Hausdorff measure of Julia sets in the exponential family
Joern Peter
本文研究了指数映射的朱利亚集和逃逸集关于某些度规函数的Hausdorff测度。我们给出了度规函数的增长条件，这些条件分别意味着测度为零或无穷大。
We consider the Hausdorff measure of Julia sets and escaping sets of exponential maps with respect to certain gauge functions. We give conditions on the growth of the gauge function which imply that the measure is zero or infinity, respectively.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the Hausdorff dimension of Julia sets of some real polynomials
证明了多项式$z\mapsto z^d+c$（$d$是偶自然数）的朱利亚集的豪斯多夫维数的$c$实数的上确界大于$2d/(d+1)$ .
The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets
证明了Mandelbrot集$M$的边界具有豪斯多夫维数2，并且对于一般的$c \in \bM$，$z \mapsto z^2+c$的朱利亚集也具有豪斯多夫维数2.证明是基于对抛物型周期点分支的研究。
On the derivative of the Hausdorff Dimension of the Julia sets for z^2+c
设$d(c)$表示多项式$f_c(z)=z^2+c$的朱利亚集$J_c$的豪斯多夫维数。我们将研究当实参数$c$趋于抛物线参数时函数$d(c)$的行为。
McMullen's and geometric pressures and approximating Hausdorff dimension of Julia sets from below
我们引入了黎曼球面上有理函数（包括非双曲函数）的几何压力概念的新变体，希望它们中的一些能对从朱利亚集的双曲豪斯多夫维数以下快速逼近有用。
The Recurrence Rate and Hausdorff Dimension of a Neighbourhood of some Typical Point in the Julia Set of a Rational Map
本文考虑了限制在朱利亚集上的双曲有理映射，研究了其周围任意小邻域内典型轨道的常返率及其与小邻域的豪斯多夫维数的关系.
On Hausdorff dimension of polynomial not totally disconnected Julia sets
证明了对于任意一个复变数的多项式，只要它的次数不小于2，且Julia集不是全不连通的，也不是圆，也不是区间，则该朱利亚集的豪斯多夫维数大于1.到目前为止，这只在相关的朱利亚集的情况下才知道。我们还给出了一个例子的多项式与非连接的，但不是全不连通的朱利亚集，使其所有组成部分包括多个单点是解析弧，从而解决了一个问题，克里斯托弗主教，谁问是否每个这样的组件必须有豪斯多夫维数大于1。
Hausdorff dimension and biaccessibility for polynomial Julia sets
研究了任意次连通多项式朱利亚集的双可达点集$d\geq 2$ .证明了除非朱利亚集是区间，否则双可达点对应的外角集的豪斯多夫维数小于1.这加强了斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫和安娜·兹杜尼克的定理：他们证明了同一组外角的一维测度为零。
Hausdorff dimension of Julia sets of unicritical correspondences
证明了如果$β>1$是有理数，且全纯对应$z^β+c$的朱利亚集$J$是一个局部最终到双曲排斥子，则$J$的豪斯多夫维数由压力函数的零点从上到下有界.因此，我们得出结论，对应的朱利亚集有零勒贝格测度接近零的参数，只要$q^2<p$和$β=p/q$在最低的条款。
Hausdorff dimension of Julia sets in the logistic family
闭区间和圆是多项式动力学中唯一的光滑朱利亚集。D. Ruelle证明了靠近圆的单临界朱利亚集的豪斯多夫维数解析地依赖于参数。在Mandelbrot集M的尖端附近，豪斯多夫维数通常是不连续的。问一个关于J-C的问题。Yoccoz在共形环境下，我们观察到二次朱利亚集的豪斯多夫维数连续依赖于$c$，并在一维勒贝格测度意义下，找到了大多数实参数在M尖端的显式界.
