A Complete Characterization of the Gap between Convexity and SOS-Convexity
本文的第一个贡献是证明了三个基于自然平方和（SOS）的多项式凸性的充分条件，通过凸性的定义，其一阶特征，其二阶特征，是等价的。这三个等价的代数条件，以下称为sos-凸性，可以通过半定规划来检查，而决定凸性是NP-困难的。如果我们分别用$\tilde{C}_{n,d}$和$\tilde{ΣC}_{n,d}$来表示$d$次的$n$变量中的凸多项式和次凸多项式的集合，那么我们的主要贡献是证明了$\tilde{C}_{n,d}=\tilde{ΣC}_{n,d}$当且仅当$n=1$或$d=2$或$(n,d)=(2,4)$ .除$(n,d)=(3,4)$与G.布莱克曼，并将在其他地方出版。我们的结果表明，$n$度变量$d$中凸形式的集合$C_{n,d}$等于自凸形式的集合$ΣC_{n,d}$当且仅当$n=2$或$d=2$或$(n,d)=(3,4)$。为了证明这些结果，我们提出了特别明确的例子多项式在$\tilde{C}_{2,6}\setminus\tilde{ΣC}_{2,6}$和$\tilde{C}_{3,4}\setminus\tilde{ΣC}_{3,4}$和形式在$C_{3,6}\setminusΣC_{3,6}$和$C_{4,4}\setminusΣC_{4,4}$，和一个一般程序，用于构建形式在$C_{n,d+2}\setminusΣC_{n,d+2}$从非负的，但不是SOS形式…
2012-07-15 math.OC
A parameter-free approach for solving SOS-convex semi-algebraic fractional programs
针对带SOS-凸半代数函数的非光滑分式规划问题，提出无参数求解方法，证明其与SDP松弛的强对偶性，仅需求解单个SDP即可得到原问题最优解，还给出了数值算例。
2024-01-30 math.OC
Smaller SDP for SOS Decomposition
计算多项式平方和分解的一种流行的数值方法是将问题转化为半定规划问题，然后用半定规划求解器求解。在本文中，我们专注于减少SDP求解器的输入的大小，以提高这些SDP为基础的方法的效率和可靠性。定义了两种类型的多项式：凸覆盖多项式和分裂多项式。凸覆盖多项式或分裂多项式可以被分解成几个更小的子多项式，使得原始多项式是SOS当且仅当子多项式都是SOS。因此，原始SOS问题可以等效地分解成更小的子问题。证明了凸覆盖多项式是分裂多项式，多元稀疏多项式也很可能是分裂多项式，并在实际应用中可以有效地检测到。给出了多项式为SOS的若干必要条件，这些条件可以快速地反驳那些没有SOS表示的多项式，从而避免调用SDP求解器。所有新的结果导致一个新的SDP为基础的方法来计算SOS分解，这改善了这类方法通过较小的输入，SDP求解器在某些情况下。实验结果表明，该程序得到的单项式个数往往比其他SDP软件得到的单项式个数小于，特别是对于多变量高次多项式。各种测试的数值结果显示我们的程序的性能。
2015-01-01 math.OC
Piecewise SOS-Convex Moment Optimization and Applications via Exact Semi-Definite Programs
本文提出含分段SOS凸函数与投影谱多面体支撑集的无限维矩优化问题的精确SDP重构，可单次求得最优值与概率测度，并通过Newsvendor和收益最大化问题验证。
2024-07-02 math.OC
Interwoven SDP in Primal-Dual Proximal Splitting Methods for Adjustable Robust Convex Optimisation with SOS-Convex Polynomial Constraints
University of New South Wales（新南威尔士大学）
本文提出了一种基于SDP的对偶近端分裂方法，用于求解具有SOS-凸多项式约束的可调整鲁棒凸优化问题，展示了其在两阶段订货模型中的有效性。
2026-02-16 math.OC
Finite convergence of the Moment-SOS hierarchy under hidden convexity
CNRS（法国国家科学研究中心）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）；LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心自动分析与控制研究所）；Toulouse School of Economics (TSE)（图卢兹经济学院）；University of Toulouse（图卢兹大学）
