Boundary K-matrices and the Lax pair for 1D open XYZ spin-chain
我们分析了开放$XYZ$模型反射方程的对称性，并逐例求出了它们的解$K^{\pm}$。在一般开边界条件下，给出了一维开$XYZ$自旋链的拉克斯对.
1997-12-22 hep-th nlin.SI solv-int
The hyperbolic BC(n) Sutherland and the rational BC(n) Ruijsenaars-Schneider-van Diejen models: Lax matrices and duality
在本文中，我们构造了具有三个独立耦合常数的双曲BC（n）Sutherland模型和有理BC（n）Ruijsenaars-Schneider-van Diejen模型的正则作用角变量.作为我们的辛约化方法的副产品，我们建立了这些多粒子系统之间的作用角对偶。所提出的对偶约简图建立在BC（n）型有理Ruijsennars-Schneider-van Diejen模型的Lax矩阵的构造上。
2011-09-02 hep-th math-ph math.MP
Quantum Baxter-Belavin R-matrices and multidimensional Lax pairs for Painleve VI
在${\rm Mat}(N,\mathbb C)^{\otimes 3}$中，量子椭圆$R$ -矩阵满足结合的Yang-Baxter方程.后者可以被认为是非交换模拟的费伊恒等式的标量克罗内克函数。本文推广了椭圆函数恒等式的$R$ -矩阵值模拟.特别是，我们提出了对应的费伊身份在${\rm Mat}(N,\mathbb C)^{\otimes 2}$。作为应用，我们利用$R$-矩阵构造了具有四个自由常数的Painlevé VI方程（椭圆形式）的$R$ -矩阵值$2N^2\times 2N^2$拉克斯对.更确切地说，四个自由常数的情况出现在奇数$N$上，而偶数$N$对应于单个常数.
2015-04-06 hep-th math-ph math.AG
N=2 Super-EYM coloured black holes from defective Lax matrices
我们构造了解析的超对称有色黑洞解，即非阿贝尔黑洞解，它不具有渐近非阿贝尔荷，但在视界上具有非阿贝尔荷，这些非阿贝尔荷对两个SU（3）规范N=2 d=的超引力有贡献.分析建设是可能的，由于事实上，主要成分是Bogomol'nyi方程，其中假设球对称承认的拉克斯对制定。有色黑洞所需的拉克斯矩阵一定是有缺陷的，尽管它是非一般的、研究较少的情况，但这是一个小障碍。
2015-04-20 hep-th
Oscillator realisations associated to the D-type Yangian: Towards the operatorial Q-system of orthogonal spin chains
我们提出了一个家庭的新的Lax运营商对应的RTT实现的Yangian与$D$型李代数的表示。这些Lax算子是振子类型的，即一个算子空间是无限维的，而另一个是$\mathfrak{so}(2r)$的第一基本表示。我们利用$D_3$的第一基本表示与$A_3$的$\mathbf{6}$之间的同构，导出了$r=3$的Lax算子，其中对于$A_3$，退化振子型Lax矩阵是已知的.结果被用来概括的拉克斯矩阵的任意秩表示对应的极值节点的简单花边Dynkin图的$D_r$。在每个极值点的独立解的多重性由基本表示的维数给出。我们进一步推导出这些解决方案之间的某些因式分解公式，并建立转移矩阵与振荡器在辅助空间从引入退化的Lax矩阵。最后，通过验证低长度下$D_4$的某些QQ关系，证明了所构造的转移矩阵是$\mathfrak{so}(2r)$自旋链的Baxter Q算子.
