Biharmonic surfaces of $\mathbb{S}^4$
A. Balmuş, C. Oniciuc
本文证明了单位欧氏球面$\mathbb{S}^4$中的常中曲率曲面是固有双调和曲面的充要条件是它在超球面$\mathbb{S}^3(\frac{1}{\sqrt{2}})$中是极小曲面。
In this note we prove that a constant mean curvature surface is proper-biharmonic in the unit Euclidean sphere $\mathbb{S}^4$ if and only if it is minimal in a hypersphere $\mathbb{S}^3(\frac{1}{\sqrt{2}})$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Biharmonic submanifolds with parallel mean curvature in $\mathbb{S}^n\times\mathbb{R}$
在积空间$M^n(c)\times\mathbb{R}$中找到了具有平行中曲率向量的子流形（pmc子流形）的一个Simons型公式，其中$M^n(c)$是具有常截面曲率的空间型$c$，然后利用它证明了一类完备的固有双调和pmc子流形的中曲率的间隙定理，并对$\mathbb{S}^n(c)\times\mathbb{R}$中的固有双调和pmc曲面进行了分类.
Biharmonic hypersurfaces in a product space $L^m\times \mathbb{R}$
本文研究了Einstein空间与实直线乘积空间中的双调和超曲面。我们证明了在这样的乘积中具有常平均曲率的双调和超曲面要么是极小的，要么是垂直柱面，推广了\cite{OW}和\cite{FOR}的结果。利用超曲面的角函数导出了$S^m\times \mathbb{R}$和$H^m\times \mathbb{R}$中超曲面的双调和方程，并利用它得到了此类空间中双调和超曲面的分类.这些分类包括$m\ge 3$的全脐或半平行的双调和超曲面的分类，以及$S^2\times \mathbb{R}$和$H^2\times \mathbb{R}$中的双调和曲面的一些分类，它们是常角的或属于某些类的旋转曲面。
Biharmonic submanifolds of $\mathbb{C}P^n$
本文给出复空间型，特别是复射影空间的固有双调和子流形的一些一般性结果。这些结果主要涉及具有常中曲率或平行中曲率向量场的子流形。我们找到了$\mathbb{C}P^n$中子流形$\bar{M}$包含的双张力场与$\mathbb{S}^{2n+1}$中相应的Hopf管包含的双张力场之间的关系。利用这个关系，我们产生了$\mathbb{C}P^n$的新的固有双调和子流形族。研究了$\mathbb{C}P^n$的双调和曲线的几何性质，并利用曲率和复挠率刻画了其固有双调和曲线。
On biharmonic hypersurfaces with constant scalar curvatures in $\mathbb E^5(c)$
证明了欧氏球面$\mathbb S^5$中具有常数量曲率的真双调和超曲面必具有常中曲率.此外，我们还证明了在欧几里得空间$\mathbb E^5$或双曲空间$\mathbb H^5$中不存在具有常数数量曲率的真双调和超曲面，从而部分地肯定回答了Chen猜想和广义Chen猜想.
Biharmonic PNMC Submanifolds in Spheres
我们得到了$\mathbb{S}^{n}$中具有平行归一化中曲率向量场的双调和子流形的刚性结果。我们对$\mathbb{S}^{n}$中具有平行的归一化中曲率向量场且至多有两个不同主曲率的双调和子流形进行了分类。特别地，我们确定了$\mathbb{S}^n$中所有具有平行归一化中曲率向量场的双调和曲面。然后，我们研究了$\mathbb{S}^n$中的（不一定是紧的）真双调和子流形在B-Y意义下的型。尘我们证明：（i）$\mathbb{S}^n$中的真双调和子流形是1型或2型的当且仅当它分别具有常中曲率${\mcf}=1$或${\mcf}\in(0,1)$.（ii）$\mathbb{S}^n$中不存在具有平行归一化中曲率向量场的真双调和3型子流形.
