具有极大正规化子I的有限群

具有许多正规化子的有限群

Finite groups with many normalizers

本文研究有限群中正规化子的分布，刻画了具有稠密正规化子的有限群，并分类了恰有1至4个子群不是正规化子的有限群。

具有某些特定极大不变子群为幂零或所有非幂零极大不变子群均为正规的有限群

Finite groups with some particular maximal invariant subgroups being nilpotent or all non-nilpotent maximal invariant subgroups being normal

本文分类了在互素自同构群作用下、含某不变 Sylow 子群正规化子的极大不变子群均为幂零的有限群，并证明该条件等价于所有非幂零极大不变子群均正规。

具有Sylow子群的$\mathfrak{F}$ -次正规化子的有限群

Finite groups with $\mathfrak{F}$-subnormal normalizers of Sylow subgroups

设$π$是素数集，$\mathfrak{F}$是一个群系.本文研究了所有群$G$的类${\rm w}^{*}_π\mathfrak{F}$的一个性质，使得对于每个$p\inπ\capπ(G)$，$π(G)\subseteq π(\mathfrak{F})$和$G$的所有Sylow $p$ -子群的正规化子在$G$中是$\mathfrak{F}$ -次正规的.已确定${\rm w}^{*}_π\mathfrak{F}$是一个地层。建立了几个遗传饱和地层$\mathfrak{F}$和${\rm w}^{*}_π\mathfrak{F}=\mathfrak{F}$。

有限反射群中西罗子群的正规化子

Normalizers of Sylow subgroups in finite reflection groups

本文证明了有限反射群中西罗子群正规化子的半直积分解，并利用抛物子群与考克斯特图自同构给出实型情形的具体描述。

非正规准素子群满足Frobenius正规化子条件的有限群

Finite groups with Frobenius normalizer condition for non-normal primary subgroups

一个有限群$P$称为\emph{primary}，如果对于某个素数$p$有$|P|=p^{a}$。如果$P$是$p$-群，则称有限群$G$的准素子群$P$满足$G$中的\emph{Frobenius normalizer condition}，如果$N_{G}(P)/C_{G}(P)$是$p$-群.本文确定了有限群$G$的结构，其中每个非次正规准素子群满足Frobenius正规化条件。特别地，我们证明了：如果$G$的每个非正规准素子群满足Frobenius条件，则$G/F(G)$是循环的，且$G$的每个极大非正规幂零子群$U$与$F(G)U=G$是$G$的Carter子群.

环面的正规化子

Normalizers of tori

确定了连通2-紧群中可作为极大环面的正规化子的群。该技术依赖于使用山雀的想法给出一个新的描述的正规化的环面在一个连接的紧李群，然后表明，这种描述可以扩展到2-紧的情况。

关于群的由真正规化子构成的极小覆盖

On minimal coverings of groups by proper normalizers

该研究聚焦群论中群的正规化子覆盖问题，分析了不存在正规化子覆盖的素数阶p-群，并以此为基础确定了部分具有幂零正规化子覆盖的非幂零群。

群中正规化子或中心化子的有限性条件

Some finiteness conditions on normalizers or centralizers in groups

我们考虑群G中正规化子和中心化子的两个有限性条件：（i）|N_G（H）：H|对G的每个非正规子群H是有限的，和（ii）|C_G（x）：<x>|是有限的，对于G的每个非正规循环子群<x>。证明了（i）和（ii）在局部有限群和局部幂零群类中是等价的.在这两种情况下，满足这些条件的群都是Dedekind群的一类特殊的循环扩张。我们还研究了（i）和（ii）的变化，其中有限性的要求被替换为一个绑定。在这种情况下，我们将我们的分析扩展到周期局部分次群和非周期群类。虽然在前一种情况下这两个条件仍然是等价的，但在后一种情况下关于正规化子的条件比关于中心化子的条件更强。

