Elliptic curves with surjective adelic Galois representations
Aaron Greicius
我们证明了数域上的椭圆曲线允许满射隐似伽罗瓦表示的有用的充要条件。利用这些条件，我们计算了数域K和椭圆曲线E/K的一个例子，其对应的椭圆表示是满射的。
We prove useful necessary and sufficient conditions for an elliptic curve over a number field to admit a surjective adelic Galois representation. Using these conditions, we compute an example of a number field K and an elliptic curve E/K whose corresponding adelic representation is surjective.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Images of adelic Galois representations for modular forms
证明了非CM模形式上的阿德利克伽罗瓦表示的象在适当的代数群的阿德利克点上是开的.我们还显示了一个类似的结果附加到一个有限集的模形式集的adelic伽罗瓦表示。
Surjectivity of the adelic Galois Representation associated to a Drinfeld Module of prime rank
设$ϕ$是由$$ϕ_T=T+τ^{r-1}+T^{q-1}τ^r.$$定义的素秩$r$的$\mathbb{F}_{q}(T)$上的Drinfeld模，证明了在一定条件下，$\mathbb{F}_q$上的椭圆伽罗瓦表示$$ρ_ϕ:{\rm{Gal}}(\mathbb{F}_q(T)^{\rm{sep}}/\mathbb{F}_q(T))\longrightarrow \varprojlim_{\mathfrak{a}}{\rm{Aut}}(ϕ[\mathfrak{a}])\cong {\rm{GL_r}}(\widehat{A})$$是满射的.
Adelic Openness for Drinfeld Modules in Special Characteristic
对任意特殊特征为p0的Drinfeld模，研究了其在不同于p0和\infty的所有位置上的相应的阿德尔伽罗瓦表示，并确定了几何伽罗瓦群的象，直至可解性.
Elliptic Curves with Full 2-Torsion and Maximal Adelic Galois Representations
1972年，Serre证明了数域上非CM椭圆曲线的广义伽罗瓦表示在GL_2（\hat{Z}）中有开象.在格雷丘斯的论文中，他发展了必要和充分的标准来确定这种表示何时实际上是满射的，并展示了这样一个例子。然而，验证这些标准在实践中是困难的; Greicius描述了他们的测试，只适用于半稳定椭圆曲线在一个特定的一类立方数域。在本文中，我们扩展Greicius的方法在几个方向。首先，我们考虑具有完全2-挠率的椭圆曲线的类似问题。Greicius之后，我们获得了相关的adelic表示是最大的充要条件，并开发了一个电池的计算有效的测试，可以用来验证这些条件。我们能够使用我们的测试来构造Q（alpha）上具有最大像的无限曲线族，其中alpha是x^3 + x + 1的实根。接下来，我们将Greicius的测试扩展到更一般的设置，如任意立方数域上的非半稳定椭圆曲线。最后，我们对任意扭子群的这类问题进行了一般性的讨论。
On Possible Genus 0 adelic Galois Images of non CM Elliptic Curves over $\mathbb{Q}$
本文研究了定义在有理数域上的非 CM 椭圆曲线的 adelic Galois 表示，分类了当 $\pm ρ_E$ 的像具有亏格 0 时由 $ρ_E$ 的像与 $-I$ 生成的群的可能形式，但给出的列表并非最小。
Exceptional cases of adelic surjectivity for Drinfeld modules of rank 2
本文研究了秩为$2$的$\mathbb{F}_q(T)$上Drinfeld $\mathbb{F}_q[T]$ -模在$q$为偶数或$q=3$时的广义伽罗瓦表示的满射性.
The image of the adelic Galois representation of an elliptic curve with complex multiplication
本文针对具有复乘且j-不变量非0或1728的椭圆曲线E/Q，描述并实现了一种高效算法，计算其adelic Galois表示在GL(2, Ź)中的像（共轭意义下）。
Examples of Quadratic Polynomials over $\mathbb{Q}$ with Surjective Arboreal Galois Representations
研究二次多项式与严格预周期点的组合，以提供无限多个arboreal Galois表示可表征的示例。
Polynomials with Surjective Arboreal Galois Representations Exist in Every Degree
设~ $E$是特征为~ $0$的希尔伯特域。R.W.K. Odoni证明了对每一个正整数$n$，存在一个次数为$n$的多项式$f\in E[X]$，使得$f$的每一个次$f^{\circ{k}}$都是不可约的，并且$f^{\circ k}$的分裂域的伽罗瓦群同构于高度为$k.$的正则$n$ -分枝树的自同构群.当$E$是数域时，我们证明了这个猜想.