Hausdorff measure of escaping and Julia sets for bounded type functions of finite order
证明了$ρ$级有界型超越整函数的逃逸集和朱利亚集都变小为$ρ\to\infty$ .更确切地说，它们的Hausdorff测度关于规范函数$h_γ(t)=t^2g(1/t)^γ$是无穷的，其中$g$是某个指数映射的线性化子和$γ\geq(\logρ(f)+K_1)/c$的逆，但对于足够大的$ρ$，存在一个有界型函数$f_ρ$，其阶为$ρ$，使得当$γ'\leq(\logρ-K_2)/c$时，$f_ρ$关于$h_{γ'}$的逃逸集和Julia集的Hausdorff测度为零。
Hausdorff and topological dimension for polynomial automorphisms of $\C^2$
设$g$是$\C^2$的多项式自同构。研究了$g$的朱利亚集的豪斯多夫维数和拓扑维数.证明了当$g$是双曲映射时，朱利亚集的豪斯多夫维数严格大于它的拓扑维数.而且，朱利亚集不能局部连通。我们还提供了估计的尺寸的朱利亚集在一般情况下（不一定是双曲）。
Lebesgue measure of Feigenbaum Julia sets
构造了朱利亚集具有正勒贝格测度的Feigenbaum二次多项式.他们提供了第一个例子的理性地图的双曲维数是不同的豪斯多夫维数的朱利亚集。相应的参数集具有正的豪斯多夫维数。
On measure and Hausdorff dimension of Julia sets for holomorphic Collet--Eckmann maps
设$f:\bar\bold C\to\bar\bold C$是Riemann球面上的有理映射，使得对于每个$f$ -临界点$c\in J$，其前向轨迹不包含任何其他临界点，$|(f^n)'(f(c))|$指数快速增长（Collet-Eckmann条件），不存在抛物周期点，否则使得Julia集不是整个球面.则Julia集的光滑（Riemann）测度为0。对于$f$还满足Masato Tsujii的条件，即$f^n(c)$到临界点集的平均距离不太小，我们证明了Julia集的豪斯多夫维数小于2.对于参数$c$的正线性测量集，这是具有$c$实数的$f(z)=z^2+c$的情况，即$0\in J$。
Hausdorff dimension and conformal measures of Feigenbaum Julia sets
我们证明了与有理映射和Kleinian群之间的字典和“hairiness现象”所提出的预期相反，存在许多Feigenbaum朱利亚集$J(f)$，其豪斯多夫维数严格小于2.证明了对任意FeigenbaumJulia集，Poincaré临界指数$\de_\crit$等于双曲维数$\HD_\hyp(J(f))$ .此外，如果$\area J(f)=0$，则为$\HD_\hyp (J(f))=\HD(J(f))$。在静止情况下，最后一个语句可以颠倒过来：如果$\area J(f)> 0$，则$\HD_\hyp (J(f))< 2$。我们还给出了一个新的构造$J(f)$上的共形措施，这意味着他们存在的任何$\de\in [\de_\crit, \infty)$，并分析其标度和耗散性/保守性属性。
On the directional derivative of the Hausdorff dimension of quadratic polynomial Julia sets at -2
令$d(δ)$表示多项式$f_δ(z)=z^2-2+δ$的Julia集的豪斯多夫维数。在本文中，我们将研究的方向导数的功能$d$沿方向降落在参数$0$，这对应于$-2$的情况下，家庭$p_c(z)=z^2+c$。我们将考虑所有的方向，除了一个$δ\in\mathbb{R}^+$，它是在曼德尔布罗特集。我们将证明PDMATHAMO的方向导数的渐近公式。此外，我们将看到，在封闭的左半平面中，导数对所有方向都是负的。计算机计算表明，除了在$\mathbb{R}^+$周围有一个圆锥（开角约为$74^\circ$）外，它都是负的。
Lower bounds on the Hausdorff dimension of some Julia sets
本文提出严格计算全纯映射 Julia 集 Hausdorff 维数下界的算法，用于无限可重整二次多项式并给出参数区间上的分段常值下界，同时验证相关 $C^1$ 光滑性猜想。
On the Hausdorff dimension of the set of non-escaping points in the Julia set
本文研究整函数族$f_\lambda(z)=f(\lambda z)$的Julia集中非逃逸点集合的Hausdorff维数，给出当$|\lambda|\to 0$时维数趋于1的条件，并推广了指数函数情形。
On the Hausdorff dimension of the Julia set of a regularly growing entire function
证明了如果超越整函数f的增长是充分正则的，则f的朱利亚集和逃逸集的豪斯多夫维数为2.