有限p-群中正规化子或中心化子的一些限制

Some restrictions on normalizers or centralizers in finite p-groups

我们研究了有限p-群中正规化子或中心化子的三个限制，即：（i）|N_G（H）：H|对于G中的每个H非正规，&lt;= p^k，（ii）|N_G（<g>）：<g>|对于G中的每个非正规，&lt;= p^k<g>，以及（iii）|C_G（g）：<g>|对于G中的每个非正规，&lt;= p^k<g>。我们证明了（i）和（ii）是等价的，并且当p&gt;2时，满足这三个条件中任何一个的非Dedekind有限p-群的阶是有界的。更准确地说，我们得到了G在所有三种情况下阶的最佳可能界，即|G| &lt;= p^{2k+2}。对于p=2，群的阶不能有界，但是我们能够确定两个无限族的2-群，其中对于某个只依赖于k的函数f（k），|G| &lt;= 2^{f（k）}。

具有奇Sylow正规化子的有限群

Finite Groups with Odd Sylow Normalizers

本文确定了具有奇阶Sylow正规化子的有限群的非阿贝尔合成因子。因此，除其他外，我们证明了麦凯猜想和Alperin重量猜想这些群体。

关于有限群的超中心的Baer定理的推广

On generalizations of Baer's theorems about the hypercenter of a finite group

我们研究了不同类型的子群系统（$\mathfrak{F}$ -极大子群，Sylow子群，循环准素子群）的正规化子和$\mathfrak{F}$ -次正规化子的交集.我们描述了所有的形成$\mathfrak{F}=\underset{i\in I}\times\mathfrak{F}_{π_i}$，其中$G$的所有$\mathfrak{F}_i$ -极大子群的正规化子的交集是$G$的$G$的$\mathfrak{F}$ -超中心。此外，我们描述了所有的形成$\mathfrak{F}$的$\mathfrak{F}$ -subnormalizers的所有Sylow（循环主）子群的$G$的交集是$\mathfrak{F}$ -超中心的$G$的每个组$G$。

对称群的正规化子商与内全形

Normalizer Quotients of Symmetric Groups and Inner Holomorphs

本文证明任意有限群都同构于对称群或交错群中某子群的正规化子商，核心工具是 Cornulier–Sambale 的外自同构群构造以及无中心不可分解有限群内全形正规化子的确定。

2-群的序三正规化子

Order three normalizers of 2-groups

本文研究了有限群的三阶元正规化非平凡2-子群的问题。寻找这些元素的动机来自于模表示理论中的一个问题。当这些元素出现在几乎单群中的问题是由Geoff Robinson在研究亏零的2-块时提出的。对于几乎单群，确定了具有这一性质的三阶元素的完全分类。在此基础上，给出了一类有限群中存在这类元的必要条件。

循环2-子群正规化子的可解补充

Solvable Supplements to Normalizers of Cyclic 2-Subgroups

本文放宽了可解补充条件至仅对循环2-子群成立，刻画了满足该条件的有限群的非交换合成因子为特定PSL2(q)族，并给出可解性的充要条件。

有限Coxeter群中的抛物型正规化子作为子直积

Parabolic Normalizers in Finite Coxeter Groups as Subdirect Products

本文通过Goursat引理将有限Coxeter群中抛物型子群的正规化子视为子直积，并利用格的Galois连接提出新的分解方法，为研究提供了新的对称视角和分类结果。

群的Sylow图与Sylow正规化子

On the Sylow graph of a group and Sylow normalizers

设$G$是一个有限群，$G_p$是$G$的Sylow $p$ -子群，对于$π(G)$中的一个素$p$，是$G$阶的所有素因子的集合.自动化程序$A_p(G)$被定义为组$N_G(G_p)/G_pC_G(G_p)$。我们定义了群$G$的Sylow图$Γ_A(G)$，其顶点集为$π(G)$，如下：如果$q\inπ(A_p(G))$或$p\in π(A_q(G))$，则两个顶点$p,q\inπ(G)$形成$Γ_A(G)$的一条边。定理：设$G$是有限几乎单群。则图$Γ_A(G)$是连通的并且直径不超过5。我们还展示了如何将这一结果可以应用于从其Sylow子群的正规化子中导出关于一个群的结构的信息。