Classification theorems for biharmonic real hypersurfaces in a complex projective space
首先，我们对$\mathbb{C}P^2$中的真双调和Hopf实超曲面进行了分类.其次，我们分类了$\mathbb{C}P^n$中具有两个不同主曲率的真双调和实超曲面，其中$n\geq 2$。最后证明了$\mathbb{C}P^n$中的双调和直纹实超曲面是极小的，其中$n\geq 2$ .
New results toward the classification of Biharmonic submanifolds in $\mathbb{S}^{n}$
我们证明了以下类型的${\mathbb S}^n$中的真双调和浸入的一些新的刚性结果：Dupin超曲面;具有第二基本型的有界范数的超曲面，包括紧的和非紧的;满足内在性质的超曲面; PMC子流形;平行子流形.
Exemples de sous variétés de $\mathbb{S}^n$; les variétés proprement biharmoniques avec indice et les variétés proprement C--harmoniques
我们把一类特殊的四阶非线性椭圆型偏微分方程的解称为指数双调和映射。这是调和映射的推广，证明了双调和映射是指数为0的双调和映射。本文的目的是研究$\mathbb{S}^n$中包含为非调和和指数双调和（即真指数双调和）的子流形。我们给出了一些伪脐和非伪脐的例子，并研究了$\mathbb{S}^n$的真指数双调和子流形与$\mathbb{S}^n$的真共形调和子流形之间的联系.
Biharmonic homogeneous polynomial maps between spheres
本文首先证明了欧氏球面中双调和映射的一个特征公式，作为应用，我们构造了一族从平坦$2$维环面$\mathbb{T}$到$3$维单位欧氏球面$\mathbb{S}^3$的双调和映射.然后，对于球面之间的映射的特殊情况，其组件是由齐次多项式的相同的次数，我们找到了一个更具体的形式为他们的双张力场。进一步，我们将这个公式应用于次数为$2$的情况，我们得到了从$\mathbb{S}^1$到$\mathbb{S}^n$，$n \geq 2$，从$\mathbb{S}^m$到$\mathbb{S}^2$，$m \geq 2$，以及从$\mathbb{S}^m$到$\mathbb{S}^3$，$m \geq 2$的所有真双调和二次型的分类。
Some classifications of biharmonic Lorentzian hypersurfaces in Minkowski 5-space $\mathbb E^5_1$
本文研究了Minkowski 5-空间中特征多项式为$(t-k_1)^2(t-k_3)(t-k_4)$或$(t-k_1)^3(t-k_4)$的形状算子不可对角化的Lorentz超曲面.我们证明了在这些情况下，超曲面是双调和的当且仅当它是极小的。
λ-Biharmonic hypersurfaces in the product space L^{m}\times \mathbb{R}
本文研究乘积空间中的λ-双调和超曲面，证明常平均曲率情形下其为极小或垂直圆柱面，并分类了空间形式中的全脐或半平行超曲面。
On Chen's biharmonic conjecture for hypersurfaces in $\mathbb R^5$
关于双调和子流形的一个由来已久的猜想是由Chen在1991年提出的，即{ \it任何欧几里得空间中的双调和子流形都是极小的}。在$\mathbb R^{n+1}$中的超曲面$M^n$的情况下，Chen猜想在$n=2$的情况下由Chen和Jiang在1987年前后独立地解决。Hasanis和Vlachos在1995年用$n=3$解决了Chen关于超曲面的猜想。然而，关于超曲面$M^n$的一般Chen猜想对于$n> 3$仍然是开放的.在本文中，我们解决了$n=4$中关于超曲面的Chen猜想。
Biharmonic hypersurfaces with three distinct principal curvatures in spheres