2020-06-03 hep-th math-ph math.MP
An introduction to Lax pairs and the zero curvature representation
拉克斯对是寻找某些动力系统守恒量的有用工具。在这篇简要的文章中，我们给出了一个有动机的介绍，一个Lax对矩阵$(L,A)$的想法，首先为机械系统，如线性谐振子，户田链，欧拉刚体和Rajeev-Ranken模型。然后，这是扩展到Lax运营商的一维场论，如线性波和KdV方程和重新制定为零曲率表示通过一个$(U,V)$对，这是说明使用非线性薛定谔方程。其关键思想是实现一个（可能）非线性演化方程作为一对线性方程之间的相容性条件。后者可以是Lax算子$L$的本征值问题和由$A$生成的线性演化方程，对于相应的本征函数。或者，它们可以是一阶线性系统，说明任意矢量关于1+1维规范势$(V,U)$的协变常数。相容性条件是相应规范势的Lax方程$\dot L = [L, A]$或平坦性条件$U_t - V_x + [U, V] = 0$。守恒量然后从Lax和monodromy矩阵的等谱性得出。
2020-04-13 hep-th math-ph math.MP
Integrable boundary conditions and modified Lax equations
我们考虑离散和连续经典可积模型的可积边界条件。由相应的传递矩阵产生的运动的局部积分产生的初始Lax算子的时间演化方程。我们根据经典r矩阵和边界矩阵，系统地识别了离散和连续边界可积模型的修改后的拉克斯对。
2007-12-18 hep-th math-ph math.MP
From Hamiltonian to zero curvature formulation for classical integrable boundary conditions
在1+1维时空中，我们调和了经典可积系统可积边界条件的Hamilton形式和零曲率表示。我们开始从一个超局部泊松代数涉及一个Lax矩阵和两个（动态）边界矩阵。利用Sklyanin的双行传递矩阵公式，导出了Lax矩阵{ \bf}和边界矩阵的Hamilton运动方程，并以零曲率方程的形式表示。该方法的一个关键组成部分是一个边界版本的Semenov-Tian-Shansky公式的生成函数的时间部分的拉克斯对。该过程是说明有限的Toda链，我们得出的拉克斯对大小$2\times 2$为以前已知的哈密尔顿型$BC_N$和$D_N$分别对应于常数和动态边界矩阵。
2018-06-01 hep-th math-ph math.MP
From Dynamical to Numerical R-Matrices: A Case Study for the Calogero Models
在类可积Calogero模型与（半）简单的李代数和对称对李代数在以前的文件中确定，我们分析是否以及在何种程度上是可能的，以找到一个规范变换，传统的拉克斯对与其动力学R-矩阵的一个新的拉克斯对与数值R-矩阵。
2002-12-20 hep-th
Interrelations between dualities in classical integrable systems and classical-classical version of quantum-classical duality
本文通过谱对偶变换将经典自旋链与Gaudin模型联系，以多极点形式表示Lax矩阵，揭示Ruijsenaars对偶并解释为量子-经典对偶的经典版本。
2025-02-21 hep-th math-ph math.MP
Dynamical R-Matrices for Integrable Maps
从Lax表示出发，在$r$ -矩阵方法的框架下，建立了两个可视为Garnier和Neumann系统离散时间类似物的辛映射的可积性.与连续的情况相比，这种离散系统的$r$ -矩阵原来是动力学类型的，值得注意的是，诱导泊松结构出现作为一个线性组合兼容的"更基本的”泊松结构。它还表明，拉克斯矩阵自然导致定义分离变量，其离散和连续的动态进行了研究。
1994-07-07 hep-th nlin.SI solv-int
Lax equations for relativistic ${\rm GL}(NM,{\mathbb C})$ Gaudin models on elliptic curve
Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院斯捷克洛夫数学研究所）；Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）
本文描述了椭圆曲线上具有$n$个单极点的${\rm GL}_{NM}$经典椭圆可积系统，对相对论高丁模型分类，还给出了非均匀 Ruijsenaars 链的相关结果及模型的三角、有理类比。
2026-10-20 hep-th math-ph math.MP
Two--poles R-matrices
研究了由含有谱参数的拉克斯对描述的可积动力系统。通过求解经典的Yang-Baxter方程，当R-矩阵有两个极点时，我们证明了它们可以解释为扭圈代数上的自然运动。
1992-10-02 hep-th
The full integration of black hole solutions to symmetric supergravity theories
我们证明了所有的静态和球对称的黑洞解的理论与对称的目标空间是可积的，我们提供了一个显式的积分方法。这种精确积分是基于描述的黑洞解作为测地线曲线上的模空间的理论时，减少了时间的方向。这些测地线运动方程可以重写为一个特定的拉克斯对方程，数学家们已经提供了积分算法时，初始条件描述的对角化拉克斯矩阵。另一方面，由幂零Lax矩阵描述的解，它起源于极端的规则（小）D = 4黑洞，可以作为在可对角化的情况下获得的解的适当限制而获得，正如我们在对应于规则（和小）D = 4黑洞的生成测地线（即D = 3模型的最一般的测地线模全球对称性）上所示。作为我们分析的副产品，我们给出了显式形式的威克旋转连接的轨道的BPS和非BPS的解决方案，在最大超对称超引力及其STU截断。
2009-10-21 hep-th
On the classical R-matrix of the degenerate Calogero-Moser models
基于$gl_n$，对退化Calogero-Moser模型的标准Lax表示描述了最一般的动量无关动力学r矩阵，并选择了动力学相关性可度量的r矩阵.在有理数情形下，给出了由规范变换得到的非动力学r矩阵作为经典Yang-Baxter方程的反对称解，该方程属于由末行为零的矩阵组成的$gl_n$的Frobenius子代数.
