A Multivariable Chinese Remainder Theorem
使用秦九韶从13世纪的方法的改编，可以证明线性模方程组a（i，1）x（i）+. + a（i，n）x（n）= b（i）mod m（i），i=1，.，如果m（i）>1是成对的互素，并且在每一行中，至少一个矩阵元素a（i，j）与m（i）是互素，则n具有整数解。孙子剩余定理是A只有一列的特殊情况。
2012-06-22 math.HO math.NT
Number systems and the Chinese Remainder Theorem
一个众所周知的一般化的位置计数系统的情况下，基地是剩余类的$x$模一个给定的多项式$f(x)$的系数（例如）的整数，我们试图构建有限的扩展所有剩余类模$f(x)$，使用适当选择的数字集。我们给出了两个这样的多项式数系的直积或积再次具有相同形式的精确条件。主要工具是孙子剩余定理的一般形式。我们给应用程序的同时数系统的整数。
2011-06-21 math.AC math.NT
Partition theorems and the Chinese remainder theorem
本文利用中国剩余定理证明了一个涵盖欧拉、麦克马洪等所有现有划分定理的综合性定理，并基于特殊完全剩余系推广了欧拉定理，还建立了划分函数间的同余联系。
2023-10-13 math.CO math.NT
Exact and Robust Reconstructions of Integer Vectors Based on Multidimensional Chinese Remainder Theorem (MD-CRT)
鲁棒中国剩余定理（CRT）是最近提出的鲁棒重建一个大的非负整数从错误的编码器。它在信号处理中有许多应用，包括欠采样下的相位展开和频率估计。受多维（MD）信号处理应用的启发，本文提出了整数向量的MD-CRT和鲁棒MD-CRT。具体来说，通过改写抽象CRT的数论术语的环，我们首先得到的MD-CRT的整数向量的整数矩阵模的一般集合，它提供了一个算法，以唯一地重建一个整数向量从它的矩阵，如果它是在基本平行四边形的所有模的最小公右倍数所产生的格。对于某些特殊形式的模，我们给出了显式的重构公式。此外，我们得到了鲁棒MD-CRT的整数向量时，剩余的整数矩阵的所有模左除以其最大公左因子（gcld）是两两交换和互质。提出了两种不同的重构算法，并相应地得到了重构鲁棒性的剩余误差界的两个不同条件，这两个条件与所有模的gcld或gcld的Smith范式生成的格的最小距离的四分之一有关。
2020-08-25 cs.CR cs.IT math.IT
Multi-Stage Robust Chinese Remainder Theorem
众所周知，传统的中国剩余定理（CRT）是不健壮的，在这个意义上，一个小的误差在余数可能会导致大的误差在重建的解决方案。最近提出了一种鲁棒的CRT的特殊情况下，当所有的模的最大公约数（gcd）是大于1，其余的整数分解的gcd的所有模是互质的。在这种特殊情况下，提出了一种由错误的重构器进行闭合重构的方法，并得到了剩余误差存在的一个充分必要条件。它基本上是说，如果$τ$小于所有模的gcd的四分之一，则重构误差由余数误差水平$τ$上界。本文研究了一般模集合的鲁棒重构问题。我们首先提出了一个必要和充分条件的剩余误差的鲁棒重建错误的编码器与一个一般的muduli集，也是相应的鲁棒重建方法。这可以被认为是单级鲁棒CRT。然后，我们提出了一个两阶段的鲁棒CRT分组的模数成几个组如下。首先，单阶段鲁棒CRT被应用到每个组。然后，利用来自所有组的这些鲁棒重建，再次跨组应用单阶段鲁棒CRT。然后，这很容易推广到多级鲁棒CRT。有趣的是，利用这种两阶段鲁棒CRT，即使当剩余误差水平$τ$高于所有模数的gcd的四分之一时，鲁棒重建也保持不变。在本文中，我们还提出了一个算法，如何分组的一组模块，以更好的重建鲁棒性的两阶段的鲁棒CRT在某些特殊情况下。
2013-03-13 cs.CE cs.CR cs.IT
