Separators of fat points in P^n x P^m
Elena Guardo, Adam Van Tuyl
对P^n x P^m中的胖点方案Z引入了胖点的分离子和胖点的度的定义，并研究了它们的一些性质.
We introduce definitions for the separator of a fat point and the degree of a fat point for a fat point scheme Z in P^n x P^m, and we study some of their properties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Separators of fat points in P^n
本文将P^n中点P的分离子的定义推广到重数为m的胖点P。定义中的关键思想是比较Z = m_1P_1 +... + m_iP_i + .... + m_sP_s在P^n和Z' = m_1P_1 +. + （m_i-1）P_i + .... + m_sP_s。我们将P_i与一个长度为v = deg Z - deg Z '的正整数元组相关联。我们称这个元组为重数为m_i的P_i的最小分隔符的次数，并将其表示为deg_Z（P_i）=（d_1，...，d_v）。我们证明了如果已知deg_Z（P_i）和Z的Hilbert函数，那么也将知道Z '的Hilbert函数。我们还证明了deg_Z（P_i）中的元素与I_Z的最后一个合冲模中的位移有关。这两个结果推广了关于点集及其分离子的已知结果。
Separators of Arithmetically Cohen-Macaulay fat points in P^1 x P^1
设Z是P^1 × P^1中的一组胖点，也是数学上的科恩-麦考利（ACM）。我们描述了如何计算一个多重m的胖点的分离器的程度，对于Z的支持中的每个点，仅使用Z的数值描述。我们的公式扩展了以前已知的约化点的情况。
Separators of points in a multiprojective space
本文研究了多投射空间中点的分离子的一些性质。特别是，我们证明了多阶类似物的结果Geramita，Maroscia，和罗伯茨有关的希尔伯特函数的X和X \{P}通过程度的分离器，和Abrescia，Bazzotti，和马里诺有关的程度的分离器的移动在最小的多阶自由分解的理想点。
Classifying ACM sets of points in $P^1XP^1$ via separators
本说明的目的是给一个新的，简短的证明分类的ACM集的点在$P^1XP^1$的分隔符。
Resolutions of small sets of fat points
研究了P^n中一般位置上至多n+1个胖点的理想的最小分次自由分解.我们的主要定理是这些理想是分量线性的。这个结果产生了许多推论，包括赫尔佐格、胡内克和斯里尼瓦桑在这种情况下的多重性猜想。在计算方面，利用迭代映射锥过程，我们计算了P^n中两个胖点所对应的理想的分次贝蒂数，验证了Fatabbi的一个猜想，以及P^n中至多n+1个一般二重点.
Resolutions of ideals of six fat points in P^2
当Z在任意6个或更少的不同点处支集时，确定了P^2的胖点子概型Z的理想的最小自由分解（以及希尔伯特函数）的分次贝蒂数。所有结果在任意特征的代数闭域k上都成立。
Unexpected hypersurfaces with multiple fat points
从Cook II、Harbourne、Migliore和Nagel的开创性工作开始，人们对意想不到的超曲面产生了浓厚的兴趣。在过去的几个月里，人们观察到了大量的新例子和新现象，并进行了报道。迄今为止所研究的所有例子都只有一个重点。在这篇文章中，我们引入了一系列新的例子，首次建立了具有多个胖点的意外超曲面的存在性。其核心思想是研究射影空间中点的费马型构型。
The interpolation problem for a set of three fat points in $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$
这是Favacchio和Guardo最近论文的附录。本文给出了$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1.$中支撑为几乎完全交（ACI）的三点胖点集的最小二阶自由分解和二阶Hilbert函数，从而解决了具有ACI支撑的三点插值问题。
On the containment problem for fat points
给定一个理想的$I$，包含问题关心的是找到值$m$和$n$，使得$I$的$m$次符号幂包含在其$n$次普通幂中。在本文中，我们考虑这个问题，重点是两类理想的脂肪点。特别地，我们研究了$\mathbb{P}^N$中直线上的$n$点的理想和$N\geq2$中$\mathbb{P}^N$中三个非线性点的理想.
