Conjugacy classes of centralizers in the group of upper triangular matrices
设G是一个群。称G中的两个元素x和y在同一z类中，如果它们在G中的中心化子在G内共轭.本文证明了在域为无穷大且矩阵的大小至少为6的条件下，上三角形矩阵群的z-类个数为无穷多，否则为有限.
2019-01-23 math.GR
Metric equivalences of Heintze groups and applications to classifications in low dimension
我们通过考虑低维情形和等距与拟等距来研究李群上的拟等距分类问题。首先，我们提出了一些新的结果有关的准等距Heintze群之间。然后，我们将看到这些结果以及与等距相关的现有工具如何特别适用于4维和5维的组。因此，我们采取步骤，以确定所有的等价类的团体，以等距和准等距。我们完全解决了分类等距简单连接可解群在4维，和子类的多项式增长的群体在5维。
2021-04-01 math.DG math.GR math.MG
Growth of conjugacy classes of Schottky groups in higher rank symmetric spaces
设$X$是非紧型的全局对称空间，$Γ\subset\Isom(X)$是轴等距的Schottky群.则$M:=X/Γ$是一个无限体积的局部对称黎曼流形。本文的目的是给出周期小于$t$的$M$模自由同伦中本原闭测地线个数的渐近估计.
2005-12-14 math.DG math.GR
z-Classes in finite groups of conjugate type (n,1)
如果一个群$G$中的两个元素的中心化子在$G$中共轭，则称它们是$z$ -等价的或在同一$z$ -类中.在\cite{kkj}中，证明了一个非交换的$p$群$G$最多可以有$\frac{p^k-1}{p-1} +1$个数的$z$类，其中$|G/Z(G)|=p^k$ .本文刻画了共轭型$(n,1)$的$p$ -群达到这个最大数的特征.作为推论，我们刻画了具有素数阶换位子群和最大$z$类数的$p$-群.
2016-05-04 math.GR
Generating the Mobius group with involution conjugacy classes
一个{ \it $k$ -对合}是一个具有余维$k$的不动点集的对合。这样一个对合的共轭类，记为$S_k$，如果$k$是奇数，则生成$\text{Möb}(n)$-双曲$n$ -空间的等距群，如果$k$是偶数，则生成它的方向保持子群。本文给出了$k$为奇数时$\text{Möb}(n)$的$S_k$字长的有效上下界，以及$k$为偶数时$\text{Möb}^+(n)$的$S_k$字长的有效上下界.因此，对于固定余维$k$，$\text{Möb}^{+}(n)$相对于$S_k$的长度，$k$偶数，随着$n$线性增长，在奇数情况下保持相同的语句。此外，当$n$接近无穷大时，$\text{Möb}^{+}(n)$具有长度2的对合共轭类的百分比接近零。
2010-12-28 math.GR
Quasi-isometries and rigidity of solvable groups
本文给出了非幂零多环群拟等距刚性的第一个结果。特别地，我们证明了任何与三维可解李群Sol拟等距的群实质上是Sol中的格。本文证明了与$R \ltimes R^n$拟等距的群的类似结果，其中半直积由行列式1的可对角化矩阵定义，在单位圆上没有特征值.我们解决这些问题的方法是首先对可解李群的所有自拟等距进行分类。我们对$R \ltimes \R^n$的自拟等距的分类证明了Farb和Mosher在[FM 4]中提出的一个猜想。我们的技术研究准等距扩展到其他一些类的群体和空间。特别是，我们的特点群体拟等距任何点灯组，回答一个问题的德拉Harpe [dlH]。证明了某些Diestel-Leader图对于任何有限生成群都不是拟等距的，从而验证了Diestel和Leader在[DL]中的一个猜想，并回答了Woess在[SW]，[Wo 1]中提出的一个问题.我们还证明了某些非幺模、非双曲可解李群不是有限生成群的拟等距群。本文的结果是对Gromov的分类程序的贡献有限生成群准等距[Gr 2]。我们介绍了一种新的技术研究拟等距，我们称之为“粗微分”。
2006-07-07 math.GR math.GT math.MG
Counting centralizers and z-classes of some F-groups
有限群$G$称为F-群，如果对每个$x, y \in G \setminus Z(G)$，$C(x) \leq C(y)$蕴涵$C(x) = C(y)$。另一方面，如果一个群中的两个元素的中心化子在该群中共轭，则称它们是$z$等价的或在相同的$z$类中。本文给出了有限群的中心化子/ $z$ -类的个数等于其中心指数的充要条件。我们还给出了有限F-群的$z$ -类个数达到最大的一个充要条件（推广了一个较早的结果）.在其他结果中，我们计算了一些有限群的元素中心化子和$z$ -类的数目，推广了以前的一些结果。
2021-12-11 math.GR
z-classes in groups: a survey
本文综述了群中 z-类的概念，梳理其与轨道型及 Lie 型有限群表示论中型或亏格的联系，总结已知结果并提出进一步问题。
2020-04-16 math.GR
On the Conjugacy Classes in the orthogonal and symplectic groups over algebraically closed fields
设$\F$是一个代数闭域.设$\V$是一个具有$\F$上非退化对称或辛双线性形式$B$的向量空间.假设$\F$的特征是\emph{large}，即零或大于$\V$的维数。令$I(\V, B)$表示等距群。利用Jacobson-Morozov引理给出了$I(\V,B)$中两个元素共轭的一个新的简单证明，当且仅当它们有相同的初等因子.
