Harnack inequalities for the curve shortening flow
我们提供了一个算法的方法来确定Harnack量的曲线缩短流，我们展示了如何，按照这个过程，可以得到汉密尔顿的Harnack不等式，这个流$κ_t + \frac{1}{2t}κ\geq \frac{κ_s^2}κ$，其中$κ$是曲率的曲线变形的流量。
2015-11-01 math.DG
Harnack inequalities for positive solutions of the heat equation on closed Finsler manifolds
本文的主要目的是将Li-Yau型梯度估计推广到Finsler几何中，从而得到Harnack型不等式.在一定曲率假设下，得到了当流形沿Finsler里奇流发展时热方程正解的一般梯度估计.
2018-11-06 math.DG
Hamilton differential Harnack inequality and $W$-entropy for Witten Laplacian on Riemannian manifolds
本文证明了完备黎曼流形上Witten-Laplacian热方程在$CD(-K, m)$ -条件下正解的Hamilton微分Harnack不等式，其中$m\in [n, \infty)$和$K\geq 0$是两个常数.在完备黎曼流形上，我们引入了$W$ -熵，并证明了具有$CD(-K, m)$ -条件和具有$(-K, m)$ -超里奇流的紧致流形上Witten Laplacian基本解的$W$ -熵公式.
2017-10-10 math.DG
Harnack Inequalities for Critical 4-manifolds with a Ricci Curvature Bound
我们研究临界黎曼4-流形的里奇曲率的下界，但没有一个先验的分析约束，如Sobolev常数。我们推导出椭圆型估计的局部曲率半径，它本身控制截面曲率。主要的方法是建设爆破的退化指标，其次是几何/拓扑平凡的结果，从以前的工作。
2013-09-12 math.DG
Harnack estimates for the porous medium equation with potential under geometric flow
设$(M, g(t))$，$t\in[0,T)$是闭黎曼$n$流形，其黎曼度量$g(t)$由几何流$ \frac{\partial }{\partial t} g_{ij}=-2S_{ij} $演化，其中$S_{ij}(t)$是$(M,g(t))$上的对称双张量.本文讨论了多孔介质中的位势方程$\frac{\partial u}{\partial t}=Δu^{p}+S u$，其中$S=g^{ij}S_{ij}$是$S_{ij}$的迹，在上述几何流的作用下，在含时黎曼度规上正解的微分Harnack估计.
2019-01-30 math.DG
Harnack inequalities and $W$-entropy formula for Witten Laplacian on Riemannian manifolds with $K$-super Perelman Ricci flow
本文证明了具有$K$ -超Perelman里奇流的完备黎曼流形上Witten Laplacian热半群的对数Sobolev不等式，并得到了其Hamilton Harnack不等式.建立了Witten Laplacian热方程的$W$ -熵公式，证明了满足$CD(K, m)$条件的完备黎曼流形上的一个刚性定理，并将$W$ -熵公式推广到具有$(K, m)$ -超Perelman里奇流的紧致黎曼流形上的含时Witten Laplacian，其中$K\in \mathbb{R}$和$m\in [n, \infty]$是两个常数.最后，我们证明了在具有$(K, m)$ -super里奇流的变形的紧致流形或完备流形上与含时Witten Laplacian相关的热方程$\partial_t u=Lu$的正解的Li-Yau和Li-Yau-Hamilton Harnack不等式.
2016-02-07 math.DG
Gradient estimates and Harnack inequalities of a parabolic equation under geometric flow
该研究针对一般几何流演化流形上的抛物方程，建立正解的时空梯度估计与有界正解的椭圆型梯度估计，推导对应Harnack不等式，并给出特定抛物方程的梯度估计应用。
2019-12-03 math.DG
A relation between entropy monotonicity and Harnack inequalities
我们将Perelman的熵计算推广到Ricciflow解内部域的情况。在欧几里得空间作为环境流形的情况下，出现了与Harnack不等式的有趣关系。
2007-02-26 math.AP math.DG
Harnack inequalities for curvature flows in Riemannian and Lorentzian manifolds
我们得到了具有常非负截面曲率的黎曼流形中一类曲率流的Harnack估计，以及Lorentzian Minkowski和de Sitter空间中一类曲率流的Harnack估计.进一步证明了局部对称非负截面曲率Riemann Einstein流形中中曲率流的一个带附加项的Harnack估计。利用严格凸超曲面的“对偶”概念，我们还得到了球面和双曲空间中扩张流的一类新的不等式，即所谓的“伪”-Harnack不等式.