本文研究了在隐含凸性下，矩-SOS层次在有限步内收敛的条件，并提供了精确阶的计算方法，证明了该层次能适应特定实例的隐含凸性特性。
2026-08-06 math.OC
Slow convergence of the moment-SOS hierarchy for an elementary polynomial optimization problem
本文研究一个参数化一元二次优化问题，揭示矩-SOS层级在参数趋于极限值时收敛速度逐渐变慢，并给出了有限收敛阶数随参数变化的估计。
2025-07-07 math.OC
Sparse-BSOS: a bounded degree SOS hierarchy for large scale polynomial optimization with sparsity
我们为多项式最优化问题提供了有界度SOS层次BSOS [7]的稀疏版本。它允许处理满足结构化稀疏模式的大规模问题。当稀疏模式满足运行交集属性时，半定规划的稀疏BSOS层次（具有固定大小的半定约束）收敛到原问题的全局最优值。此外，对于这类SOS-凸问题，有限收敛发生在第一步的层次，就像在稠密版本。
2017-05-27 math.OC
SPLD polynomial optimization and bounded degree SOS hierarchies
Academy for Advanced Interdisciplinary Studies, Northeast Normal University（东北师范大学前沿交叉学科学院）；Shanghai Zhangjiang Institute of Mathematics（上海张江数学研究院）；Department of Applied Mathematics, Pukyong National University（釜庆国立大学应用数学系）；Department of Pedagogy, Dalat University（大叻大学教育学系）
本文提出SPLD多项式及BSOS-SPLD层次结构，用于高效求解相关优化问题，并应用于统计学中的凸多项式回归。
2026-02-03 math.OC
Positively not SOS: pseudo-moments and extreme rays in exact arithmetic
针对正定多项式未必是SOS的问题，提出利用凸对偶性与多项式对称性，以精确算术构造有理系数伪矩证明来验证正定多项式非SOS，还可生成伪矩锥极射线。
2025-09-01 math.OC
Sparse SOS Relaxations for Minimizing Functions that are Summations of Small Polynomials
本文讨论了如何求小多项式（“小”意味着涉及少量变量）的和函数的全局极小值。提出了一些稀疏平方和（SOS）技术。我们比较他们的计算复杂性和下界与以前的SOS松弛。在一定的条件下，我们还讨论了如何从这些稀疏松弛中提取全局极小点。所提出的方法在求解稀疏多项式系统和非线性最小二乘问题时特别有用。数值实验表明，所提出的方法显着提高了以前的方法来解决这些问题的计算性能。最后，我们提出了应用这种稀疏技术在解决多项式系统的非线性微分方程和传感器网络定位。
2007-10-05 math.OC
Finite convergence of the Moment-SOS hierarchy for polynomial matrix optimization
University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文研究了多项式矩阵优化的矩-SOS层次，证明在非退化、严格互补性和二阶充分条件满足时，该层次具有有限收敛性，且通过平坦截断检测收敛性。
2025-01-20 math.OC
Convex Ternary Quartics Are SOS-Convex
本文证明了三元四次凸型是平方和凸的，这是希尔伯特1888年定理的凸类似，并指出利用Hessian矩阵结构对证明至关重要。
2024-04-19 math.AG math.OC
Solving polynomial variational inequality problems via Lagrange multiplier expressions and Moment-SOS relaxations