得到了任意维球面空间中至多具有三个不同主曲率的真双调和超曲面的一个完全分类。精确地说，我们结合Balmusic-Montaldo-Oniciuc的已知结果，证明了球空间$\mathbb S^{n+1}$中具有至多三个不同主曲率的紧致可定向真双调和超曲面是超球$\mathbb S^n(1/\sqrt2)$或Clifford超曲面$\mathbb S^{n_1}(1/\sqrt2)\times\mathbb S^{n_2}(1/\sqrt2)$，它具有$n_1+n_2=n$和$n_1\neq n_2$ .此外，我们还证明了在双曲空间$\mathbb H^{n+1}$中不存在具有至多三个不同主曲率的真双调和超曲面。
Biharmonic hypersurfaces with three distinct principal curvatures in Euclidean space
著名的Chen关于双调和子流形的猜想指出，欧几里得空间中的双调和子流形是极小子流形（[10-13，16，18-21，8]）。对于超曲面的情形，我们知道Chen的猜想对于$\mathbb E^3$（[10]，[24]）中的双调和曲面、$\mathbb E^4$（[23]）中的双调和超曲面以及$\mathbb E^m$中至多具有两个不同主曲率的双调和超曲面（[21]）都成立。Chen-Munteanu [18]的最新工作表明，Chen的猜想对于$\mathbb E^m$中的$δ(2)$ -理想超曲面成立，其中$δ(2)$ -理想超曲面是主曲率取三个特殊值的超曲面：$λ_1, λ_2$和$λ_1+λ_2$。本文证明了Chen猜想对任意维数的$\mathbb E^m$中具有三个不同主曲率的超曲面成立，从而推广了上述结果.作为应用，我们还证明了Chen猜想对欧几里得空间$\mathbb E^{p+q}$中的$O(p)\times O(q)$不变超曲面成立.
Biharmonic hypersurfaces in a conformally flat space
研究一般共形平坦空间中的双调和超曲面。导出了这类超曲面的方程，并利用它确定了欧几里得空间$\mathbb{R}^{m+1}$上的共形平坦度量$f^{-2}δ_{ij}$，使得欧几里得空间中的极小超曲面$M^m\longrightarrow (\mathbb{R}^{m+1}, δ_{ij})$成为共形平坦空间中的双调和超曲面$M^m\longrightarrow (\mathbb{R}^{m+1}, f^{-2}δ_{ij})$.我们的例子包括所有在[Ou1]和[OT]中发现的双调和超曲面作为特例。
Biharmonic integral $\mathcal{C}$-parallel submanifolds in 7-dimensional Sasakian space forms
给出了Sasakian空间型的最大维固有双调和积分$\mathcal{C}$ -平行子流形的特征，并在7维Sasakian空间型中对这类子流形进行了分类.在球面$\mathbb{S}^7$中，我们明确地找到了所有的三维固有双调和积分$C$ -平行子流形。我们还确定了$\mathbb{C}P^3$的固有双调和平行拉格朗日子流形。
Biharmonic Riemannian submersions from a 3-dimensional BCV space
本文给出了3维BCV空间中真双调和Riemannian浸没的完整分类，证明其仅在两种映射情况下存在并构造了无限族解，推广了先前对3维空间形式的研究。
Biharmonic surfaces of constant mean curvature
本文计算了曲面上双调和映射的应力-能量张量的一个Simons型公式。专门黎曼浸入，我们证明了一些刚性的结果，双调和CMC表面，把证据的影响，伪脐的高斯曲率。最后，双调和性的条件，使经典的Hopf定理的CMC表面在任何环境黎曼流形的扩展。
Quasi-biharmonic Lagrangian surfaces in Lorentzian complex space forms
本文在伪黎曼流形中引入拟双调和子流形的概念，并对洛伦兹复空间型中的拟双调和边缘捕获拉格朗日曲面进行了分类。
Totally Biharmonic Hypersurfaces in Space Forms and 3-Dimensional BCV Spaces
一个超曲面称为全双调和曲面，如果它的所有测地线都是周围空间中的双调和曲线。证明了到空间型中的全双调和超曲面是等参双调和超曲面，从而给出了这些空间中全双调和超曲面的完全分类。此外，限制自己的三维情况下，我们证明了完全双调和曲面到Bianchi-Cartan-Vranceanu空间是等参曲面，我们给他们的完整分类。特别是，我们表明，撇开表面在3维领域，唯一的非平凡的例子，一个完全双调和表面出现在积空间$\mathbb{S}^2(ρ)\times\mathbb{R}$。
