Belief Propagation on the random $k$-SAT model
证实了从统计物理的预测，我们证明了置信传播消息传递算法近似的随机$k$ -SAT模型的分拆函数以及所有条款/变量密度和所有的逆温度，其中一个温和的缺乏长程相关性的条件是满意的。这种情况在物理学语言中被称为“复制对称”。从这个结果，我们推断，副本对称性破缺相变发生在随机$k$ -SAT模型在低温下的条款/变量密度低于但接近可满足性阈值。
2020-11-21 cs.DM math.CO math.PR
The number of random 2-SAT solutions is asymptotically log-normal
本文证明在整个可满足阶段，随机 2-SAT 公式满足赋值数量的对数满足中心极限定理，呈现 $\sqrt n$ 阶波动，区别于其他随机约束满足问题中受限的典型波动。
2024-09-20 cs.DM math.CO math.PR
On the satisfiability of random regular signed SAT formulas
正则有符号SAT是著名的可满足性问题的一个变体，其中变量可以取固定集合V \subset [0，1]中的值，并且“文字”具有“x \le a”或“x \ge a”的形式。我们回答了一些关于随机正则符号k-SAT公式的公开问题：随机公式可满足的概率随着|V|的增加而增加;子句m与变量n的比率m/n有一个恒定的上限，超过这个上限，随机公式几乎永远不会满足;对于k=2和V=[0，1]，在m/n=2处有一个相变。
2011-12-06 cs.DM math.CO
The number of satisfying assignments of random regular k-SAT formulas
设$Φ$是随机$k$ -SAT公式，其中每个变量精确地出现正$d$次和负$d$次。假设$k$足够大，并且$d$略低于公式以高概率变得不可满足的临界度，我们确定满足分配的数量的对数的极限分布。
2016-11-10 cs.DM math.CO
Polarised random k-SAT
本文研究了随机$k$ -SAT问题的一种变形，称为极化随机$k$ -SAT。在该模型中，存在极化参数$p$，并且在一半的子句中，每个变量以概率$p$否定地出现，并且以其他方式纯出现，而在另一半中，概率互换。对于$p=1/2$，我们得到经典的随机$k$模型，而在另一个极端，我们有全极化模型，其中$p=0$，或$1$。这里只有两种类型的子句：所有$k$变量都以纯值出现的子句，以及所有$k$变量都以非值出现的子句。也就是说，对于$p=0$，我们得到随机单调$k$ -SAT的实例。我们发现，可满足性的阈值不降低$p$远离$\frac{1}{2}$，因此，极化随机$k$ -SAT的可满足性阈值是随机$k$ -SAT的阈值上界。事实上，我们推测，渐近的两个阈值重合。
2023-01-12 math.CO math.PR
Tight concentration of star saturation number in random graphs
对于给定的图$F$和$G$，$G$的包含极大$F$ -自由子图中的最小边数称为$F$ -饱和数，记为$\mathrm{sat}(G, F)$ .对于星$F=K_{1,r}$，$\mathrm{sat}(G(n,p),F)$的渐进性是已知的。我们证明了一个更尖锐的结果：whp $\mathrm{sat}(G(n,p), K_{1,r})$集中在一个2个连续点的集合。
2022-12-12 math.CO math.PR
Biased random k-SAT
基本的随机$k$ -SAT问题是：给定一组$n$布尔变量，以及从我们的变量上的所有此类子句的集合中随机均匀挑选大小为$k$的$m$子句，这些子句的合取是否可满足？在这里，我们考虑这个问题的一个变化，有一个偏向于变量发生积极的-即变量发生否定w. p. $0<p< \frac{1}{2}$和积极的，否则-和研究如何满足性阈值取决于$p$。对于$p<\frac{1}{2}$，该模型打破了原始随机$k$ -SAT问题的许多对称性，例如，在布尔立方体中满足分配的分布不再均匀。对于任何固定的$k$，我们发现当$p$接近$0$或$\frac{1}{2}$时阈值的渐近性。前者证实了早先基于数值研究和统计物理学的启发式方法的预测。
2019-06-12 math.CO math.PR
Structure of random r-SAT below the pure literal threshold