本文研究了含有映射和可行集的变分不等式问题（简称多项式变分不等式），其可行集由多项式函数刻画（即多项式变分不等式）.我们提出了一个数值算法计算解决方案的多项式VIP的基础上拉格朗日乘子表达式和Moment-SOS层次的半定松弛。我们还扩展了我们的方法，找到更多甚至所有的解决方案多项式VIP。我们表明，本文提出的方法可以找到解决方案或检测不存在的解决方案，在许多步骤，在一些一般的假设。此外，我们还证明了如果VIP是由一般多项式给出的，那么它有200多个Karush-Kuhn-Tucker点，并且我们的方法可以在200多步内求解它。数值实验表明了所提方法的有效性。
2023-03-21 math.OC
Combining SOS and Moment Relaxations with Branch and Bound to Extract Solutions to Global Polynomial Optimization Problems
本文提出了一种求解可行集有界的全局多项式优化问题的近似解的分枝定界算法。该算法是基于SOS/矩松弛和连续平分一个超矩形包含的可行集的搜索问题的组合。在每次迭代中，算法将超矩形的体积与其相关的下界进行比较，以选择和细分现有的超矩形。对于任何期望的精度，如果我们使用足够大的SOS/矩松弛阶数，则该算法保证在某种意义上返回次优点。对于固定阶的SOS/矩松弛，算法的复杂性是线性的迭代次数和多项式的约束的数量。我们说明了算法的有效性为6个变量，5个约束条件下的问题，理想的等式约束产生的不是零维的情况下，现有的基于矩的方法提取的全局极小可能会失败。
2017-04-23 math.OC
A bounded degree SOS hierarchy for polynomial optimization
考虑了紧致基本半代数集$K\subset\R^n$上一般多项式最优化问题$(P):\:f^{\ast}=\min \{\,f(x):x\in K\,\}$的一类新的半定松弛族.该层次结构结合了与Krivine的阳性证书相关联的标准LP-松弛的一些优点和标准SOS-层次结构的一些优点。特别是它具有以下有吸引力的特点：（a）与标准的SOS层次结构相比，对于层次结构中的每个松弛，与半定约束相关联的矩阵的大小是相同的，并且由用户预先固定。(b)与LP-层次相反，对于一类重要的凸问题，有限收敛发生在层次的第一步。最后（c）与使用点评估来声明多项式为零以及使用秩一矩阵相关的一些重要技术使得高效的实现成为可能。非凸问题的样本的初步结果是令人鼓舞的。
2015-06-26 math.OC
Geometry of exactness of moment-SOS relaxations for polynomial optimization
本文研究多项式优化中矩-SOS松弛的精确锥几何，证明精确锥是半定可表示锥的并集，并随松弛阶数增加单调嵌入，推广了实簇上二次优化的既有结果。
2025-07-07 math.OC
An SDP method for Fractional Semi-infinite Programming Problems with SOS-convex polynomials
本文研究了一类涉及s.o. s-凸多项式函数的分式半无限多项式规划问题。对于这样的问题，通过我们以前的工作中提出的一个锥变换和与指标集相关联的二次模，可以构造一个半定规划（SDP）松弛的层次，并且可以得到最优解的收敛上界.本文通过将指数集上非负多项式的Lasserre测度表示引入到二次曲线重构中，给出了求解该问题的一种新的SDP松弛法。这种方法使我们能够计算收敛的下界的最佳和提取近似极小。此外，对于由无穷多个s.o. s-凸多项式不等式定义的集合，我们得到了构造具有半定表示的外逼近的收敛序列的方法。讨论了下界和外近似的收敛速度。
2022-12-27 math.OC
S-SOS: Stochastic Sum-Of-Squares for Parametric Polynomial Optimization
本文提出随机平方和（S-SOS）算法，通过构造半定规划层级求解随机参数化多项式优化的严格下界与全局极小点候选解，并利用 n 体先验诱导稀疏性，成功处理高达 40 个变量、矩阵规模超过 800×800 的传感器网络定位问题。
2024-06-13 math.OC
Postive Semidefinite and Sum of Squares Biquadratic Polynomials
本文证明 $m \ imes n$ 双二次多项式可转化为 $m+n-1$ 变量的三方齐次四次多项式，从而得出 $2 \ imes 2$ PSD 双二次多项式可表示为三个二次多项式平方和，改进了 Calderón 的结果，并给出了其为 SOS 的充要条件与构造性证明。
2025-07-17 math.OC
