Forking in NTP_2 theories
Artem Chernikov, Itay Kaplan
我们证明，在理论没有树的第二类属性（包括依赖和简单的理论）分叉和划分模型是相同的，事实上，在任何扩展基地。作为一个应用，我们证明了依赖等价于有界非分叉假设NTP_2。
We prove that in theories without the tree property of the second kind (which include dependent and simple theories) forking and dividing over models are the same, and in fact over any extension base. As an application we show that dependence is equivalent to bounded non-forking assuming NTP_2.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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An independence theorem for NTP2 theories
我们在NTP 2理论中建立了一些关于划分和分叉的结果。我们证明了除法和数组除法是一样的。结合它与严格不变序列的存在性，我们推导出分叉满足扩张基上的链条件（即分叉理想是S1，在Hrushovski的术语中）。使用它，我们证明了一个独立性定理的扩展基地（其中，在简单的理论的情况下，专门为普通的独立性定理）。作为应用，我们证明了在NTP 2理论中，Lascar强型和紧强型在扩张基上是一致的。我们还定义了一个理论的划分顺序-Poizat的基本秩序从稳定的理论的推广-并给出了一些等价的刻画NTP 2的假设下。最后一节专门讨论强理论类的精化及其在分类等级中的地位。
Fractional Helly property and combinatorics of forking in NTP$_2$ theories
本文研究了满足分数Helly性质的理论，这些理论扩展了NIP理论，并形成了一种新的低NTP₂理论子类。文章给出了许多新例子，并探讨了分叉和f-通用性在可计算群中的性质，同时提出了关于NTP₂理论中分叉有限组合性质的猜想。
Some NIP-like phenomena in NTP$_{2}$
本文研究了NTP₂中的NIP-like现象，提出了NTP₂-光滑度量和distality概念，并探讨了有限交替定理及有限可满足性在NTP₂中的扩展问题。
Geometry of forking in simple theories
研究了超单w-范畴理论中U-秩2元分叉的几何性质，证明了这类元的稳定分叉和一些结构性质。我们将这种分析扩展到U秩3元素的情况。
On forking and definability of types in some dp-minimal theories
我们证明，特别是在一个大类的DP-极小理论，包括P-adics，可定义类型之间的非分叉类型是密集的。
On amalgamation in NTP2 theories and generically simple generics
我们证明了NTP2理论的一些结果。首先，我们证明了一个合并声明，并从它推出的Lascar距离的扩张基是有界的2。这改进了Ben Yaacov和Chernikov以前的工作。我们提出了一个调查线的NTP2理论的基础上S1理想与融合，并提出一些问题。然后，我们定义并研究了一类具有一般简单泛型的群，推广了具有一般稳定泛型的NIP群。
Theories without the tree property of the second kind
我们开始系统地研究一类没有树性质的第二类理论-NTP 2。最重要的是，我们展示了：在任意理论中，负担是“次乘法”的，（特别是，如果一个理论有TP 2，那么有一个公式用一个单一的变量证明这一点）; NTP 2等价于广义Kim引理和ist-权的有界性;任意理论中的类型的DP秩由该类型的实现的相互不可辨别的序列证明，在增加了一些参数之后-所以在任何理论中1-型的dp-秩总是由单例序列证明;在NTP 2理论中，简单类型是余简单的，由余独立定理表征，并且简单类型的实现与任意元素之间的分叉满足完全对称;特征为（0，0）的Henselian值域是NTP 2（强的，有限负担）当且仅当剩余域是NTP 2（剩余域和值域群分别是强的，有限负担），所以特别地，p-adics的任何超积是NTP 2;将一般谓词添加到几何NTP 2理论保持NTP 2。
