Minimizing fractional harmonic maps on the real line in the supercritical regime
本文讨论了从区间到光滑流形的$s\in(0,1/2)$阶分数调和映射极小化的正则性问题。对一般目标建立了远离局部有限集的Hölder连续性。如果目标是标准球体，那么Hölder连续性处处成立。
2017-10-13 math.AP
Random data Cauchy theory for supercritical wave equations I: Local theory
研究了三次非线性波动方程强解的局部存在性，其中$M$是三维紧致黎曼流形，数据在$H^s(M)$，$s<1/2$中.这个问题是超临界的，可以证明是强不适定的（在阿达玛意义上）。然而，经过一个适当的随机化，我们能够构建局部强解的$H^s(M)$，其中$s\geq 1/4$的情况下，无边界流形和$s\geq 8/21$的情况下，带边流形的初始数据的大集合。
2007-07-10 math.AP
Symmetries, Hopf fibrations and supercritical elliptic problems
本文研究了半线性椭圆边值问题\[ -Δu=\left\vert u\right\vert ^{p-2}u\text{ in }Ω,\text{\quad }u=0\text{ on }\partialΩ, \]在$\mathbb{R}^{N}$的有界光滑区域$Ω$中的超临界指数$p>\frac{2N}{N-2}.$的存在性。一种方法已成功地应用于研究这个问题，包括在减少它到一个更一般的临界或亚临界问题，无论是考虑旋转对称性，或通过地图保留拉普拉斯算子，或两者的组合。本文的目的是说明这种方法，提出了一个选择最近的结果，它是用来建立存在性和多重性或研究的浓度行为的解决方案在超临界指数。
2015-01-14 math.AP
Hölder continuity of solutions of supercritical dissipative hydrodynamic transport equations
研究了具有超临界耗散的准地转（QG）型方程（$α<1/2$）弱解的正则性$(-Δ)^α$。本研究的动机是最近的工作Caffarelli和Vasseur，其中他们研究的关键（$α= 1/2$）QG方程\cite{CV}的整体正则性问题。他们的方法依次增加了Leray-Hopf弱解的正则性水平：从$L^2$到$L^\infty$，从$L^\infty$到Hölder（$C^δ$，$δ>0$），从Hölder到经典解。在超临界情况下，Leray-Hopf弱解仍然可以被证明是$L^\infty$，但似乎他们的方法不能很容易地扩展到建立$L^\infty$解的Hölder连续性。为了使他们的方法起作用，我们要求速度在赫尔德空间$C^{1-2α}$中。从$C^δ$和$δ>1-2α$开始，可以通过Besov空间技术建立更高的正则性，并将在其他地方介绍\cite{CW6}。
2007-10-28 math.AP
Loss of regularity for supercritical nonlinear Schrodinger equations
考虑具有散焦、光滑、非线性的非线性薛定谔方程。在临界Sobolev正则性之下，已知柯西问题是不适定的。我们证明，这是更糟糕的：有规律性的损失，在相同的精神，由于G.勒博在波动方程的情况下的结果。我们使用一个各向同性的变量变量变换，这减少了一个超临界WKB分析的问题。对于超立方，光滑的非线性，这种分析是新的，并依赖于一个调制的能量功能的介绍一拉Brenier。
2008-02-26 math.AP
A mass supercritical problem revisited
在任意维$N\geq1$中，对于给定的质量$m>0$，我们重新讨论了具有$L^2$约束的非线性标量场方程：$$ -Δu=f(u)-μu, \quad u \in H^1(\mathbb{R}^N) \quad \text{with} \quad \|u\|^2_{L^2(\mathbb{R}^N)}=m. $$，其中$μ\in\mathbb{R}$将作为拉格朗日乘子出现。仅假设非线性$f$是连续的，满足弱质量超临界条件，我们证明了基态的存在，并揭示了基态能量$E_m$随$m>0$变化的基本行为.特别是，为了克服紧凑性问题时，寻找基态，我们开发了强大的参数，我们相信这将允许治疗其他$L^2$约束的问题，在一般质量超临界设置。在同样的假设下，我们还得到了任意$N\geq2$的无穷多个径向解，并建立了当$N\geq4$ .最后，我们提出了两个开放的问题。
2020-03-29 math.AP
Well-posedness of the supercritical Lane-Emden heat flow in Morrey spaces