Non-SOS Positivstellensätze for semi-algebraic sets defined by polynomial matrix inequalities
本文将 Handelman 与 Krivine-Stengle 定理推广至多项式矩阵不等式，提出非 SOS 的正性证书及稀疏表示，并构建规模不随变量数增长的半定规划松弛层级。
2025-09-01 math.OC
Solving Stengle's Example in Rational Arithmetic: Exact Values of the Moment-SOS Relaxations
该研究在有理数算术中解决了Stengle的例子，通过构造SOS证书和矩序列，证明了矩-SOS松弛阶数$r \geq 3$的精确值为$-1/r(r - 2)$。
2025-12-22 math.OC
A Sublevel Moment-SOS Hierarchy for Polynomial Optimization
我们引入了一个子级矩SOS层次结构，其中每个SDP松弛可以被看作是一个中间（或插值）之间的第d和（d+1）阶SDP松弛的矩SOS层次结构（密集或稀疏版本）。通过灵活选择确定SDP松弛中子集的大小（级别）和数量（深度），能够基于机器存储容量获得与d阶松弛相比不同的改进。特别是，我们提供了d=1和组合优化（最大割，混合整数规划）和深度学习（鲁棒性认证，神经网络的Lipschitz常数）中各种类型问题的数值实验，其中标准Lasserre松弛（或其稀疏变体）在计算上是难以处理的。在我们的数值结果中，从次能级松弛的下界提高了从Shor的松弛（一阶Lasserre的松弛）的界限，并显着更接近最优值或最知名的下限/上界。
2021-01-13 math.OC
SOSOPT: A Toolbox for Polynomial Optimization
SOSOPT是用于解决多项式优化问题的Matlab工具箱，介绍了SOS可行性问题、SOS优化及与SDP的联系，涵盖安装、约束设置和优化选项配置。
2013-08-08 cs.SY eess.SY math.OC
Sparse Polynomial Optimization with Matrix Constraints
本文研究带矩阵约束的稀疏多项式优化问题，提出稀疏矩阵Moment-SOS松弛层级，证明其紧致性充要条件、凸情形下的紧致性，给出紧致性检测与极小解提取方法，实验验证了方法的有效性。
2025-10-03 math.OC
Sparse Copositive Polynomial Optimization
Shanghai Jiaotong University（上海交通大学）；Xiangtan University（湘潭大学）；University of California San Diego（加州大学圣迭戈分校）；Hong Kong Baptist University（香港浸会大学）
本文研究了目标函数为稀疏多项式、约束在非负正交体上的半正定优化问题，提出稀疏矩-SOS松弛方法，并证明其在cop-SOS凸性假设下为紧致条件，相较于传统密集方法更具计算效率。
2026-03-31 math.OC
Stability Analysis of Parabolic Linear PDEs with Two Spatial Dimensions Using Lyapunov Method and SOS
本文研究抛物型线性偏微分方程的稳定性。我们考虑两个空间变量和空间依赖多项式系数的偏微分方程。我们用多项式参数化一类李雅普诺夫泛函及其时间导数，并将稳定性表示为多项式上的最优化。我们使用的平方和和Positivstellenestimates结果，数值搜索的解决方案，优化多项式。我们还表明，我们的算法可以用来估计的L2范数的PDE的解决方案的衰减率。最后，我们通过将我们的条件应用于2D生物KISS PDE模型的人口增长和一个额外的例子来验证该技术。
2015-09-13 math.OC
Moment-SOS hierarchy and exit time of stochastic processes
矩平方和（moment sum of squares，Moment SOS）方法给出了多项式约束下的多项式随机微分方程的解的泛函的下界序列，代价是求解规模不断增大的半定最优化问题.在本文中，我们使用椭圆偏微分方程分析的标准结果来证明由该族产生的界的收敛性。我们还使用初等凸分析来描述一个上，下解的解释对偶的线性制定占领措施。的层次结构的实际意义与数值例子说明。
2021-01-15 math.OC
Convergence rate of the moment-SOS hierarchy for univariate polynomial optimization