th-Forking, Algebraic Independence and Examples of Rosy Theories
在以前的论文中，我们开发了th-独立性和k-秩的概念，它们定义了一类我们称为“玫瑰色”的理论中的几何独立关系。我们证明了，玫瑰色的理论包括简单的和o-最小的理论，并为任何理论的稳定分叉猜想是真实的，双分叉与分叉独立性相一致。在这篇文章中，我们继续研究th分叉的性质，并找到更多的玫瑰理论的例子。在本文中，我们证明了一些新的性质，玫瑰理论和一些工具，以证明和分析玫瑰在特定情况下的替代特征。最后，我们用它来找到两个例子，玫瑰色的非简单的理论：伪实封闭的领域（PRC-领域）和马库斯Tressl定义的大微分场的一致同伴。
On stable Kim-forking and rosy theories
该研究在稳定Kim分裂猜想假设下证明了所有NSOP₁罗斯理论均为简单理论，并展示了弗罗贝尼乌斯域理论具有稳定Kim分裂性质。
Thorn forking, weak normality, and theories with selectors
我们讨论的作用，弱正规公式的理论，刺分叉，作为评论的一部分，论文“刺分叉和稳定分叉”的Ealy和Onshuus（修订学术。哥伦布。科学确切fis. nat. vol.40 no.157 Bogotá Oct./ Dec. 2016）。我们还给出了推论4.2的一个反例，并在此过程中讨论了“带选择子的理论”。
Strict independence
我们研究了严格独立和严格非分叉的概念，并建立了两者之间的基本性质和联系。特别是它遵循我们的调查，在弹性理论严格非分叉是对称的。基于这项研究，我们开发的重量NTP2，依赖和强依赖的特点的概念。我们的许多证明依赖于对证明分裂的序列的仔细分析。我们证明了简单的特征，这样的序列在弹性理论，以及莫雷序列的证人。作为一个副产品，我们获得的信息类型共同主导的一般稳定的类型依赖的理论。例如，我们证明了这样一个类型中的每一个Morley序列都是见证序列。
Non-forking independence in stable theories
本文指出在稳定理论中，利用类型平稳性，通过简单条件即可描述模型及代数闭子集上的非分叉独立性，无需依赖Kim和Pillay工作的全部力量。
Forking and invariant measures in NIP theories
该研究构造了NIP理论中不分叉但在所有全局∅-不变Keisler测度下测度为0的公式例子，并证明一阶顺从的NIP理论不会出现这种情况，推进了模型论中分叉与不变测度关系的研究。
Kim-forking for hyperimaginaries in NSOP1 theories
本文在NSOP1理论中，通过假设超想象元的存在性，将Kim独立性质推广至超想象元，证明其满足Kim引理等关键性质，并应用于共线性、弱典范基及Lascar强类型与Kim分叉的新结果。
Forking and invariant types in monadic NIP theories
本文在一元NIP理论中证明不变全局类型的强分解定理，并由此得出分叉的逐坐标判据及可定义类型的稠密性。
On rank not only in NSOP1 theories
我们引入了一类依赖于（φ（x，y），q（y））形式的对的有限集Q的局部秩DQ，其中φ（x，y）是一个公式，q（y）是一个整体型.我们证明了在任何NSOP 1理论中，这些秩满足一些期望的性质;特别是，对于任何有限变量x和任何Q，DQ（x=x）<ω，如果q \supseteq p是类型的Kim-分叉扩张，则对于某些Q，DQ（q）<DQ（p），并且如果q \supseteq p是Kim-非分叉扩张，则对于仅涉及其Morley幂是\ind^K -平稳的不变类型的每个Q，DQ（q）=DQ（p）。我们给出了自然的例子，家庭的不变类型满足这个属性在一些NSOP 1理论。本文还回答了Granger关于具有一般双线性型的向量空间的T_ \infty理论中除与除的等价性的一个问题。我们得出结论，在T_ \infty中分叉等于除，加强了早先的观察，即T_ \infty满足分叉独立性的存在性公理.最后，我们稍微修改了我们的定义，超越了NSOP 1，发现我们的局部秩是由众所周知的秩：inp秩（负担），因此，特别是由dp秩限制的。因此，我们的局部秩是有限的，只要dp-秩是有限的，例如如果T是dp-极小的。因此，我们的秩概念确定了一个包含所有NSOP 1和NTP 2理论的非平凡理论类。
