Hyperbolic volume, Heegaard genus and ranks of groups
Peter B Shalen
给出了3-流形的基本群的Heegaard亏格和秩的一些性质，并指出它们蕴含着关于双曲体积的新的命题.
Some conjectures about Heegaard genera and ranks of fundamental groups of 3-manifolds are formulated, and it is shown that they imply new statements about hyperbolic volume.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A closed orientable 3-manifold with distinct distance three genus two Heegaard splittings
本文给出了一个闭可定向三维流形的例子，它具有不同距离的三亏格两Heegaard分裂.这证明了Rubinstein和Scharlemann在1998年的论文Genus Two Heegaard Splittings of Orientable 3-Manifolds中描述的闭可定向3-流形的交替亏格2 Heegaard分裂的构造，并不产生所有的交替亏格2分裂，必须增广。
Genus one fibered knots in 3-manifolds with reducible genus two Heegaard splittings
给出了亏格为2的曲面边界上的简单闭曲线分解为具有一个边界分支的环面乘以[0，1]的充要条件.利用这一条件，我们可以判定亏格为2的Heegaard曲面上的简单闭曲线是否为GOF纽结（亏格为1的纤维纽结），从而导致Heegaard分裂。利用这一结果，我们确定了亏格为2的可约Heegaard分裂的3-流形中GOF-纽结的个数及其相对于Heegaard分裂的位置。这是Morimoto和Baker结果的另一个证明。
We collect examples of genus two Heegaard diagrams for compact 3-manifolds admitting each of the eight Thurston geometries.
On the Heegaard genus of contact 3-manifolds
众所周知，Heegaard亏格在3-流形的连通和下是可加的。我们证明了切触3-流形的Heegaard亏格在切触连通和下不一定是可加的。我们还证明了接触亏格（a.k.a.）的一些基本性质。开本亏格），并计算某些三维流形的这个不变量。
An algorithm to determine the Heegaard genus of a 3-manifold
本文给出了一个定理的算法证明：一个封闭的可定向不可约环面3-流形在每个亏格中只有1000个Heegaard分裂，直到合痕。该证明给出了确定超环面3-流形的Heegaard亏格的算法。
Manifolds admitting both strongly irreducible and weakly reducible minimal genus Heegaard splittings
我们构造了无穷多个流形，其中既有强不可约的，又有弱可约的极小亏格Heegaard分裂。构造了闭流形和具有边界环面的流形。
We prove that if a fibered knot $K$ with genus greater than one in a three-manifold $M$ has a sufficiently complicated monodromy, then $K$ induces a minimal genus Heegaard splitting $P$ that is unique up to isotopy, and small genus Heegaard splittings of $M$ are stabilizations of $P$. We provide a complexity bound in terms of the Heegaard genus of $M$. We also provide global complexity bounds for fibered knots in the three-sphere and lens spaces.
Degree one maps between small 3-manifolds and Heegaard genus
利用Heegaard亏格证明了小3-流形之间的一次映射的刚性定理，并给出了它在Heegaard亏格和Dehn手术问题中的一些应用和联系.