Chinese Remainder Theorem for Cyclotomic Polynomials in $\mathbf{Z}[X]$
利用孙子剩余定理，证明了当$R$是特征不整除$n$的域，$Φ_d$是$d$次分圆多项式时，规范映射\[Ψ_n: R[X]/(X^n-1)\to \oplus_{d|n} R[X]/Φ_d(X)\]是同构的.当$R$是有理数环$\mathbf{Z}$时，这个映射是单射的但不是满射的。本文利用$n$的素因子分解给出了$Ψ_n$（当$R=\mathbb{Z}$）的上核的初等因子的显式表达式.我们还给出了一个图形算法，使用杨表，采取$O(n^{3+ε})$位操作的任何$ε> 0$，以确定史密斯矢量的基础（见定义3.1）的$Ψ_n$的余域。在一般情况下，当$R$是整环时，我们证明了$Ψ: R[X]/(\prod_j f_j) \to \bigoplus_j R[X]/(f_j)$关于标准基的行列式是$\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} \mathcal{R}(f_j, f_i)$，其中$f_i$是两两相对素一元多项式，$\mathcal{R}(f_j, f_i)$是$f_j$和$f_i$的结式.
2015-04-17 math.CO math.NT math.RA
Computing Hilbert Class Polynomials
我们提出并分析了计算Hilbert类多项式$H_D$的两种算法。第一个是惰性素数p的p-adic提升算法，其顺序为判别式D < 0。第二种是利用类群作用于有限域上CM-曲线的改进的中国剩余算法。我们的运行时分析给出了更严格的界限计算$H_D$的所有已知算法的复杂性，我们表明，所有的方法具有可比的运行时间。
2008-02-07 math.NT
$q$-Supercongruences from squares of basic hypergeometric series
给出了基本超几何级数平方截尾形式上的一些新的$q$ -超同余。它们中的大多数模是分圆多项式的立方，其中两个模是分圆多项式的四次方。我们的证明的主要成分是创造性的显微镜方法，El Bachraoui引理，和互质多项式的孙子剩余定理。我们还提出了几个相关的算法供进一步研究。
2021-12-17 math.NT
A $q$-supercongruence modulo the fourth power of a cyclotomic polynomial
本文得到了一个新的具有两个自由参数的模分圆多项式的四次幂$q$ -超同余。我们的主要辅助工具是Watson的基本超几何级数的$_8ϕ_7$变换公式，郭和祖迪林最近提出的“创造性显微”方法和互质多项式的孙子剩余定理。通过对已建立的$q$ -超同余进行适当的参数替换，得到了一些包含Bernoulli数的好同余.
2022-06-27 math.NT
A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers
我们描述了一个计算伯努利数的算法。使用并行实现，我们已经计算了B（k），k = 10^8，这是一个新记录。我们的方法是对许多小素数p计算B（k）模p，然后通过孙子剩余定理重构B（k）.该算法的时间复杂度为O（k^2 log（k）^（2+ log（k）），与利用B（k）和黎曼ζ函数之间关系的现有算法相匹配。我们的实现比zeta函数方法的几个现有实现快得多。
2008-10-13 math.NT
Some $q$-supercongruences modulo the fourth power of a cyclotomic polynomial
利用郭和祖迪林最近提出的创造性的微观方法和互质多项式的孙子剩余定理，我们建立了一个带两个参数模$[n]Φ_n(q)^3$的$q$ -超同余.这里$[n]=(1-q^n)/(1-q)$和$Φ_n(q)$是$q$中的第$n$分圆多项式.特别地，我们证实了郭的一个猜想，并给出了Long超同余的一个完全的$q$ -模拟。后者也是Guo和Schlosser最近得到的一个$q$ -超同余的推广.