On maximal embeddings of finite quasisimple groups

If a finite quasisimple group G with simple quotient S is embedded into a suitable classical group X through the smallest degree of a projective representation of S, then the normalizer of G in X is a maximal subgroup of X, up to two series of exceptions where S is a Ree group, and four exceptions where S is sporadic.

紧李群的极大子群

Maximal Subgroups of Compact Lie Groups

本文旨在对紧李群（不一定连通）的极大子群的分类作一概述。在第一部分中，它表明，这些自然分为三种类型：（1）平凡型群，它简单地定义为相应分支群的极大子群在标准投影下的逆像，其分类构成有限群中的一个问题;（2）正规型群，它的连通单分支是正规子群;（3）正规化子型群，它们是它们自己的连通单分量的归一化子。本文还证明了如何将后两类极大子群的分类归结为：（2）无中心连通紧致单李群的有限极大$Σ$ -正规子群的分类和（3）紧致单李代数的$Σ$ -本原子代数的分类，其中$Σ$是相应的外自同构群的子群。在第二部分中，我们明确地计算了紧经典李代数的本原子代数（在相应的典型群中）的正规化子，从而得到了紧经典李群的所有（非离散）极大子群的完全分类。

关于正规化子–可解化子猜想_V3

On the Normalizer-Solubilizer Conjecture_V3

本文研究有限群的正规化子–可解化子猜想，给出其整除条件的等价表述，证明一类 Frobenius 正规化子情形下猜想成立，并分类可解化子为 $pq$ 阶极大子群的有限单群。

有限von Neumann Algebras包含的相对弱渐近同态性质

The Relative Weak Asymptotic Homomorphism Property for Inclusions of Finite von Neumann Algebras

有限vonNeumann代数$B\subseteq N\subseteq M$的三元组具有相对弱的渐近同态性质，如果存在$B\subseteq N\subseteq M$中的酉算子网$\{u_λ\}_{λ\in Λ}$使得对所有$x,y\in M$有$$\lim_λ|\mathbb{E}}_B(xu_λy)-{\mathbb{E}}_B({\mathbb{E}}_N(x)u_λ{\mathbb{E}}_N(y))\|_2=0$$.证明了有限vonNeumann代数$B\subseteq N\subseteq M$的三元组具有相对弱的渐近同态性质当且仅当$N$包含所有$x\in M$的集合使得对于$M$中的有限个元素$x_1,...,x_n$，$Bx\subseteq \sum_{i=1}^n x_iB$.这样的$x$称为$B$的单侧拟正规化子，并且由$B$的所有单侧拟正规化子生成的von Neumann代数称为$B$的单侧拟正规化子代数。我们刻画了群von Neumann代数包含的单侧拟正规化子代数，并利用这一刻画说明了单侧拟正规化子代数和拟正规化子代数一般是不相等的。我们也给出了由群的包含所产生的包含$L(H)\subseteq L(G)$的一些应用。例如，当$L(H)$是masa时，我们将酉正规化子代数确定为由$G$中的$H$的正规化子生成的von Neumann代数。

由因子映射和子群胚产生的拓扑全群的最大子群

Maximal subgroups of topological full groups arising from factor maps and subgroupoids

本文通过因子映射和宽开子群胚构造拓扑全群及其换位子群的最大子群，给出最大性判据，并应用于康托尔极小系统，产生 Grigorchuk-Vorobets 猜想中的划分稳定化子及顺从群中的最大子群例子。

某些幂零群和亚循环群的整群环的子群正规化子问题

The Subgroup Normalizer Problem for Integral Group Rings of some Nilpotent and Metacyclic Groups

