A Continuous-Discontinuous Second-Order Transition in the Satisfiability of Random Horn-SAT Formulas
我们计算一类随机Horn-SAT公式的可满足性概率，其动机与有限树自动机的非空性问题有关。特别地，当最大子句长度为3时，该模型在其参数空间中显示曲线，沿着该曲线可满足性的概率是不连续的，在二阶相变中结束，在该二阶相变中该曲线变得连续。这是第一种情况下，这种类型的相变已被严格建立一个随机约束满足问题。
2005-05-02 cond-mat.dis-nn math.CO math.PR
The random 2-SAT partition function
我们表明，在整个满意的阶段，一个随机的$2$ -SAT公式的满意分配的归一化数收敛概率的空腔方法从统计物理预测的表达式。证明的基础上显示，置信传播算法呈现正确的边际概率，一个变量被设置为“真”下一个均匀随机满意的分配。
2020-02-10 cs.DM math.CO math.PR
Belief Propagation on the random $k$-SAT model
证实了从统计物理的预测，我们证明了置信传播消息传递算法近似的随机$k$ -SAT模型的分拆函数以及所有条款/变量密度和所有的逆温度，其中一个温和的缺乏长程相关性的条件是满意的。这种情况在物理学语言中被称为“复制对称”。从这个结果，我们推断，副本对称性破缺相变发生在随机$k$ -SAT模型在低温下的条款/变量密度低于但接近可满足性阈值。
2020-11-21 cs.DM math.CO math.PR
Random $2$-SAT: The set of atoms of the limiting empirical marginal distribution
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Goethe University Frankfurt（法兰克福歌德大学）
本文刻画了随机2-SAT模型极限经验边缘分布的原子集合为有理数区间，并证明在密度大于1/2时存在非平凡连续部分，方法基于多类型Galton-Watson树构造与几乎必然递归分析。
2026-10-14 math.CO math.PR
The number of random 2-SAT solutions is asymptotically log-normal
本文证明在整个可满足阶段，随机 2-SAT 公式满足赋值数量的对数满足中心极限定理，呈现 $\sqrt n$ 阶波动，区别于其他随机约束满足问题中受限的典型波动。
2024-09-20 cs.DM math.CO math.PR
Scale-Free Random SAT Instances
我们专注于随机生成的SAT实例，具有类似于现实世界的实例的属性。众所周知，许多工业实例，即使有大量的变量，也可以在合理的时间内由聪明的求解器求解。这是不可能的，在一般情况下，与经典的随机生成的实例。我们提供了一种不同的SAT实例生成模型，称为\emph{scale-free random SAT instances}。它基于使用非均匀概率分布$P(i)\sim i^{-β}$来选择变量$i$，其中$β$是模型的参数。这导致公式中变量的出现次数$k$遵循幂律分布$P(k)\sim k^{-δ}$，其中$δ= 1 + 1/β$。在大多数真实世界的SAT实例中都观察到了此属性。对于$β=0$，我们的模型扩展了经典的随机SAT实例。证明了当子句/变量比为$m/n=\frac{1-2β}{(1-β)^2}$时，具有$β<1/2$的无标度随机2-SAT实例存在SAT-UNSAT相变现象.我们还证明了无标度随机k-SAT实例是不可满足的高概率时，条款的数量超过$ω(n^{(1-β)k})$。这意味着当$β>1-1/k$时SAT/UNSAT相变现象消失，并且公式由于子句的小核心而不可满足。这一结果的证明表明，当$β>1-1/k$，大多数公式的不可满足性可能是由于小核心的条款。最后，我们展示了这个模型如何使我们能够生成类似于工业实例的随机实例，用于测试目的。
2019-07-17 cs.CC math.CO math.PR
The decimation process in random k-SAT
设F是n个变量m个子句的均匀分布随机k-SAT公式。非严格的统计力学思想启发了一种称为置信传播引导抽取的消息传递算法，用于寻找F的满意分配。这个算法可以被看作是一种尝试，试图实现一个我们称之为抽取过程的思想实验。在本文中，我们识别了抽取过程中的各种相变，并将这些相变与算法的性能联系起来。
2011-02-15 cs.DM math.CO math.PR
On the satisfiability of random regular signed SAT formulas