2017-03-22 math.AP math.DG
Harnack inequalities for evolving hypersurfaces on the sphere
利用严格单调的1-齐次凸曲率函数$f$，$0<p\leq 1.$的幂证明了单位球面上流动超曲面的Harnack不等式.若$f$是中曲率，则得到了更强的Harnack不等式.
2016-08-14 math.AP math.DG
Differential Harnack inequalities for a family of sub-elliptic diffusion equations on Sasakian manifolds
证明了Sasakian流形上一类次椭圆扩散方程在一定曲率条件下的微分Harnack不等式。
2013-02-14 math.AP math.DG
On Harnack inequalities and singularities of admissible metrics in the Yamabe problem
本文研究了维数为$n\ge 3$的紧致黎曼流形$(M, g_0)$上的k-Yamabe问题中容许度量的局部性态.对于$n/2 <k<n$，当$(M,g_0)$与单位球面$S^n$不共形等价且所有度量的集合是紧的时，证明了一个关于容许度量的Harnack不等式.当$(M,g_0)$是单位球面时，我们证明了存在唯一的具有奇异性的容许度量.因此，我们证明了Yamabe型方程的存在定理，从而恢复Gursky和Viaclovski最近的结果的可解性的$k$ -Yamabe问题的$k>n/2$。
2005-09-15 math.DG
Differential Harnack inequalities and Perelman type entropy formulae for subelliptic operators
本文在F. Baudoin和N. Garofalo，我们得到了关于带位势的次椭圆算子的Schödinger方程正解的微分Harnack不等式.作为微分Harnack不等式的应用，我们得到了相应的抛物Harnack不等式.定义了与次椭圆算子相关的Perelman型熵，并证明了它的单调性.
2013-07-09 math.AP math.DG
New differential Harnack inequalities for nonlinear heat equations
证明了闭流形上非线性热方程$ω_t=Δω+aω\ln ω$的约束迹、矩阵和约束矩阵Harnack不等式.在$\varepsilon$ -里奇流下，我们还得到了闭曲面上方程$ω_t=Δω-ω\lnω+\varepsilon Rω$的一个新的插值Harnack不等式.最后证明了方程$ω_t=Δω-ω\lnω$在无曲率条件的里奇流下的一个新的微分Harnack不等式.在这些Harnack不等式中，修正项都是时间-指数函数，优于时间-多项式函数。
2018-03-28 math.AP math.DG
Interpolating between constrained Li-Yau and Chow-Hamilton Harnack inequalities for a nonlinear parabolic equation
建立了一类单参数Harnack不等式，它将非线性抛物型方程的约束迹Li-Yau微分Harnack不等式与该非线性方程的约束迹Chow-Hamilton Harnack不等式关于二维闭流形上里奇流的演化度量联系起来.这个结果可以看作是Y. Zheng和作者（Arch.Math.94（2010），591-600）。
2012-08-22 math.AP math.DG
Harnack Estimates for Nonlinear Heat Equations with Potentials in Geometric Flows
设$M$是一个闭黎曼流形，其黎曼度量族$g_{ij}(t)$由几何流$\partial_{t}g_{ij} = -2{S}_{ij}$演化，其中$S_{ij}(t)$是$M$上的光滑对称二张量族.本文给出了一类非线性位势热方程\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial t} = Δf + γ(t) f\log f +aSf, \end{eqnarray*}正解的微分Harnack估计，其中$γ(t)$是$t$上的连续函数，$a$是常数，$S=g^{ij}S_{ij}$是$S_{ij}$的迹.我们的Harnack估计包含了许多已知的结果作为特殊情况，而且导致了各种几何流的新的Harnack不等式。
