A Multivariable Chinese Remainder Theorem
使用秦九韶从13世纪的方法的改编，可以证明线性模方程组a（i，1）x（i）+. + a（i，n）x（n）= b（i）mod m（i），i=1，.，如果m（i）>1是成对的互素，并且在每一行中，至少一个矩阵元素a（i，j）与m（i）是互素，则n具有整数解。孙子剩余定理是A只有一列的特殊情况。
2012-06-22 math.HO math.NT
Number systems and the Chinese Remainder Theorem
一个众所周知的一般化的位置计数系统的情况下，基地是剩余类的$x$模一个给定的多项式$f(x)$的系数（例如）的整数，我们试图构建有限的扩展所有剩余类模$f(x)$，使用适当选择的数字集。我们给出了两个这样的多项式数系的直积或积再次具有相同形式的精确条件。主要工具是孙子剩余定理的一般形式。我们给应用程序的同时数系统的整数。
2011-06-21 math.AC math.NT
Partition theorems and the Chinese remainder theorem
本文利用中国剩余定理证明了一个涵盖欧拉、麦克马洪等所有现有划分定理的综合性定理，并基于特殊完全剩余系推广了欧拉定理，还建立了划分函数间的同余联系。
2023-10-13 math.CO math.NT
Exact and Robust Reconstructions of Integer Vectors Based on Multidimensional Chinese Remainder Theorem (MD-CRT)
鲁棒中国剩余定理（CRT）是最近提出的鲁棒重建一个大的非负整数从错误的编码器。它在信号处理中有许多应用，包括欠采样下的相位展开和频率估计。受多维（MD）信号处理应用的启发，本文提出了整数向量的MD-CRT和鲁棒MD-CRT。具体来说，通过改写抽象CRT的数论术语的环，我们首先得到的MD-CRT的整数向量的整数矩阵模的一般集合，它提供了一个算法，以唯一地重建一个整数向量从它的矩阵，如果它是在基本平行四边形的所有模的最小公右倍数所产生的格。对于某些特殊形式的模，我们给出了显式的重构公式。此外，我们得到了鲁棒MD-CRT的整数向量时，剩余的整数矩阵的所有模左除以其最大公左因子（gcld）是两两交换和互质。提出了两种不同的重构算法，并相应地得到了重构鲁棒性的剩余误差界的两个不同条件，这两个条件与所有模的gcld或gcld的Smith范式生成的格的最小距离的四分之一有关。
2020-08-25 cs.CR cs.IT math.IT
Multi-Stage Robust Chinese Remainder Theorem
众所周知，传统的中国剩余定理（CRT）是不健壮的，在这个意义上，一个小的误差在余数可能会导致大的误差在重建的解决方案。最近提出了一种鲁棒的CRT的特殊情况下，当所有的模的最大公约数（gcd）是大于1，其余的整数分解的gcd的所有模是互质的。在这种特殊情况下，提出了一种由错误的重构器进行闭合重构的方法，并得到了剩余误差存在的一个充分必要条件。它基本上是说，如果$τ$小于所有模的gcd的四分之一，则重构误差由余数误差水平$τ$上界。本文研究了一般模集合的鲁棒重构问题。我们首先提出了一个必要和充分条件的剩余误差的鲁棒重建错误的编码器与一个一般的muduli集，也是相应的鲁棒重建方法。这可以被认为是单级鲁棒CRT。然后，我们提出了一个两阶段的鲁棒CRT分组的模数成几个组如下。首先，单阶段鲁棒CRT被应用到每个组。然后，利用来自所有组的这些鲁棒重建，再次跨组应用单阶段鲁棒CRT。然后，这很容易推广到多级鲁棒CRT。有趣的是，利用这种两阶段鲁棒CRT，即使当剩余误差水平$τ$高于所有模数的gcd的四分之一时，鲁棒重建也保持不变。在本文中，我们还提出了一个算法，如何分组的一组模块，以更好的重建鲁棒性的两阶段的鲁棒CRT在某些特殊情况下。
2013-03-13 cs.CE cs.CR cs.IT
Exact Exponent of Remainder Term of Gelfond's Digit Theorem in Binary Case
在二元情形下，给出了主Gelfond数定理余项的精确指数的一个简单公式。
2008-06-07 math.NT
Chinese Remainder Theorem for Cyclotomic Polynomials in $\mathbf{Z}[X]$
利用孙子剩余定理，证明了当$R$是特征不整除$n$的域，$Φ_d$是$d$次分圆多项式时，规范映射\[Ψ_n: R[X]/(X^n-1)\to \oplus_{d|n} R[X]/Φ_d(X)\]是同构的.当$R$是有理数环$\mathbf{Z}$时，这个映射是单射的但不是满射的。本文利用$n$的素因子分解给出了$Ψ_n$（当$R=\mathbb{Z}$）的上核的初等因子的显式表达式.我们还给出了一个图形算法，使用杨表，采取$O(n^{3+ε})$位操作的任何$ε> 0$，以确定史密斯矢量的基础（见定义3.1）的$Ψ_n$的余域。在一般情况下，当$R$是整环时，我们证明了$Ψ: R[X]/(\prod_j f_j) \to \bigoplus_j R[X]/(f_j)$关于标准基的行列式是$\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} \mathcal{R}(f_j, f_i)$，其中$f_i$是两两相对素一元多项式，$\mathcal{R}(f_j, f_i)$是$f_j$和$f_i$的结式.
