Well-Formed Separator Sequences, with an Application to Hypergraph Drawing
给定一个超图$H$，平面支撑问题是问是否存在一个平面图$G$与$H$在同一顶点集上，使得每个超边导出$G$的一个连通子图.平面支持的动机是在图形绘制和数据可视化的应用程序。我们发现，平面支持是固定参数听话时，参数化的超边的数量在输入超图和外平面数寻求平面图。为此，我们开发了新的结构结果$r$ -outerplanar三角磁盘，表明他们承认序列的分离器的结构特性，使数据减少。这使我们能够获得一个平面支撑的问题核，从而显示其固定参数的易处理性。
2015-07-09 cs.DM math.CO
New Limits of Treewidth-based tractability in Optimization
在优化问题中追求易处理性时，经常寻求稀疏结构。它们被利用从理论和计算的角度来处理复杂的问题，成为可管理的稀疏时，存在。树宽是这种结构的一个例子：这是一个图论参数，用来衡量一个图有多“像树”。几十年来，这个参数一直被用来分析各种优化问题的复杂性，并为这个参数有界的问题获得易于处理的算法。这项工作的目标是有助于理解的限制，基于树宽的易处理性优化。我们的结果如下。首先，我们证明，在一定意义上，已经知道的积极的结果扩展复杂性的基础上，低树宽是最好的可能。其次，在温和的假设下，我们证明了树宽是唯一的图论参数，产生易处理的广泛的一类优化问题，一个众所周知的事实，在机器学习的图形模型和约束满足问题，在这里，我们扩展到近似设置优化。
2019-03-20 cs.CC cs.DM
Phase transitions in the $q$-coloring of random hypergraphs
本文研究了随机超图着色问题的解的结构以及当约束密度变化时它们所经历的相变。超图着色是一个约束满足问题，其中每个约束包括$K$变量，这些变量必须以没有单色约束的方式被分配$q$颜色中的一种，即在属于每个约束的变量集合中至少有两种不同的颜色。这个问题推广了随机图的自然着色（$K=2$）和随机超图的双着色（$q=2$），这两个问题在过去的工作中得到了广泛的研究.随机超图着色的研究使我们可以得到变量定义域的大小$q$和约束的个数$K$都可以任意改变的情形。我们的工作提供了明确的价值观和预测的一些相变，发现在其他约束满足问题，但从来没有评估超图着色。在其他情况下，我们重新审视超图双着色问题（$q=2$），我们发现，对于$K=3$和$K=4$的着色性阈值是不是由一步复制对称破缺分析，因为后者是不稳定的，对更多的复本对称性破缺水平。我们还揭示和讨论的情况下，$q=2$，$K \ge 4$的两个不同的1 RSB解决方案的共存。最后，我们提出了渐近展开的密度的限制，在那里发生各种相变，在极限$q$和/或$K$发散。
2017-07-06 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech cs.DM
Biased measures for random Constraint Satisfaction Problems: larger interaction range and asymptotic expansion
我们研究了一个典型的随机约束满足问题，双着色的$k$ -均匀随机超图，当它的解决方案是加权非均匀的，软之间的相互作用属于不同的超边的聚类过渡。我们表明，过渡的阈值$α_{\rm d}(k)$可以进一步增加相对于一个受限制的相互作用内的hyperedges，并执行渐近扩展的$α_{\rm d}(k)$在大$k$限制。我们发现，$α_{\rm d}(k) = \frac{2^{k-1}}{k}(\ln k + \ln \ln k + γ_{\rm d} + o(1))$，其中常数$γ_{\rm d}$是严格大于一致措施的解决方案。
2020-09-04 cond-mat.dis-nn cs.DM math.PR
Reconstruction and Clustering in Random Constraint Satisfaction Problems
随机情况下的约束满足问题（CSP的）似乎是很难的所有已知的算法，当每个变量的约束数位于一定的区间。贡献的可满足制度的CSP的解决方案空间的结构的一般理解，我们制定了一套自然的技术条件上的一个大家庭（随机）CSP的，并证明了边界上的三个最有趣的阈值的密度这样一个合奏：即可满足性阈值，用于解空间聚类的阈值，以及CSP上的适当重建问题的阈值。当每个子句中的自由度的数量不同时，边界变得渐近紧。这些族是足够一般的，以包括通常研究的问题，如，随机的情况下，不全-SAT，k-XOR公式，超图2-着色，和图k-着色。一个重要的新成分是一个条件，涉及傅立叶展开的条款，其特点是类问题具有类似的阈值结构。
2009-04-17 cs.DM
Inapproximability of counting hypergraph colourings