Faculty of Electrical Engineering, Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学电气工程学院）
该研究证明单变量多项式优化的矩-SOS 层级松弛误差以 $O(1/r^2)$ 收敛，并通过精确示例验证该二次速率最优。
2026-09-18 math.OC
TSSOS: A Moment-SOS hierarchy that exploits term sparsity
本文研究多项式最优化问题。我们展示了如何利用输入多项式的项（或单项式）稀疏性，以获得一个新的收敛层次的半定规划松弛。这种松弛的新颖性（和区别特征）是涉及在迭代过程中获得的分块对角矩阵，该迭代过程完成某些邻接图的连通分量。这些图表与原始数据中出现的项有关，而与变量之间的联系无关。我们的理论框架，然后应用于计算下界的多项式最优化问题随机生成的或来自网络系统的文献。
2020-05-13 math.OC
Efficient Data Structures for Exploiting Sparsity and Structure in Representation of Polynomial Optimization Problems: Implementation in SOSTOOLS
我们提出了一种新的数据结构表示多项式变量的平方和（SOS）程序的解析。在SOS程序中，变量$s(x;Q)$在自变量$x$中是多项式的，但在决策变量$Q$中是线性的。然而，当前的SOS解析器未能利用多项式变量的半线性结构，将决策变量视为其表示中的自变量。这导致在存储和操作多项式变量时产生不必要的开销，从而阻止解析器解决更大规模的最优化问题。为了消除这种计算开销，我们引入了一种新的表示多项式变量，“dpvar”结构，即仿射的决策变量。我们表明，在dpvar表示规模有利的决策变量的数量上的变量的操作的复杂性。我们进一步表明，存储多项式变量所需的内存是相对较小的使用dpvar结构，特别是当利用MATLAB稀疏存储结构。最后，我们将dpvar数据结构集成到SOSTOOLS4.00中，并对几个多项式最优化问题测试了解析器的性能。
2022-09-02 cs.MS math.OC
On the convergence rates of moment-SOS hierarchies approximation of truncated moment sequences
本文通过估计截断伪矩序列与截断矩序列集合间的Hausdorff距离，在紧致性假设下建立了moment-SOS层级收敛速率与Lojasiewicz指数L的联系，并针对多面体、满足PL条件集合及球体等不同域得出了相应的收敛速率。
2025-07-01 math.OC
A Characterization for Tightness of the Sparse Moment-SOS Hierarchy
本文研究稀疏多项式优化的稀疏 Moment-SOS 松弛层次，证明了其紧性当且仅当目标可表为稀疏非负多项式之和，并给出了凸性等充分条件。
2025-05-03 math.OC
Sparse non-SOS Putinar-type Positivstellensätze
最近，紧半代数集上多项式的非SOS Positivstellensätze，遵循Schmüdgen的Positivstellensätze的一般形式，通过适当地用其他类多项式替换SOS多项式而导出。在文献中的一个悬而未决的问题是如何获得类似的结果以下的一般形式的Putinar的Positivstellenstrasse。外推用于在SOS情况下获得这种类型的结果的代数几何工具无法回答这个问题，因为代数几何方法强烈使用SOS多项式类的标志性属性，例如乘法下的闭包和与其他多项式复合下的闭包。在这篇文章中，我们使用一种新的方法，证明了Putinar型Positivstellensätze的存在性，这些Positivstellensätze是使用非负多项式的非SOS类构造的，如SONC，SDSOS和DSOS多项式。甚至不一定非负类的多项式，如算术平均/几何平均多项式的总和可以使用。此外，我们表明，这些证书可以写固有的稀疏特性。这样的特性可以进一步利用时的稀疏结构的多项式的非负性被证明和多项式定义的半代数集的兴趣是已知的。与专注于利用SOS Positivstellensätze中的稀疏性的相关文献相比，后者的结果显示了如何在更一般的设置中利用稀疏性，其中使用非SOS多项式来构造Positivstellensätze。
2021-10-12 math.AG math.CA math.OC
The AHI family of sum of squares polynomials