Area and Hausdorff dimension of Sierpiński carpet Julia sets
证明了朱利亚集是面积为正的Sierpienski地毯的有理映射的存在性.这样的有理映射可以被构造成使得它们要么包含Cremer不动点，要么包含Siegel圆盘，要么是无限可重整的。我们还构造了面积为零但豪斯多夫维数为2的Sierpienski地毯朱利亚集.对任意给定的$s\in(1,2)$，证明了具有豪斯多夫维数的Sierpienski地毯朱利亚集的存在性，该集的维数恰为$s$ .
The Hausdorff dimension of Julia sets of meromorphic functions in the Speiser class
证明了对每个$d\in (0,2]$，存在一个亚纯函数$f$，使得$f$的反函数具有三个奇点，且$f$的朱利亚集具有豪斯多夫维数$d$ .
Cantor Julia sets with Hausdorff dimension two
证明了豪斯多夫维数为2的Cantor朱利亚集的存在性.特别地，这样的例子可以在三次多项式中找到。证明是基于Branner-Hubbard对三次多项式的参数空间和动力平面的刻画以及Shishikura在20世纪90年代发展的抛物分歧理论。
On the directional derivative of the Hausdorff dimension of quadratic polynomial Julia sets at 1/4
令$d(\varepsilon)$和$\mathcal D(δ)$分别表示多项式$p_\varepsilon(z)=z^2+1/4+\varepsilon$和$f_δ(z)=(1+δ)z+z^2$的朱利亚集的豪斯多夫维数。在本文中，我们将研究的方向导数的功能$d(\varepsilon)$和$\mathcal D(δ)$沿方向降落在参数$0$，它对应于$1/4$的情况下，家庭$z^2+c$。我们将考虑所有的方向，除了一个$\varepsilon\in\mathbb{R}^+$（或$δ$参数化中的两个假想方向），它在Mandelbrot集之外，并且与抛物内爆现象有关。我们证明了在封闭的左半平面的方向$d$的导数是负的。计算机计算表明，除了在$\mathbb{R}^+$周围有一个锥（开角约为$150^\circ$）外，它都是负的。
Examples of Feigenbaum Julia sets with small Hausdorff dimension
我们给出了无穷可重正化的二次多项式$F_c: z\maps to z^2+c$与平稳组合的例子，其朱利亚集的豪斯多夫维数任意接近1。所涉及的重整化的组合学接近于切比雪夫重整化。该论点是基于一个新的工具，一个“递归二次估计”的庞加莱系列的无限重规范化的地图。
Quasisymmetric uniformization and Hausdorff dimensions of Cantor circle Julia sets
对于双曲有理映射的Cantor圆朱利亚集，我们证明了它们与标准Cantor圆是拟对称等价的（即，连接的组件是圆形的圆）。这给出了双曲有理映射的康托圆朱利亚集的拟对称一致化.通过分析朱利亚集为Cantor圈的有理映射的组合信息，给出了任意固定次数的有理映射的模空间中Cantor圈双曲分支个数的计算公式.计算了Cantor圈朱利亚集的豪斯多夫维数，证明了对于有理映射空间中的任意Cantor圈双曲分支$\mathcal{H}$，$\mathcal{H}$中映射的朱利亚集的豪斯多夫维数的下确界等于任意代表$f_0\in\mathcal{H}$的朱利亚集的共形维数，豪斯多夫维数的上确界等于$2$ .