Surface bundles with genus two Heegaard splittings
已知存在亏格为任意高的曲面丛，它们具有亏格为2的Heegaard分裂。最简单的例子是塞弗特纤维空间，它以球体为底空间，有三根特殊的纤维，并允许有水平表面。我们的特点是monodromy地图的所有表面束属两个Heegaard分裂，并表明，每一个是积分Dehn手术的结果，在这些塞弗特纤维空间沿环路的Heegaard表面相交的水平面。(This一种类型的手术保留了束结构和Heegaard分裂。
Automorphisms of the 3-sphere that preserve a genus two Heegaard splitting
1933年戈里茨定理的更新证明，展示了3-球面的自同构自同构群的生成元的有限集，该集合保持亏格2的Heegaard分裂。群通过它在某个连通2-复形上的作用来分析。(The更高亏格的Heegaard分裂的类似问题似乎仍未解决。
Computing Heegaard genus is NP-hard
证明了判定三角化3-流形是否允许亏格小于等于$g$的Heegaard分裂的问题{ \sc Heegaard亏格$\leq g$}是NP-困难的.结果是从NP完全问题{ \sc CNF-SAT}到{ \sc Heegaard Genus $\leq g$ }的二次时间约简得出的。
Quantum invariants can provide sharp Heegaard genus bounds
利用Boileau和Zieschang的Seifert纤维三流形的例子，我们证明了Reshetikhin-Turaev量子不变量可以用来提供一个严格大于基本群秩的Heegaard亏格的精确下界。
3-Manifolds with irreducible Heegaard splittings of high genus
非极小亏格的非同位素Heegaard分裂以前只在非常特殊的3-流形上才知道。我们表明，在本文中，他们实际上是一个广泛传播的现象，在3-流形理论：我们展示了一大类的结和流形获得Dehn手术这些结，承认这样的分裂。许多流形具有任意大亏格的不可约Heegaard分裂。所有这些分裂都是水平的，并且在一次稳定化之后，与某些典型的低亏格垂直Heegaard分裂的多次稳定化是同位素的。
Invariant Heegaard Surfaces in Manifolds with Involutions and the Heegaard Genus of Double Covers
设M是一个3-流形，S是一个强不可约Heegaard曲面，f：M \to M是一个对合.我们构造了亏格至多为8 g（S）-7的M的不变Heegaard曲面.因此，给定一个（可能是分支的）双重覆盖π：M \to N，我们得到N的Heegaard亏格上的如下界：g（N）\leq 4 g（S）- 3。我们还得到了分支集的复杂度关于g（S）的一个界。如果我们假设M是非哈肯的，根据卡森和戈登，我们可以在上面的所有陈述中用g（M）代替g（S）。
On unstabilzed genus three critical Heegaard surfaces
设$M$是紧致可定向不可约3-流形，$H$是$M$的亏格为3的不稳定Heegaard分裂.本文将定义$H$的弱约化对的单纯复形，并得到该复形的若干性质。利用这种方法，我们将证明亏格为3的不稳定Heegaard分裂在一定条件下是临界的。此外，我们将表明，标准的亏格3 Heegaard分裂的$T^3$和诱导的Heegaard分裂的三个组件链外部由一定的隧道系统的主要定理的例子是关键的。
Berge's distance 3 pairs of genus 2 Heegaard splittings
根据John Berge发现的一个例子，我们证明了存在一个4-分支链L \subset（S^1 x S^2）#（S^1 x S^2），使得一般地，L上的Dehn手术的结果是一个3-流形，具有两个不等亏格2的Heegaard分裂，并且每个Heegaard分裂的Hempel距离为3。
Equivariant Heegaard genus of reducible 3-manifolds
本文研究了有限群作用下可约3-流形的等变Heegaard亏格，证明其在等变连通和下具有超加性、加性或次加性，并利用三维轨形薄位置理论给出了该亏格的精确界。
On the disk complexes of weakly reducible, unstabilized Heegaard splittings of genus three III - Generalized Heegaard splittings and mapping classes
设$M$是一个可定向的不可约$3$ -流形，其亏格为弱可约的三个Heegaard分裂为极小亏格的Heegaard分裂.本文证明了：如果$[f]$，$[g]\in Mod(M)$给出亏格为2的两个广义Heegaard分裂所组成的两个广义Heegaard分裂的合痕类之间的相同对应，如$[\mathbf{H}]\to[\mathbf{H}']$，则存在差异$[h]=[g]\cdot[f]^{-1}$的代表性$h$，使得（i）$h$保留了通过从$\mathbf{H}'$合并获得的Heegaard表面$F'$的适当选择的嵌入，其中$\mathbf{H}'$是$[\mathbf{H}']$和（ii）$h$发送$F'$的唯一确定的弱还原对$(V',W')$到其自身直到合痕。此外，对于满足上述条件（i）和（ii）的保向自同构$\tilde{h}$，存在$Mod(M)$的两个元素给出对应$[\mathbf{H}]\to[\mathbf{H}']$，使得$\tilde{h}$属于它们之差的合痕类.