2020-09-16 math.CO math.NT
$q$-Supercongruences for multidimensional series modulo the sixth power of a cyclotomic polynomial
本文结合 El Bachraoui 引理、创造性微缩法及互素多项式中国剩余定理，证明模分圆多项式六次幂的二重与三重级数 $q$-超同余式，并导出对应 Van Hamme (D.2) 的超同余式。
2024-08-04 math.CO math.NT
Modular polynomials via isogeny volcanoes
对素数n和任意正整数m，给出了计算环Z[X，Y]和（Z/mZ）[X，Y]中经典模多项式Phi_n的一个新算法.我们的方法使用的n-同构图，有效地计算Phi_n mod p的许多素数p的一个适当的形式，然后应用孙子剩余定理（CRT）。在广义黎曼假设（GRH）下，我们实现了O（n^3（log n）^3 log log n）的预期运行时间，并在O（n^2（log n）^2 + n^2 log m）空间中计算Phi_n mod m.我们已经使用新算法计算Phi_n（n大于5000）和Phi_n mod m（n大于20000）。我们还考虑了几个模函数g，其中Phi_n^g小于Phi_n，允许我们处理n超过60000。
2012-03-27 math.NT
Computing endomorphism rings of Jacobians of genus 2 curves over finite fields
给出了一个算法，给定有限域上定义的亏格为2的曲线$C$和一个四次CM域$K$，判定$C$的Jacobian $J$的自同态环是否是$K$的整数满环.特别是，我们提出了概率算法计算领域的定义，和Frobenius的行动，子群$J[\ell^d]$的主要权力$\ell^d$。我们使用这些算法来创建的第一个实现的lauenträger和劳特的算法计算Igusa类多项式通过孙子剩余定理\cite{el}，我们证明了一些小的例子的算法。我们观察到，在实践中的CRT算法的运行时间是占主导地位的自同态环计算，而是由需要计算$p^3$曲线为许多小素数$p$。
2007-05-30 math.NT
$q$-Supercongruences modulo the fourth power of a cyclotomic polynomial via creative microscoping
利用互素多项式的孙子剩余定理和作者与Zudilin最近提出的“创造性显微”方法，建立了分圆多项式模四次幂的三个$q$ -超同余的参数推广.原始的$q$ -超同余则是从这些参数推广中得出的，通过取极限作为参数趋向于$1$（这里使用了l 'Hopital规则）。特别地，我们证明了Van Hamme的（J.2）超同余的一个完全的$q$ -模拟和一个“发散的”Ramanujan型超同余的一个完全的$q$ -模拟，从而证实了作者最近的两个猜想.我们也给出了一些相关的证明，包括一个模分圆多项式的五次幂的$q$ -超同余.
2019-11-29 math.CO math.NT
$q$-Supercongruences from Jackson's $_8ϕ_7$ summation and Watson's $_8ϕ_7$ transformation
本文利用 Jackson $_8ϕ_7$ 求和、Watson $_8ϕ_7$ 变换、创造性显微方法和中国剩余定理，构造分圆多项式五、六次幂模下罕见的 $q$-超同余式，并给出 Long–Ramakrishna 公式的 $q$-模拟及两个双重级数结果。
2023-04-22 math.CO math.NT
Constructing elliptic curves with a known number of points over a prime field
在密码学中经常需要在给定的n元素域上具有已知点数的椭圆曲线。在素性证明的背景下，Atkin和Morain建议使用复乘理论来构造这样的曲线。该方法的一个步骤是计算Hilbert类多项式H（X）的模n的根，用于基本判别式D。通常的方法是在整数上计算H（X），然后找到模n的根。本文提出了一种改进的孙子剩余定理（CRT），它可以直接从H（X）模足够多的小素数的知识中计算H（X）模n.我们的复杂性分析表明，渐近我们的算法是一个以前已知的方法的改进。
2003-01-22 cs.IT math.AG math.IT