2009-11-19 math.AC math.GR
Isometry types of profinite groups
设T是一棵有根树，Iso（T）是T的等距群.利用模型论的工具研究了Iso（T）的闭子群G关于Iso（T）在G中有代表的共轭类的个数.
2008-06-25 math.GR math.LO
Conjugacy classes of centralizers in unitary groups
设$G$是一个群。如果两个元素$x,y \in G$在$G$中的中心化子在$G$中共轭，则称它们在同一$z$类中.考虑$\mathbb F$是特征$\neq 2$的理想域，它具有$2$阶的非平凡伽罗瓦自同构。进一步，假设固定域$\mathbb F_0$具有这样的性质，即它在任何有限次上都只有1000个域扩张。本文证明了这类域上酉群的$z$类的个数是有限的。进一步，我们计算了有限酉群$U_n(q)$中$z$ -类的个数，并证明了当$q>n$时，这个个数与$GL_n(q)$的个数相同。
2019-10-14 math.GR
Braided Diagram Groups and Local Similarity Groups
Hughes定义了一类在紧致超度量空间上充当局部相似性的群。Guba和Sapir以前定义了半群表示上的辫图群。这两类群有一些共同的特征：它们在CAT（0）三次复形上都是等距的，并且两类中的某些群都有F-无穷型。在这里，我们澄清了这些群族之间的关系：树状半群表示上的辫子图群正是通过小相似结构作用于紧致超度量空间的群。该证明可以被认为是证明汤普森群V是树状半群表示上的辫子图群的推广。我们还证明了某些额外的群体，如霍顿群，和一定的一组准自同构位于这两个类。
2014-06-18 math.GR
Twisted conjugacy and commensurability invariance
一个群$G$被称为具有性质$R_{\infty}$，如果对于每个自同构$φ\in {\rm Aut}(G)$，$φ$-扭曲共轭类的集合的基数是无限的。已知许多类的群具有这样的性质。然而，已知$R_{\infty}$是{\it几何}的例子非常少，即，如果$G$具有属性$R_{\infty}$，则与$G$准等距任何组也具有属性$R_{\infty}$。在本文中，我们给出的例子，群和条件下，$R_{\infty}$是保持在可分性。主要的工具是使用Bieri-Neumann-Strebel不变量。
2021-08-01 math.GR
Twisted conjugacy classes in twisted Chevalley groups
该研究聚焦扭共轭类与R_{∞}-性质相关问题，证明了满足特定域条件的特征零域上的扭Chevalley群同时具备R_{∞}-性质和S_{∞}-性质。
2021-06-12 math.GR
The $R_\infty$-property for right-angled Artin groups
给定一个群$G$和$G$的一个自同构$φ$，如果对某个$g \in G$有$x = g y φ(g)^{-1}$，则称两个元素$x, y \in G$是$φ$ -共轭的.等价类的个数是$φ$的Reidemeister数$R(φ)$，如果对于$G$的所有自同构都有$R(φ) = \infty$，则称$G$具有$R_\infty$ -性质。有限简单图$Γ$产生直角Artin群$A_Γ$，它具有$Γ$的顶点作为生成元和关系$vw = wv$当且仅当$v$和$w$由$Γ$中的边连接。我们猜想所有非交换的直角Artin群都具有$R_\infty$ -性质，并对直角Artin群的几个子类证明了这一猜想.
2021-05-04 math.GR
Mapping classes are almost determined by their finite quotient actions
给定任何连通的紧致可定向曲面，如果一对映射类在该曲面的基本群的profinite完备化上诱导出一对共轭的外自同构，则称它们是procongratulently共轭的。例如，如果它们在基本群的每个特征有限商上诱导共轭外自同构，就会发生这种情况。本文证明了映射类的每一个准全等共轭类作为曲面映射类群的一个子集，是至多100个映射类共轭类的不交并.对于连通闭可定向曲面的任意伪Anosov映射类，证明了若干拓扑特征仅依赖于映射类的前共扼类，包括：拉伸因子、叉奇点的拓扑型、不变叶理的横向可定向性和辛弗洛尔同调的同构型.