对群$G$和$G$的子群$H$，本文讨论了$H$在群环$RG$单位上的正规化子.我们证明，$H$只规范化的“明显”的单位，即产品的元素$G$规范化$H$和单位的$RG$集中$H$，提供$H$是循环的。此外，我们还证明了某些幂零群和亚循环群的所有子群在相应群环中的正规化子都尽可能小。这些类包含所有二面体群，所有有限幂零群群和所有有限群，所有Sylow子群是循环的。

Blackburn群的保类自同构与正规化子性质

Class-preserving automorphisms and the normalizer property for Blackburn groups

对于群$G$，令$U$是整群环$\mathbb{Z}G$的单元群。如果$\text{N}_U(G)=\text{Z}(U)G$，则称群$G$具有正规化子性质。证明了Blackburn群具有正规化子性质。这些是具有非正规有限子群的群，它们的交集都是非平凡的。保类自同构是内自同构的群$G$，$\text{Out}_c(G)=1$，具有正规化子性质。最近，Herman和Li证明了有限Blackburn群$G$的$\text{Out}_c(G)=1$.我们证明了几类亚阿贝尔群的成员$G$的$\text{out}_c(G)=1$，由此得到了Herman-Li的结果.结合Hertweck，Iwaki，Jespers和Juriaans最近的工作，我们的主要结果意味着，对于任意的群$G$，$U$的超中心单位群包含在$\text{Z}(U)G$中.

关于某些极大不变子群的指数为素数或素数平方的有限群

On finite groups in which some maximal invariant subgroups have indices a prime or the square of a prime

本文研究有限群在互素自同构群作用下极大不变子群指数为素数或素数平方时的可解性，推广了Hall定理，并完整刻画了非幂零极大不变子群包含某Sylow子群正规化子且指数为素数的有限群。

关于 Shlyk 定理的一个推广

On an extension of Shlyk's theorem

研究将 Shlyk 定理推广至含某 Sylow 子群正规化子的非可解群，证明其所有非幂零极大子群的交具有幂零性。

Braid groups of normalizers of reflection subgroups

Let $W_0$ be a reflection subgroup of a finite complex reflection group $W$, and let $B_0$ and $B$ be their respective braid groups. In order to construct a Hecke algebra $\widetilde{H}_0$ for the normalizer $N_W(W_0)$, one first considers a natural subquotient $\widetilde{B}_0$ of $B$ which is an extension of $N_W(W_0)/W_0$ by $B_0$. We prove that this extension is split when $W$ is a Coxeter group, and deduce a standard basis for the Hecke algebra $\widetilde{H}_0$. We also give classes of both split and non-split examples in the non-Coxeter case.

格的正规化子与算术双曲流形的等距群

Normalizers of lattices and isometry groups of arithmetic hyperbolic manifolds

该研究证明PSL(2,C)及PO(n,1)中算术格的子格正规化子性质，推导投射有限柔性格的集合特征，还证实有限群均可作为算术双曲流形的等距群，证明依赖格正规化子与子群增长理论。

CAT（0）群的交换子群的公量

Commensurators of abelian subgroups in CAT(0) groups

研究了$G$中的虚交换子群$H$的分解子的结构，其中$G$适当地作用在$\mathrm{CAT}(0)$空间$X$上.当$X$是Hadamard流形，$H$是半单流形时，我们证明了$H$的置换子与$H$的有限指数子群的正规化子重合.当$X$是一个$\mathrm{CAT}(0)$立方体复形或一个厚欧氏建筑物，且$G$的作用是胞元时，我们证明了$H$的分解子是$H$的有限指数子群的正规化子的升并.我们探讨了几个特殊的情况下，可以加强的结果，我们讨论了几个例子显示各种假设的必要性。最后，我们提出了一些应用的分类空间的建设与虚拟阿贝尔稳定。