对于任何光滑有界域$Ω\subset\mathbb R^n$，$n\geq 3$，和任何指数$p>2^*=2n/(n-2)$，我们研究了$Ω\times]0,\infty[$上的Lane-Emden热流$u_t-Δu = |u|^{p-2}u$，并建立了Morrey空间$L^{2,λ}(Ω)$中具有适当小的初始数据$u\big|_{t=0}=u_0$的初值问题的局部和全局适定性结果，其中$λ=4/(p-2)$。我们将我们的结果与在这个空间中的某些大数据的流的瞬时完全爆破的结果进行对比，类似于Galaktionov-Vazquez在$\mathbb R^n$上的Lane-Emden流的不适定性结果。
2015-11-24 math.AP
Supercritical geometric optics for nonlinear Schrodinger equations
研究了一类具有散焦、光滑、非线性项的非线性薛定谔方程的小时间半经典极限。对于超立方非线性，由于真空的存在，极限系统不是直接双曲的。为了克服这个问题，我们引入新的未知函数，这是定义在波函数本身的非线性。这种方法提供了一个本地版本的调制能量功能介绍Y. Brenier。我们得到的系统是双曲对称的，WKB分析的理由如下。
2007-04-27 math-ph math.AP math.MP
On supercritical elliptic problems: existence, multiplicity of positive and symmetry breaking solutions
我们目前的工作的主旨是利用一个给定的问题，以获得改进的超临界问题的紧性，并证明存在新类型的解决方案的非常具体的特点。为此，我们将发展一种变分机制，以构造一大类超临界椭圆型偏微分方程的新型经典解。对称性和对称性破缺的问题是数学和物理学中具有挑战性和基础性的问题。对称性破缺是许多有趣的现象，即相变，不稳定性，隔离等的来源，作为我们的研究结果的结果，我们将建立几个对称性破缺解决方案的存在时，基本问题是完全对称的。我们的方法是变分的，我们不寻求非对称的解决方案，从对称的分叉。相反，我们构造了许多新的正解，通过发展一个极小化极大原理一般半线性椭圆问题限制到一个给定的凸子集，而不是整个空间。作为我们研究的一个副产品，几个新的Sobolev嵌入的函数具有轻度单调对称单调域上建立。
2022-06-26 math.AP
Supercritical Moser-Trudinger inequalities and related elliptic problems
给定$α>0$，我们建立了以下两个超临界Moser-Trudinger不等式：\[ \sup\limits_{u \in W^{1,n}_{0,{\rm rad}}(B): \int_B |\nabla u|^n dx \leq 1} \int_B \exp\big( (α_n + |x|^α) |u|^{\frac{n}{n-1}} \big) dx < +\infty \]和\[ \sup\limits_{u\in W^{1,n}_{0,{\rm rad}}(B): \int_B |\nabla u|^n dx \leq 1} \int_B \exp\big( α_n |u|^{\frac{n}{n-1} + |x|^α} \big) dx < +\infty, \]，其中$W^{1,n}_{0,{\rm rad}}(B)$是具有$n\geq 2$的$\mathbb R^n$中$B$上径向对称函数的通常索伯列夫空间.在不限于函数类$W^{1,n}_{0,{\rm rad}}(B)$的情况下，我们应该强调上述不等式在$W^{1,n}_{0,{\rm rad}}(B)$中失败。还研究了上述不等式的尖锐性和最优函数的存在性问题。为了说明这一发现，应用到一类球上的边值问题。这是第二部分，在一组我们的工作有关的功能不平等的超临界政权。
2019-05-06 math.AP math.CA math.FA
The well-posedness, ill-posedness and non-uniform dependence on initial data for the Fornberg-Whitham equation in Besov spaces
本文首先在超临界Besov空间$B^s_{p,r},\ s>1+\frac{1}{p},\ 1\leq p,r\leq+\infty$和临界Besov空间$B^{1+\frac{1}{p}}_{p,1},\ 1\leq p<+\infty$中建立了Fornberg-Whitham方程的局部适定性（存在唯一性和连续依赖性），改进了以前的工作\cite{y2,ho,ht} .然后证明了在超临界Besov空间$B^s_{p,r},\ s>1+\frac{1}{p},\ 1\leq p\leq+\infty,\ 1\leq r<+\infty$和临界Besov空间$B^{1+\frac{1}{p}}_{p,1},\ 1\leq p<+\infty$中解对初值的非一致连续依赖性.最后，我们证明了解是不适定的$B^σ_{p,\infty}$与$σ>3+\frac{1}{p},\ 1\leq p\leq+\infty$。