正则有符号SAT是著名的可满足性问题的一个变体，其中变量可以取固定集合V \subset [0，1]中的值，并且“文字”具有“x \le a”或“x \ge a”的形式。我们回答了一些关于随机正则符号k-SAT公式的公开问题：随机公式可满足的概率随着|V|的增加而增加;子句m与变量n的比率m/n有一个恒定的上限，超过这个上限，随机公式几乎永远不会满足;对于k=2和V=[0，1]，在m/n=2处有一个相变。
2011-12-06 cs.DM math.CO
The number of satisfying assignments of random regular k-SAT formulas
设$Φ$是随机$k$ -SAT公式，其中每个变量精确地出现正$d$次和负$d$次。假设$k$足够大，并且$d$略低于公式以高概率变得不可满足的临界度，我们确定满足分配的数量的对数的极限分布。
2016-11-10 cs.DM math.CO
Triangle-Saturated Graphs in the Semi-Random Graph Process
University of Victoria（维多利亚大学）；Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）
本文针对半随机图过程的在线与离线版本，研究构造三角饱和图所需轮次的上下界，明确了该图性质下算法的轮次需求范围。
2026-08-18 cs.DM math.CO math.PR
Cokernels of random matrices satisfy the Cohen-Lenstra heuristics
设A是一个n × n随机矩阵，其iid元素取自p进整数或Z/NZ。则在较弱的非退化条件下，A的上核具有普适的概率分布。特别地，整数上的iid随机矩阵的p-部分具有根据Cohen-Lenstra测度分布的上核，直到指数小的误差。
2013-07-05 math.CO
The Power of Choice for Random Satisfiability
我们认为Achlioptas过程的k-SAT公式。我们创建了一个半随机公式，n个变量和m个条款，其中每个条款是一个选择，在线，两个或多个均匀随机条款。我们的目标是延迟可满足性/不可满足性的转换，保持公式可满足的密度m/n超过可满足性阈值α_k的随机k-SAT。我们表明，三个选择足以提高阈值为任何k >= 3，两个选择足以为所有3 <= k <= 25。我们还表明，两个选择足以降低所有k >= 3的阈值，使公式在低于alpha_k的密度下不可满足。
2012-11-30 cs.CC math.CO
A Slice-Rank Drift Bound for Random Quantum \(k\)-SAT
研究随机量子\(k\)-SAT阈值定量位置，结合几何表述与维度衰减分析，证明新上界，将已知渐近上界提高\(k\)倍，小\(k\)值时有显著改进，关键输入是张量积子空间的乘法希勒型不等式。
2026-07-28 math-ph math.CO math.MP
Random k-SAT: Two Moments Suffice to Cross a Sharp Threshold
许多NP完全约束满足问题在约束密度超过临界阈值时会出现从可解到不可解的“相变”。在所有这些情况下，很容易推导出阈值位置的上限，方法是证明在一定密度以上，解的个数的一阶矩（期望值）趋于零。我们表明，在一定的对称约束的情况下，考虑到解决方案的数量的二阶矩产生几乎匹配的阈值的位置的下限。特别地，我们证明了随机超图2-可染性（性质B）和随机不全等k-SAT的阈值都是2^{k-1} ln 2 -O（1）.作为推论，我们确定随机k-SAT的阈值为Theta（2^k）阶，解决了一个长期存在的开放问题。
2003-10-09 cond-mat.stat-mech cs.CC math.CO
The random $k$-SAT Gibbs uniqueness threshold revisited
针对随机k-SAT问题，证明子句/变量比在对应高尔顿-沃森树的吉布斯唯一性阈值内时可满足赋值数符合复制对称解，并推导了该阈值的新下界，改进了小k情形下的先前结果。
2025-11-18 cs.DM math.CO math.PR
The asymptotic $k$-SAT threshold
自21世纪初以来，物理学家已经开发了一种巧妙但不严格的形式主义，称为腔方法，以提出随机问题中相变的精确描述[Mezard，Parisi，Zecchina：Science 2002]。空腔方法预测随机$k$问题中的可满足性阈值是$2^k\ln2-\frac12(1+\ln 2)+ε_k$，其中$\lim_{k\rightarrow\infty}ε_k=0$ [Mertens，Mezard，Zecchina：Random Structures and Algorithms 2006]。这篇论文包含了这个猜想的一个证明。
2018-11-01 cs.DM math.CO math.PR