Biharmonic surfaces with parallel mean curvature in complex space forms
对复空间型中具有平行中曲率向量场和非负高斯曲率的完备双调和曲面进行了分类。
Biharmonic properly immersed submanifolds in Euclidean spaces
考虑欧几里得空间$\mathbb{E}^N$中的完备双调和浸入子流形$M$.假设浸入是恰当的，即$\mathbb{E}^N$中的每个紧集的原像在$M$中也是紧的.然后证明了$M$是极小的.它被认为是对Chen关于双调和子流形的整体猜想的肯定回答。
$f$-Biharmonic submanifolds in space forms and $f$-biharmonic Riemannian submersions from 3-manifolds
本文研究了空间形式中的$f$-双和曲线与可展曲面等距浸入的分类，并利用可积性数据探讨了源自3-空间形式的黎曼浸没的$f$-双和性，给出了相关实例。
On conformal biharmonic maps and hypersurfaces
本文引入共形双能量泛函，研究其临界点共形双调和映射，分类了球面中共形双调和超球面和广义Clifford环面，并发现双曲空间也存在共形双调和超曲面，最后计算了超球面的稳定性指标。
Biharmonic hypersurfaces with constant scalar curvature in space forms
设$M^n$是空间形式$\mathbb M^{n+1}(c)$中具有常数量曲率的双调和超曲面.我们证明了$M^n$有常数平均曲率，如果$c>0$和$M^n$是最小的，如果$c\leq0$，不同的主曲率的数量不超过6。这部分地证实了Chen猜想和广义Chen猜想。因此，我们证明了对于$n<7$，在欧氏空间$\mathbb E^{n+1}$或双曲空间$\mathbb H^{n+1}$中不存在具有常数量曲率的真双调和超曲面.
Conformal-biharmonic hypersurfaces in spheres and product spaces
研究了球面和乘积空间中具有常主曲率的共形双曲面的性质及分类
Biharmonic Lagrangian surfaces with constant Gaussian curvature in $2$-dimensional complex space forms
本文在二维复空间形式中完整分类了具有常高斯曲率的双调和拉格朗日曲面，并由此分类了平坦法丛情形，证明了伪脐双调和拉格朗日曲面必为极小曲面。
Biharmonic isometric immersions into and biharmonic Riemannian submersions from Berger 3-spheres
本文研究了曲面到三维Berger球面的双调和等距浸入和三维Berger球面的双调和黎曼浸入。得到了具有常中曲率的曲面到Berger 3-球面的真双调和等距浸入的分类。我们还给出了Berger 3-球面中真双调和Hopf环面的一个完全分类。对于黎曼浸入，我们证明了从Berger 3-球面到曲面的黎曼浸入是双调和的当且仅当它是调和的。
Biharmonic constant mean curvature surfaces in Killing submersions
一个$3$维黎曼流形称为Killing浸没，如果它在一个曲面上允许黎曼浸没，使得它的纤维是一个完整的单位Killing向量场的轨迹。本文给出了Killing浸没中真双调和CMC曲面的一个刻划。在最后一部分中，我们还对Killing浸没中的真双调和Hopf柱进行了分类。
CMC proper-biharmonic surfaces of constant Gaussian curvature in spheres
在双调和性的附加条件下，研究了球面中的CMC曲面。从Miyata的工作，特别是在平坦的情况下，我们给出了这种浸入的完整描述，并证明了对于任何$h\in (0,1)$，在具有$|H|=h$的$\sn^5$中存在CMC固有双调和平面和柱面，同时找到了在$h$中存在CMC固有双调和环面的一个充要条件.