2021-07-22 math.AP
Supercritical blowup in coupled parity-time-symmetric nonlinear Schrödinger equations
证明了两个耦合的非线性薛定谔（NLS）方程的宇称时间对称系统的有限时间超临界爆破。其中一个方程包含增益，另一个方程包含耗散，使得增益和耗散的强度相等。我们处理两种情况：在第一种模型中，所有非线性系数（即描述自作用和非线性耦合的系数）对应于吸引（聚焦）非线性，在第二种情况下，具有增益的NLS方程具有吸引非线性，而具有耗散的NLS方程具有排斥（散焦）非线性，非线性耦合也是排斥的。证明是基于维里技术参数。几个特殊的情况下，也说明了数字。
2014-07-15 math.AP physics.optics
A supercritical Sobolev type inequality in higher order Sobolev spaces and related higher order elliptic problems
在$\mathbb R^n$，$n\geq 3$中的单位球$B$上的径向对称函数的Sobolev型嵌入到变指数Lebesgue空间$L_{2^\star + |x|^α} (B)$，$2^\star = 2n/(n-2)$，$α>0$中，由于J. M. doba，B. Ruf和P.Ubilla提出的不等式\[ \sup\Big\{\int_B |u(x)|^{2^\star+|x|^α} dx : u\in H^1_{0,{\rm rad}}(B), \|\nabla u\|_{L^2(B)} =1\Big\} < +\infty \]成立。本文将上述不等式推广到$B$上径向对称函数的高阶索伯列夫空间，即\[ H^m_{0,{\rm rad}}(B) \hookrightarrow L_{2_m^\star + |x|^α} (B) \]与$2\leq m < n/2$，$2_m^* = 2n/(n-2m)$，$α>0$的嵌入成立.还研究了该不等式的锐常数问题，包括最优函数的存在性。为了说明这一发现，一个应用程序的球驱动的多调和算子的边值问题。这是第一次在一组我们的工作有关的功能不平等的超临界政权。
2019-05-06 math.AP math.CA math.FA
On the Differentiability issue of the drift-diffusion equation with nonlocal Lévy-type diffusion
研究了具有非局部Lévy型扩散的漂移-扩散方程在超临界和临界情形下的可微性问题.在适当的漂移速度和强迫项的空间Hölder正则性条件下，我们证明了消失黏性解对任意正时间都是Hölder连续导数可微的.
2016-01-13 math.AP
Random data Cauchy problem for supercritical Schrödinger equations
本文研究了具有类幂非线性项和限制势的薛定谔方程。如果$s$足够大，则该方程对于索伯列夫空间$\H^{s}$中的数据是适定的;如果$s$低于某个临界阈值$s_{c}$，则该方程是强不适定的。在这里，我们使用的初始条件的随机化方法，介绍了N。Burq-N。Tzvetkov和我们能够表明，该方程承认强解的数据在$\H^{s}$为一些$s<s_{c}$。在附录中，我们证明了具有限制势的薛定谔算子的光滑效应与伴随谱投影的衰变之间的等价性。
2009-01-27 math-ph math.AP math.MP
Well-posedness and ill-posedness results for the Novikov-Veselov equation
本文研究了一类索伯列夫空间中的Novikov-Veselov方程及其修正的Novikov-Veselov方程.我们证明了当s > 1/2时，Novikov-Veselov方程在H^s（R2）中的局部适定性适定性;当s > 1时，修正的Novikov-Veselov方程在H^s（R2）中的局部适定性适定性.最后指出了Novikov-Veselov方程在超临界状态下的不适定性问题。
2013-07-15 math.AP
Ill-Posedness for Semilinear Wave Equations with Very Low Regularity
本文研究了具有很低正则性的半线性波动方程Cauchy问题的不适定性，其中非线性项依赖于$u$和$\partial_t u$ .我们证明了“散焦”情形下的一个不适定性结果，并给出了超临界“聚焦”情形下的另一个证明，改进了我们以前在Chin. Ann.Math.Ser.B26（3），361-378，2005。