最近的发展，在近似计数取得了惊人的进展，在发展快速算法的方法来近似的解决方案的数量约束满足问题（CSP）与大的arities，使用连接到Lovasz局部引理。然而，这些方法的边界与非布尔域的CSP没有很好地理解。我们在本文中的目标是填补这一空白，并通过研究这类CSP，超图着色的原型问题，获得强不可逼近的结果。更准确地说，我们主要研究了度有界的$Δ$的$K$ -一致超图的$q$ -着色的近似计数问题.如果$Δ\lesssim \frac{q^{K/3-1}}{4^KK^2}$（Jain，Pham和Vuong，2021; He，Sun和Wu，2021），则存在有效算法。然而，令人惊讶的是，硬度界限甚至不知道更容易的问题，找到着色。对于计数问题，情况甚至更不清楚，没有证据表明正确的常数控制$K$的指数增长。为此，我们首先建立，对于一般的$q$计算硬度找到一个简单的着色/线性超图发生在$Δ\gtrsim Kq^K$，几乎匹配的算法从Lovasz局部引理。我们的第二个和主要的贡献是获得一个更精细的计数问题，远远超出了硬度找到一个着色，我们猜想是渐近紧（常数因子）。我们特别表明，对于所有甚至$q\geq 4$它是NP-难近似的着色数时，$Δ\gtrsim q^{K/2}$。
2022-08-20 cs.CC cs.DM cs.DS
Biased landscapes for random Constraint Satisfaction Problems
约束满足问题（CSP）的典型复杂性可以通过随机集成的实例来研究。后者表现出许多阈值现象，除了他们的可满足性相变，特别是聚类或动态相变（涉及到树重建问题），他们的典型解决方案粉碎成断开组件。在本文中，我们研究了这种现象的演变下的偏见，打破了一个CSP实例的解决方案之间的一致性，集中在双着色的k-均匀随机超图。我们表明，对于小k的聚类过渡可以延迟以这种方式更高密度的约束，这种策略对模拟退火算法的性能有积极的影响。我们的特点是适度的增益，可以预期在大k限制从这里研究的偏置思想的简单实现。本文还包含一个贡献的方法论性质，作出了审查和扩展的方法来确定数值的不连续动态过渡阈值。
2019-03-08 cond-mat.dis-nn cs.DM math.PR
Frozen variables in random boolean constraint satisfaction problems
我们确定了确切的冻结阈值，r^f，随机布尔约束满足问题，包括NAE-SAT和超图2-着色，当约束的大小是足够大的一个家庭的模型。如果我们族中随机CSP F的约束密度大于r^f，那么对于F的几乎每个解，线性数量的变量被冻结，这意味着它们的颜色不能通过一系列改变而改变，其中我们一次改变o（n）个变量，总是切换到另一个解。如果约束密度小于r^f，则几乎每个解都有o（n）个冻结变量。冻结是聚类现象的一个关键部分，这是由统计物理学的非严格技术假设的。对聚类的理解导致了高级统计学的发展，如调查传播。有人认为冻结阈值是一个精确的算法障碍：对于低于r^f的密度，随机CSP可以用非常简单的算法求解，而对于高于r^f的密度，需要更复杂的技术来处理冻结的簇。
2012-09-21 cs.DM math.CO
A complexity dichotomy for hypergraph partition functions
研究了从$r$ -一致超图$G$到对称$r$ -元关系$H$的同态计数的复杂性.我们给出了一个二分法定理$r>2$，显示为$H$这个问题是在FP和为$H$它是#P-完全的。这推广了Dyer和Greenhill（2000）关于$r=2$情形的定理，它对应于计数图同态。我们的二分法定理扩展到关系$H$是加权的情况，目标是计算\emph{partition function}，这是同态的权重之和。这个问题的动机是统计物理学，它产生于计算粒子模型的配分函数，其中$r$位点的某些组合对称地相互作用。在加权情况下，我们的二分法定理推广了Bulatov和Grohe（2005）关于图的结果，其中$r=2$。当$r=2$时，二分法的多项式时间情况简单地对应于秩1权重。令人惊讶的是，对于所有的$r>2$，二分法的多项式时间情况具有更多的结构。事实证明，权重必须叠加在由阿贝尔群上的方程的解定义的组合结构上。我们的结果也给出了一个二分法密切相关的约束满足问题。
2010-01-01 cs.CC cs.DM
The asymptotics of the clustering transition for random constraint satisfaction problems
当随机约束满足问题的约束密度变化时，随机约束满足问题表现出多个相变.这些阈值现象之一，称为聚类或动态转换，对应于称为树重建的信息理论问题的转换。在这篇文章中，我们研究了两个CSP的阈值，即双染色的$k$ -均匀超图的密度$α$的约束，和$q$ -染色的随机图的平均度$c$。我们发现，在大的$k,q$限制的聚类过渡发生$α= \frac{2^{k-1}}{k} (\ln k + \ln \ln k + γ_{\rm d} + o(1))$，$c= q (\ln q + \ln \ln q + γ_{\rm d}+ o(1))$，其中$γ_{\rm d}$是两个模型相同的常数。我们通过函数方程描述$γ_{\rm d}$，数值求解后者以估计$γ_{\rm d} \approx 0.871$，并获得解析下界$γ_{\rm d} \ge 1 + \ln (2 (\sqrt{2}-1)) \approx 0.812$。我们的分析揭示了一个微妙的相互作用的聚类过渡与刚性（天真的重建）阈值，发生在相同的渐近规模在$γ_{\rm r}=1$。