Hyperelliptic Curves with Maximal Galois Action on the Torsion Points of their Jacobians
在这篇文章中，我们证明了在四个标准的超椭圆曲线族中的每一个中，都有一个密度- $1$子集的成员具有这样的性质，即它们的雅可比行列式具有像尽可能大的椭圆伽罗瓦表示.这一结果构成了任意有理交换簇族的一般定理在超椭圆曲线的雅可比族中的明确应用。此外，我们提供了明确的例子，$\mathbb Q$上的亏格$2$和$3$的超椭圆曲线，其雅可比矩阵具有这样的最大阿耳特伽罗瓦表示。
Effective bounds for adelic Galois representations attached to elliptic curves over the rationals
本文研究了无复乘的有理数域上椭圆曲线所附带的adelic伽罗瓦表示的像指数，给出了一个明确的上界，并改进了Zywina和Lombardo之前的成果。
Principally polarized abelian surfaces with surjective galois representations on l-torsion
给定一个定义在$K$上的有理簇$V$，我们考虑一个定义在$V$上的维数为$g$的主极化阿贝尔簇$A$.对于每个素数l，我们考虑$A_t$的$l$ -挠上的伽罗瓦表示，其中$t$是$V$的$K$ -有理点。最大可能的图像是$GSp_{2g}(\mathbb{F}_l)$，在情况$g=1$和2中，我们能够得到所有$l$和几乎所有$t$的满射性。在$g=1$的情况下，这恢复了最初由威廉·杜克证明的定理。
Surjectivity of Galois Representations in Rational Families of Abelian Varieties
本文证明了在具有大单值性的有理基上的任意非等平凡交换簇族，具有象尽可能大的阿德尔伽罗瓦表示的簇族构成一个密度- $1$子集.我们的结果可以应用到一些有趣的阿贝尔簇的交换品种，如合理的家庭支配的超椭圆曲线，三角曲线，或平面曲线的雅可比矩阵的模。因此，我们证明了对于任何维数$g \geq 3$，有无穷多个交换阿贝尔簇在$\mathbb Q$上具有伽罗瓦表示其像等于所有的$\operatorname{GSp}_{2g}(\widehat{\mathbb Z})$。
A class of Drinfeld $A$-modules of rank $3$ with surjective Galois representations
本文针对奇素数幂$q=p^e\geq7$的情形，构造了含双参数的无穷多秩3 Drinfeld $A$-模，证明其对任意非零素理想的各类伽罗瓦表示均为满射，推广了此前仅适用于$p\equiv1\pmod{3}$的具体例子。
An explicit Abelian surface with maximal Galois action
我们构造了一个显式的例子，亏格$2$曲线$C$在数域$K$上，使得由$\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)$对$C$的雅可比矩阵的作用所产生的阿德尔伽罗瓦表示具有像$\operatorname{GSp}_4(\widehat{\mathbb Z})$。
Hecke algebra isomorphisms and adelic points on algebraic groups
设$G$表示$\mathbf{Q}$上的线性代数群，$K$和$L$表示两个数域。设$G$上的点分别在$K$和$L$的有限个顶点上存在群同构。我们建立的条件，组$G$，其Borel群的结构，$K$和$L$同构的阿黛尔环。在这些条件下，如果$K$或$L$是$\mathbf{Q}$的伽罗瓦扩张，并且$G(\mathbf{A}_{K,f})$和$G(\mathbf{A}_{L,f})$同构，则$K$和$L$同构为域。我们使用这个结果表明，如果两个数域$K$和$L$是伽罗瓦在$\mathbf{Q}$，有限Hecke代数$\mathrm{GL}(n)$（固定$n > 1$）是同构的$L^1$-范数的等距，那么领域$K$和$L$是同构的。这可以被看作是Neukirch定理的自守表示理论中的一个类似物，即一个数域的绝对伽罗瓦群决定了这个数域是否是$\mathbf{Q}$上的伽罗瓦。
Adelic openness without the Mumford-Tate conjecture