2007-09-02 math.AP
Random data Cauchy problem for a generalized KdV equation in the supercritical case
本文考虑一类广义KdV方程\begin{eqnarray*} u_{t}+\partial_{x}^{3}u+u^{7}u_{x}=0, \end{eqnarray*}的Cauchy问题，其随机数据在\R上. Kenig，Ponce，Vega（Comm. Pure Appl. Math.46（1993），527-620）证明了该问题在H^{s}（\R）$中是全局适定的，其中s> s_{crit} = \frac{3}{14}，这是标度临界正则性指标. Birnir，Kenig，Ponce，Svanstedt，Vega（J. London Math.Soc.53（1996），551-559.）证明了该问题是不适定的，在这个意义上，存在的时间T和连续依赖不能表示在H^{ \frac{3}{14} }-范数的数据的大小。本文证明了H^{s}（\R）中的几乎必然局部时间适定性成立，其中s> \frac{17}{112}，其下界小于\frac{3}{14} .关键的成分是维纳随机化的初始数据和概率Eschhartz估计连同一些重要的嵌入定理。
2017-09-04 math.AP
The Navier-Stokes equations with dual-scale hereditary viscosity: supercritical norm inflation and global well-posedness in critical spaces
Universidade Federal de Sergipe（塞尔希培联邦大学）
研究具有双尺度遗传粘性的纳维-斯托克斯方程柯西问题，通过建立衰减估计确定临界阈值。超临界时利用映射和不等式证不适定性，拓扑极限时借助插值证明时间平滑作用，最终为特定小初始数据建立全局适定性。
2026-07-29 math.AP
Going beyond the threshold: scattering and blow-up in the focusing NLS equation
研究了$L^2$ -超临界区域中有限能量、有限方差初始数据的聚焦非线性薛定谔方程。我们调查的解决方案以上的能量（或质能）阈值。在我们的第一个结果中，我们扩展了已知的散射与爆破二分法以上的能量亚临界和能量临界制度的有限方差解决方案的阈值，获得散射和爆破标准的解决方案具有任意大的质量和能量。因此，我们描述了由二次相位调制的基态初始数据的行为。我们的第二个结果给出了两个爆破准则，这也适用于能量超临界NLS设置。最后，我们用各种例子来说明我们的结果。
2014-09-16 math.AP
Random data wave equations
现在我们有很多方法可以利用非线性色散方程（如KdV方程、非线性波动方程或非线性Schroedinger方程）的线性部分的正则化性质来证明低正则性索伯列夫空间中的适定性。低正则性索伯列夫空间中的适定性意味着需要比能量方法施加的正则性更少的正则性（能量方法不利用方程线性部分的色散性质）。在许多情况下，这些方法来证明低正则性索伯列夫空间中的适定性导致最佳的结果，在规则的初始数据。通过最优，我们的意思是，如果一个人需要稍微少的正则性，那么相应的柯西问题在阿达玛意义上变得不适定。我们称之为索伯列夫空间，其中这些不适定性结果保持超临界正则空间。最近，证明超临界正则性的索伯列夫空间中的概率适定性的方法得到了发展。更准确地说，概率适定性是指，我们赋予相应的超临界正则性的索伯列夫空间一个非退化的概率测度，然后我们表明，几乎肯定关于这个测度，我们可以定义一个（唯一的）全局流。然而，在大多数情况下，当证明概率适定性的方法适用时，没有关于流传输的度量的信息。最近，一种方法来证明运输措施是绝对连续的关于初始措施的发展。在这种情况下，我们有一个措施，这是准不变下相应的流量。这些讲座的目的是在非线性波动方程的背景下提出所有上述的发展。
2018-12-13 math.AP math.PR
Ill-posedness issues for nonlinear dispersive equations
这些笔记致力于概念的适定性的柯西问题的非线性色散方程。我们提出了最近的方法证明病态型色散偏微分方程的结果。在分析中的共同特点是，这样的结果的证明需要在小的时间间隔（可能取决于频率）的高频近似解的建设。
2007-02-02 math.AP
Ill-posedness issue on a multidimensional chemotaxis equations in the critical Besov spaces