Indian Statistical Institute, Hyderabad Unit（印度统计研究所海得拉巴分部）
本文提出AHI多项式族，证明其兼具SOS与SONC性质，构造的Π_AHI锥属SOS锥却异于SONC、SDSOS锥，利用其稀疏性可大幅加速多项式优化计算。
2026-08-31 math.OC
Distributionally Robust Optimization with Polynomial Robust Constraints
针对带多项式鲁棒约束的 DRO，本文提出 Moment-SOS 松弛方法，将其转化为带半定约束的线性锥优化，并给出 SOS-凸等价性及非凸全局求解条件，数值实验验证了效率。
2025-05-12 math.OC
Sparse sum-of-squares (SOS) optimization: A bridge between DSOS/SDSOS and SOS optimization for sparse polynomials
University of Oxford（牛津大学）；Imperial College London（帝国理工学院）
本文研究了三种可计算的松弛方法在稀疏非负多项式优化中的关系：稀疏和平方(SOS)优化、对角占优和平方(DSOS)优化以及缩放对角占优和平方(SDSOS)优化。证明了SSOS多项式集合严格包含DSOS/SDSOS多项式空间。因此，当适用时，SSOS优化比DSOS/SDSOS方法更不保守。大规模稀疏多项式优化问题的数值结果证明了这一点，并表明尽管需要求解半正定规划，SSOS优化在某些情况下比DSOS/SDSOS方法更快。
2018-07-14 cs.SY eess.SY math.OC
SOS-Convex Lyapunov Functions and Stability of Difference Inclusions
Princeton University（普林斯顿大学）；Université catholique de Louvain（天主教鲁汶大学）
本文提出SOS-凸Lyapunov函数用于分析线性和非线性差分包含系统的稳定性，证明其在切换线性系统中为必要充分条件，并展示其在非线性系统中对稳定性分析的贡献。
2018-03-06 cs.SY eess.SY math.DS
Using SOS for Analysis of Zeno Stability in Hybrid systems with Nonlinearity and Uncertainy
混合系统表现出在具有连续向量场的系统中不会出现的现象。其中一种现象-芝诺执行-的特征是在有限的时间间隔内发生无限数量的离散事件或转换。这种现象不一定是不希望的，并且确实可以用于捕获物理现象。在本文中，我们研究的问题证明零执行的存在性和稳定性。我们的方法是开发一个多项式时间算法-基于平方和的方法-验证的稳定性的芝诺执行。首先，我们陈述了基于现有结果的局部芝诺稳定性的李雅普诺夫定理。然后，对于多项式向量场的混合系统，我们使用多项式李雅普诺夫函数和半代数几何（Positivstellenestructive结果）减少局部李雅普诺夫条件的多项式变量的凸可行性问题。然后使用平方和编程算法- SOSTOOLS测试可行性问题。我们还将这些结果推广到具有参数不确定性的混合系统，其中不确定参数位于半代数集中。我们还提供了几个例子来说明我们的技术的使用。
2014-09-18 math.OC
Specialized effective Positivstellensätze for improved convergence rates of the moment-SOS hierarchy
该研究针对随机过程出口位置估计的矩-SOS层级，结合两类正定理提出带二次次数界的球面新有效正定理，证明单位球情形下解以超多项式速率收敛，凸显了专用正定理的效用及与问题特性的关联。
2024-03-09 math.OC
A note on the computational complexity of the moment-SOS hierarchy for polynomial optimization
本文研究了多项式优化的 moment-SOS 层次结构的计算复杂性，建立了保证多项式时间计算的代数与几何条件，补充并扩展了 Raghavendra & Weitz (2017) 的早期工作。
2023-05-24 cs.CC math.OC
Complete Trajectory Tracking for Polynomial Differential Variational Inequalities: A Moment-SOS Based Structure-Aware Approach