2000-01-05 hep-th math-ph math.MP
Higher order analogues of unitarity condition for quantum R-matrices
本文证明了基本表象下量子$R$ -矩阵的一类$n$阶恒等式.恒等式的集合包括酉性条件作为最简单的条件（$n=2$）。我们的研究是由三阶恒等式提供的Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard连接的交换性的事实启发。另一方面，对于经典的Calogero型可积系统，同样的恒等式产生了$R$ -矩阵值拉克斯对.后一种构造使用量子$R$ -矩阵的解释作为克罗内克函数的矩阵推广。给出了Kronecker函数的高阶标量恒等式的一个证明，并将其自然地推广到$R$ -矩阵恒等式。
2015-11-13 hep-th math-ph math.MP
Why are the rational and hyperbolic Ruijsenaars-Schneider hierarchies governed by the same R-operators as the Calogero-Moser ones?
证明了在一定规范下有理和双曲Ruijsenaars-Schneider模型的Lax矩阵具有二次$r$ -矩阵Poisson括号，它是Calogero-Moser模型的线性$r$ -矩阵Poisson括号的精确二次化.这一现象是解释的几何推导的任意流的两个层次，这原来是由相同的动态$R$ -运营商的拉克斯方程。
1996-05-20 hep-th nlin.SI solv-int
Stationary problems for equation of the KdV type and dynamical $r$-matrices.
我们研究了一个相当普遍的家庭的动态$r$ -矩阵的辅助循环代数${\cal L}({su(2)})$有关的限制流的KdV型方程。这种基本的$r$矩阵结构允许重建Lax表示，并找到一个广泛的可积自然哈密顿系统的分离变量。作为例子，我们详细讨论了Henon-Heiles系统和一个二自由度四次系统。
1995-03-10 hep-th
Planck Constant as Spectral Parameter in Integrable Systems and KZB Equations
通过变形相应的量子${\rm gl}_N$有理$R$ -矩阵，构造了具有$\tilde N$穿孔的特殊有理${\rm gl}_N$ Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard（KZB）方程.它有两个参数。第一个的极限使模型变成普通有理KZ方程。另一种是$τ$。在经典力学的水平上，变形参数$τ$允许将先前获得的修改的Gaudin模型扩展到修改的Schlesinger系统。接下来，我们注意到，通用（椭圆）KZB方程的身份遵循一些额外的关系，适当规范化的$R$ -矩阵。这些关系是（标量）椭圆函数恒等式的非交换类似物。最简单的是酉性条件。二次（在$R$矩阵中）关系由非交换的Fay恒等式生成.特别地，人们可以从费伊恒等式导出量子杨-巴克斯特方程。三次关系为KZB方程提供了恒等式，也为经典的$r$ -矩阵提供了二次关系，这些矩阵可以是经典的Yang-Baxter方程的一半。最后讨论了$R$ -矩阵值线性问题，利用这些恒等式给出了${\rm gl}_{\tilde N}$ Calogero-Moser（CM）模型和Painleve方程。光谱参数的作用是量子$R$ -矩阵的普朗克常量。当量子${\rm gl}_N$-$R$ -矩阵是标量（$N=1$）时，线性问题再现了${\rm gl}_{\tilde N}$ CM模型的具有谱参数的Lax矩阵的Krichever不等式.量子CM模…
2014-10-24 hep-th math-ph math.MP
Classical integrability for beta-ensembles and general Fokker-Planck equations
随机矩阵的β-系综自然地被认为是量子可积系统，特别是由于它们与共形场论的关系，以及最近出现的与量子化Painlevé Hamilton的联系。在这里，我们证明，至少对于{ \it偶数} β，这些系统是经典可积的，例如，有拉克斯对与他们相关联，我们明确地构建。为了得到这个结果，我们证明了在一个空间（和一个时间）维中的每个Fokker-Planck方程的解可以被认为是拉克斯对的本征向量的一个分量。明确发现的拉克斯对取决于找到一个解决方案的管理系统-一个封闭系统的两个非线性偏微分方程的流体动力学类型。这一结果表明，对于所有的β值，一定有一个解。我们发现这个系统的解决方案，甚至整数β在特定的情况下，量子Painlevé II相关的软边的频谱β-合奏。在附加的含时势中，用$β/2$粒子的Calogero系统给出了该解.因此，我们发现了另一种情况，即量子可积性被简化为经典可积性。
2016-06-08 hep-th math-ph math.MP
All 4 x 4 solutions of the quantum Yang-Baxter equation