The energy density of biharmonic quadratic maps between spheres
本文研究球面间二次映射，证明非调和双调和等价于恒定能量密度 (m+1)/2，并解决其结构公开问题，进而得到相应分类结果。
Biharmonic rotational surfaces in the four-dimensional Euclidean space are minimal
本文证明四维欧氏空间中任何双调和简单旋转曲面都是极小曲面，通过将双调和方程转化为普通微分方程组并排除非极小分支，部分验证了陈猜想。
On f-biharmonic maps and f-biharmonic submanifolds
f-双调和映射是f-双能量泛函的极值。f-双调和子流形是定义等距浸入为f-双调和映射的子流形。本文证明了从紧致黎曼流形到非正曲流形的具有常数f-双能量密度的f-双调和映射是调和映射，紧致流形上的任何f-双调和函数都是常数，以及关于$m\ge 3$的$S^m$的逆是真f-双调和共形同态.我们导出了f-双调和子流形方程，证明了流形$(N^n, h)$中的曲面是f-双调和曲面当且仅当它能双调和共形浸入$(N^n,h)$中.我们还给出了三维欧几里得空间中f-双调和曲线的一个完全分类。给出了许多真f-双调和映射和f-双调和曲面与曲线的例子。
Biharmonic conformal immersions into 3-dimensional manifolds
受调和共形浸入和常中曲率（CMC）曲面共形浸入的优美理论和丰富应用的启发，我们研究了曲面到一般三维流形的双调和共形浸入.我们首先导出了这种浸入的一个不变方程，然后试图回答这样一个问题：“什么样的曲面可以双调和共形地浸入到三维欧氏空间中？“我们证明了圆柱是唯一能双调和共形浸入欧氏空间的CMC曲面;我们得到了完备CMC曲面到欧氏空间和双曲空间的双调和共形浸入的分类。我们还研究了旋转曲面，可以双调和共形浸入到一个欧几里德3-空间，并证明了一个圆锥永远不会这样的浸入。
Biconservative and Biharmonic Hypersurfaces in Product Spaces
本文研究乘积空间中的双守恒与双调和超曲面，给出等参与常角情形的完整描述，并证明分类、刚性及全局不存在性定理。
Surfaces in Euclidean 3-space whose normal bundles are tangentially biharmonic
如果定义子流形的等距浸入的双张力场有零切向分量，则称子流形是切向双调和的。本文证明了欧氏$3$ -空间中的曲面具有切向双调和法丛当且仅当它是极小曲面、圆球的一部分或圆柱的一部分。
Biharmonic maps in two dimensions
研究了曲面间的双调和映射。在复坐标系中，我们计算了具有共形度量的曲面间映射的双张力场。作为应用，我们证明了如果共形因子$σ$是双解析的，则从欧几里得平面到$(\mathbb{R}^2, σ^2dwd\bar w)$的线性映射总是双调和的;我们构造了一类这样的$ σ$，并给出了$2$ -球面之间线性双调和映射的分类。我们还研究了曲面之间的双调和映射与翘曲的产品度量。这包括双曲平面之间的线性双调和映射的分类和许多到圆锥或螺旋面的真双调和映射的一些构造。
Biharmonic tori in spheres
我们认为适当的双调和平坦环面与恒定的中曲率（CMC）的领域，并找到充要条件，某些矩形环面和正方形环面承认充分CMC适当的双调和浸入$\mathbb{S}^n$，以及这些浸入的显式表达。
A note on biharmonic curves in Sasakian space forms
本文对切向量场与特征向量场夹角为常数的Sasakian空间型中的双调和非Legendre曲线进行了分类，并在$\mathbb{R}^{2n+1}(-3)$中得到了此类曲线的显式例子.