本原置换群的正规化子

Normalizers of Primitive Permutation Groups

设$G$是有限度$n$置换群$A$的可迁正规子群.因子群$A/G$可以被认为是一个特定的伽罗瓦群，人们希望限制它的大小。本文的结果之一是，如果$G$是原语，则$|A/G| < n$是原语，除非是$n = 3^{4}$、$5^4$、$3^8$、$5^8$或$3^{16}$。当$n$是素数时，这个界限是尖锐的。事实上，当$G$是本原时，除非$G$是给定的本原群的无限序列的成员，并且$n$不同于前面列出的整数，否则为$|\mathrm{Out}(G)| < n$。这种风格的许多其他结果不仅建立在置换群上，而且也建立在线性群和伽罗瓦群上。

通过断面研究群

A Study of Groups through Transversals

本文给出了有限群$G$的无核子群$H$的正规化子在$G$中正规的充要条件.利用横截得到了有限群的一个已知结果.

有限型移位的拓扑全群的极大子群

Maximal subgroups of topological full groups of shifts of finite type

该研究探讨有限型移位拓扑全群的极大子群，证明素子群胚的三分性，给出其拓扑全群正规化子为极大的判据，扩展Thompson群V相关结果并得到含交换子群的子群的极大子群数量结论。

有限Coxeter群中元素中心化子的注记

A Note on Element Centralizers in Finite Coxeter Groups

有限Coxeter群$W$的标准抛物子群$W_J$的正规化子$N_W(W_J)$在由$W$中的$W_J$的某些最小长度陪集表示组成的补$N_J$的抛物子群上分裂。在本说明中，我们表明（除了少数情况下产生的情况下，Coxeter群的类型$D_n$）的中心化子$C_W(w)$的一个元素$w \in W$是在一个类似的方式半直积的中心化子$w$在一个适当的小抛物子群$W_J$与补充同构的正规化补充$N_J$。

关于虚自由群类的子群共轭可分性

On subgroup conjugacy separability in the class of virtually free groups

称群G为子群共轭可分群，如果G的任意两个非共轭生成的非共轭子群在G的某个有限商中保持非共轭。证明了有限群的有限树的自由群和基本群在某种正规化子条件下是SCS。引入子群的入共轭可分性，证明了上述群也具有这一性质。

The multiple holomorph of split metacyclic $p$-groups

Given any group $G$, the normalizer $\mathrm{Hol}(G)$ of the subgroup of left translations in the group of all permutations on $G$ is called the holomorph, and the normalizer $\mathrm{NHol}(G)$ of $\mathrm{Hol}(G)$ in turn is called the multiple holomorph. The quotient $T(G) = \mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ has been computed for various families of groups $G$ in the literature. In this paper, we shall supplement the existing results by considering finite split metacyclic $p$-groups $G $ with $p$ an odd prime. We are able to give a closed formula for the order of $T(G)$ when $G$ satisfies so…

关于有限几乎单群的重全形

On the multiple holomorph of a finite almost simple group

设$G$是一个群。令$\mathrm{Perm}(G)$表示其对称群，并将$\mathrm{Perm}(G)$中左平移子群的正规化子写作$\mathrm{Hol}(G)$。$G$的多重全像$\mathrm{NHol}(G)$又被定义为$\mathrm{Perm}(G)$中$\mathrm{Hol}(G)$的正规化子。本文证明了当$G$有限且几乎单时，商群$\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$的阶为2.作为我们的技巧的应用，我们还将发展出一种方法来计算有限几乎单扩张上同构型的Hopf-Galois结构的个数.