设$X$是数域$K$上的非奇异投射簇，$i$是非负整数，$V_{\A}$是$\bar X$的系数在$\Q$上的有限边环$\A_f$中的标准上同调.假设Mumford-Tate猜想，我们提出了一个猜想（猜想1.2），描述了绝对伽罗瓦群$G_K$在绝对伽罗瓦表示$ρ_{\A}: G_K -> \Aut(V_{\A})=\GL_n(\A_f)$下在$H(\A_f)$中的像的大性，其中$H$是Hodge群。激励的例子是一个著名的定理塞尔，它断言，如果$X$是一个椭圆曲线没有复杂的乘法$\bar K$和$i=1$，那么$ρ_{\A}(G_K)$是一个开放的子群$\GL_2(\hat \Z)\subset \GL_2(\A_f)$。我们陈述并在某些情况下证明了一个较弱的猜想，它不需要Mumford-Tate，但它与Mumford-Tate一起意味着猜想1.2。我们还将我们的猜想与塞尔关于最大动机的猜想联系起来。
Elliptic curves with 3-adic Galois representation surjective mod 3 but not mod 9
设E是Q上的椭圆曲线，rho_l：Gal（Q）--> GL_2（Z_l）是它的l-adic伽罗瓦表示. Serre观察到当l>3时，SL_2（Z_1）不存在满射到SL_2（Z/lZ）上的真闭子群，并得出结论：若rho_1是模l满射，则它是GL_2（Z_1）上的满射。我们表明，这不再适用于l=3，通过描述一个模曲线X的属0 parametrizing椭圆曲线的rho_3不是满射模9，但一般满射模3。曲线X定义在Q上，模覆盖X --> X（1）的次数为27，因此X是有理数。我们展示了一个实现这个覆盖的27次显式有理函数，并用它展示了几条在ρ 3上满足这个条件的具有非零j不变的椭圆曲线，其中最简单的分别是1944 = 2^3 3^5和6075 = 3^5 5^2的曲线Y^2 = X^3 - 27 X- 42和Y^2 + Y = X^3 - 135 X- 604。
Adelic point groups of elliptic curves
本文证明了对于定义在数域K上的椭圆曲线E，K的Adele环A上的E的点群E（A）是一个拓扑群，可以用E的扭点的伽罗瓦表示来分析.给出了E（A）的一个显式描述，证明了对n次K，几乎所有的K上的椭圆曲线都有一个拓扑同构于依赖于n的泛群的椭圆点群.我们还证明了存在无穷多条K上具有不同顶点群的椭圆曲线。
Galois representations are surjective for almost all Drinfeld modules
本文证明在函数域上，对于秩r≥2的Drinfeld模，T-adic Galois表示在密度为1的模集合上是满射的，利用Hilbert不可约性、Drinfeld均匀化理论和筛法。
Galois representations and composite moduli
已知对任何椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$和与$30,$互素的整数$m$，导出的伽罗瓦表示$ρ_{E,m}: \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \longrightarrow \text{GL}_{2}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$是满射的当且仅当$ρ_{E,\ell}$对任何素数$\ell|m.$是满射的。在这篇文章中，我们将讨论这一现象的一些推广、应用和变体。
An Improved Bound Towards a Conjecture of Serre on Surjective Galois Representations
假设$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，没有复数乘法并且具有导体$N$。对于每个正整数$m$，绝对伽罗瓦群$G_{\mathbb{Q}}=\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$对$\bar{\mathbb{Q}}$上扭点的作用产生$G_\mathbb{Q}$的表示。一个著名的文件塞尔表明，这种表示是满射的所有足够大的素数;其他素数被称为\emph{exceptional}。证明了$\mathbb{Q}$上的任何非CM椭圆曲线都不存在例外素数$\ell>37$.在这个方向上的最佳结果是由于Cojocaru，谁证明了最大的特殊素数$\ell_0\ll_ε N^{1+ε}$。在本文中，我们降低指数的界限，以获得$\ell_0\ll_ε N_0^{1/4}+ε}$，其中$N_0$是不良约简素数的乘积。如果$E$没有乘法归约的地方，那么我们有$\ell_0\ll_εN^{1/8}+ε}$。假设Frey-Szpiro猜想，我们就有了一般的$\ell_0\ll_εN^{1/8}+ε}$。我们的主要方法包括Rankin-Selberg方法和关于二次剩余分布的经典工作。