A note on some example of NSOP1 theories
我们在这里提出了一些已知的和一些新的例子，非简单的NSOP 1理论和一些行为，金分叉可以表现在这些理论，特别是金分叉后，迫使基地单调性可以或不能满足扩展（在任意集）。这项研究是基于Chernikov，Ramsey，Dobrowolski和Granger的结果。
Forking in monadically NIP theories
本文证明单子NIP理论中分叉在任意集合上满足强平凡性，推广了Baldwin-Shelah结果，并给出无有限扩展基的ω-范畴例子。
A preservation theorem for theories without the tree property of the first kind
本文证明了几何理论的NTP$_1$性质在可爱对和$H$-结构中保持，并给出非简单几何NTP$_1$理论的例子。
On Weak Elimination of Hyperimaginaries and its Consequences
我们分析了简单理论中的弱超线性消除（WEHI）概念。分析中的一个关键观察结果是WEHI在分叉依赖方面的特征-我们称之为依赖性见证（DWIP）。本文推广了文[1]和[3]的结果，证明了在一个简单的WEHI理论中，分叉和刺分叉是一致的。我们还表明，相反，等价的独立性和刺独立性是（几乎）足够的WEHI。因此，WEHI和独立性=刺独立性的陈述在道德上是等价的。作为我们的技术的进一步应用，我们证明了稳定的分叉1为基础的有限SU-秩的理论，有WEHI。
On Kim-Independence
我们研究了NSOP $_{1}$理论。我们定义了Kim独立性，它概括了简单理论中的非分叉独立性，并对应于通用尺度上的非分叉。我们表明，金的独立满足版本的金引理，局部字符，对称性，和独立性定理，而且，这些属性分别表征NSOP $_{1}$理论。我们描述的几个具体的理论和观察，它对应于以前研究的概念，在Frobenius领域和向量空间的独立性与一般的双线性型。
Existence in NSOP$_1$ theories
本文证明在NSOP₁理论中，Kim-forking满足存在性。
On some Fraisse limits with free amalgamation
该研究分两部分展开，先探讨稳定Kim-forking的概念与背景，再给出通过满足强条件的Fraïssé类极限构建NSOP1理论的通用方法，明确其独立性性质，基于前人成果推进了模型论相关研究。
On ω-categorical simple theories
本文证明了可数的ω-范畴简单CM-平凡理论和可数的具有强稳定分叉的ω-范畴简单理论是低的。此外，我们观察到，有界有限重量的简单理论是低的。
Higher-arity distality and forking triviality
本文回答了Goode的问题，证明在简单理论中k-triviality塌缩到(1-)triviality。特别地，每个具有量化消除的有限元 arity 关系语言的稳定理论都是trivial的。通过塌缩结果和其他关于k-triviality和k-total triviality的事实，生成了强k-distal理论的例子。塌缩结果立即表明，没有稳定理论可以严格k-distal，部分回答了Walker的问题。所有已知的非distal（强）k-distal理论都是k-ary的，使得（强）k-distality不再成为(k+1)-ary划分线；我们给出了四个不是k-ary的例子。我们还证明了distality不被取reducts所保持，同样（强）k-distality也不被保持。
Canonical forking in AECs