具有幂零正规补子群的有限可解群

Finite solvable groups with a nilpotent normal complement subgroup

本文研究有限可解群中非正规无核子群的结构，证明在特定正规化子条件下，该子群存在幂零正规补，且相关构造形成Frobenius群。

任意有限群上McKay猜想的新改进

New refinements of the McKay conjecture for arbitrary finite groups

设$G$是任意有限群，固定一个素数$p$ . McKay猜想断言$G$和Sylow $p$ -子群的$G$中的正规化子有相等数目的不可约特征标，其度不能被$p$整除。Alperin-McKay猜想是将其应用于$G$的单个Brauer $p$ -块的版本。我们提供的证据表明，也许这两种假设的更强形式是正确的。

L-群的异常与反常L-子群

Abnormal and Contranormal L-Subgroups of an L-group

本文利用共轭概念引入L-群的异常与反常L-子群，类比群论研究其性质，并在正规性、极大性、正规化子与正规闭包背景下探讨其关系。

Poincaré series of double coset representatives of Coxeter groups

Let $(W,S)$ be a Coxeter system of finite rank and let $J,K\subset S$. We study the rationality of the Poincaré series of the set of representatives of minimal length of $(W_J,W_K)$-double cosets of $W$: we conclude that it depends mostly on the rationality of the Poincaré series of the normalizers of finite parabolic subgroups of $W$. For affine Weyl groups, we prove that all these series are rational and we give some explicit examples.

非幂零子群自正规化的群

Groups in which every non-nilpotent subgroup is self-normalizing

研究了一类具有非幂零子群等于其正规化子性质的群。这些基团要么是可溶的，要么是完全的。利用上述性质，我们完整地刻画了可解群和有限完满群的结构。此外，我们给出了一些结构信息的无限完美的情况下。

每个非交换子群自正规化的群

Groups in which every non-abelian subgroup is self-normalized

我们研究具有每个非交换子群等于其正规化子的性质的群。这类群体与Berkovich提出的一个公开问题密切相关。我们给出了具有上述性质的有限群的一个完全分类。我们还描述了所有的无限可解群在这个类。

好群的有限完备化中的有限子群

Finite subgroups of the profinite completion of good groups

本文证明剩余有限好群的有限 $p$-子群共轭类可自然双射对应到其有限完备化，并刻画中心化子与正规化子的闭包性质，且推广至有限可解子群并给出几何群论应用。

字双曲群的非拟凸子群具有奇异极限集的一个例子

An example of a non-quasiconvex subgroup of a word hyperbolic group with exotic limit set

构造了一个无挠的自由不可分解的双曲群$G$的拟凸子群$H$的例子，使得$H$的极限集不是$G$的拟凸子群的极限集.特别地，这给出了G.Swarup猜想的一个反例：一个字双曲群的一个单端子群是拟凸的当且仅当它在其虚正规化子中有有限指标。

有限群的Coleman自同构及其极小正规子群

Coleman automorphisms of finite groups and their minimal normal subgroups

本文证明了具有自中心极小非平凡特征子群的有限群的所有Coleman自同构都是内的，从而证明了正规化子性质对这些群成立.利用我们的方法，我们证明了有限单群的全形和圈积，除其他外，没有非内Coleman自同构。作为定理的进一步应用，我们对M.赫特威克和W.金默尔进一步，我们刻画了有限幂零群通过循环$p$ -群扩张的Coleman自同构.最后，我们注意到某些幂零乘幂零群的2幂阶保类自同构是内的，推广了J. Hai和J. Ge的一个结果。

$q^\prime$ -度的Brauer特征标

Brauer characters of $q^\prime$- degree

证明了：如果$p$是素数，且$G$是有限的$p$ -可解群，且满足素数$q$整除$G$的任意不可约$p$ -Brauer特征标的次数的条件，则$G$的某Sylow $q$ -子群的正规化子满足$G$的所有$p$ -正则元的共轭类.