Constructing hyperelliptic curves with surjective Galois representations
在本文中，我们展示了如何显式地写出方程的超椭圆曲线在Q上，使所有的奇素数l的图像模l伽罗瓦表示是一般辛群。证明依赖于理解惯性群对雅可比矩阵的l-挠率的作用，包括雅可比矩阵具有非半稳定约化的素数。我们还给出了一个框架，系统地处理的辛模伽罗瓦表示的非线性。本文的主要结果如下。假设n=2g+2是一个偶数，可以用两种不同的方式写成两个素数的和，没有一个素数是小于n的最大素数（这个假设似乎对所有g都成立，g不同于0，1，2，3，4，5，7和13）。然后有一个显式的整数N和一个显式的一元多项式$f_0(x)\in \mathbb{Z}[x]$的次数n，这样的雅可比$J$的形式$y^2=f(x)$的每一条曲线有$Gal(\mathbb{Q}(J[l])/\mathbb{Q})\cong GSp_{2g}(\mathbb{F}_l)$为所有奇素数l和$Gal(\mathbb{Q}(J[2])/\mathbb{Q})\cong S_{2g+2}$，只要$f(x)\in\mathbb{Z}[x]$是一元的与$f(x)\equiv f_0(x) \bmod{N}$和没有重根大于$2$在$\overline{\mathbb{F}}_p$对任何p不整除N。
Congruences of elliptic curves arising from non-surjective mod $N$ Galois representations
研究了椭圆曲线的二次扭之间的$N$ -同余.如果$N$正好有两个不同的素因子，我们表明，这些参数的双重覆盖某些模块化曲线。在许多但不是所有情况下，所讨论的模曲线对应于$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$的Cartan子群的正规化子。通过计算这些双重覆盖的显式模型，我们发现所有对$(N, r)$，使存在无穷多个$j$ -不变量的椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$这是$N$ -全等与电源$r$二次扭曲的$E$。我们还找到了一个例子的$48$ -同余在$\mathbb{Q}$。本文提出了一个猜想，分类了$\mathbb{Q}$上椭圆曲线的二次扭之间的非平凡$(N,r)$ -同余.最后，我们给出了一个更详细的$15$级的案例分析。我们使用椭圆Chabauty确定的有理点的模曲线的亏格$2$，其雅可比矩阵的秩$2$和出现作为一个双重覆盖的模曲线$X(\mathrm{ns} 3^+, \mathrm{ns} 5^+)$。作为结果，我们得到一个新的证明类数$1$问题。
On the birational section conjecture with local conditions
数域k上双曲曲线X/k的双有理可提升伽罗瓦截面s在X的光滑完备化中产生一个顶点x（s）。我们证明了x（s）是Dirichlet密度为0的一组位置之外的X-积分，或s是尖点的.证明依赖于$GL_2(F_\ell)$ -对X的某个开U的$π_1(U)$的等价物。如果k是全实或全虚二次函数，我们证明了所有的双有理三角形，非尖点伽罗瓦截面来自有理点的预言的阿那贝尔几何的截面猜想。另外，我们还得到了Q域或虚二次域上双曲曲线上有理点的一个强逼近结果。
Towards a classification of entanglements of Galois representations attached to elliptic curves
本文研究椭圆曲线附加的 adelic Galois 表示的像偏小问题，提出一种群论分类方法来解释除域间的纠缠，并证明了在 abelian 扩张上发生纠缠的椭圆曲线及主极化 abelian 簇的若干结果。
Products of hyperelliptic Jacobians with maximal Galois image
本文研究了超椭圆 Jacobian 乘积的相伴 adelic 表示，给出了确保其具有极大 Galois 像的简单准则，并提出了一种构造 Jacobian 乘积使其除法域尽可能互不相交的方法。
Galois invariants of finite abelian descent and Brauer sets
该文研究全局域上代数簇的有限阿贝尔下降、Brauer-Manin障碍对应的阿德尔点子集的伽罗瓦不变量还原基域障碍集的条件，并将常曲线的相关结果推广到函数域上的等平凡曲线。