Boney和Grossberg [BG]证明了每一个好的AEC都有一个独立的关系。我们证明了这种关系是唯一的：在任何给定的AEC中，最多可以存在一个独立关系，满足存在性，扩张，唯一性和局部特征。在此过程中，我们研究了更一般的性质的独立关系的AEC，也证明了一个正规性结果的Shelah的好框架。一阶逻辑的常用工具（如有限等价关系定理或简单理论中的类型合并定理）在这种情况下是不可用的。除了紧致性定理的损失之外，我们还增加了不能假设类型是公式集合的困难。我们的工作原理和开发新的工具来理解这个一般框架。
Independence over arbitrary sets in NSOP$_1$ theories
我们研究任意集合上的Kim独立性。假设分叉满足存在性，我们建立了NSOP $_{1}$理论中任意集上Kim-可分的Kim引理.给出了Kim独立性的对称性和Lascar强型的独立性定理。
Supersimple omega-categorical theories and pregeometries
我们证明了，如果$T$是一个具有非平凡依赖的$ω$ -范畴超单理论（由forking给出），则在实元素实现的有限集上存在一个非平凡正则1-型;因此forking在这种类型的解集上诱导出一个非平凡的预几何，并且该预几何是可定义的（仅使用100个参数）.关于$ω$ -范畴性的假设是必要的。这个结果被用来证明：如果$V$是一个最大元数为3的有限关系词汇表，而$T$是一个量词消去的超单$V$ -理论，则$T$具有平凡依赖和有限SU-秩.这立即加强了作者以前的一个结果：如果$\mathcal{M}$是一个三元单齐次结构，只有1000个约束，那么$Th(\mathcal{M})$有平凡依赖和有限SU-秩。
Simple product and locally o-minimal theories
存在NIP和非$_2$理论满足以下所有条件：它不是o-极小的;所有模型都是强局部o-极小的;它有一个模型是实$(\mathbb R\;;\;0,+,<)$上的线性序阿贝尔群的展开。我们使用简单乘积的概念来构造这些例子。
Properties of independence in $\mathrm{NSOP}_3$ theories
本文研究了在 $\mathrm{NSOP}_3$ 理论中成立但在 $\mathrm{NSOP}_4$ 理论中不成立的独立性理论结果，推广了 Chernikov 关于 $\mathrm{NTP}_2$ 理论中简单与共简单类型的工作到具有 $\mathrm{NSOP}_1$ 诱导结构的类型，并证明了 $\mathrm{NSOP}_3$ 理论中独立性定理的扩展。
A model theoretic Baire category theorem for simple theories
证明了在可列简单理论中关于$\tildeτ_{low}^f$ -集的模型论Baire范畴定理，其中扩张性质是一阶的，并给出了它的一些应用.我们还证明了可数nfcp理论中的极小类型的一个可分性：要么每一个类型是内部的极小类型基本上是1-为基础的分叉拓扑或$T$解释一个无限的可定义的1-为基础的有限$D$ -秩或$T$解释一个强极小公式。
A note on the NFI-topology
$NFI$ -拓扑，在[S 0]中引入，是一个拓扑上的斯通空间的理论$T$，它取决于一个约简$T^-$的$T$。该拓扑已在[S 0]中用于描述$(T,T^-)$的通用换能器集（将$T^-$中的分叉开集转换为$T$中的分叉开集的不变集）。在本文中，我们表明，在稳定的情况下，$NFI$ -拓扑不需要是不变的参数在$T^-$，但弱版本的任何简单的$T$。我们还注意到，对于具有\em wnfcp \em的理论的可爱的对展开，拓扑在$T^-$中的$\emptyset$上是不变的。
Preservation of NATP
本文证明NATP在多种模型论构造下的保持性，包括Fraïssé极限的参数化与和、稠密/共稠密扩张、一般谓词扩张及代数闭域配对扩张，并证明ACFO的模型伴随具有NATP。
Witnessing dp-rank
我们证明了在NTP_2理论中，如果p是dp-rank >= κ的依赖型，则这可以由满足p的不可分辨元组序列证明。如果p具有dp-rank无穷大，则这可以由单例证明（在任何理论中）。