The asymptotic behaviour of Heegaard genus
设M是一个具有负曲黎曼度量的闭可定向三维流形。设{M_i}是一个度为d_i的有限正则覆盖的集合. (1)如果M_i的Heegaard亏格的增长比di的平方根慢，则对所有充分大的i，M_i有正的第一贝蒂数. (2)M_i的强Heegaard亏格不能比d_i的平方根增长得更慢。(3)如果M_i的Heegaard亏格比d_i的四次方根增长得慢，则对于所有足够大的i，M_i在圆上纤维化。这些结果为Heegaard梯度猜想和强Heegaard梯度猜想提供了有力的证据.作为（3）的一个推论，我们给出了M可用其有限覆盖的Heegaard亏格虚可积的一个充要条件.
Automorphisms of the three-torus preserving a genus three Heegaard splitting
Heegaard分裂的映射类群是将Heegaard曲面映射到其自身上的环境流形的自同构集合中的连通分量的群。对于亏格为3的Heegaard分裂的3-torus，我们找到了一个八元生成集这个组。其中6个生成元诱导出3-环面的映射类群的生成元，其余2个生成元在3-环面中是平凡的。
Heegaard genus formula for Haken manifolds
给定一个包含一个不可压缩曲面Q的三维流形M，得到了M的Heegaard亏格与M-Q的分支的Heegaard亏格之间的一个不等式.这里，M-Q的分量的亏格之和由关于M的亏格、Q的欧拉示性数和本质环的平行类的数目的线性表达式上界，其中本质环的代表可以同时嵌入M-Q的分量中。
Homeomorphisms of the 3-sphere that preserve a Heegaard splitting of genus two
令${\mathcal H}$是$S^3$的保向同胚的保向Heegaard分裂为亏格2的合痕类的群。本文利用分裂体的圆盘复形的重心重分中的一棵树，得到了${\mathcal H}$的有限表示。
Genus two Heegaard splittings of exteriors of 1-genus 1-bridge knots II
称3-流形M中的纽结K为1-亏格1-桥纽结，如果（M，K）有Heegaard分裂（V_1，t_1）\cup（V_2，t_2），其中Vi是实环面，ti是适当嵌入Vi的边界平行弧.如果一个结的外部有亏格2的Heegaard分裂，我们说这个结有一个解结隧道。自然地，1亏格1桥结K的外部允许亏格2 Heegaard分裂，即，K有一个不打结的隧道。但是，一般来说，有解开隧道，这不是来自这个过程。其中有些可以用环面\partial V_1= \partial V_2来拉平，我们在前面的文章中研究了这种情况。在本文中，我们考虑剩下的情况。
The Goeritz group of the standard genus-g Heegaard splitting of the three sphere, $G_g$, acts on the space of isotopy classes of reducing spheres for this Heegaard splitting. Scharlemann MR2199366 (2007c:57020) uses this action to prove that $G_2$ is finitely generated. In this article, we give an algorithm to construct any reducing sphere from a standard reducing sphere for a genus-2 Heegaard splitting of the $S^3$. Using this we give an alternate proof of the finite generation of $G_2$ assuming the finite generation of the stabilizer of the standard reducing sphere.
Thinning genus two Heegaard spines in the 3-sphere
本文研究了$S^{3}$中闭补图是亏格为两个半体的三价图.我们证明了这样一个图，当放在薄的位置，有一个简单的（即。e.非环路）水平边缘。
The Heegaard genus of amalgamated 3-manifolds
设M和M'是单3-流形，每个流形至少有两个亏格的连通边界.假设M和M'通过它们的边界之间的同胚胶合。然后，我们表明，提供的胶合同胚是“足够复杂的”，Heegaard亏格的合并流形是完全确定的Heegaard亏格的M和M'和亏格的公共边界。这里，一个同胚是“足够复杂的”，如果它是从M的边界到某个曲面S的同胚的合成，接着是S上的伪Anosov的足够高的幂，接着是到M '的边界的同胚。证明使用的双曲几何的合并歧管，广义Heegaard分裂和极小曲面。
Building off ideas developed by Agol, we construct a family of hyperbolic knots $K_n$ whose complements contain no closed incompressible surfaces and have Heegaard genus exactly $n$. These are the first known examples of small knots having large Heegaard genus. Using work of Futer and Purcell, we are able to bound the crossing number for each $K_n$ in terms of $n$.