The $T$-adic Galois representation is surjective for a positive density of Drinfeld modules
本文研究秩 2 Drinfeld 模族，证明在按加权高度排序的参数对中，存在正密度的模，其附属的 $T$-进 Galois 表示为满射。
Elliptic mod \ell Galois representations which are not minimally elliptic
在最近的预印本中，F。Calegari已经表明，对于$\ell = 2, 3, 5$和7，存在$\Gal(\bar{\Q}/\Q)$的二维满射表示$ρ$，其中$\F_\ell$中的值来自在$\Q$上定义的椭圆曲线的$\ell$ -扭点，但不是最小的，即，使得产生$ρ$的任何椭圆曲线具有比$ρ$的（素数到$\ell$）导体大的素数到$\ell$导体。在这篇简短的笔记中，我们将证明对于任何素数$\ell >7$也是如此，具体地说，我们将证明对于任何这样的$\ell$，椭圆曲线$$E^\ell: \qquad Y^2 = X (X- 3^\ell ) (X - 3^\ell - 1) $$是半稳定的，在3处有坏的约化，相关的$\mod \ell$伽罗瓦表示$ρ$是满射的，在3处未分歧，并且没有相关的$\mod \ell$表示与$ρ$同构的在3处有好约化的椭圆曲线。
Odoni's conjecture on arboreal Galois representations is false
假设$f \in K[x]$是多项式。$K$的绝对伽罗瓦群作用在$f$下的$0$的原像树$\mathrm{T}$上。得到的同态$ϕ_f: \mathrm{Gal}_K \to \mathrm{Aut} \mathrm{T}$称为树实伽罗瓦表示。Odoni指出，对于所有的希尔伯特域$K$，存在一个多项式$f$，其中$ϕ_f$是满射的。我们证明这个猜想是错误的。
On the Surjectivity of Galois Representations Associated to Elliptic Curves over Number Fields
给定数域$K$上的椭圆曲线$E$，$E$的$\ell$ -扭点$E[\ell]$定义了伽罗瓦表示$\gal(\bar{K}/K) \to \gl_2(\ff_\ell)$。Serre的一个著名定理指出，只要$E$没有复数乘法（CM），映射$\gal(\bar{K}/K) \to \gl_2(\ff_\ell)$对除了1000个$\ell$之外的所有映射都是满射的。我们说一个素数$\ell$是例外的（相对于对$(E,K)$），如果这个映射不是满射的。本文给出了$E$的最大例外素数和所有例外素数的乘积的一个新的界。我们特别表明，有条件的广义黎曼假设（GRH），最大的例外素数的椭圆曲线$E$没有CM是不大于一个常数（取决于$K$）倍$\log N_E$，其中$N_E$是导体的范数的绝对值。这肯定地回答了塞尔的一个问题。
Elliptic curves with maximal Galois action on their torsion points
给定一条数域k上的椭圆曲线E，在E的扭点上的伽罗瓦作用导出一个伽罗瓦表示ρ_E：Gal（\bar{k} /k）\to GL_2（\hat{Z}）.对于一个定数域k，我们描述了ρ_E对k上“随机”椭圆曲线E的象.特别地，如果k \neq Q与Q的分圆扩张线性无缘，则ρ_E对k上的“大多数”椭圆曲线是满射的.
Torsion bounds for elliptic curves and Drinfeld modules
我们得到了定义在一个有限生成域K上的给定椭圆曲线或Drinfeld模上的L-有理扭点个数的渐近最优上界，它是次数[L：K]的函数.我们的主要工具是adelic开放的形象伽罗瓦表示重视椭圆曲线和德林费尔德模块，由于塞尔和粉红Ruetsche，分别。我们的方法是证明某些伽罗瓦模的一般结果，它同时适用于椭圆曲线和Drinfeld模。
On the surjectivity of Galois representations attached to Drinfeld $A$-modules of rank $2$
本文研究了秩为2的Drinfeld A-模所附带的Galois表示的满射性，通过水平和垂直方向的方法给出条件并获得新的例子，证明了在特定条件下表示的满射性。
Adelic framed form class groups and explicit class field theory
本文研究负判别式虚二次域，定义阿代尔标架型类群，证明其与特定伽罗瓦群同构，整合经典数论概念，且该类群的抽象结构唯一确定对应虚二次域。