Random k-SAT and the Power of Two Choices
我们研究了Achlioptas过程版本的随机k-SAT过程：一个有限数量的k-子句均匀随机地绘制在每一步，并根据特定的规则添加到增长公式。我们证明了一个规则的存在，移动的可满足性阈值。这将概率组合学（Achlioptas过程）的一个很好的研究领域扩展到随机CSP。特别地，虽然先前已知延迟2-SAT阈值的规则，但这是对于k >= 3移动k-SAT阈值的规则的第一个证明。然后，我们提出了一个间隙判定问题的基础上，这个半随机模型。问题的目的是调查的硬度随机k-SAT判定问题，而不是找到一个分配或证书的不满足的问题。最后，我们讨论了连接到Achlioptas随机图过程的研究。
2013-10-15 cs.CC cs.DM math.CO
Structure of random r-SAT below the pure literal threshold
众所周知，随机$r$ -SAT公式有一个尖锐的密度阈值可满足，而纯文字规则也有一个类似的较小阈值可满足。此外，在可满足性阈值之上，其中随机公式具有高概率（whp）不可满足性，由于大的“最小不可满足子公式”（MUF），不可满足性是whp。相比之下，我们表明，对于（罕见的）不可满足的公式低于纯文字阈值，不可满足性是由于一个独特的MUF与最小的可能的“过剩”，失败这个由于一个独特的MUF与下一个更大的过剩，等等。在同一制度下，我们给出了一个精确的渐近展开的概率，公式是不可满足的，并有效的算法满足公式或证明其不可满足性。在纯文字阈值和可满足性阈值之间发生的事情仍然是开放的。我们证明了类似的结果$k$ -核心和$k$ -着色阈值的随机图，或更一般的随机$r$ -均匀超图。
2010-08-06 cs.DM math.CO
WalkSAT is linear on random 2-SAT
本文证明WalkSAT在随机2-SAT实例上直至可满足性阈值均以线性期望时间运行，回答了Alekhnovich和Ben-Sasson提出的问题。
2025-04-11 cs.DM math.CO
Cycle saturation in random graphs
对于固定图$F,$，$G$的无边极大$F$子图的最小边数称为$F$ -饱和数。对于完全图$F=K_m$和星形图$F=K_{1,m}.$，我们都知道二项随机图$G(n,p)$的$F$ -饱和数对常数$p\in(0,1)$的渐近性。本文研究了模式图$F$是单圈$C_m.$的情形，证明了对于$m\geqslant 5,$ whp $\mathrm{sat}\left(G\left(n,p\right),C_m\right) = n+Θ\left(\frac{n}{\ln n}\right).$，我们还发现了$c=c(p)$使得whp $\frac{3}{2}n(1+o(1))\leqslant\mathrm{sat}\left(G\left(n,p\right),C_4\right)\leqslant cn(1+o(1)).$，特别地，whp $\mathrm{sat}\left(G\left(n,\frac{1}{2}\right),C_4\right)\leqslant\frac{27}{14}n(1+o(1)).$
2022-03-09 math.CO
The birth of the contradictory component in random 2-SAT
我们证明，以高概率，矛盾的成分的随机2-SAT公式在亚临界阶段的相变只有3-正规的内核。这是从这些内核和复杂的组件的随机图在亚临界阶段之间的关系。这部分地解决了2-SAT和随机图中相变之间的结构相似性问题。作为一个副产品，我们描述的技术，允许获得一个完整的渐近展开的可满足性在亚临界阶段。我们还得到了矛盾变量的数量分布和亚临界相的脊柱结构。
2019-04-23 cs.DM cs.LO math.CO
Saturation numbers of bipartite graphs in random graphs
本文研究随机图中二部图的饱和数，对任意二部图给出渐近上界，并对任意完全二部图给出渐近下界。
2023-04-16 math.CO
Bounds on Threshold of Regular Random $k$-SAT
我们考虑了Boufkhad等人提出的合取范式公式生成的正则模型。我们推导出一个上界的可满足性阈值和NAE可满足性阈值的定期随机$k$-SAT的任何$k \geq 3$。我们表明，这些边界匹配的公式生成的统一模型与相应的边界。通过对满足赋值的个数应用二阶矩方法，我们得到了阈值的下界。对于大的$k$，我们注意到，所获得的下限阈值的一个定期随机公式收敛到下界的均匀模型。因此，我们回答了在\cite{AcM06}中提出的关于二阶矩法对规则随机公式的性能的问题。
2010-04-23 cs.CC cs.IT math.CO
A Randomized Algorithm for 3-SAT