本文旨在解决[Nie，Yuan：Nonlinear Anal 196（2020）; J. Math. Anal. Appl 505（2022））和Xiao，Fei：J. Math. Anal. Appl 514（2022）]。我们证明了当$1\leq r<d$由于解的不连续性而使多维趋化系统在$\dot{B}_{2d, r}^{-\frac{3}{2}} \times\big(\dot{B}_{2d, r}^{-\frac{1}{2}}\big)^{d}$中是不适定性的。
2022-11-19 math.AP
SDEs with supercritical distributional drifts
本文研究带超临界分布漂移的随机微分方程，在次临界情形建立弱解存在唯一性，在临界和超临界情形在初始分布有L^2密度时证明弱解和马尔可夫过程存在，并给出磨光逼近解的收敛性及高斯随机场和二维涡旋模型等例子。
2025-08-04 math.AP math.PR
Ill-posedness issues on $(abcd)$-Boussinesq system
本文考虑一维和二维欧几里得空间上的$(abcd)$ -Boussinesq系统的Cauchy问题.该模型最初由Bona、Chen和Saut提出，描述了无粘流体表面上的小振幅波，并推导为不可压缩无旋欧拉方程的一阶近似。我们主要建立了系统在不同参数区域下的不适定性，推广了Chen和Liu关于一维BBM-BBM情形的结果。在此基础上，我们得到了二维BBM-BBM系统的最优解。证明如下从观察的\emph{high to low-frequency cascade}目前在非线性，动机Bejenaru和道。
2021-02-02 math.AP
Deterministic ill-posedness and probabilistic well-posedness of the viscous nonlinear wave equation describing fluid-structure interaction
研究了Dirichlet-Neumann算子描述的粘性耗散效应下$\mathbb{R}^2$中非线性波动方程的低正则性。这种类型的问题出现在流体-结构相互作用中，其中Dirichlet-Neumann算子模拟粘性不可压缩流体和弹性结构之间的耦合。我们发现，尽管粘性正则化，柯西问题与初始数据$(u,u_t)$在$H^s(\mathbb{R}^2)\times H^{s-1}(\mathbb{R}^2)$，是不适定的，每当${0 < s < s_{cr}}$，其中的临界指数$s_{cr}$取决于非线性的程度。特别地，对于五次非线性$u^5$，$\mathbb{R}^2$中的临界指数是$s_{cr} = 1/2$，其与不含粘性项的相关非线性波动方程的临界指数相同。然后，我们表明，如果初始数据扰动使用维纳随机化，扰动初始数据在频率空间中，然后柯西问题的五次非线性粘性波动方程是适定的几乎肯定的超临界指数$s$，使$-1/6 < s \le s_{cr} = 1/2$。据我们所知，这是第一个结果表明不适定性和概率适定性的非线性粘性波动方程的流固耦合。
2021-04-07 math.AP
Ill-posedness issue for the 2D viscous shallow water equations in some critical Besov spaces
研究了二维粘性浅水方程在临界Besov空间$\dot B^{\frac{2}{p}}_{p,1}(\mathbb{R}^2)\times \dot B^{\frac{2}{p}-1}_{p,q}(\mathbb{R}^2)$中的Cauchy问题.众所周知，该系统是局部适定的大的初始数据，以及在$\dot B^{\frac{2}{p}}_{p,1}(\mathbb{R}^2)\times \dot B^{\frac{2}{p}-1}_{p,1}(\mathbb{R}^2)$为$p<4$和不适定的$\dot B^{\frac{2}{p}}_{p,1}(\mathbb{R}^2)\times \dot B^{\frac{2}{p}-1}_{p,1}(\mathbb{R}^2)$为$p>4$的小的初始数据的全局适定。本文证明了该系统在“范数膨胀”意义下对于临界情形$p=4$是不适定的。此外，我们还证明了对于任何$q\neq 2$，该系统在$\dot B^{\frac{1}{2}}_{4,1}(\mathbb{R}^2)\times \dot B^{-\frac{1}{2}}_{4,q}(\mathbb{R}^2)$中是不适定的
2022-03-01 math.AP
NLS with exponential nonlinearity on compact surfaces
Université Cheikh Anta Diop (UCAD)（谢赫·安塔·迪奥普大学）
本文研究了在紧致曲面上具有指数非线性的NLS方程，建立概率全局理论，解决存在性、唯一性和连续性问题。