A uniform bound on the smallest surjective prime of an elliptic curve
本文研究无复乘椭圆曲线的 $\ell$-进伽罗瓦表示，证明使其满射的最小素数至多为 $7$，并完全分类了最小满射素数恰好为 $7$ 的所有椭圆曲线。
On Kummer characters arising from Galois actions on the pro-$p$ fundamental groups of once-punctured CM elliptic curves
本文研究了来自CM椭圆曲线一次punctured时的pro-$p$基本群的Kummer字符，探讨了其非平凡性和满射性条件。
Mod-5 Galois images from abelian surfaces
本文针对阿贝尔曲面，概率性计算了LMFDB中95%亏格2曲线雅可比簇的Mod-5 Galois像，对剩余情况确定像的阶并列出候选像。
Large Galois images for Jacobian varieties of genus 3 curves
给定一个大于或等于5的素数l，我们构造了Q上的三维阿贝尔簇的无限族，使得对该族中的任意A/Q，附着在A的l-挠上的伽罗瓦表示ρ_{A，l}：Gal_Q -> GSp（6，l）是满射的.任何这样的簇A将是Q上亏格为3的曲线的雅可比行列式，我们规定它们在两个辅助素数处的各自约化为我们提供Sp（6，l）的生成元。
Galois representations and Galois groups over Q
本文将P. Le Duff的结果推广到亏格为n的超椭圆曲线.更精确地说，令C/Q是超椭圆亏格n曲线，令J（C）是相关的雅可比簇。假设存在一个素数p，使得J（C）在p处有环面维数为1的半稳定约化.我们给出一个算法来计算素数l的列表（如果它们存在），使得J（C）的l-挠的伽罗瓦表示满射到群GSp（2n，l）上.特别地，我们将GSp（6，l）实现为Q上的伽罗瓦群，其中所有素数l在[11，500000]中。
Composite images of Galois for elliptic curves over $\mathbf{Q}$ & Entanglement fields
设$E$是定义在$\mathbf{Q}$上的椭圆曲线，无需复乘。对于每一个素数$\ell$，都有一个表示$ρ_{E,\ell}\colon \text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q}) \to \text{GL}_2(\mathbf{F}_{\ell})$，它描述了$E$的$\ell$ -扭点上的伽罗瓦作用。在Rouse-Zureick-Brown和Zywina最近工作的基础上，我们找到了复合水平模曲线的模型，其有理点将椭圆曲线分类到$\mathbf{Q}$上，同时具有Galois的非满射复合像。我们还可证明地确定了几乎所有这些曲线上的有理点。最后，我们给出了我们的结果在纠缠场研究中的应用。
On the surjectivity of mod $\ell$ representations associated to elliptic curves
设$E$是有理数域上的椭圆曲线，它不具有复乘。对于每个素数$\ell$，绝对伽罗瓦群在$E$的$\ell$ -扭点上的作用可以用伽罗瓦表示$ρ_{E,\ell}\colon \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to GL_2(\mathbb{F}_\ell)$给出。Serre的一个重要定理说，$ρ_{E,\ell}$是满射的所有充分大的$\ell$。在本文中，我们描述了一个简单的算法的基础上塞尔的证明，可以快速确定有限的素数集$\ell$的$ρ_{E,\ell}$是不是满射。我们还将给出Serre定理的一些改进的界。
Abelian varieties over number fields, tame ramification and big Galois image
给定一个自然数n和数域K，我们证明了存在一个整数\ell_0，使得对任何素数\ell \geq \ell_0，存在一个有限扩张F/K，在\ell之上的所有地方都是非分歧的，以及F上一个n维的主极化阿贝尔簇A，使得所得到的\ell -挠表示ρ_{A，从G_F到GSp的\ell }（A[ \ell ]（\bar{F}））是满射的，处处光滑分歧.特别地，我们将GSp_{2n}（\mathbb{F}_\ ell）实现为数域F '/F的有限驯服扩张的伽罗瓦群，使得F在\ell上是非分歧的.