本文完成对4×4Yang-Baxter方程解的分类，发现非规则解并研究其与量子Yang-Baxter方程的关系，揭示规则解与非规则解之间的对应关系差异。
2026-06-24 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Lectures on Classical Integrability
我们回顾了经典可积系统的一些基本方面。讲座的详细大纲包括：1。介绍和动机，与历史的评论; 2。刘维定理和作用角变量，附示例（谐振子、开普勒问题）; 3.代数工具：拉克斯对，单值性和转移矩阵，经典r-矩阵和交换关系，非超局部泊松括号，与例子（非线性薛定谔模型，主手征场）; 4。经典r-矩阵的特征：Belavin-Drinfeld定理，解析性质，经典结构到量子群的提升; 5.经典逆散射方法求解可积微分方程：孤子解、谱性质和Gel'fand-Levitan-Marchenko方程，并举例（KdV方程、Sine-Gordon模型）。为GATIS网络组织的达勒姆青年研究者综合性学校编写。这是课堂笔记集的一部分。
2016-07-27 hep-th math-ph math.MP
Integrable Structure of Ginibre's Ensemble of Real Random Matrices and a Pfaffian Integration Theorem
在最近的出版物[E。Kanzieper和G. Akemann，Phys. Rev. Lett. 95，230201（2005）; arXiv：math-ph/0507058]中，报道了概率“p_{n,k}“的精确解，以在从Ginibre正交包络（GinOE）随机抽取的“n”乘“n”实非对称矩阵的谱中精确地找到“k”个实本征值。在本论文中，我们提供了一个详细的推导上述结果集中在证明的Pfronan积分定理，我们的分析的统计的GinOE的实特征值的关键成分。我们还发起了一项研究的复杂特征值的相关性，并推导出一个公式的联合概率密度函数的所有复杂的特征值的GinOE矩阵限制有正好“k”的实特征值。在“k=0”的特殊情况下，确定了复特征值的所有关联函数。
2007-03-05 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech hep-th
A theory of algebraic integration
本文将积分的思想推广到一般代数。特别是我们集中在一类代数，我们将呼吁自共轭，具有财产拥有等价的权利和左乘法代数。在这种情况下，总是可以定义一个积分，它具有通常积分的许多性质。例如，如果代数有一个连续的自同构群，那么相应的导子使得通常的分部积分公式成立。我们还讨论了如何在子代数上积分。许多例子进行了讨论，从格拉斯曼代数，在那里我们恢复通常的Berezin的规则。paraGrassmann代数也被认为是，以及代数的矩阵。由于格拉斯曼和paraGrassmann代数可以表示的矩阵，我们还表明，他们的积分可以看到在相应的矩阵的痕迹。一个有趣的应用是，在群代数的情况下，我们表明，我们的定义积分是等价于一个单一的不可约表示群的总和。我们还展示了一些例子的整合非自共轭代数（玻色子和$q$ -玻色子振荡器），并在非结合代数（八元数）。
2001-12-17 astro-ph gr-qc hep-th
The Orbit Method in the Finite Zone Integration Theory
构造了与无扭圈代数的不同分次实现相关联的可积哈密顿系统。这类系统的形式为Loop代数轨道上的Euler - Arnold方程.运动积分的完备性证明与回路代数的实现无关。证明了所得的哈密顿系统与一类非线性偏微分方程的高阶定常方程族是一致的。我们应用一般计划的主要和齐次实现的循环代数$ sl_3(\R)\otimes{\cal P}(λ,λ^{-1}) $。相应的退化轨道方程分别解释为Boussinesq方程和双分量修正KDV方程。标量拉克斯表示的Boussinesq方程中发现的坐标应用德林费尔德-索科洛夫减少程序的轨道。
1995-10-23 hep-th nlin.SI solv-int
Alleviating the non-ultralocality of coset sigma models through a generalized Faddeev-Reshetikhin procedure
Faddeev-Reshetikhin过程对应于经典SU（2）主手征模型的非超定域性的去除。它是通过定义另一种场论来实现的，它具有相同的拉克斯对和运动方程，但具有不同的泊松结构和哈密顿量。根据M. Semenov-Tian-Shansky和A. Sevostyanov，我们展示了如何有可能以类似的方式减轻对称空间西格玛模型的非超局部性。运动方程的等价性仅在这些模型的Pohlmeyer约化水平上成立，这对应于对称空间sine-Gordon模型。因此，这项工作间接地表明，对称空间sine-Gordon模型，由规范Wess-Zumino-Witten作用量与可积势定义，具有温和的非超局部性。第一步需要构建一个可积的离散化这些模型进行确定离散模拟的泊松代数的Lax矩阵。
2012-06-26 hep-th