2022-03-02 math.GR math.GT
Hamiltonian Groups with Perfect Order Classes
一个有限群被称为有“完全序类”，如果任何给定阶的元素的个数要么是零，要么是群阶的除数。本文的目的是明确地描述具有完美阶类的有限Hamilton群。证明了有限Hamilton群有完全序类当且仅当它同构于$8$阶四元数群、非平凡循环$3$ -群和至多$2$阶群的直积.定理有限Hamilton群具有完全序类，当且仅当对于某个正整数$k$，它与$Q\times C_{3^k}$或$Q\times C_{2}\times C_{3^k}$同构。
2021-05-05 math.GR math.NT
Representatives for unipotent classes and nilpotent orbits
令$G$是特征为$p$的代数闭域$k$上的简单代数群。对$\operatorname{Lie}(G)$上$G(k)$的幂幺元和$G$的幂零轨道的共轭类进行了分类.我们知道，每个幂幺类的代表都是根群元素的乘积，每个幂零轨道都是根元素的和。我们给予明确的代表在Chevalley基础方面的杰出阶级。一个单幂（幂零）元素被称为是突出的，如果它不包含在任何子系统子组（分别）。子代数），或者如果$G$是$D_n$类型，则是自然推广。从这些代表中，可以直接为任何给定的类生成代表。一路上，我们还证明了识别定理，确定了特殊的代数群的幂单类和幂零轨道。
2021-05-10 math.GR math.RT
A relationship between twisted conjugacy classes and the geometric invariants $Ω^n$
一个群$G$被称为具有性质$R_\infty$，如果每个自同构$ϕ\in {\rm Aut}(G)$都有无穷多个$ϕ$ -扭曲共轭类。Gonçalves和Kochloukova最近的工作使用$Σ^n$（Bieri-Neumann-Strebel-Renz）不变量来证明某类群的$R_{\infty}$性质，包括广义汤普森群$F_{n,0}$。在本文中，我们利用$Ω^n$不变量，类似于$Σ^n$，显示$R_{\infty}$某些有限生成群。特别地，我们给出了BS（1，n）的$R_{\infty}$性质的另一种更简单的证明。此外，我们给出的例子，$Ω^n$不变量可以用来确定的$R_{\infty}$属性，而$Σ^n$不变量技术不能。
2010-06-26 math.AT math.GR
Twisted conjugacy classes in nilpotent groups
一个群被称为具有$R_\infty$性质，如果每个自同构都有无穷多个扭曲共轭类。研究了当$G$是一个无挠生成的幂零群时，$G$是否具有$R_\infty$性质的问题.因此，我们证明了对每一个正整数$n\ge 5$，存在一个维数为$n$的紧致流形，在该流形上每一个同胚都是一个不动点自由同胚的同位素.作为副产品，我们给出了一个纯粹的群论证明，两个生成元上的自由群具有$R_\infty$性质。讨论了虚交换群和$\mathcal C$ -幂零群的$R_{\infty}$性质.
2008-03-24 math.AT math.GR
Fano-Mathieu correspondence
我们证明了$G$ -Fano三折叠是镜像模块化的。1.镜像映射是$SL_2(\mathbb{R})$的月光子群的反向Hauptmoduln。2.量子周期，移一个整数常数（本征值的量子算子上的原始上同调）的重量2模形式（θ函数）的逆Hauptmoduln的扩展。3.逆Hauptmoduln与移位量子周期的分数幂的乘积是非常好的尖形（η-导数）。后面的尖形也出现在梅森和其他人的工作中：它们是η-积，与零星单群的共轭类有关，如马蒂厄群$M_{24}$和康威的利奇格的等距群。这给出了$G$三重的变形类与Mathieu群$M_{24}$的共轭类之间的一种奇怪的对应.
2018-09-08 math.AG math.GR math.NT
Between primitive and $2$-transitive: Synchronization and its friends
如果在转换中有一个字将自动机的所有状态发送到一个状态，则自动机被称为同步。关于这一主题的研究一直由Černandi猜想驱动，这是自动机理论中最古老和最著名的问题之一，根据该猜想，同步$n$ -状态自动机具有长度至多为$(n-1)^2$的重置字。自动机的转换在状态集上生成一个变换幺半群，因此自动机可以被认为是具有一组指定生成元的变换幺半群。在此设置中，如果转换生成常量映射，则自动机正在同步。如果由$G$和$f$生成的幺半群$\langle G,f\rangle$在上述意义上是同步的，则集合$Ω$上的置换群$G$被称为同步映射$f$;如果$G$对每个非置换都是同步的，则我们说它是同步的。同步群和友群的类形成了严格位于本原群和$2$ -齐次群类之间的自然而优雅的群类的层次结构。这些类已经流传了几年，现在是时候提供一个统一的参考了。对所有这些类的研究都是由切尔内什猜想引起的，但它是独立的兴趣，因为它涉及群论，组合学，图自同态，半群理论，有限几何和表示论的丰富组合，并且也有有趣的计算方面。为了使文件自成一体，我们提供了关于这些主题的背景材料。我们在这里的目的是目前的结果，显示之间的联系，各个领域的数学上述，我们包括一个新的结果，对Černovsky猜想，一些挑战有限geometers，一些想法有关无限的类似物，和一长串的开放问题。
2015-11-10 math.CO math.GR