School of Mathematical Sciences, Chengdu University of Technology（成都理工大学数学科学学院）；State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院数学科学重点实验室）
研究多项式微分变分不等式（PDVI），通过参数空间分层和结构感知SOS-PDVIRK4算法，实现轨迹的完全跟踪与结构切换处理。
2026-06-08 math.OC
SDP Feasibility Problems and sos Representation Ranks for OT-FKM Type Isoparametric Polynomials
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）
研究OT-FKM型等参多项式F（g=4）相关的四次型GF的平方和（sos）性质，通过显式半定规划（SDP）的可行性刻画sos性，并给出sos表示的秩界及刚性结果。
2026-06-18 math.AG math.DG math.OC
Homogenization for polynomial optimization with unbounded sets
Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）；Department of Mathematics, University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校数学系）
本文研究了无界集的多项式优化问题，提出均质化方法和SOS松弛层次，证明在特定条件下该层次具有有限收敛性，并扩展了Putinar-Vasilescu类型的正定定理。
2022-08-19 math.OC
Improving Efficiency and Scalability of Sum of Squares Optimization: Recent Advances and Limitations
众所周知，任何平方和（SOS）程序都可以转换为特定结构的半定程序（SDP），并且其中存在SOS程序的计算瓶颈，因为当SOS程序中涉及的多项式具有大量变量和次数时，由该过程生成的SDP很大且求解成本高。在本文中，我们回顾SOS优化技术，并提出了两个新的方法，以提高其计算效率。第一种方法利用底层SDP的稀疏性来获得计算加速。如果描述问题的多项式的系数具有称为弦稀疏的特定稀疏模式，则可以获得进一步的改进。第二种方法完全绕过半定规划，而是依赖于求解一系列更易处理的凸规划，即线性和二阶锥规划。这就提出了一个问题，如何可以近似锥SOS多项式的二阶表示锥。在文章的最后一部分，我们介绍了一些最近的负面结果与这个问题有关。
2017-10-03 math.OC
Alternative SDP and SOCP Approximations for Polynomial Optimization
在理论上，基于平方和（SOS）多项式的半定规划（SDP）松弛的层次已被证明可以为一般多项式最优化问题（POP）提供任意接近的近似。然而，由于求解SDP的计算挑战，它变得难以使用SDP层次的大规模问题。为了解决这一问题，层次结构的二阶锥规划（SOCP）松弛所产生的SOS多项式条件的限制，最近提出了近似持久性有机污染物。在这里，我们考虑使用SOS条件的SOCP限制的替代方法。特别是，我们表明，SOCP层次结构可以有效地用于加强层次结构的线性规划（LP）放宽持久性有机污染物。具体而言，我们表明，这种解决方案的方法是更有效地找到解决方案的某些持久性有机污染物，更常见的层次结构的SDP弛豫是已知的表现不佳。当POP的可行集是紧集时，这些SOCP层次收敛到POP的最优值。
2017-04-10 math.OC
Polynomial Optimization, Certificates of Positivity, and Christoffel Function
本文揭示多项式优化 Moment-SOS 层次结构中的 SOS 正性证书与 Christoffel 函数及 CD 核的联系，并据此解释上下界层次、建立 CF 分解性质及其与平衡测度正性证书的关系。
2023-04-25 math.AG math.OC
A Bounded Degree SOS Plus SONC Hierarchy for Polynomial Optimization
University of New South Wales（新南威尔士大学）
提出有界次数 SOS+SONC 层级 B-SOS+SONC，结合半定与稀疏结构，证明完备性并给出 SDP-REP 重构，数值上比 B-SOS 下界更紧。