2014-02-18 math.DG
Integrated Harnack inequalities on Lie groups
证明了单模李群上卷积热核的对数导数是指数可积的。这个结果，然后用来证明一个“集成”的Harnack不等式这些热核。证明了这种积分的Harnack不等式等价于Wang的Harnack不等式的一种形式。（所有这些不等式的一个关键特征是它们是维度独立的。最后，我们证明了这些不等式蕴含着两类无穷维李群热核测度的拟不变性。
2008-08-01 math.DG math.PR
Harnack Estimates for Nonlinear Backward Heat Equations in Geometric Flows
设$M$是一个闭黎曼流形，其黎曼度量族$g_{ij}(t)$由一个几何流$\partial_{t}g_{ij} = -2{S}_{ij}$演化，其中$S_{ij}(t)$是一个光滑对称两张量族.我们得到了非线性倒向热型方程\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial t} = -Δf + γf\log f +aSf \end{eqnarray*}正解的几个微分Harnack估计，其中$a$和$γ$是常数，$S=g^{ij}S_{ij}$是$S_{ij}$的迹.我们的抽象公式提供了一个统一的框架，一些已知的结果证明了不同的作者，而且导致新的Harnack不等式的各种几何流。
2014-02-18 math.DG
Harnack inequalities in infinite dimensions
研究了调和函数关于三类无穷维算子的Harnack不等式.对于无穷维Laplacian，我们证明了Harnack不等式是不可能的.我们还表明，Harnack不等式失败的一大类的Ornstein-Uhlenbeck过程，虽然功能，这些过程的调和满足先验模的连续性。这些过程中的许多过程也具有耦合特性。第三种类型的运营商考虑的是无限维模拟运营商的Hörmander的形式。在这种情况下，Harnack不等式成立。
2012-09-24 math.DG math.PR
Differential Harnack Estimates and Frequency Monotonicity for Filtration Equations on Riemannian Manifolds
该研究针对黎曼流形上过滤方程的光滑正解，通过Bochner判别式结合Nash–Moser迭代推导微分Harnack估计，恢复了两类方程的经典估计并拓展了过滤律类型。
2026-09-22 math.AP math.DG
Equivalent Harnack and Gradient Inequalities for Pointwise Curvature Lower Bound
利用耦合方法，对黎曼流形（可能有边界）上的（亚马尔可夫）扩散半群建立了一个带局部几何量的显式log-Harnack不等式.证明了这个不等式以及由此产生的$L^2$ -梯度不等式与点态曲率下界条件以及边界的凸性或不存在性是等价的。最后介绍了log-Harnack不等式的一些应用。
2012-09-27 math.DG math.PR
Measure Estimates, Harnack Inequalities and Ricci Lower Bound
在Riemann度量-测度空间上，建立了一个Alexandrov-Bakelman-Pucci型测度估计，它将Bakry-里奇曲率下界、修正Laplacian和某些特殊集的测度联系起来.我们应用这个估计证明了修正Laplacian算子和完全非线性算子的Harnack不等式。这些不等式似乎没有在文献中;和我们的证明，完全基于ABP估计，不涉及任何Sobolev不等式，也没有梯度估计。我们还提出了一个关于用Harnack不等式刻画Ricci下界的问题。
2011-04-10 math.AP math.DG
Harnack inequalities and Bôcher-type theorems for conformally invariant fully nonlinear degenerate elliptic equations
将Bôcher关于Laplace方程的一个定理推广到一类共形不变的完全非线性退化椭圆型方程.我们还证明了局部Lipschitz黏性解的Harnack不等式和连续径向对称黏性解的分类。
2013-10-19 math.AP math.DG
Harnack Inequalities for Yamabe Type Equations