Biconservative Lorentz hypersurfaces in $\mathbb{E}_{1}^{\lowercase{n}+1}$ with complex eigenvalues
本文试图证明Chen关于双调和子流形的猜想，并对双守恒子流形进行分类。在这样做，我们提供了一个肯定的回答陈猜想的双调和子流形。本文证明了$\mathbb{E}_{1}^{n+1}$中每一个具有复特征值的双保守Lorentz超曲面$M_{1}^{n}$都具有常数中曲率.此外，在$\mathbb{E}_{1}^{n+1}$中具有复特征值的每个双调和Lorentz超曲面$M_{1}^{n}$必须是最小的。
$f$-Biharmonic hypersurfaces into a conformally flat space
本文研究共形平坦及非正曲率流形中的 $f$-双调和超曲面，证明全脐情形的非紧性与极小性，并构造、分类相关曲面及高维真 $f$-双调和子流形。
Biharmonic curves into quadrics
本文提出了一种将双调和曲线转化为隐式曲面的代数方法。虽然我们的方法是相当普遍的，它是特别适合于研究曲线成曲面定义的一个多项式方程：特别是，我们用它来给一个完整的分类双调和曲线成真正的二次曲面的三维欧几里得空间。
Tangentially biharmonic Lagrangian H-umbilical submanifolds in complex space forms
本文基于包含映射双张力场切向分量为零的切向双调和子流形概念，对复空间形式中的切向双调和拉格朗日H-脐子流形进行了分类。
On cohomogeneity one biharmonic hypersurfaces into the Euclidean space
证明了在欧几里得空间${\mathbb R}^n$中不存在一个$G-$不变的真双调和超曲面的上齐次性，其中$G$表示作用在${\mathbb R}^n$上的变换群，其馀维为两个主轨道.这个结果可以在陈猜想的背景下考虑，因为这个超曲面族包括多达七个不同主曲率的例子。本文采用等变微分几何的方法。特别地，证明技术为所有这些$G-$动作提供了统一的处理。
Biharmonic space-like hypersurfaces in pseudo-Riemannian space
对三维伪黎曼空间型中的类空双调和曲面进行了分类，并在一般ADS空间中构造了真双调和超曲面的显式例子。
On the second variation of the biharmonic Clifford torus in S^4
本文研究 S^4 中真双调和 Clifford 环面的第二变分，计算其双调和指数与零化度，分析广义 Jacobi 算子核，并推广到极小浸入与双调和小超球面的复合。
Biharmonic $δ(\lowercase{r})$-ideal hypersurfaces in Euclidean spaces are minimal
本文研究欧氏空间双调和子流形的陈邦彦猜想，证明n≥3时欧氏空间中δ(r)-理想双调和超曲面必为极小超曲面，推广了已有结果，还得到该条件下双保守超曲面为常平均曲率的结论。
Making Surfaces Biharmonic by Conformal Reparametrization in Anti-de Sitter Three-Space
研究非退化曲面到三维反德西特空间的双调和共形浸入，通过特定符号约定和相关量表示双调和方程，证明类空曲面相关性质，推导解析系统并证明局部存在性，给出零坐标重构及具体初始数据，记录类时抛物约化。
Classification results for biharmonic submanifolds in spheres
我们对欧氏球面中具有某些几何性质的双调和子流形进行了分类。对于余维为1的双调和超曲面，我们确定了至多具有两个不同主曲率的双调和超曲面和共形平坦的双调和超曲面。我们得到了余维为2的伪脐双调和子流形和具有平行中曲率向量场的双调和曲面的刚性结果。我们还研究了B-Y意义上的类型。Chen等关于球面中具有常中曲率的紧致真双调和子流形的一个结果。
Biharmonic conformal immersions into a 3-dimensional conformally flat space
本文研究曲面到共形平坦3-空间的双调和共形浸入，给出全脐曲面的刻画与构造方法，分类一族共形浸入中的双调和映射，并构造包括Hopf柱面在内的大量新例子。
On Milnor's criterion for deciding whether a surface is hyperbolic or parabolic for biharmonic functions