2026-09-23 math.AG math.CO math.OC
High-order Moment Portfolio Optimization via An Accelerated Difference-of-Convex Programming Approach and Sums-of-Squares
均值-方差-偏度-峰度（MVSK）投资组合最优化模型是一个多面体上的四次非凸多项式极小化问题，可以用一个凸差分（DC）规划来表示.在这篇文章中，我们研究了四种DC编程方法来解决MVSK模型。首先，建立了基于投影DC分解和基于凸和平方差（DC-SOS）分解的两种DC公式，其中第二种是新的DC公式。然后，DCA应用于解决这些DC公式。对MVSK模型进行了DCA的收敛性分析。其次，我们提出了一个加速DCA（Boosted-DCA）解决一般的凸约束DC规划涉及光滑和非光滑函数。加速是通过沿DC下降方向的Armijo型的不精确线搜索来实现的，DC下降方向由DCA的两个连续迭代产生。建立了Boosted-DCA的收敛性分析。数值模拟提出的四个DC算法的合成和真实的投资组合数据集的报告。与KNITRO，FILTERSD，IPOPT和MATLAB fmincon优化求解器的比较表明，我们的方法具有良好的性能。特别地，两个DC算法与DC-SOS分解需要较少的迭代次数，这表明DC-SOS分解可以提供更好的凸过逼近多项式。此外，加速版本确实减少了迭代次数，并实现了最佳的数值结果。
2022-05-06 math.OC
An Experimental Comparison of SONC and SOS Certificates for Unconstrained Optimization
求多元实多项式的最小值是一个有着广泛应用的著名难题。我们提出了一个多项式时间算法，通过非负电路多项式（SONC）的总和来近似这样的下界。作为一个主要的结果，我们进行了第一次大规模的比较SONC，使用该算法和不同的几何规划（GP）求解器，与经典的平方和（SOS）的方法，使用几个最常见的半定规划（SDP）求解器。SONC在几种情况下产生与SOS竞争的边界，但使用的时间和内存明显更少。特别是，SONC/GP可以处理比SOS/SDP大得多的问题实例。
2018-08-25 cs.MS math.AG math.OC
Moment-sos and spectral hierarchies for polynomial optimization on the sphere and quantum de Finetti theorems
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Centrum Wiskunde & Informatica (CWI)（荷兰数学与计算机科学研究中心）；Tilburg University（蒂尔堡大学）
本文研究了球面上多项式优化的动量-sos和谱层次方法，证明了谱界收敛速度无法优于O(1/r²)，并提出新的实德芬尼定理以改进相关结果。
2025-09-29 math.OC
Estimator-Based Output-Feedback Stabilization of Linear Multi-Delay Systems using SOS
本文研究多时滞系统基于估计器的输出反馈控制问题。这项工作是最近发展的无限维时滞系统的算子值LMI框架的扩展。基于已有的最优凸状态反馈控制器和广义Luenberger观测器综合条件，设计了基于估计器的输出反馈控制器，使其同时包含当前状态和历史状态的估计。利用SOS方法提出了一种输出反馈控制器综合条件，该条件表示为一组LMI/SDP约束。最后通过仿真算例验证了所提方法的有效性和优越性。
2019-09-12 math.OC
Density, Determinacy, Duality and a Regularized Moment-SOS Hierarchy
LAAS-CNRS, University of Toulouse, France（法国图卢兹大学 LAAS-CNRS）
本文提出了一种正则化的矩-SOS层次结构，能够处理无界集或违反阿基米德性质的有界集问题，通过泛函分析方法和密度结果实现了收敛性证明，并提供了一种单调非递减的下界序列。
2025-12-05 math.OC
Further analysis and extension of the higher-order Newton method of Ahmadi, Chaudhry, and Zhang
本文将Ahmadi等人的d阶牛顿法扩展到带SOS-凸多项式约束的优化，证明其局部收敛阶为d，还分析了三阶牛顿法的最坏情况性能并扩展了全局收敛修正方法。
2026-09-02 math.OC