The size of the Julia set of meromorphic functions
在非常一般的条件下，给出了有穷级亚纯函数的朱利亚集的双曲维数和豪斯多夫维数的下界.
The growth rate of an entire function and the Hausdorff dimension of its Julia set
设f是Eremenko-Lyubich类B中的超越整函数.我们给出了f的朱利亚集的豪斯多夫维数的一个下界，它依赖于f的增长.这个估计是最好的可能性，并通过证明一个更一般的结果有关的逃逸集的大小的函数与对数道。
Shapes of polynomial Julia sets, revisited
复平面上的任何不相交的、相互外的Jordan曲线的有限并可以在Hausdorff拓扑中任意地用多项式朱利亚集来近似。此外，证明是建设性的。
On the geometry of Julia sets
我们证明了参数在Mandelbrot集的双曲分量中的二次映射的朱利亚集由一个跨级数公式给出，在任何排斥的周期点快速收敛。保角变换，我们得到$J$从较低的豪斯多夫维数的平滑曲线，通过越来越多地重新缩放的基本“砖”从transseries表达式获得的取代件的更规则的曲线。在保角变换下，$J$的自相似性在公式中得到了体现。利用transseries公式估计了$J$的豪斯多夫维数。分析扩展到多项式映射。
On the Lebesgue measure of the Feigenbaum Julia set
我们证明了Feigenbaum多项式的朱利亚集的豪斯多夫维数小于~2（因此它的勒贝格测度为零）.这解决了一个长期悬而未决的问题。
Transcendental Julia Sets of Minimal Hausdorff Dimension
本文证明存在超越整函数，其朱利亚集豪斯多夫维数为1且每个法图分支无限连通，并存在单点补分支，解答了Rippon和Stallard的问题，方法基于拟共形手术。
Shapes of Polynomial Julia Sets
复平面上的任何Jordan曲线都可以在Hausdorff拓扑中用多项式的朱利亚集任意好地逼近。不相交的Jordan域的有限集合可以用有理映射的吸引盆来近似。
A generalized family of transcendental functions with one dimensional Julia sets
构造了一类广义超越（非多项式整）函数族，其中朱利亚集的豪斯多夫维数和packing维数均为1.此外，存在多连通游荡域，动力学可以被完全描述，并且对于任何$s\in(0,+\infty]$，存在从这个家族中取出的具有增长阶$s$的函数。Baker在1975年证明了超越函数的豪斯多夫维数不小于小于1，最小值是Bishop在2018年通过一个优雅的构造得到的。在Bishop构造中增长级为零，这里的函数族具有任意正的甚至无限的增长级。
Hereditarily non Uniformly Perfect non-Autonomous Julia Sets
遗传非一致完美（HNUP）集是由Stankewitz，Sugawa和Sumi在\cite{SSS}中引入的，他们给出了几个基于康托尔集的例子。我们展示了一类例子，在非自治迭代，其中一个认为是在一般允许变化的序列的多项式组成。特别是，我们给出了一个尖锐的标准时，朱利亚集从我们的类将HNUP，我们表明，最大可能的豪斯多夫维数$1$这些朱利亚集可以达到。后者的证明考虑朱利亚集作为一个非自治的共形迭代函数系统的极限集，我们计算豪斯多夫维数使用的Bowen的公式在由Rempe-Gillen和Urbánski \cite{RU}的文件中给出的一个版本。
Plane trees, Shabat-Zapponi polynomials and Julia sets
嵌入平面的树是一个dessin d 'enfant，它的Belyi函数是一个多项式- Shabat多项式。该多项式的Zapponi形式是唯一的，因此我们可以将其Shabat-Zapponi多项式的朱利亚集对应为嵌入树。在这个纯粹的实验工作中，我们研究树的形式和属性（形式，连通性，豪斯多夫维数）的朱利亚集之间的关系。
Hyperbolic dimension of Julia sets of meromorphic maps with logarithmic tracts