在这项工作中，我们提出并分析了一个简单的随机算法，以找到一个可满足的分配的布尔公式在合取范式（CNF）在每个子句中有最多3个文字。给定n个变量的k-CNF公式phi，{0，1}^n中的alpha满足phi，如果在赋值alpha下恰好满足该子句的一个文字，则phi子句是关键的。Paturi et.等人（Chicago Journal of Theoretical计算机科学1999）提出了一种用于k-SAT的简单随机算法（PPZ），其成功概率随着关键子句的数量（相对于输入公式的固定可满足解）而增加。在这里，我们首先描述另一个简单的随机算法DEL的执行更好，如果关键条款的数量较少（相对于一个固定的可满足的解决方案的输入公式）。随后，我们结合这两个简单的算法，使得组合算法的成功概率是PPZ和DEL在每个输入实例上的成功概率的最大值。我们发现，当出现在一个或多个关键条款中的一个或多个关键条款中的每个变量的条款的平均数量在1和1.9317之间时，组合算法的性能优于PPZ算法。
2009-06-10 cs.DS math.CO
Upper bounds on the $2$-colorability threshold of random $d$-regular $k$-uniform hypergraphs for $k\geq 3$
本文研究了随机$d$-正则$k$-均匀超图$2$-着色与随机$d$-正则$k$-NAE-SAT模型，针对所有$k\geq 3$证明了显式可满足性上界$d_{\ast}(k)$，该上界与统计物理学预测吻合且在$k$足够大时与已知阈值一致。
2023-08-03 cs.DM math-ph math.CO
Analysing Survey Propagation Guided Decimation on Random Formulas
设$\varPhi$是一个均匀分布的随机$k$ -SAT公式，其中包含$n$变量和$m$子句.对于子句/变量比$m/n \leq r_{k\text{-SAT}} \sim 2^k\ln2$，公式$\varPhi$以高概率可满足。然而，没有有效的算法是已知的可证明地找到一个令人满意的分配超过$m/n \sim 2k \ln(k)/k$与非零概率。对$k$ -CNF的非严格统计力学工作导致了一种新的高效“消息传递算法”的开发，称为\emph{Survey Propagation Guided Decimation} [Mézard等人，Science 2002]。对$k=3,4,5$进行的实验表明，该算法发现令人满意的分配接近$r_{k\text{-SAT}}$。然而，在本文中，我们证明了调查传播引导抽取的基本版本未能有效地解决随机$k$ -SAT公式已经为$m/n=2^k(1+\varepsilon_k)\ln(k)/k$与$\lim_{k\to\infty}\varepsilon_k= 0$几乎一个因素$k$低于$r_{k\text{-SAT}}$。
2016-02-22 cs.DS math.CO
On the satisfiability of random $3$-SAT formulas with $k$-wise independent clauses
该研究探讨随机$3$-SAT公式在子句满足$k$元独立性而非完全独立时的可满足性阈值，旨在为不同参数$n$、$m$、$k$下的公式可满足性提供一般性结论。
2024-11-06 cs.CC cs.DM math.CO
An algorithm for random signed 3-SAT with Intervals
在有符号k-SAT问题中，给定一个集合M和M的子集的集合$\mathcal S$，并给出一个由m个子句的析取组成的公式，每个子句是k个文字的合取。每个字面值的形式为“$x \in S$“，其中$S \in \mathcal S$和x是n个变量之一。对于Interval-SAT（iSAT），M是一个有序集，$\mathcal S$是M中的区间集。我们提出了一个算法3-iSAT，并分析它的一致随机公式。该算法遵循单位子句范式，通过（非常有限的）回溯选项进行增强。使用Wormald的ODE方法，我们证明了，如果$m/n \le 2.3$，以高概率，我们的算法成功地找到一个分配值的变量满足公式。
2013-08-14 cs.DM cs.DS math.CO
Random and quasi-random designs in group testing
对于大类的组测试问题，我们推导出下界的概率，所有重要的项目是唯一确定使用专门构造的随机设计。这些界限使我们能够优化随机化方案的参数。我们还建议和数值证明了一个程序，构建设计具有更好的分离性能比纯随机设计。我们用一个大型的基于模拟的研究来说明理论上的考虑。这项研究表明，特别是，在常见的二元组测试的情况下，建议的家庭的设计有更好的可分性比流行的设计构造从析取矩阵。我们还推导了几个渐近展开和讨论的情况下，得到的近似达到高精度。
2022-02-16 math.CO math.ST stat.TH
