我们可以克服这一限制，只要我们保持一定的控制如何约束各种考虑听话的语言相互作用。为此目的，我们利用CSP实例的\emph{strong backdoor}的概念，如Williams等人（IJCAI 2003）所介绍的，它是一组变量，当实例化时，将实例移动到易处理的岛，即，到一个易于处理的实例类。在本文中，我们考虑强后门到\emph{scattered classes}，CSP实例组成的每个连接组件完全属于一些类从一个列表中的易处理的类。我们的主要结果是一个算法，给定一个CSP实例与$n$变量，发现在时间$f(k)n^{O(1)}$一个强大的后门到一个分散的类（与有限的保守约束语言列表）的大小$k$或正确地决定，没有这样的后门。
2015-07-20 cs.DS
Min-CSPs on Complete Instances II: Polylogarithmic Approximation for Min-NAE-3-SAT
本文针对完全实例上的 Min-NAE-3-SAT 问题提出了准多项式时间的多对数近似算法，通过交替使用条件化与阈值化的迭代舍入框架，首次在判定问题 NP-Hard 的 CSP 中实现该近似，并改进了现有判定算法。
2025-04-26 cs.DS
Optimal polynomial-time compression for Boolean Max CSP
在布尔最大约束满足问题- Max CSP $(Γ)$ -中，给定来自有限约束语言$Γ$的约束的加权应用的集合，在公共变量集上，并且目标是将布尔值分配给变量，使得满足的约束的总权重最大化。有一个优雅的二分法定理提供了一个标准$Γ$的问题是多项式时间可解的，并指出，否则它成为NP难。我们研究NP硬情况下，通过内核化的镜头，并提供了一个完整的表征最大CSP $(Γ)$的最佳压缩大小。也就是说，我们证明了最大CSP $(Γ)$参数化的变量$n$的数量是多项式时间可解的，或者存在一个整数$d \ge 2$依赖于$Γ$，使得1。\textsc{Max CSP$(Γ)$}的实例可以在多项式时间内压缩为具有$O(n^d\log n)$位的等效实例，2. Max CSP $(Γ)$不允许对$O(n^{d-ε})$位进行此类压缩，除非$\text{NP} \subseteq \text{co-NP} / \text{poly}$。我们的减少是基于解释约束多线性多项式结合框架的约束实现。作为我们的减少的另一个应用程序，我们揭示了解决最大CSP $(Γ)$的最佳运行时间之间的紧密联系。更确切地说，我们表明，获得的运行时间的形式$O(2^{(1-ε)n})$的特定类别的最大CSP是一样难突破这一障碍的最大$d$ -SAT的一些$d$。
2020-02-09 cs.CC cs.DS
Lower Bounds on Query Complexity for Testing Bounded-Degree CSPs
在本文中，我们考虑在有界度模型中测试CSP的查询复杂度的下限。首先，对于除\equ（其中$k\geq 3$）之外的任何"随机"谓词$P:{0,1}^{k} \to {0,1}$，我们证明了区分CSP（P）的可满足实例与实例$(|P^{-1}(0)|/2^k-ε)$的每个（随机）算法-远非可满足性需要$Ω(n^{1/2+δ})$查询，其中$n$是变量的数量，$δ>0$是依赖于$P$和$ε$的常数。这打破了一个自然的下限$Ω(n^{1/2})$，这是由生日悖论。我们还表明，每一个单侧误差测试需要$Ω(n)$查询这样的$P$。这些结果是遗传的，因为相同的结果适用于任何谓词$Q$，例如$P^{-1}(1) \subseteq Q^{-1}(1)$。对于EQU，我们给出了一个单侧错误测试器，其查询复杂度为$\tilde{O}(n^{1/2})$。此外，对于2-XOR（或等价于E2LIN2），我们显示了一个$Ω(n^{1/2+δ})$下界，用于区分$ε$-接近可满足性和$(1/2-ε)$-远离可满足性的实例。接下来，对于一般的k-CSP的二进制域，我们表明，每一个算法，区分可满足的实例$(1-2k/2^k-ε)$-远离可满足性需要$Ω(n)$查询。匹配的NP难度是未知的，即使假设唯一博弈猜想或$d$到$1$猜想。作为推论，对于具有$n$顶点和度界$d$的图上的最大独立集，我们证明了在因子$d/…