证明了对于具有对数道的亚纯映射（例如$\mathcal B$类中具有有限个极点的整映射或亚纯映射），朱利亚集包含一个大于1的豪斯多夫维数的紧不变双曲康托尔集.因此，朱利亚集的双曲维数大于1。
The omega-limit sets of quadratic Julia sets
本文刻画了二次映射树朱利亚集的$\w$-极限集.我们使用鲍德温的符号表示这些空间作为一个非Hausdorff行程空间，并证明了二次映射与树突朱利亚集有阴影，也为所有这样的地图，一个封闭的不变集是一个点的$\w$-极限集当且仅当，它是内部链传递。
Hausdorff dimension of biaccessible angles for quadratic polynomials
多项式$p$的朱利亚集的点$z$被称为双可达的，如果两个动态射线落在$z$ ; Mandelbrot集中的点$z$被称为双可达的，如果两个参数射线落在$z$。在这两种情况下，我们说这两条射线的外角也是双可达的。本文给出了二次多项式双可达外角的豪斯多夫维数在动力空间和参数空间中的上、下界.特别地，明确地描述这些二次多项式，其中这个维度等于1（当且仅当朱利亚集是一个区间），并且当它等于0时，即，在多项式$z^2$的有限直接分叉处，以及其极限点。
Rational maps with Cantor bubble Julia sets
本文研究有理映射中康托尔气泡Julia集的存在条件，构造了高周期吸引周期和二维Hausdorff维数的气泡Julia集，并给出其与康托尔圆气泡准对称等价的充分条件。
Hausdorff measure of hairs without endpoints in the exponential family
Devaney和Krych表明，对于$0<λ<1/e$，$λe^z$的朱利亚集由成对不相交的曲线组成，称为头发，连接有限点，称为头发的端点，与$\infty$。McMullen证明了朱利亚集有豪斯多夫维数$2$，Karpienska证明了没有端点的头发集有豪斯多夫维数$1$。研究了无端点的头发集的Hausdorff测度对哪些度规函数是有限的。
The size of Julia sets of quasiregular maps
孙道春和杨洛证明了有理函数的Fatou-Julia迭代理论的许多结果推广到了黎曼球面上的拟正则自映射，其次数超过了伸缩量。我们表明，在这种情况下，在对比的情况下，有理函数，朱利亚集可能有豪斯多夫维数为零。另一方面，我们证明了一个依赖于度和伸缩量的度规函数，使得关于这个度规函数的Hausdorff测度总是正的，但也可能是有限的.
Non-uniform hyperbolicity in complex dynamics
我们研究了满足可和性条件的有理函数，这是一类沿临界轨道展开的弱条件。假设它们的适当的版本，我们得到许多很好的性质：存在一个唯一的，遍历的，和非原子共形测度的指数等于朱利亚集的豪斯多夫维数。存在关于这个共形测度的绝对连续的不变测度。朱利亚集的Minkowski维数严格小于2。要么朱利亚集是整个球面，要么动力学是不稳定的。对于这样的多项式和Blaschke积，朱利亚集是共形可去的。不变Fatou分支的边界的连通分支是局部连通的。最后，我们得到了Jakobson-Benedicks-Carleson定理的一个共形类似定理，并证明了Julia集的豪斯多夫维数对Mandelbrot集上几乎所有点关于调和测度的外连续性.部分结果推广到了区间上的多峰映射。
Julia sets of random exponential maps
对于正实数序列$(λ_n)$，我们考虑指数函数$f_{λ_n} (z) = λ_n e^z$和合成函数$F_n = f_{λ_n} \circ f_{λ_{n-1}} \circ ... \circ f_{λ_1}$。对于这样一个非自治族，我们可以类似于自治迭代的通常情况定义Fatou和朱利亚集。本文的目的是研究Julia集如何依赖于序列$(λ_n)$。在其他结果中，我们证明了随机序列$\{λ_n \}$的Julia集，从$\frac{1}{e}$的邻域中均匀选择，是概率为$1$的全平面。证明了$\frac{1}{e} + \frac{1}{n^p}$的Julia集是$p < \frac{1}{2}$的整个平面，并给出了一个$0$的迭代从任意指标开始收敛到无穷大的序列$\{λ_n \} $的例子，但Fatou集是非空的.