$Sp_6(2^a)$对于McKay、Alperin权和相关的局部-全局猜想是“好的”

$Sp_6(2^a)$ is "Good" for the McKay, Alperin Weight, and Related Local-Global Conjectures

有限群表示论中所谓的“局部-整体”结构将$G$的表示论与某些真子群的表示论联系起来，例如特定$p$ -群的正规化子。最近的结果由几个作者减少了一些这些programmures显示，一定的收集更强的条件持有所有有限的单群。在这里，我们表明，$G=Sp_6(2^a)$是“好”的麦凯猜想，Alperin重量猜想，和他们的blockwise版本的这些减少。

有限幂零群的一个推广

On one generalization of finite nilpotent groups

设$σ=\{σ_{i} | i\in I\}$是素数集$\Bbb{P}$的一个划分，$G$是有限群.如果半直积$(H/K)\rtimes (G/C_{G}(H/K))$是某个$i=i(H/K)$的$σ_{i}$ -群，则称$G$的主因子$H/K$是$σ$ -中心的.如果$G$的每个主因子都是$σ$ -中心的，则称$G$是$σ$ -幂零的.我们说$G$是半$σ$ -幂零的（分别是弱半$σ$ -幂零的），如果$G$的每个非正规（分别是每个非次正规）$σ$ -幂零子群$A$的正规化子$N_{G}(A)$是$σ$ -幂零的.本文确定了有限半$σ$ -幂零群和弱半$σ$ -幂零群的结构.

具有半二面体Sylow 2-子群的有限群的类保持Coleman自同构群

Class-preserving Coleman Automorphisms of Finite Groups with Semidihedral Sylow 2-Subgroups

本文研究了具有半二面体Sylow 2-子群的有限群的类保持Coleman自同构群，证明其具有奇数阶，并扩展了相关文献中的结论。

几乎单群的奇刻画（PhD Thesis 2009）

Odd Characterizations of Almost Simple Groups (PhD Thesis 2009)

在这篇博士论文中，我们讨论了利用某些3-子群的正规化子的结构来识别有限群的方法。我们解释了一种方法，用字符理论和块理论的方法来表征组，我们用这些方法来表征$\alt(9)$。此外，我们描述了一个特定的假设有关的3-本地结构的有限群的局部特征3和表征两个几乎简单的适当扩展的$Ω^+_8(2)$的本地方法组识别的例子。我们还利用局部方法给出了散生单群$\HN$的3-局部刻画，同时应用了特征标理论的结果.

A finite presentation for the balanced superelliptic handlebody group

The balanced superelliptic handlebody group is the normalizer of the transformation group of the balanced superelliptic covering space in the handlebody group of the total space. We give a finite presentation for the balanced superelliptic handlebody group. To give this presentation, we construct a finite presentation for the liftable Hilden group.

关于线性群中某些子群格的下环

On the Lower Garland of Certain Subgroup Lattices in Linear Groups

本文描述了线性群中的中间子群格的下环。这些结果被应用到一般子群格和一类环上的特殊线性群的情形，其中极大非分裂环面的有理点T的群在相应的代数群中。事实证明，这些花环与整个格的区间一致，由T和它的正规化子之间的子群组成。

有限C型单群的归纳McKay条件

Inductive McKay condition for finite simple groups of type C

证明了李型C的单群，即有限射影辛群的归纳McKay条件。利用Isaacs-Malle-Navarro的约化定理和有限单群的分类，给出了McKay猜想对所有有限群的完整证明.在重要的一步中，我们使用了一个新的计数方法来确定有限辛群的不可约特征标在其外自同构群中的稳定子。这是完成了类似的结果，在这些群体中的Sylow d-环面的正规化子的字符。

L-群的pronormal L-子群

Pronormal L-subgroups of an L-group

本文利用共轭L-子群概念引入L-群的pronormal L-子群，在正规性与次正规性背景下研究其性质，并探讨其与正规化子及极大L-子群的关系。

Coxeter群、Lorentz晶格和K3曲面

Coxeter groups, Lorentzian lattices, and K3 surfaces

本文的主要结果描述了（可能无限）Coxeter群的有限抛物子群的正规化子。我们用它来计算一些洛伦兹格和K3曲面的自同构群。