众所周知，随机$r$ -SAT公式有一个尖锐的密度阈值可满足，而纯文字规则也有一个类似的较小阈值可满足。此外，在可满足性阈值之上，其中随机公式具有高概率（whp）不可满足性，由于大的“最小不可满足子公式”（MUF），不可满足性是whp。相比之下，我们表明，对于（罕见的）不可满足的公式低于纯文字阈值，不可满足性是由于一个独特的MUF与最小的可能的“过剩”，失败这个由于一个独特的MUF与下一个更大的过剩，等等。在同一制度下，我们给出了一个精确的渐近展开的概率，公式是不可满足的，并有效的算法满足公式或证明其不可满足性。在纯文字阈值和可满足性阈值之间发生的事情仍然是开放的。我们证明了类似的结果$k$ -核心和$k$ -着色阈值的随机图，或更一般的随机$r$ -均匀超图。
2010-08-06 cs.DM math.CO
Random MAX SAT, Random MAX CUT, and Their Phase Transitions
给定一个由$n$变量和$\cn$随机子句组成的2-SAT公式$F$，一次变量赋值可满足的最大子句数是多少？我们将答案从$(3/4)cn$和$cn$的平凡界限中绑定出来。我们证明了对于$c<1$，可满足的子句的期望数目是$\cn-Θ(1/n)$ ;对于大的$c$，它是$((3/4)c + Θ(\sqrt{c}))n$ ;对于$c = 1+\eps$，它至少是$(1+\eps-O(\eps^3))n$，至多是$(1+\eps-Ω(\eps^3/\ln \eps))n$ ;并且在"缩放窗口“$c= 1+Θ(n^{-1/3})$中，它是$cn-Θ(1)$。特别地，正如决策问题经历相变一样，我们的优化问题也在相同的临界值$c=1$处经历相变。几乎所有的结果都是在没有参考决策2-SAT的类似命题的情况下建立的，作为副产品，我们重现了许多结果，包括许多关于2-SAT缩放窗口的已知内容。我们认为“在线”版本的MAX-2-SAT，并表明，对于一个版本，明显的贪婪算法是最优的。我们只能将最简单的MAX-2-SAT结果扩展到MAX-k-SAT，但我们猜想一个类似于民间传说可满足性阈值猜想的“MAX-k-SAT限制函数”，但即使对于$k=2$也是开放的。这两个猜想都没有直接暗示另一个，但很自然地进一步推测它们之间的联系。最后，对于随机MAXCUT（稀疏随机图中最大割的大小），我们证明了类似的结果。
2003-06-13 math.CO math.PR
WalkSAT is linear on random 2-SAT
本文证明WalkSAT在随机2-SAT实例上直至可满足性阈值均以线性期望时间运行，回答了Alekhnovich和Ben-Sasson提出的问题。
2025-04-11 cs.DM math.CO
A better algorithm for random k-SAT
设F是n个变量m个子句的均匀分布随机k-SAT公式。我们提出了一个多项式时间算法，该算法在约束密度m/n<（1-eps_k）2^k \ln（k）/k，其中eps_k->0的情况下，以高概率找到F的满意分配.以前没有已知的有效算法来找到具有超过m/n=1.817.2^k/k的非零概率的解[Frieze and Suen，J. of Algorithms 1996]。
2009-02-20 math.CO math.PR
A Continuous-Discontinuous Second-Order Transition in the Satisfiability of Random Horn-SAT Formulas
我们计算一类随机Horn-SAT公式的可满足性概率，其动机与有限树自动机的非空性问题有关。特别地，当最大子句长度为3时，该模型在其参数空间中显示曲线，沿着该曲线可满足性的概率是不连续的，在二阶相变中结束，在该二阶相变中该曲线变得连续。这是第一种情况下，这种类型的相变已被严格建立一个随机约束满足问题。
2005-05-02 cond-mat.dis-nn math.CO math.PR
Random k-SAT and the Power of Two Choices
我们研究了Achlioptas过程版本的随机k-SAT过程：一个有限数量的k-子句均匀随机地绘制在每一步，并根据特定的规则添加到增长公式。我们证明了一个规则的存在，移动的可满足性阈值。这将概率组合学（Achlioptas过程）的一个很好的研究领域扩展到随机CSP。特别地，虽然先前已知延迟2-SAT阈值的规则，但这是对于k >= 3移动k-SAT阈值的规则的第一个证明。然后，我们提出了一个间隙判定问题的基础上，这个半随机模型。问题的目的是调查的硬度随机k-SAT判定问题，而不是找到一个分配或证书的不满足的问题。最后，我们讨论了连接到Achlioptas随机图过程的研究。