Resolutions of fat point ideals involving 8 general points of P2
主要结果提供了一个算法，用于确定最小的自由分解的理想的脂肪点子方案的${\bf P}^2$涉及多达8个一般点与任意的多重性，结果保持在代数闭域的任何特性。该算法的工作原理是在某些情况下给出一个公式，在其他情况下对这些情况进行简化，不涉及Gröbner基，因此非常快，即使对于非常大的多重性。在某些情况下，还可以使用$n>8$获得部分信息。
Regina Lectures on Fat Points
这些笔记是2012年5月29日至6月1日在里贾纳大学举行的代数与几何之间的联系研讨会上所作讲座的记录。讲座的目的是作为一个介绍目前的研究问题有关的脂肪点的观众，预计没有太多的背景，在交换代数或代数几何（虽然第8和第9节的这些笔记要求有点更多的背景比以前的部分）。
On the minimal free resolution for fat point schemes of multiplicity at most 3 in P^2
设Z是P^2中一般点支撑的胖点概型。这里我们证明了，如果重数至多为3且Z的长度足够大，则齐次理想I_Z在每一次上的生成元个数在数值上是尽可能小的.由于已知Z具有最大希尔伯特函数，这意味着Z具有期望的最小自由分解。
Fat Points in P^1 x P^1 and their Hilbert Functions
本文研究了P^1 × P^1中胖点的Hilbert函数。如果Z是P^1 x P^1的任意胖点子概型，则可以证明对于每个i和j，希尔伯特函数H_Z（l，j）和H_Z（i，l）的值最终变为常数，其中l >> 0。我们展示了如何仅使用点的重数和点在P^1 x P^1中的相对位置来确定这些最终值。这使我们能够计算除了有限数值以外的所有H_Z值而不使用点的坐标。我们还描述了ACM脂肪点计划使用我们的最终行为。事实上，在Z为ACM的情况下，整个Hilbert函数及其最小自由分解仅取决于知道Hilbert函数的最终值。
On Segre's bound for fat points in $\mathbb{P}^n$
对于由饱和理想$\mathcal{I}_Z$定义的胖点$Z$的计划，正则性指数计算Cohen-Macaulay环$R/\mathcal{I}_Z.$的Castelnuovo-Mumford正则性。对于“一般位置”的点，我们改进了由Segre为$\mathbb {P}^2$计算的正则性指数的界，并由Catalisano，Trung和Valla为$\mathbb {P}^n$推广。此外，我们还证明了Fatabbi和Lorenzini给出的广义Segre界对$\mathbb {P}^n$中的$n+3$任意点成立。本文对Segre猜想提出了一个修正，并讨论了一些证据.
Hilbert functions of fat point subschemes of the plane: the two-fold way
给出了确定$\mathbb P^2$的胖点子格式的Hilbert函数的两种方法。用第一种方法给出了出现在9个二重点上的Hilbert函数的完全确定，推广了用第二种方法得到的结果.此外，第二种方法是用来获得一个完整的决定的希尔伯特函数的$n\geq 9$ $m$ -重点，为每个$m$，如果点是光滑点的不可约平面三次曲线。当点位于不可约的三次曲面上时（但现在不假设是三次曲面的光滑点），使用第一种方法获得了$n\geq 9$二重点的额外结果。
On the Hilbert function of general fat points in $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$
研究了$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$中一般胖点理想的重数相同的双阶Hilbert函数。我们的第一个工具是第二作者在以前的作品与A.V. Geramita和A.吉米利亚诺他们解决了二重点的情况。通过这种方式，我们可以计算出当双度的最小项至多是点的重数时的希尔伯特函数。我们的第二个工具是由J.Alexander和A. Hirschowitz研究了标准射影空间中胖点集的Hilbert函数。这样，我们计算了整个双分次Hilbert函数的情况下，三重点。
Multigraded regularity: syzygies and fat points
分次环的Castelnuovo-Mumford正则性是计算交换代数中一个重要的不变量，而多重分次环的推广也引起了人们越来越多的兴趣.我们研究之间的连接最近两个定义的多级正则性，以期更好地了解多级希尔伯特函数的脂肪点计划在P^{n_1} x. x P^{n_k}。
Postulation of general quintuple fat point schemes in P^3
我们研究P^3的二重、三重、四重和五重点的一般并Y的假设。在特征0中，我们证明了Y在度$d\ge 11$中有好的公设.证明是基于结合的霍勒斯微分引理与计算机辅助证明。我们还将例外分类为9和10度。
Kaehler differentials for fat point schemes in P^1xP^1
设$X$是特征为零的域$K$上的$P^1 \times P^1$中的$K$ -有理点的集合，$Y$是$ X$支持的胖点方案，$R_Y$是$Y$的双凸坐标环.本文研究Kaehler微分$Ω^1_{R_Y/K}$的模.我们明确地通过一个齐次短精确序列描述这个二阶$R_Y$ -模块，并计算其Hilbert函数在一些特殊情况下，特别是当支持$X$是一个完全的交集或几乎完全的交集在$P^1 \times P^1$。此外，我们引入了一个Kaehler不同的$Y$和使用它来表征减少脂肪点计划在$P^1 \times P^1$具有Cayley-Bacharach性质。