A dichotomy for $D$-rank 1 types in simple theories
我们证明了一个二分法$D$秩1型在简单的理论，推广Buechler的二分法$D$秩1最小类型在稳定的理论：每一个$D$秩1型要么是1为基础的或其代数闭包的一部分，由一个单一的公式定义，几乎包含一个非代数公式，属于非分叉扩展的类型。此外，我们证明了一个密集的1为基础的类型的$D$秩1是1为基础的。我们还观察到，对于一个超单一维理论，存在一个非代数稳定类型意味着稳定性（从而超稳定性）。
Properties and Consequences of th-Independence
我们发展了一个新的概念的独立性建议的斯坎伦（th-独立性）。我们证明，在一个大类的理论（其中包括所有简单的理论），这个概念有许多需要在这些模型中的一个足够的几何结构的属性。我们还证明了这个定义与稳定，超简单和O-极小理论中通常的独立性概念一致。最后，我们得到的许多关于th-独立性的证明和结果，在限制于简单理论时，似乎表明th-独立性和稳定分叉猜想之间存在某种联系。特别是，我们证明，在任何简单的理论，这个猜想举行，我们的定义与经典的定义。
Lascar Rank in Expansions
本文证明超简单理论的SU-秩在扩张中非递减，通过构造具有一致分叉模式的树来处理极限秩，并在可数秩情形给出清晰描述。
Keisler's order has infinitely many classes
我们证明，在ZFC，有一个无限严格下降链的理论类Keisler的顺序。因此，Keisler的顺序是无限的，而不是一个良好的秩序。此外，这一链发生在简单的不稳定理论中，被认为是模型理论上的驯服。凯斯勒的秩序是一个中心概念的模型论的60年代和70年代比较一阶理论（和隐含的超滤子）根据饱和的ultrapowers。在这篇论文之前，人们一直认为它有很多类，线性排列。我们发现的模型理论的复杂性是由一个非常自然的理论，$n$ -自由$k$ -超图Hrushovski研究证明。这种复杂性反映了合并的困难，似乎与分叉正交。
Externally definable sets and dependent pairs II
我们继续研究NIP理论中的外部可定义集合的结构以及通过新谓词扩展后的NIP的保持。最重要的是：有限集上的类型是一致可定义的;在模型上，公式的非分叉实例族（参数范围在一个类型可定义的集合上）可以被许多不变类型所覆盖;我们给出了在远端理论中由一个新谓词展开的有界性的一些准则;命名一个任意小的不可辨别序列保留NIP，而命名一个大的序列则不保留;有一些NIP理论模型，在这些模型上，所有的1型都是可定义的，但不是所有的n型都是可定义的。
Generic stability and stability
本文证明了任意理论中关于通有稳定型$p$的两个结果。第一个是关于强芽的存在性，推广了D. Haskell，E. Hrushovski和D. Macpherson关于稳定支配类型的理论。第二个是分叉和划分的等价性，假设$p^{(m)}$对于所有$m$都是泛型稳定的。我们使用后一个结果来回答哈森和Onshuus提出的一个问题：如果$p(x)\in S(B)$是稳定的，不分叉$A$，那么$p\restriction A$是稳定的。(They解决了一些特殊的问题）。
Bi-invariant types, reliably invariant types, and the comb tree property
该研究引入双不变型、可靠不变型等几类特殊不变型，建立其与梳树性质、反链树性质等模型论树性质的关联，推广了相关未发表结果，刻画了多类理论的局部特征与Kim-分叉、划分的性质。
Some Remarks on Kim-dividing in NATP Theories
本文研究了NATP理论中Kim分割的性质，证明了Kim分割可由coheir Morley序列见证，并探讨了其与准分割的关系及在不同理论中的等价性。
SOP$_1$, SOP$_2$, and antichain tree property
本文通过树不可辨别性提出反链树性质 ATP，刻画其与 SOP$_1$、TP$_2$ 的蕴含关系，并构造公式级反例证明 SOP$_1$ 不等同于 SOP$_2$。
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