本文给出了维数大于2的黎曼流形上Yamabe和预定数量曲率型方程的sup*inf型的先验估计。乘积sup*inf是这些方程的特征，就像通常的非负调和函数的Harnack不等式一样。首先，我们有一个下界的sup*inf的某些类的PDE紧流形（如规定的标量曲率）。我们也有一个上界相同的产品，但在任何黎曼流形不一定紧。这些结果的应用是某些偏微分方程的唯一解。
2006-04-25 math.AP math.DG
A Lie algebraic approach to Ricci flow invariant curvature conditions and Harnack inequalities
我们考虑复李代数$\so(n,\C)$的子集$S$和$S$上非负曲率算子的锥$C(S)$.我们证明了$C(S)$定义了一个里奇流不变曲率条件，如果$S$在$\Ad_{\SO(n,\C)}$下不变. Kähler曲率算子的类比也成立。虽然证明是非常简单和简短的恢复所有以前已知的不变非负性条件。作为应用，我们重新证明了具有正正交双截曲率的紧致Kähler流形演化为具有正双截曲率的流形，从而双全纯于$\CP^n$ .此外，这些方法也可用于证明Harnack不等式.除了早期版本的文件包含一些评论的负面结果Harnack不等式。
2011-05-10 math.AP math.DG
Differential Harnack Estimates for Backward Heat Equations with Potentials under the Ricci Flow
在本文中，我们推导出一个一般的发展公式的可能Harnack量。因此，我们证明了几个关于带位势的向后热型方程（包括共轭热方程）在里奇流下正解的微分Harnack不等式.我们还将导出里奇流下共轭热方程基本解的Perelman Harnack不等式。
2008-05-22 math.DG
Improving $L^2$ estimates to Harnack inequalities
我们考虑算子的形式${\mathcal L}=-L-V$，其中$L$是一个椭圆算子和$V$是一个奇异的潜力，定义在一个光滑的有界区域$Ω\subset \R^n$ Dirichlet边界条件。我们允许$Ω$的边界由不同余维的不同部分组成。我们假设${\mathcal L}$有一个广义第一特征函数，我们知道双侧估计。在这些假设下，我们证明了算子${\mathcal L}$的最优Sobolev不等式，证明了它生成一个内禀超压缩半群，最后我们得到了一个抛物型Harnack不等式的边界估计以及尖锐的热核估计.
2009-11-04 math.AP math.DG
Differential Harnack Estimates for Parabolic Equations
设$(M,g(t))$是闭黎曼流形上里奇流的一个解。本文证明了$$\ppt f=Δf-f \ln f +Rf.$$型非线性抛物型方程正解的微分Harnack不等式，并对第一作者关于里奇流下共轭热方程正解的一个结果作了评述.
2010-01-28 math.DG
Harnack Inequalities on Manifolds with Boundary and Applications
在一大类带边界的黎曼流形上，证明了Neumann半群的一些无量纲Harnack不等式等价于边界的凸性和一个曲率条件.特别地，对于$p_t(x,y)$，Neumann热核w.r.t.对于体积类型测度$μ$，对于$K$，曲率条件$\Ric-\nn Z\ge K$与边界的凸性一起等价于热核熵不等式$$\int_M p_t(x,z)\log \ff{p_t(x,z)}{p_t(y,z)} μ(\d z)\le \ff{K\rr(x,y)^2}{2(\e^{2Kt}-1)}, t>0, x,y\in M,$$，其中$\rr$是黎曼距离。将主要结果部分推广到具有非凸边界的流形，并应用于导出HWI不等式。
2009-11-01 math.DG math.PR
Harnack inequality for nonlinear parabolic equations under integral Ricci curvature bounds
设$(M^{n},g)$是完备的黎曼流形.本文在$M$的Ricci曲率里奇曲率足够小的情况下，建立了测地球上非线性抛物型方程$B(O,r)$正解的时空梯度估计.通过积分梯度估计，我们找到了相应的Harnack不等式。
2022-06-23 math.DG
Dimension-free Harnack inequalities for conjugate heat equations and their applications to geometric flows