2026-08-21 math.AP
Ill-posedness issue on the Oldroyd-B model in the critical Besov spaces
针对Oldroyd-B模型的柯西问题，本文在已有适定性结论基础上，证明了在更广泛参数范围的临界Besov空间中，因解缺乏连续依赖性，该问题是不适定的，完善了该模型的适定性理论。
2025-06-24 math.AP
On traveling wave solutions of water-wave equations in curved annular domains
本文研究弯曲环状区域中带常涡量二维欧拉方程的行波解，通过局部分岔分析确定临界参数并证明叉式分岔，再利用改进的 Leray-Schauder 度理论得到全局分岔结果，数值算例验证了亚临界与超临界两种分岔类型。
2025-09-19 math.AP
Numerical study of probabilistic well-posedness of one dimensional fractional nonlinear wave equations
ENS de Lyon（里昂高等师范学院）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文通过数值模拟研究了一维分数次立方非聚焦波方程在周期设定下的能量亚临界和超临界情形，发现norm inflation和概率良好性现象。
2026-09-04 math-ph math.AP math.MP
On the ill-posedness of the cubic nonlinear Schrödinger equation on the circle
本文研究了圆上三次非线性薛定谔方程（NLS）的不适定性问题.特别地，将Christ-Colliander-Tao [14]的论点调整到周期设置，我们对通常的三次NLS和$s \leq s_\text{crit} :=- \frac 12$的Wick有序三次NLS都表现出范数膨胀现象。我们还讨论了圆上一般三次分式NLS的范数膨胀现象。
2016-10-17 math.AP
Stability issues in the quasineutral limit of the one-dimensional Vlasov-Poisson equation
本文研究了一维Vlasov-泊松方程的拟中性极限，初始数据接近平稳均匀剖面。我们有三个目标：首先，我们提供了一个证明的事实，即形式限制不成立的均匀配置文件，满足彭罗斯不稳定性准则。其次，我们证明了另一方面，该限制是真实的均匀配置文件，满足一定的单调性条件，连同对称性条件。我们处理准备充分和准备不充分的数据。最后，我们研究了形式极限的一个定常边值问题，即所谓的拟中性Vlasov方程。我们证明了许多定态的存在，有很多的自由度的建设（相比，Vlasov-泊松的BGK波）：这说明了退化的极限方程。
2013-11-25 math-ph math.AP math.MP
Ground States for the Defocusing Nonlinear Schrödinger Equation on Non-Compact Metric Graphs
本文研究了非紧度量图上去聚焦非线性薛定谔方程基态的存在性与稳定性，基于哈密顿量谱性质建立了作用基态存在的尖锐判据，并揭示了作用基态与能量基态间的非等价关系。
2025-09-17 math-ph math.AP math.MP
On Singular Vortex Patches, I: Well-posedness Issues
本文的目的是讨论奇异涡斑的适定性理论。我们的主要结果有两类：适定性和不适定性。在适定性方面，我们表明，全球$m-$折叠对称涡补丁的角落源自原点是全球适定性的自然规律类，只要$m\geq 3$。在这种情况下，所有涉及的角度都求解了一个\emph{closed} ODE系统，该系统决定了角点的全局时间动态，并且仅取决于角点的初始位置和大小。{在此过程中，我们获得了一类在原点具有边界奇异性的对称曲面片的全局适定性结果，其中包括对数螺线。}在不适定性方面，我们表明，\emph{any}的其他类型的角奇异性的涡补丁不能不断演变的时间，除非可能当所有涉及的角落都精确的角度$\fracπ{2}$的所有时间。即使在与角的角度$\fracπ{2}$或与角，只有局部$m-$折叠对称的涡补丁的情况下，我们证明，他们是一般不适定的。我们期望，在这些情况下的不适定性，涡补丁实际上尖立即在一个自相似的方式，我们推导出一些渐近模型，这可能是有用的，在给出一个更精确的描述的动态。在一个同伴的工作中，我们讨论了长时间的行为的对称涡补丁的角落，并用它们来构建补丁$\mathbb{R}^2$有趣的动力学行为，如尖和螺旋形成在无限的时间。
2019-12-23 math-ph math.AP math.MP