Hyperbolic dimension and radial Julia sets of transcendental functions
综述了亚纯函数（实际上，更一般地说，是任何“Ahlfors岛映射”）的径向Julia集的定义，并给出了约化朱利亚集的豪斯多夫维数总是与双曲维数一致的简单证明.
Equilibrium measures on Julia sets of random quadratic polynomials
本文研究随机二次多项式复合序列的 Julia 集上的平衡测度，计算其 Hausdorff 维数并分析其与随机性尺度的关系。
Exceptional sets for nonuniformly expanding maps
给定黎曼球面上的一个有理映射及其朱利亚集的子集$A$，我们研究了$A$ -例外集，即轨道不在$A$上积累的点集.证明了如果$A$的拓扑熵小于全系统的拓扑熵，则$A$ -例外集具有全拓扑熵.此外，如果$A$的Hausdorff维数小于系统的动力学维数，则$A$ -例外集的Hausdorff维数大于或等于动力学维数，在动力学维数和豪斯多夫维数重合的特定情况下相等。我们还讨论了一般共形$C^{1+α}$动力系统的情况下，特别是，某些多峰区间映射的朱利亚集。
Wiman-Valiron discs and the dimension of Julia sets
证明了具有单连通直道且对奇异值有一定限制的亚纯映射的朱利亚集有界轨道点集的豪斯多夫维数严格大于1.这个结果是通过证明与Wiman-Valiron理论有关的新结果而得到的。
Measures and dimensions of Julia sets of semi-hyperbolic rational semigroups
研究了黎曼球面上由多个有理映射生成的半双曲半群的动力学。在良开集条件成立的条件下，证明了Julia集上存在一个几何测度，其指数$h$等于朱利亚集的豪斯多夫维数. $h$ -维Hausdorff测度和packing测度在朱利亚集上都是有限的正测度，并且与Radon-Nikodym导数在零和无穷远处是一致分离的相互等价.所有三个分形维数，豪斯多夫，包装和盒计数是相等的。证明了正则相伴斜积映射存在唯一的$h$ -共形测度。此外，还证明了这个共形测度存在唯一的博雷尔概率绝对连续不变（在斜积映射下）测度。实际上这两个测度是等价的，而不变测度是度量精确的，因此是遍历的。
Filled Julia sets of Chebyshev polynomials
研究了C中非极紧集K的对偶切比雪夫多项式序列的连续性的Julia集和充满朱利亚集集的可能Hausdorff极限，并与K的极限进行了比较.证明了K的对偶切比雪夫多项式序列的极大熵测度弱 * 收敛到K的平衡测度.