Betti numbers for fat point ideals in the plane: a geometric approach
考虑了在射影平面上一般点上支撑的胖点子概型的分次贝蒂数的确定问题。我们将这个问题的开放的几何问题，确定分裂类型的拉回的余切丛在平面上的正规化某些合理的平面曲线。我们给出了一个猜想的分级贝蒂数，这将确定他们在所有程度，但一个为每个胖点子计划支持一般点的平面。我们还证明了我们的贝蒂数猜想在广泛的情况下。附录讨论了更多的情况下，我们的猜想已被验证的计算，并提供了一个新的和更有效的计算方法计算分级贝蒂数在一定程度上。它还演示了如何导出贝蒂数的显式几何值以及如何计算分裂类型。
Hilbert Polynomials of Kähler Differential Modules for Fat Point Schemes
给定特征为零的域$K$上的射影$n$ -空间$\mathbb{P}^n$中的胖点概型$\mathbb{W}=m_1P_1+\cdots+m_sP_s$，其齐次坐标环的Kähler微分$k$ -形式的模包含了当$\mathbb{W}$.在本文中，我们确定其希尔伯特多项式的值明确的情况下$k=n+1$，证实了早先的猜想。更确切地说，该值由胖点方案$\mathbb{Y} = (m_1-1)P_1 + \cdots + (m_s-1)P_s$的多重性给出。对于$n=2$，这使我们能够确定$k=1,2,3$的Kähler微分$k$ -形式的模的Hilbert多项式，并为$k=2$的正则性指数产生一个清晰的界。
Problems and progress: survey on fat points in P2
本文讨论了理想I（Z）定义一般点$p_i\in {\bf P}^2$的胖点子模式$Z=m_1p_1+...+m_np_n$的数值特征标的若干问题。它还提出了一些新的结果，并包括一套MANELLAY 2脚本，用于计算这些字符的实际值或约束值（或边界）。例如，findres就是一个这样的脚本，它实现了一个由Fitchett、Harbourne和Holay提出的算法，用于对n<=8的任意Z，以理想I（Z）的最小自由分解计算合朔模;由于findres不依赖于Gröbner基计算，因此它非常快，可以处理非常大的多重性。
An Algorithm for Fat Points on P2
令$F$为$P^2$在$r$一般点$p_1, ..., p_r$处的放大$X$上的线丛，并令$L$为来自$P^2$上的线的线丛到$X$的拉回。在合理的假设下，如果点$p_1, ..., p_r$是足够一般的，则证明了自然映射$μ_F:Γ(F)\otimesΓ(L)\toΓ(F\otimes L)$的上核维数的计算归结为$F$是充分的.作为应用，当$r\le 7$时，获得了$μ_F$的上核维度的完整确定，从而解决了涉及平面上多达7个一般点的胖点子方案的理想生成问题，并给出了一种仅取决于重数$m_i$的算法，用于确定理想的最小自由分辨率中的模，定义了一般点的胖点子方案$m_1p_1+...+ m_7p_7$ $p_i$。所有结果适用于任意代数闭基域$k$。
Hilbert functions and resolutions for ideals of n = s^2 fat points in P2
利用作者在前一篇论文中提出的方法，对P2的n个一般点的理想的m次符号幂的Hilbert函数的猜想，对于无穷多个m，对于每个平方n > 9，进行了验证。在n为偶数的情况下，也验证分辨率的计算。以前，通过Evain（希尔伯特函数）和Harbourne，Holay和Fitchett（分辨率）的工作，这些代数已知对于无穷多个m，对于给定的n > 9，只有n是4的幂。
Homaloidal nets and ideals of fat points II: subhomaloidal nets
本文是[22]的自然续篇，因为它处理了相同性质的问题。在这里，一个目的是理想的理论和同调性质的一类理想的一般平面胖点，其第二个符号的权力持有虚拟的重数适当的homaloidal类型。为了这个目的，人们进行了详细的检查，他们的线性系在初始程度，大量的结果取决于方法的应用经典算术二次变换的哈德逊-永田。通过它们的初始线性系来理解这些理想的辅助指南已经由源$\mathbb{P}^2$和目标高维空间的双理性问题提供。这导致，特别是检索的双理性地图研究的Geramita-Gimigliano-Pitteloud，包括一些著名的Bordiga-白色参数化。
Homaloidal nets and ideals of fat points I
考虑具有适当基点的平面Cremona映射和由定义映射的形式的线性系生成的{ \em基理想}。这项工作的目的是交织的代数属性的基础理想和这些点的理想肥所产生的虚重数从线性系。揭示自然调节这种关联的条件，特别强调同源的一面。虽然大多数经典的数值不等式涉及三个最高的虚拟多重性，这里也强调一个单一的最高多重性的作用。在这种情况下，一个描述类克雷莫纳地图的大和小的价值最高的虚拟多重性。一个也涉及到微妙的性质，当基理想是不饱和的，其饱和的结构。
Resolutions of ideals of fat points with support in a hyperplane
我们的结果涉及超平面中点的胖点理想的最小分次自由分解。例如，假设I（m，d）是在射影空间P^d中定义r个重数为m的给定点的理想。设给定点位于P^d中的超平面P^{d-1}中，且基域k是特征为0的代数闭域。利用理想I（j，d-1）在k [P^{d-1}]中的最小分次自由分解，给出了I（m，d）在k [P^d]中的一个显式的最小分次自由分解，其中j < m+1.作为推论，我们给出了I（m，d）的Poincare多项式P_{m,d}用I（j，d-1）的Poincare多项式P_{j,d-1}表示的公式：P_{m,d} =（1 + XT）（n_{0<j \le m} T^{m-j}（P_{j,d-1} - 1））+ 1 + XT^m.