The mapping class groups of reducible Heegaard splittings of genus two
允许亏格- $2$可约Heegaard分裂的流形是$3$ -球面、$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^1$、透镜空间及其连通和之一.对于除大多数透镜空间外的每一个流形，亏格- $2$分裂的映射类群都被给出。本文研究了其余的类属透镜空间，并通过给出其显式表示，证明了类属- $2$ Heegaard分裂的映射类群对任何透镜空间都是显式表示的.作为应用，我们证明了透镜空间的亏格- $2$ Heegaard分裂的空间的基本群都是可刻划的.
An algorithm to determine the Heegaard genus of simple 3-manifolds with non-empty boundary
本文给出了一个判定具有非空边界的简单三维流形的Heegaard亏格的算法。更一般地说，我们提供了一个算法来确定（环境合痕）所有的Heegaard分裂的任何给定的属的流形。因此，双曲线链路的隧道数量是算法可计算的。我们的技术依赖于鲁宾斯坦的工作几乎正常的表面，也是一个新的结构称为部分平坦的角度理想三角。
Degeneration of Heegaard genus, a survey
我们调查已知的（和未知的）结果的Heegaard亏格的行为，通过各种胶合构造的3-流形。我们考虑的构造是（1）将两个具有不可压缩边界的3-流形粘在一起，（2）将面时间I的边界分量粘在一起，（3）将一个非线性体粘在3-流形的边界上。我们详细介绍了这些情况下，它是已知的，当Heegaard属是小于什么是胶合后的预期。
A topologically minimal, weakly reducible, unstabilized Heegaard splitting of genus three is critical
设（V，W;F）是可定向不可约3-流形M中的弱可约、不稳定亏格3 Heegaard分裂。本文证明了圆盘复形D（F）是可缩的或F是临界的。因此，如果F是拓扑极小的，则F的拓扑指数是2。
Genus two Heegaard splittings of exteriors of 1-genus 1-bridge knots
闭连通可定向3-流形M中的纽结K称为1-亏格1-桥纽结，如果（M，K）分裂为两对实心环面Vi（i= 1，2）和边界平行弧，这种分裂自然地导致K的外部的亏格2 Heegaard分裂，即，K有一个不打结的隧道。然而，一般情况下，反过来并不正确。本文对这类一般情况进行了研究。其中一个结论是，解开隧道可能与圆环\partial V_1= \partial V_2齐平。
Taut foliations of 3-manifolds with Heegaard genus two
本文证明了具有 Heegaard 亏格二的闭可定向不可约 3-流形，若其基本群左可序，则必存在可余定向的紧叶状结构，揭示了群序性质与叶状结构之间的联系。
Complexity and Heegaard genus of an infinite class of compact 3-manifolds
利用具有全测地边界的双曲流形的理论，对每一个大于1的整数n，给出了一类Matveev复杂度等于n，Heegaard亏格等于n+1的双曲流形.这个类的所有元素都有一个亏格n的边界分支，并且这个类的不同成员的数量至少随n呈指数增长。
We define several concordance invariants using knot Floer homology which give improvements over known slice genus and clasp number bounds from Heegaard Floer homology. We also prove that the involutive correction terms of Hendricks and Manolescu give both a slice genus and a clasp number bound.
Non-uniqueness of high distance Heegaard splittings
Kevin Hartshorn证明了如果一个三维流形$M$允许一个Heegaard曲面$Σ$具有Hempel距离$d$，那么$M$中的每个不可压缩曲面至少有亏格$\frac{d}{2}$。Scharlemann-Tomova推广了这一点，证明了在这样的流形中，每隔一个Heegaard曲面的属$g' < \frac{d}{2}$的$M$是$Σ$的稳定化。本文证明了Hartshorn界是sharp的，Scharlemann-Tomova界非常接近sharp.特别地，对于每对整数$g \geq 2, d \geq 2$，我们构造了一个具有亏格$g$、距离$d$ Heegaard分裂和亏格$\frac{d}{2}$的不可压缩曲面的三流形$M$。对于每个$d \geq 4$，我们还构造了一个三流形，其亏格为$g$，距离为$d$的Heegaard曲面为$Σ$，亏格为$g' = \frac{1}{2} d + g - 1$的第二个Heegaard曲面不是$Σ$的稳定化。
A universal bound for surfaces in 3-manifolds with a given Heegaard genus
证明了对给定的正整数g和b，存在一个数C（g，b），使得Heegaard亏格g的任意可定向紧致不可约3-流形至多有C（g，b）个不相交的、非平行的不可压缩曲面，其第一贝蒂数b_1 < b.