2015-04-17 math.CO math.NT math.RA
On General Prime Number Theorems with Remainder
证明了对于Beurling广义数，余数形式的素数定理$$π(x) = \operatorname*{Li}(x) + O\left(\frac{x}{\log^{n}x}\right) \quad \mbox{for all } n\in\mathbb{N}$$等价于（对于某些$a>0$）$$N(x) = ax + O\left(\frac{x}{\log^{n}x}\right) \quad \mbox{for all } n \in \mathbb{N},$$，其中$N$和$π$分别是广义整数和素数的计数函数.尼曼（Nyman，Acta Math.81（1949），299-307）已经考虑过这一点，但他关于这一问题的文章中有一些错误。我们还得到了这个素数定理的一个平均版本，在Cesàro意义上的带凸点。
2017-02-17 math.NT
Jacob's ladders, point of contact of the remainder in the prime-number law with the Fermat-Wiles theorem and multiplicative puzzles on some sets of integrals
Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁神学家大学）
本文在黎曼假设下证明了关于费马-威尔斯定理的新函数等价关系，并探讨了素数定律与积分集上的乘法谜题。
2026-01-21 math.NT
On the absence of remainders in the Wiener-Ikehara and Ingham-Karamata theorems: a constructive approach
我们构造了明确的反例，证明了Wiener-Ikehara定理和Ingham-Karamata定理在半平面（甚至整个复平面）的附加解析延拓假设下，不可能得到除经典余项之外的任何余项.
2021-01-16 math.CA math.CV math.NT
Note on the absence of remainders in the Wiener-Ikehara theorem
证明了即使假定Mellin变换在减去半平面极点后的解析延拓，也不可能得到比Wiener-Ikehara定理中的经典余项更好的余项.我们还证明了一个类似的结果的Ingham-Karamata定理。
2018-08-07 math.CA math.CV math.FA
Oscillation of the remainder term in the prime number theorem of Beurling, "caused by a given zeta-zero"
继续以前的研究Beurling zeta函数，在这里，我们证明了两个结果，推广长期存在的知识，关于经典的情况下的黎曼zeta函数和它的一些推广。首先，我们解决的问题，利特尔伍德，谁要求明确的振荡结果提供了一个zeta零是已知的。证明了对于素数$P$生成的给定数系，若Beurling zeta函数$ζ_P$的$ρ_0$为零，则相应的误差项$Δ_P(x):=ψ_{P}(x)-x$（$ψ_{P}(x)$为von Mangoldt求和函数）在任意足够大的区间（如$(π/2-\varepsilon) x^{\Re ρ_0}/|ρ_0|$）内振荡.研究中解释了常数$π/2$的有些神秘的外观。最后，作为本文的下一个主要结果，我们证明了：给定$\varepsilon>0$，存在一个具有素数$P$的Beurling数系，使得$|Δ_P(x)| \le (π/2+\varepsilon)x^{\Re ρ_0}/|ρ_0|$ .在这第二部分中，一个非平凡的低范数正弦多项式的建设是由最近的应用程序美妙的总理随机逼近结果布鲁克和Vindas，谁锐化了突破性的概率建设由于钻石，蒙哥马利和Vorhauer耦合。
2022-09-15 math.NT
Bykovskii-type theorem for the Picard manifold
本文将Bykovskii的一个结果推广到高斯整数上，并证明了Picard流形上短区间内的素测地线定理的一个渐近公式。以前的工作表明，分别由$O(X^{13/8+ε})$和$O(X^{3/2+θ+ε})$，其中$θ$是二次Dirichlet $L$ -函数在$\mathbb{Q}(i)$上的次凸指数的其余部分有界。通过将算术方法与谱指数和的估计和光滑显式公式相结合，我们得到了这两个指数的改进。此外，通过假设$L$ -函数的两个标准结构，我们证明了将指数降到障碍$3/2$以下并有条件地得到$O(X^{34/23+ε})$是可能的.我们还证明了在短区间估计的其余部分对经典的高斯圆问题转移中心的依赖性。
2019-12-12 math.NT
Towards Robustness in Residue Number Systems
从其关于若干模的错误解算器中鲁棒地重建大量的问题，即鲁棒解算问题，可能发生在许多应用中，包括相位展开、从若干欠采样波形中检测频率、无线传感器网络等。最近提出了一种鲁棒中国剩余定理（CRT）方法来解决鲁棒排序问题。本文通过放宽动态范围为所有模的lcm的假设，研究了双模系统的动态范围与鲁棒界之间的折衷。它基本上是说，动态范围的减小可能导致鲁棒性界限的增加。我们首先得到一个一般条件的剩余误差，并推导出精确的动态范围与一个封闭形式的公式的鲁棒性举行。然后，我们提出了简单的封闭形式的重建算法。此外，新获得的双模结果应用于多模块系统的鲁棒重构，并推广到实数。最后，进行了一些模拟来验证我们提出的理论结果。
2016-02-09 cs.IT math.IT math.NT
Second Moment of the Prime Geodesic Theorem for $\mathrm{PSL}(2, \mathbb{Z}[i])$
在高斯整数上的二次狄利克雷$L$ -函数的Lindelöf假设下，Picard群$Γ= \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}[i])$的素测地线定理中的余数$E_Γ(X)$已知由$O(X^{3/2+ε})$有界。通过研究$E_Γ(X)$的二阶矩，我们证明了平均而言，相同的界无条件成立。
2018-12-31 math.NT
Global Field Totients
利用域赋值的余式定理，给出了整体域的范数函数的一个新的观点。本文定义了整体域的欧拉函数，并恢复了经典数论函数的基本分析性质，即乘积公式。此外，我们证明了相关的zeta函数的全纯性。作为一个应用，我们恢复了类似的中值定理的Erdensys，Dressler，和贝特曼通过Weiner-Ikehara定理。
2020-05-12 math.NT