2010-07-19 cs.DS
On Exact Algorithms for Permutation CSP
在置换约束满足问题（置换CSP）中，我们给出了一组变量$V$和一组约束C，其中约束是V的元素元组。目标是找到变量的全序，$π : V \rightarrow [1,...,|V|]$，它满足尽可能多的约束。当$(v_1,v_2,...,v_k)$。如果所有约束最多涉及$k$元素，则实例具有元$k$。这个问题表达了各种排列问题，包括{ \sc反馈弧集}和{ \sc介数}问题。列出所有$n!$排列的简单算法需要$2^{O(n\log{n})}$时间。有趣的是，{ \sc Permutation CSP}对于arity 2或3可以通过Held-Karp型算法在时间$O^*(2^n)$中求解，但是对于arity至少4，没有已知的算法的运行时间明显优于$2^{O(n\log{n})}$。在本文中，我们通过证明{ \sc Arity 4 Permutation CSP}不能及时解决$2^{o(n\log{n})}$来解决这个问题，除非ETH失败。
2012-03-13 cs.CC cs.DS
Approximating CSPs with Outliers
约束满足问题（CSP）是理论计算机科学中普遍存在的问题。我们研究StrongCSP问题，即一个大的诱导子实例有一个令人满意的分配的情况。更正式地说，给定CSP实例$Ψ(V, E, [k], \{Π_{ij}\}_{(i,j) \in E})$，该实例由顶点集$V$、边集$E$、字母表$[k]$、每个$(i,j) \in E$的约束$Π_{ij} \subset [k] \times [k]$组成，该问题的目标是计算最大子集$S \subseteq V$，使得在$S$上导出的实例具有满足所有约束的分配。本文在StrongCSP框架下研究了当约束图满足弱扩张性质时，唯一对策的近似算法及相关问题.特别是，我们证明了，给定一个强唯一的游戏实例，其最佳解决方案$S^*$是支持一个定期的低阈值排名图，存在一个算法，运行在时间指数的阈值排名，并恢复一个大的可满足的子实例，其大小是独立的标签集的大小和最大程度的图。我们的算法结合了Barak-Raghavendra-Steurer（FOCS'11），Guruswami-Sinop（FOCS'11）的技术和几个新的想法，并在最优集的阈值秩中按时间指数运行。我们的算法的一个关键组成部分是一个新的阈值秩为基础的谱分解，这是用来计算一个“大”的诱导子图的“小”阈值秩;我们的技术建立在Oveis Gharan和Rezaei（SODA'17）的工作，可以独立的…
2022-05-23 cs.DS
The Power of the Combined Basic LP and Affine Relaxation for Promise CSPs
在约束满足问题（CSP）领域，承诺CSP是一个令人兴奋的新的研究方向。在promise CSP中，每个约束都有两种形式：“严格”和“弱”，在相关的决策问题中，必须区分能够满足所有严格约束和不能满足所有弱约束。Promise CSP最常被引用的例子是近似图着色问题-最近已经看到了令人兴奋的进展[BKO 19，WZ 20]，受益于基于“多态性”的Promise CSP的系统代数方法，该操作将每个约束的严格形式的元组映射到相应弱形式的元组。在这项工作中，我们提出了一个简单的算法，在多项式时间解决了所有承诺CSP，承认无限多的对称多态性，这是在任意坐标排列不变的决策问题。这概括了前两位作者的工作[BG 19]。我们还将该算法扩展到更一般的块对称多态性类。作为一个推论，这个单一的算法解决所有多项式时间听话的布尔CSP同时。这些结果提供了一个新的视角Schaefer的经典二分法定理，并进一步阐明对称性的多态性如何使算法。最后，我们表明，块对称多态性不仅是充分的，而且是必要的，这种算法的工作，从而建立其精确的权力
2020-09-18 cs.CC cs.DS cs.LO
Strongly Refuting Random CSPs Below the Spectral Threshold