本文将Milnor关于旋转对称曲面抛物型与双曲型判定的经典准则推广到双调和函数情形，建立了相应的判别方法。
Biharmonic Riemannian submersions from $M^2\times R$
本文研究从乘积流形 $M^2\times R$ 到曲面的双调和黎曼淹没，给出平坦与非平坦目标曲面情形下的局部刻画，并证明从 $H^2\times R$ 到 $R^2$ 存在唯一的真双调和黎曼淹没。
A short note on biharmonic submanifolds in non-Sasakian contact metric 3-manifolds
利用环境空间的中曲率和数量曲率刻画了具有非零常平均曲率的$3$维广义$(κ, μ)$ -流形中的双调和反不变曲面.此外，我们还给出了在一定的$3$维广义$(κ, μ)$ -流形中构造无穷多个双调和子流形的方法。此外，我们还确定了$3$维广义$(κ, μ)$ -流形，它允许某种真双调和叶理。
Index and nullity of proper biharmonic maps in spheres
本文研究真双调和映射的第二变分，计算若干已知例子的精确指数与零化度，证明非紧情形下一族映射的紧支集变分严格稳定性，并引入等变变分指数与零化度。
Nonexistence of proper $p$-biharmonic maps and Liouville type theorems I: case of $p\geq2$
设$u: (M, g)\to (N, h)$是黎曼流形$(M, g)$和$(N, h)$之间的映射。$p$-$u$的双能由$E_p(u)=\int_M|τ(u)|^pdν_g$定义，其中$τ(u)$是$u$和$p>1$的张力场。$E_p(\cdot)$的临界点称为$p$ -双调和映射.本文证明了当$p\geq2$为真$p$ -双调和映射时，真$p$ -双调和映射的不存在性.特别是当$M=\mathbb{R}^m$满足一定的积分条件时，得到了Liouville型结果，推广了Baird，Fardoun和Ouakkas \cite{BFO}的相关结果.
Biharmonic Hypersurfaces in Euclidean Spaces
本文研究欧氏空间中双调和超曲面，构造了主曲率方向可积的双守恒超曲面，并证明完整双调和超曲面当且仅当为极小超曲面。
Constant mean curvature and totally umbilical biharmonic surfaces in 3-dimensional geometries
证明了在任意$3$维黎曼流形中的全脐双调和曲面具有常数中曲率。我们用它来表明，一个完全脐面在瑟斯顿的三维几何是适当的双调和当且仅当它是一个部分的$S^2(1/\sqrt{2})$在$S^3$。我们还给出了三维几何和三维Bianchi-Cartan-Vranceanu空间中常中曲率真双调和曲面的完全分类，以及三维Bianchi-Cartan-Vranceanu空间中真双调和Hopf柱的完全分类.
Biharmonic functions and bi-eigenfunctions on some model spaces
该研究针对球面上的双拉普拉斯算子给出简便公式与本征相关结果，推导了一类模型空间上双调和方程径向解的积分形式，证明其存在真双调和函数，给出空间形式上的显式例子，并完成穿孔欧氏空间上正拉普拉斯真双调和函数的分类。
Lie point symmetries of the biharmonic heat equation on surfaces of revolution
本文利用李对称分析对旋转曲面上的双调和热方程进行分类，发现其与调和热方程具有相同的李对称性，并推导出相似约化与精确解，深化了对对称曲面上方程的理解。
On conformal biharmonic immersions
本文研究共形双调和浸入。首先研究了Jacobi算子和双张场在度规共形变换下的变换。然后，我们得到了一个不变方程的共形双调和浸入的曲面到欧几里德3-空间。作为应用，我们构造了圆柱到$\r^3$的非极小共形双调和浸入的2参数族，以及四维欧几里得空间到球面和双曲空间的共形双调和浸入的一些例子，从而提供了许多具有丰富几何意义的真双调和映射的简单例子.这表明在共形浸入族中存在着丰富的真双调和映射。我们还探讨了曲面共形浸入的双调和性与全纯性之间的关系。
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