The Heegaard genus of bundles over S^1
本文探讨Heegaard亏格，极小曲面，和伪Anosov单值性之间的联系。固定伪Anosov映射φ和整数n，设M_n是S^1上纤维化的3-流形，其单值为φ ^n. JH Rubinstein证明了，对于足够大的n，M_n中亏格至多为h的每个极小曲面同伦到纤维中;因此Rubinstein得出结论，M_n中亏格至多为h的每个Heegaard曲面是标准的，即由两个纤维连在一起得到的。我们证明了这个结果，并讨论了Lackenby和Souto的相关结果.
Genus two Heegaard splittings of orientable three-manifolds
Bonahon-Otal和Hodgson-Rubinstein证明了同一个三维流形（典型的是一个透镜空间）的任意两个亏格为一的Heegaard分裂是同位素的。另一方面，Boileau、Collins和Zieschang证明了某些塞弗特流形具有不同的亏格2 Heegaard分裂。在较早的文件中，我们提出了一种技术比较Heegaard分裂的同一流形，并使用这种技术，推导出唯一性定理的透镜空间分裂作为一个简单的推论。在这里，我们使用类似的技术来检查，在一般情况下，在两个非同位素属两个Heegard分裂相同的3流形比较的方式，特别关注如何相应的超椭圆对合是相关的。
Multiple genus 2 Heegaard splittings: a missed case
一个空白的文件Rubinstein-Scharlemann探讨：新的例子被发现的封闭定向3-流形可能多个亏格2 Heegaard分裂。原始论文中所有例子的共同性质并不普遍地被新例子所共享：一些新例子的亨佩尔距离为3，并且不清楚单一稳定化是否总是使多重分裂成为同位素。
Heegaard genus of the connected sum of m-small knots
证明了：如果$K_1 \subset M_1,...,K_n \subset M_n$是可定向闭三维流形中的m-小纽结，则$E(#_{i=1}^n K_i)$的Heegaard亏格严格小于$E(K_i)$的Heegaard亏格之和（$i=1,...,n$）当且仅当存在$\{1,...,n\}$的真子集$I$，使得$#_{i \in I} K_i$有一条原始子午线.这推广了Morimoto在\cite{morimoto1}中的主要结果.
In this paper, we add examples to Goeritz groups, the mapping class groups of given Heegaard splittings of 3-manifolds. We focus on a Heegaard splitting of genus two of a Seifert manifold whose base orbifold is sphere with three exceptional points of sufficiently complex coefficients, where "sufficiently complex" means that every surgery coefficient p_{l} over q_{l} of each exceptional fiber (in a surgery description) satisfies that q_{l} is congruent to neither +1 or -1 modulo p_{l}.