2020-06-03 cond-mat.dis-nn cs.DM math.PR
Promise Constraint Satisfaction: Algebraic Structure and a Symmetric Boolean Dichotomy
Schaefer（1978）的一个经典结果将布尔域上的所有约束满足问题（CSP）分类为$\mathsf{P}$或$\mathsf{NP}$ -难问题。本文考虑了一个承诺问题的变种CSP称为PCSP。在约束对$Γ$的有限集合上的PCSP由具有相同变量集合的CSP对$(Ψ_P, Ψ_Q)$组成，使得对于每个$(P, Q) \in Γ$，当且仅当$Q(x_{i_1}, ..., x_{i_k})$是$Ψ_Q$的子句时，$P(x_{i_1}, ..., x_{i_k})$是$Ψ_P$的子句。承诺问题$\operatorname{PCSP}(Γ)$是在给定$(Ψ_P, Ψ_Q)$的情况下，区分$Ψ_P$可满足和$Ψ_Q$不可满足的情况。许多自然界的问题，包括近似图和超图着色，都可以放在这个框架中。本文的动机是追求理解布尔承诺CSP的计算复杂性。作为我们的主要结果，我们表明，$\operatorname{PCSP}(Γ)$表现出二分法（它是多项式时间可解或$\mathsf{NP}$硬）时，在$Γ$的关系是对称的，并允许否定的变量。我们通过扩展Austrin，Guruswami和Håstad [FOCS '14]的弱多态性框架来实现我们的二分法，该框架本身就是研究CSP的代数方法的推广。在我们的证明的算法和硬度部分，我们采用了新的想法和技术没有利用在CSP的情况下。此外，我们表明，任何承诺CSP…
2021-05-06 cs.CC cs.DM cs.LO
Graph Homomorphisms and Universal Algebra
Institut für Algebra, TU Dresden（德累斯顿工业大学代数研究所）
课程探讨有限域约束满足问题的计算复杂性，重点介绍循环项和有界宽度定理，以图同态问题为切入点，分析多项式时间可解与NP难之间的边界。
2026-09-15 cs.CC cs.DM math.LO
Upper bounds on the $2$-colorability threshold of random $d$-regular $k$-uniform hypergraphs for $k\geq 3$
本文研究了随机$d$-正则$k$-均匀超图$2$-着色与随机$d$-正则$k$-NAE-SAT模型，针对所有$k\geq 3$证明了显式可满足性上界$d_{\ast}(k)$，该上界与统计物理学预测吻合且在$k$足够大时与已知阈值一致。
2023-08-03 cs.DM math-ph math.CO
The set of solutions of random XORSAT formulae
异或可满足性（XORSAT）问题要求找到满足$m$异或（XOR）子句的$n$布尔变量的赋值，由此每个子句约束变量的子集。我们考虑随机XORSAT实例，从包含$n$变量和大小为$k$的$m$子句的公式集合中随机均匀抽取。该模型与其他约束满足问题的集合，如$k$ -可满足性（$k$ -SAT），超图双着色和图着色，具有一些结构上的相似性。对于许多这样的集合，随着每个变量的约束数量的增加，解的集合分解成指数数量的分离良好的分量。这种现象似乎与解决此类问题的随机实例的困难有关。我们证明了随机$k$ -XORSAT的这种聚类相变的完整表征。特别是，我们证明了聚类阈值是尖锐的，并确定其确切的位置。我们证明了一组解决方案具有较大的电导低于此阈值，每个集群具有较大的电导高于相同的阈值。我们的证明构造了一个非常稀疏的基础的解决方案（或集群内的子集）。这种构造与与$k$ -XORSAT实例相关的超图的特定子图的构造密切相关。为了研究这类子图，我们建立了新的局部弱收敛结果。
2015-09-09 cond-mat.dis-nn cs.DM math.PR
The complexity of Boolean surjective general-valued CSPs
值约束满足问题（VCSPs）是离散优化问题，其目标函数为固定值函数之和的$(\mathbb{Q}\cup\{\infty\})$值。在布尔满射VCSP中，变量采用来自$D=\{0,1\}$的标签，并且需要最优分配来使用来自$D$的两个标签。例子包括经典的全局最小割问题和编码理论中研究的最小距离问题。我们建立了一个二分法定理，从而给出了一个完整的布尔满射VCSP的精确可解性的复杂性分类。我们的工作推广的二分法的$\{0,\infty\}$值约束语言（对应满射决策CSP）得到的Creameru和Hébrard。对于$\mathbb{Q}_{\geq 0}$ -值满射VCSP的最大化问题，我们还建立了一个关于可逼近性的二分法。与布尔满射（决策）CSP的情况不同，出现了一种新的易处理的语言类，在非满射设置中是平凡的。这个新发现的易处理类有一个有趣的数学结构，与沮丧和沮丧有关。我们的主要贡献是识别这个类，并证明它位于易处理的边界上。我们的证明的一个关键部分是一个多项式时间算法枚举所有接近最优的解决方案的广义最小割问题，这可能是独立的利益。
2018-09-09 cs.CC cs.DM