Speiser class Julia sets with dimension near one
对任意$ δ>0$，构造了一个具有三个奇异值的整函数$f$，其朱利亚集的豪斯多夫维数至多为$1=δ$ . Stallard证明了只要$f$具有有界奇异集，维数就必须严格大于1，但以前没有已知维数严格小于小于2的有限奇异集的例子。
Transcendental Julia Sets with Fractional Packing Dimension
在$(1,2)$中构造了一类其朱利亚集具有填充维数的超越整函数.这些是计算出的填充维度不是$1$或$2$的第一个示例。我们的结构将使我们能够进一步表明，所获得的包装尺寸的集合是密集的$(1,2)$的间隔，和Hausdorff维数的朱利亚集可以任意接近相应的包装尺寸。
Julia sets of uniformly quasiregular mappings are uniformly perfect
众所周知，有理映射的朱利亚集J（f）是一致完美的，即分离J（f）的每个环域都有有界模，且该界仅依赖于f。在这篇文章中，我们证明了一个类似的结果是正确的，在更高的维度，即，朱利亚集J（f）的一致拟正则映射f在R ^n是一致完美的。特别地，这意味着一致拟正则映射的Julia集具有正的豪斯多夫维数。
On the Julia sets of the non-autonomous iteration of exponential maps
本文针对指数映射的非自治迭代，将Urbański等人的热力学形式体系结果推广到所有参数序列，并为Julia集成为整个复平面提供了更精细的条件。
Bowen's formula for meromorphic functions
设$f$是$\mathcal S$类中的任意超越整函数或亚纯函数（即具有2个奇点）。我们证明了$t > 0$的拓扑压力$P(f,t)$可以定义为所有$z \in \mathbb C$直到一组Hausdorff维数为零的压力$P(f,t, z)$的公共值。证明了$P(f,t)$等于$f|_X$在Julia集的所有不变双曲子集$X$上的压力的上确界，并证明了$f$的Bowen公式，即证明了$f$的径向Julia集的Hausdorff维数等于$t$的下确界，其中$P(f,t)$是非正的.类似的结果也适用于$\mathcal B$类中的（非例外）超越整函数或亚纯函数$f$（即具有有界奇点集），其后奇异集的闭包不包含Julia集。
Assouad type dimensions of parabolic Julia sets
本文证明抛物型Julia集的Assouad维数为max{1, h}，其中h是Hausdorff维数，并推导了所有Assouad型维数的公式。
Hausdorff dimension in quasiregular dynamics
本文研究三维空间中拟正则自映射，证明其快逃逸集的Hausdorff维数可取[1,3]内任意值，并在增长条件下估计Julia集的维数。
Julia sets appear quasiconformally in the Mandelbrot set
本文证明在小 Mandelbrot 集的抛物型或 Misiurewicz 参数附近可拟共形地看到 Cantor Julia 集及其嵌套装饰结构，并由此证明半双曲但非 Misiurewicz 且非双曲的参数在 Mandelbrot 集边界中稠密且 Hausdorff 维数为 2。
Indecomposable continua in exponential dynamics-Hausdorff dimension
研究了指数族动力学中的前向不变集。我们证明了所考虑的集合的豪斯多夫维数不大于$1$ .这使我们能够证明，作为一个结果，一些动态定义的不可分解的连续出现在动态的指数家庭。我们证明了这些连续统的豪斯多夫维数等于1。
Continuity of Julia sets and invariant rays
本文研究了有理映射在抛物线扰动下的Julia集连续性与不变射线的关系，通过抛物线冲击理论建立了等价刻画。
On hyperbolic dimension gap for entire functions
该研究解决了双曲维数小于Julia集Hausdorff维数的整函数是否仅存在于后者维数为2的情况的问题，构造出了Julia集Hausdorff维数小于2且双曲维数仍小于该值的双曲整函数，填补了相关维数间隙研究的空白。
Dimensions of non-autonomous meromorphic functions of finite order
本文研究了Mayer，Kotus和Urbaidski研究过的两类亚纯函数.特别是我们估计的下界的朱利亚集和逃逸点的非自治添加剂和仿射扰动的功能，从这些类。对于特定的类，我们能够精确地计算这些尺寸。在这些情况下，我们能够重新解释我们的结果表明，朱利亚集中逃逸到无穷远的点集的豪斯多夫维数在足够小的加性扰动下是稳定的。我们通过构造非自治迭代函数系统来实现这一点，其极限集位于上述非自治朱利亚集内。我们还估计了这些非自治扰动的最终和最终双曲维数。
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