本文利用 Schrödinger 型共轭半群导数的概率表示，在演化 Riemann 流形上建立无维数 Harnack 不等式，并推出热核上界与典范对数 Sobolev 不等式。
2020-10-10 math.DG math.PR
The Geometry of Differential Harnack Estimates
在这个简短的说明中，我们希望给非专家一个快速的感应到世界的微分Harnack不等式，这是如此有影响力的几何分析和概率论在过去的几十年。在粗略的层次上，这些不等式通常看起来很复杂，适用于某些抛物型偏微分方程的“正”解，并且可以通过计算和应用最大值原理来快速验证。在这篇文章中，我们强调了Harnack不等式背后的几何学，这些不等式通常被证明是对某些自然对象凸性的断言。作为一个应用，我们解释了如何汉密尔顿的微分Harnack不等式的中曲率流的一个$n$维子流形的$R^{n+1}$可以被视为以下直接从著名的保凸下的中曲率流，但这一次的一个$(n+1)$维子流形的$R^{n+2}$。我们还简要地回顾了导致我们得出这些结论的早期工作。
2013-01-08 math.AP math.DG
On some conformally invariant fully nonlinear equations, Part II: Liouville, Harnack and Yamabe
Yamabe问题涉及在给定的闭黎曼流形上寻找一个共形度量，使它具有常数数量曲率。本文主要研究Yamabe问题的一个完全非线性形式和相应的Liouville型问题。
2004-03-25 math.AP math.DG
A matrix Harnack inequality for semilinear heat equations
在具有非负截面曲率和平行Ricci张量的黎曼流形上，得到了半线性热方程正解的一个矩阵形式的Li \& Yau型估计，类似于R. Hamilton在~ \cite{hamilton7}中对标准热方程所做的工作。然后，我们应用这些估计，以获得一些Harnack型不等式，它给当地的边界上的解决方案中所涉及的几何量。
2021-07-29 math.AP math.DG
Sharp Inequalities for Anti-Invariant Riemannian Submersions from Sasakian Space Forms
得到了从Sasakian空间型到黎曼流形的反不变黎曼浸入的里奇曲率和数量曲率的尖锐不等式.
2019-01-14 math.DG
Generalized Chen's inequalities for Riemannian submersions and Riemannian maps with Applications
Banaras Hindu University（贝拿勒斯印度教大学）
利用广义δ-不变量，建立了黎曼浸没和黎曼映射的最优广义Chen不等式，刻画了等号成立的代数条件，并应用于实空间形式和复空间形式。
2026-06-18 math.DG
Harnack inequality and the relevant theorems on Finsler metric measure manifolds
针对加权Ricci曲率有下界的Finsler度量测度流形，本文建立体积比较、加权Poincaré、Sobolev及均值不等式，并据此推出热方程正解的局部梯度估计与Harnack不等式。
2023-12-11 math.AP math.DG
Harnack inequality for Nonlocal operators on Manifolds with nonnegative curvature
Seoul National University（首尔大学）；Universität Bielefeld（比勒费尔德大学）；Korea Institute for Advanced Study（韩国高等研究院）
该研究在非负截面曲率黎曼流形上定义非局部Pucci算子以引出非散度型非局部算子概念，建立了这类完全非线性算子的Krylov-Safonov Harnack不等式与Hölder估计，得到的一致正则性结果可恢复二阶局部算子的经典极限结果。
2021-01-18 math.AP math.DG
Semilinear Li & Yau inequalities
本文给出了具有非负Ricci张量的黎曼流形上半线性热方程正解的Li & Yau估计。然后，我们应用这些估计，得到一个Harnack不等式，并讨论单调性，凸性，衰减估计和平凡的古代和永恒的解决方案。
2022-01-07 math.AP math.DG