The minimal free resolution of fat almost complete intersections in $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$
当前的研究主题是比较理想$I$的符号功率与$I$的常规功率。在本文中，我们专注于$I=I_X$是一个理想的情况下，定义几乎完全交（ACI）点$X$在$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$。特别是，我们描述了一个最小的自由bigraded决议的非算术科恩-麦考利（也是非高斯）集的脂肪点$\mathcal Z$的支持是ACI。我们将$\mathcal Z$称为胖ACI。我们还证明了它的符号幂和普通幂是相等的，即对任何$m\geq 1.$都是$I_{\mathcal Z}^{(m)}=I_{\mathcal Z}^{m}$
Resolutions of Ideals of Uniform Fat Point Subschemes of P^2
设I是对应于一般点集$p_1,...,p_n \in P^2$的理想。最近有进展表明，一个朴素的下界希尔伯特函数的符号权力$I^{(m)}$实际上是达到时，n>9。这里，对于足够大的m，当n>9是偶数平方时确定$I^{(m)}$的最小自由分级分辨率，仅假设达到希尔伯特函数的这个下界。在表面上更强的条件下（尽管如此，仍然期望总是成立），一个类似的结果被证明对奇数平方成立，并且对于无穷多个m对每个大于9的非平方n成立。所有结果对任意代数闭域k都成立。
Lower bound for the regularity index of fat points
寻找胖点的正则性指标的上界的问题已被许多作者研究过。本文给出了胖点的正则性指标的一个下界。这对于确定规则性指数是有用的。
Combinatorial bounds on Hilbert functions of fat points in projective space
本文研究了射影空间中某些非约化概形A在有限点集上的Hilbert函数，特别是胖点格式。我们给组合定义的上限和下界的Hilbert函数的A只使用多的点和信息的子集是线性相关的。当N=2时，我们明确给出了这些界，并且给出了上界和下界相等的充分判据。当这个准则被满足时，我们给出了Hilbert函数的一个简单公式和理想定义A的分次贝蒂数的组合定义的上下下界，推广了Geramita-Migliore-Sabourin（2006）的结果。我们获得了确切的希尔伯特函数和分级贝蒂数的许多家庭的例子，有趣的组合，几何，代数。我们的方法适用于任何特征。实现我们结果的AWK脚本可以在http://www.math.unl.edu/~bharbourne1/CHT/Example.html上获得。
On the regularity index of $s$ equimultiple fat points not on a linear $(r-1)$-space, $s \le r+3$
本文用[3]中的代数方法证明了Trung关于非线性（r-1）空间s \le r+3上s等重胖点的Segre上界的猜想.该方法也可用于其他脂肪点的研究。
On the containment problem for fat points ideals
本文证明了Harbourne猜想对点的理想的符号幂是成立的，并检验了该猜想的稳定版本对非常一般的点的理想（分别是）是成立的。泛点）在$\mathbb P_{\mathbb K}^N$中（分别$\mathbb P_{\mathbb K(\underline{z})}^N$）。我们还表明，这一猜想和Harbourne-Huneke猜想是真实的一类理想$I$定义脂肪点从线安排$\mathbb P_{\mathbb K}^2$。
Bounding invariants of fat points using a coding theory construction
设$Z \subseteq \proj{n}$是一个胖点方案，并且设$d(Z)$是由$Z$构造的线性码的最小距离。我们表明，$d(Z)$施加约束（即，上界）上的一些特定的移位的分级最小自由分解的$I_Z$，定义理想的$Z$。我们调查这种关系的情况下，$Z$的支持是一个完整的交集，当$Z$减少和一个完整的交集，我们给出的下界为$d(Z)$，提高已知的界限。
Multiplicity structure of the arc space of a fat point
本文研究直线上由$x^m=0$定义的胖点的弧空间，得到其截断弧代数维数的生成级数与定义理想的字典序首项理想，证明了Afsharijoo的相关猜想，关联了微分代数重数等多个方向。
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