Obtaining genus 2 Heegaard splittings from Dehn surgery
设K'是S^3中的一个双曲纽结，并假设在K'上的某个距离子午线至少为3的Dehn变换产生一个Heegaard亏格为2的三维流形M。我们证明，如果M不包含嵌入的Dyck曲面（欧拉示性数-1的闭合不可可定向曲面），则相对于M的亏格2 Heegaard分裂，外科手术的结对偶是0-桥或1-桥。在M包含嵌入Dyck曲面的情况下，我们得到类似的结果。作为推论，如果M不包含不可压缩亏格为2的曲面，则K'的隧道数至多为2。
An upper bound on common stabilizations of Heegaard splittings
我们证明了对于同一个3-流形，对亏格$p$和亏格$q$的任意两个Heegaard分裂，亏格至多在3/2 p +2 q- 1处有一个公共的稳定性.我们可以把这与最近的Heegaard分裂的例子相比较，Heegaard分裂的最小公共稳定化至少有$p+q$或$p + 1/2 q$的亏格，这取决于等价的概念。
Bounding the stable genera of Heegaard splittings from below
对每个正整数$k$，我们描述了一个3-流形，其Heegaard曲面的亏格为$2k$和$2k-1$，使得这两个曲面的任何公共稳定化至少亏格为$3k-1$ .我们还表明，对于每一个积极的$n$，有一个3-流形，有$n$成对非同位素Heegaard分裂的相同的属，所有这些都是稳定的。
Heegaard Splittings of Twisted Torus Knots
关于双曲三维流形的Heegaard分裂的分类知之甚少。虽然Kobayashi给出了2桥结外部的Heegaard分裂的完整分类，但我们对其他类别的知识非常有限。特别是，有很少的双曲流形，已知有一个唯一的最小亏格分裂。在这里，我们证明了一个无限类的双曲结的外部，即外部的某些“扭曲的环面结”最初研究的森本，佐久间和横田，有一个独特的最小的属Heegaard分裂属2。我们还推测，这些流形具有不可约但弱可约分裂亏格三。没有已知的例子，这样的Heegaard分裂。
Large embedded balls and Heegaard genus in negative curvature
证明了如果M是一个闭的、连通的、可定向的、具有Heegaard亏格g的双曲3-流形，则g >= 1/2cosh（r），其中r表示M中等距嵌入球的半径.假设Pitts和Rubinstein的一个未发表的结果将其改进为g >= 1/2 cosh（r）+ 1/2。我们也给出了一个上界的体积在翻转距离的Heegaard分裂，并描述双曲球等周面。
Stabilizations of Heegaard splittings of graph manifolds
我们表明，一个稳定后，一个强不可约的Heegaard分裂适当大的图亏格流形是同位素的合并沿着一个修改后的版本的系统的典型环面在JSJ分解。作为推论，适当大亏格的图流形的两个强不可约Heegaard分裂在最多一次高亏格分裂稳定化之后是同位素的。
The Powell Conjecture for the genus-three Heegaard splitting of the $3$-sphere
本文通过证明亏格-$3$约化球复形的连通性，证实了$3$维球面亏格-$3$ Heegaard分裂的Powell猜想，并给出向高亏格推广的框架。
Disk complexes and genus two Heegaard splittings for non-prime 3-manifolds
给定非素3-流形的亏格为2的Heegaard分裂，我们定义了分裂的一个实体的圆盘复形的一个特殊子复形，并证明了它是可收缩的.作为应用，我们首先证明了Haken球面的分裂复形是可收缩的，改进了Lei和Lei-Zhang的结果。其次，我们对非素3-流形的亏格为2的Heegaard分裂进行了分类，推广了Montesinos-Safont的结果。最后，我们证明了分裂的映射类群，称为Goeritz群，通过给出它的显式表示，是完全表示的。
Heegaard Floer correction terms and rational genus bounds
给定有理同调3-球面$Y$的第一同调中的一个元素，可以考虑这个同调类中所有纽结的最小有理亏格。这在$H_1(Y;\mathbb Z)$上定义了一个函数$Θ$，它是由Turaev引入的，作为Thurston范数的类似物。我们将使用Heegaard弗洛尔同调中的校正项给出这个函数的下界。作为推论，我们证明了L-空间中的Floer单纽结在其同调类中是亏格极小元，从而回答了Turaev和Rasmussen关于透镜空间中亏格极小元的问题.