随机约束满足问题（CSP）具有阈值现象：给定一个具有$n$变量和$m$子句的CSP的均匀随机实例，存在一个$m = Ω(n)$值，超过该值，CSP将以高概率不可满足。强反驳是证明没有变量赋值满足超过子句的常数部分的问题;这是在不可满足状态下的自然算法问题（当$m/n = ω(1)$时）。随着子句密度$m/n$的增长，直观的强反驳应该变得更容易，因为随机子句引入的矛盾变得更加局部明显。对于诸如$k$-SAT和$k$-XOR之类的CSP，在已知有效强反驳算法的子句密度$m/n \ge \widetilde O(n^{k/2-1})$与实例以高概率变得不可满足的子句密度$m/n = ω(1)$之间存在长期存在的差距。在本文中，我们给出了谱和平方和算法的强反驳随机$k$-XOR实例的子句密度$m/n \ge \widetilde O(n^{(k/2-1)(1-δ)})$在时间$\exp(\widetilde O(n^δ))$或在$\widetilde O(n^δ)$轮的平方和层次，任何$δ\in [0,1)$和任何整数$k \ge 3$。我们的算法提供了一个平稳过渡的子句密度在多项式时间算法是已知的$δ= 0$，和蛮力反驳在满足性阈值时，$δ= 1$。我们还利用我们的$k$-XOR结果获得强反驳算法SAT（或任何其他布尔CSP）在类似的子句密度。我们的算法匹配已知的平方和下限由于Grigo…
2016-11-03 cs.CC cs.DS
Approximation Algorithm for Non-Boolean MAX k-CSP
在本文中，我们提出了一个随机多项式时间近似算法的k-CSPd。在k-CSPd中，我们给出了一组在大小为d的字母表上的元数为k的谓词。我们的目标是找到一个分配，最大限度地满足约束的数量。我们的算法具有近似因子Omega（kd/d^k）（当k > Ω（log d））。假设唯一博弈猜想，这个界是渐近最优的。已知的最佳算法具有近似因子Omega（k log d/d^k）。我们还给出了一个近似算法的布尔MAX k-CSP 2问题略有改进的近似保证。
2012-06-15 cs.DS
An Algorithmic Blend of LPs and Ring Equations for Promise CSPs
承诺CSP是一个放松的约束满足问题，其目标是找到一个分配满足放松版本的约束。几个著名的问题可以转换为承诺CSP，包括近似图着色，差异最小化，和有趣的可满足性的变体。与CSP类似，Promise CSP的易处理性可以与解空间上的操作结构（称为多态性）联系在一起，尽管在Promise世界中这些操作的约束要少得多。在非平凡多态性支配易处理性的论点下，承诺CSP因此为发现新算法提供了肥沃的土壤。在以前的工作中，我们分类布尔承诺CSP时，约束谓词是对称的。在这项工作中，我们大大推广这些算法的结果。具体来说，我们表明，承诺CSP承认家庭的“区域周期性”的多态性是在P，假设确定哪个区域的一个点是在多项式时间计算。这种多态性是相当普遍的，并且通过将在输入的不同块中的汉明权重中具有周期性的几个函数粘合在一起来获得。我们的算法是基于一种新的组合的线性规划和解决线性系统的环。我们还抽象了一个框架的基础上减少承诺CSP的CSP在一个无限的域，解决它，然后四舍五入的解决方案的承诺CSP实例的分配。舍入步骤与多态性家族密切相关，并澄清了多态性与算法之间的联系。作为一个关键的成分，我们介绍的技术，找到一个解决方案的线性规划与整数系数，位于不同的环（如$\mathbb Z[\sqrt{2}]$），以绕过临时调整躺在一个舍入边界。
2018-07-13 cs.CC cs.DS cs.LO
New Algorithms and Hardness Results for Robust Satisfiability of (Promise) CSPs
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；TU Graz（格拉茨工业大学）；Simons Institute and UC Berkeley（西蒙斯研究所和加州大学伯克利分校）；University of Chicago（芝加哥大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文提出了针对承诺CSPs鲁棒可满足性的新算法，并在UGC假设下证明了相关结果。
2026-02-10 cs.CC cs.DS cs.LO