2013-10-15 cs.CC cs.DM math.CO
The birth of the contradictory component in random 2-SAT
我们证明，以高概率，矛盾的成分的随机2-SAT公式在亚临界阶段的相变只有3-正规的内核。这是从这些内核和复杂的组件的随机图在亚临界阶段之间的关系。这部分地解决了2-SAT和随机图中相变之间的结构相似性问题。作为一个副产品，我们描述的技术，允许获得一个完整的渐近展开的可满足性在亚临界阶段。我们还得到了矛盾变量的数量分布和亚临界相的脊柱结构。
2019-04-23 cs.DM cs.LO math.CO
Scale-Free Random SAT Instances
我们专注于随机生成的SAT实例，具有类似于现实世界的实例的属性。众所周知，许多工业实例，即使有大量的变量，也可以在合理的时间内由聪明的求解器求解。这是不可能的，在一般情况下，与经典的随机生成的实例。我们提供了一种不同的SAT实例生成模型，称为\emph{scale-free random SAT instances}。它基于使用非均匀概率分布$P(i)\sim i^{-β}$来选择变量$i$，其中$β$是模型的参数。这导致公式中变量的出现次数$k$遵循幂律分布$P(k)\sim k^{-δ}$，其中$δ= 1 + 1/β$。在大多数真实世界的SAT实例中都观察到了此属性。对于$β=0$，我们的模型扩展了经典的随机SAT实例。证明了当子句/变量比为$m/n=\frac{1-2β}{(1-β)^2}$时，具有$β<1/2$的无标度随机2-SAT实例存在SAT-UNSAT相变现象.我们还证明了无标度随机k-SAT实例是不可满足的高概率时，条款的数量超过$ω(n^{(1-β)k})$。这意味着当$β>1-1/k$时SAT/UNSAT相变现象消失，并且公式由于子句的小核心而不可满足。这一结果的证明表明，当$β>1-1/k$，大多数公式的不可满足性可能是由于小核心的条款。最后，我们展示了这个模型如何使我们能够生成类似于工业实例的随机实例，用于测试目的。
2019-07-17 cs.CC math.CO math.PR
A Slice-Rank Drift Bound for Random Quantum \(k\)-SAT
研究随机量子\(k\)-SAT阈值定量位置，结合几何表述与维度衰减分析，证明新上界，将已知渐近上界提高\(k\)倍，小\(k\)值时有显著改进，关键输入是张量积子空间的乘法希勒型不等式。
2026-07-28 math-ph math.CO math.MP
Cokernels of random matrices satisfy the Cohen-Lenstra heuristics
设A是一个n × n随机矩阵，其iid元素取自p进整数或Z/NZ。则在较弱的非退化条件下，A的上核具有普适的概率分布。特别地，整数上的iid随机矩阵的p-部分具有根据Cohen-Lenstra测度分布的上核，直到指数小的误差。
2013-07-05 math.CO
The Power of Choice for Random Satisfiability
我们认为Achlioptas过程的k-SAT公式。我们创建了一个半随机公式，n个变量和m个条款，其中每个条款是一个选择，在线，两个或多个均匀随机条款。我们的目标是延迟可满足性/不可满足性的转换，保持公式可满足的密度m/n超过可满足性阈值α_k的随机k-SAT。我们表明，三个选择足以提高阈值为任何k >= 3，两个选择足以为所有3 <= k <= 25。我们还表明，两个选择足以降低所有k >= 3的阈值，使公式在低于alpha_k的密度下不可满足。
2012-11-30 cs.CC math.CO
Bounds on Threshold of Regular Random $k$-SAT
我们考虑了Boufkhad等人提出的合取范式公式生成的正则模型。我们推导出一个上界的可满足性阈值和NAE可满足性阈值的定期随机$k$-SAT的任何$k \geq 3$。我们表明，这些边界匹配的公式生成的统一模型与相应的边界。通过对满足赋值的个数应用二阶矩方法，我们得到了阈值的下界。对于大的$k$，我们注意到，所获得的下限阈值的一个定期随机公式收敛到下界的均匀模型。因此，我们回答了在\cite{AcM06}中提出的关于二阶矩法对规则随机公式的性能的问题。
2010-04-23 cs.CC cs.IT math.CO