Bridge number, Heegaard genus and non-integral Dehn surgery
我们证明了存在一个线性函数w：N->N，具有如下性质。设K是双曲三维流形M中的双曲纽结，M允许非纵向S^3外科手术。如果K相对于M的一个强不可约亏格g Heegaard分裂处于薄位置，则K与一个厚能级相交至多2 w（g）次.典型地，这表明K关于该Heegaard分裂的桥数至多为w（g），并且K的隧道数至多为w（g）+ g-1。
Handlebody-preserving finite group actions on Haken manifolds with Heegaard genus two
设$M$是一个闭的可定向三维流形，其亏格为2的Heegaard分裂$(V_1, V_2; F)$和一个非平凡的JJ-分解，其中对于$i=1,2$，JJ-环面与$V_i$的交的所有分支在$V_i$中不是$\partial$ -平行的.如果$G$是作用在$M$上的保向同构的有限群，它保持了$M$的Heegaard分裂的每个子体和每个JSJ-分解，则如果$V_j\cap(\cup T_i)$至多由两个圆盘或至多两个环组成，则$G\cong \mathbb{Z}_2$或$\mathbb{D}_2$。
A Presentation For The Automorphisms Of The 3-Sphere That Preserve A Genus Two Heegaard Splitting
Scharlemann构造了一个连通的单纯2-复$Γ$，其作用是由$S^3$的保向同胚的保向同胚类的群${\mathcal H_{2}}$构成的，保向同胚的保向同胚类是一个无纽结亏格2-体$V$的保向同胚类。本文证明了2-复形$Γ$是可收缩的.因此我们得到了${\mathcal H_{2}}$的有限表示。
Knot exteriors with additive Heegaard genus and Morimoto's Conjecture
给定整数g_i > 1（i=1，.，n）我们证明了S^3中存在无穷多个纽结K_i，使得g（E（K_i））= g_i以及K_1，…，K_n是K_1，…，K_n，即g（E（K_1#.# K_n））= g（E（K_1））+.+ g（E（K_n））。(Here，E（）表示外部，g（）表示Heegaard亏格。与[1]的定理1.5一起证明了Morimoto猜想（[2]的猜想1.5）的反例的存在性。[1]小林刚和尤夫·里克关于隧道节数的增长率。J. Reine Angew。数学，592：63- 78，2006. [2]森本坎吉关于隧道节数的超可加性。数学。安。，317（3）：489- 508，2000。
Alternate Heegaard genus bounds distance
设M是一个紧的可定向不可约3-流形，其Heegaard分裂曲面P和Q。那么，要么Q与P的可能稳定拷贝是同位素的，要么分裂P的亨佩尔距离不大于Q亏格的两倍。更一般地，如果P和Q是M中的双可压缩但弱不可压缩的连通闭分离曲面，则a）P和Q可以很好地分离，或者b）P和Q是同位素的，或者c）P的亨佩尔距离不大于Q亏格的两倍。
Handlebody-preserving finite group actions on Haken manifolds with Heegaard genus two - II
设$M$是一个闭的可定向三维流形，其亏格为2的Heegaard分裂$(V_1, V_2; F)$和一个非平凡的JJ-分解，其中对于$i=1,2$，JJ-环面与$V_i$的交的所有分支在$V_i$中不是$\partial$ -平行的.如果$G$是$M$上保持方向的光滑作用的有限群，它保持了$M$的Heegaard分裂的每一个离散体和每一个JJ-分解，则$G\cong \mathbb{Z}_2$或$\mathbb{D}_2$，除非$V_j\cap(\cup T_i)$有三个或更多的$j=1$或2的圆盘分量。
On Heegaard splittings of knot exteriors with tunnel number degenerations
令$K_1, K_2$为两个节点，分别为$t(K_1)+t(K_2)>2$和$t(K_1 # K_2)=2$。然后，本文证明了$E(K_1 # K_2)$的任何亏格为3的Heegaard分裂都是强不可约的，并且$E(K_1 # K_2)$至多有4个亏格为3的Heegaard分裂直到同胚.此外，我们将给出这四种三种Heegaard分裂的完整分类，并给出对应于这些Heegaard分裂的纽结$K_1 # K_2$的解结隧道系统。
A refinement of Johnson's bounding for the stable genera of Heegaard splittings
对于每个整数k > 1，Johnson给出了一个具有亏格为2k和2k-1的Heegaard分裂的3-流形，使得这两个曲面的任何公共稳定化至少有亏格为3 k-1。我们修改了他的论点，以产生一个3-流形的两个Heegaard分裂的亏格2k，使任何共同的稳定，他们有亏格至少3 k。
On the disk complexes of weakly reducible, unstabilized Heegaard splittings of genus three I - the Structure Theorem
设（V，W; F）是可定向不可约3-流形M中的弱可约、不稳定、亏格为3的Heegaard分裂，DVW（F）是圆盘复形D（F）的子集，它由至少一个顶点来自V和至少一个顶点来自W的单形组成。本文描述了DVW（F）的形状，证明了存在一个从DVW（F）的分量到由（V，W;F）的弱约化得到的广义Heegaard分裂的合痕类的函数，其中该函数描述了厚能级如何嵌入到相关压缩体中.
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