Differential Harnack Inequalities on Path Space
回想一下，如果$(M^n,g)$满足$\mathrm{Ric}\geq 0$，那么Li-Yau微分Harnack不等式告诉我们，对于每个非负的$f:M\to \mathbb{R}^+$，$f_t$是它的热流，$\frac{Δf_t}{f_t}-\frac{|\nabla f_t|^2}{f_t^2} +\frac{n}{2t}\geq 0.$我们的主要结果是将其推广到流形的道路空间$P_xM$。一个关键点是，而不是考虑无限维梯度和拉普拉斯算子的$P_xM$，我们将考虑一个家庭的有限维梯度和拉普拉斯算子。也就是说，对于每个$H^1_0$函数$φ:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$，我们将定义$φ$ -梯度$\nabla_φF: P_xM\to T_xM$和$φ$ -拉普拉斯算子$Δ_φF =\text{tr}_φ\mathrm{Hess} F:P_xM\to \mathbb{R}$，其中$\mathrm{Hess} F$是马尔可夫海森算子，梯度和$φ$ -迹都是在随机并行平移下由自然关联到$φ$的$n$向量场诱导的.现在让$(M^n,g)$满足$\mathrm{Ric}=0$，那么对于每个非负的$F:P_xM\to \mathbb{R}^+$，我们将展示每个$φ$的不等式$$\frac{E_x [Δ_φF]}{E_x [F]}-\frac{E_x [\nabla_…
2020-04-15 math.AP math.DG math.PR
Harnack estimates for degenerate parabolic equations modeled on the subelliptic p-Laplacian
本文建立了一类拟线性偏微分方程的Harnack不等式，该方程以原型{方程 *} \partial_t u= - \sum_{i=1}^{m} X_i^ \ast（|\X使用|其中，$p\ge 2$，$ \ \X = (X_1,..., X_m)$是在赋予Borel测度$μ$的光滑流形$\M$上定义的Lipschitz向量场的系统，并且$X_i^*$表示$X_i$关于$μ$的伴随。我们的估计来自假设（i）$\X$产生的控制距离$d$诱导$\M$上相同的拓扑结构;（ii）$d-$度量球的$μ$ -测度的加倍条件和（iii）涉及$\X$和$μ$的Poincaré不等式的有效性。我们的结果将最近在\cite{DiBenedettoGianazzaVespri1}，\cite{K}中的工作推广到更一般的情形，包括（1）由Hörmander向量场和Lebesgue测度生成的度量;（2）具有非负Ricci曲率和黎曼体积形式的黎曼流形;（3）由非光滑Baouendi-Grushin型向量场和Lebesgue测度生成的度量.在所有情况下，Harnack不等式继续举行时，勒贝格措施取代任何光滑体积形式或措施的密度对应于Muckenhoupt型重量。
2013-06-24 math.AP math.DG math.MG
A sub-Riemannian curvature-dimension inequality, volume doubling property and the Poincaré inequality
设$\mathbb{M}$是光滑连通流形，具有光滑测度$μ$和光滑局部次椭圆扩散算子$L$满足$L1=0$，且关于$μ$对称.证明了若$L$在非负曲率参数下满足第一和第三作者在\cite{BG}中引入的广义曲率不等式，则下列性质成立：1体积加倍性质; 2 Poincaré不等式; 3抛物Harnack不等式.主要内容是研究热半群的维数逆log-Sobolev不等式和相应的非线性逆Harnack型不等式。我们的结果特别适用于所有的Sasakian流形的水平Webster-Tanaka- Ricci曲率是非负的，所有的卡诺集团与步骤2，并广泛的子类主丛的黎曼流形的里奇曲率是非负的。
2014-07-23 math.AP math.DG math.PR
Li-Yau type and Harnack estimates for systems of reaction-diffusion equations via hybrid curvature-dimension condition
该研究引入混合曲率-维数条件与混合张量化原理，证明了线性反应扩散方程组的Li-Yau型微分Harnack估计及Harnack不等式，拓展了曲率-维数理论的应用场景。
2023-12-19 math.AP math.DG math.PR