Bogomolov property for modular Galois representations with nontrivial nebentypus
本文证明具有非平凡nebentypus特征的正规模特征形式对应的adelic表示所切割的域满足Bogomolov性质，并引入ADZ域概念，展示了一类在任意复合下保持性质(B)的域。
On the possible images of the mod ell representations associated to elliptic curves over Q
考虑在$\mathbb{Q}$上定义的非CM椭圆曲线$E$。对于每一个素数$\ell$，都有一个表示$ρ_{E,\ell}: G \to GL_2(\mathbb{F}_\ell)$，它描述了$E$的$\ell$ -扭点上的伽罗瓦作用，其中$G$是$\mathbb{Q}$的绝对伽罗瓦群。Serre的一个著名定理说，对于所有足够大的$\ell$，$ρ_{E,\ell}$是满射的。我们将描述所有已知的，实际上是所有的$(E,\ell)$对，使得$ρ_{E,\ell}$不是满射的。再加上另一份文件，这产生了一个算法，给定椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，输出的一组这样的例外素数$\ell$和描述所有的组$ρ_{E,\ell}(G)$共轭。大部分的文件是致力于计算各种模曲线属$0$与其态射的$j$线。
Cohomological dimension and Schreier's formula in Galois cohomology
设p是素数，F是包含第p个本原单位单位根的域.则对于N中的n，F的绝对伽罗瓦群的最大亲p商G的上同调维数<=n当且仅当上限制映射H^n（H，Fp）-> H^n（G，Fp）对于所有指数为p的开子群H是满射。使用这个结果，我们推导出Schreier公式中dim_Fp H^n（H，Fp）的令人惊讶的推广dim_Fp H^1（H，Fp）。
On the modularity of endomorphism algebras
我们使用的adelic语言表明，任何的模曲线的雅可比行列式之间的同态产生的线性组合的Hecke模对应。证明是基于对$\mathrm{GL}_2$和伽罗瓦关于模曲线的塔的平展上同调的作用的研究。我们还明确了这一结果的Ribet的扭曲运营商的模块阿贝尔簇。
Infinitely ramified Galois representations
本文给出了对p >= 5的情形，如何构造两类在无穷多个素数上分歧的满射表示ρ：G_Q=Gal（\bar{Q} /Q）-> GL_2（Z_p）.几乎所有这些素数的惯性像都是无挠的。第一种构造是无条件的。问题是，我们不能说ρ是否|_{G_p=Gal（\bar{Q_p} /Q_p）是结晶的或甚至潜在的半稳定的。第二种构造假设广义黎曼假设（GRH）。有了这个假设，我们可以进一步安排，|_{G_p}在p处是结晶的。我们注意到，以前已经用更基本的方法构造了无限分歧的 * 可约 * 表示。
Rationality of twists of the Siegel modular variety of genus $2$ and level $3$
设$\overlineρ: G_{\mathbf{Q}} \rightarrow {\rm GSp}_4(\mathbf{F}_3)$是一个具有分圆相似特征的连续伽罗瓦表示--或者，与之等价的是，伽罗瓦表示与一个主要极化阿贝尔曲面$A/\mathbf{Q}$的$3$ -挠有关。我们证明了主极化阿贝尔曲面$B/\mathbf{Q}$的模空间$\mathcal{A}_2(\overlineρ)$，它允许Galois表示的辛同构$B[3] \simeq \overlineρ$，当$\overlineρ$是满射时，它在$\mathbf{Q}$上永远不是有理的，即使它通过度$6$的映射在$\mathbf{C}$上是有理的，在$\mathbf{Q}$上是单有理的。
Iterates of prime producing polynomials and their Galois groups
本文研究有限域上多项式复合 $F(t,ϕ)$ 的素数生成性质及其迭代 Galois 群，证明在适当不可约特化下其可在大有限域中生成素数，并满足 Odoni 猜想、对应树状 Galois 表示满射。
Knots, primes and class field theory
本文对类域论进行几何推广，通过阿代尔构造搭建关联概形与整体域整数环的几何框架，构造出将有理数域有限阿贝尔扩张映射到阿代尔类空间扇区有限覆叠的函子，建立了周期轨道单值群与素数处弗罗贝尼乌斯伽罗瓦作用的对应关系。
Galois representations attached to Q-curves and the generalized Fermat equation A^4 + B^2 = C^p
证明了虚二次数域K上d次Q曲线E上的mod p伽罗瓦表示是满射的，对所有大于某个常数M_{K,d}的p，如果E在不整除6的素数上有潜在的乘性约化.证明使用Mazur的形式浸入法，结果的Darmon和Merel对非分裂模曲线，和分析论证表明，某些扭曲的模曲线的雅可比矩阵承认与Mordell-Weil秩0。结合作者和Skinner关于Q-曲线模性的一个定理，满射性结果证明了当p >= 211时，广义Fermat方程A^4 + B^2 = C^p没有非平凡的原始解。
Galois actions on torsion points of universal one-dimensional formal modules
设$F$是一个局部非阿基米德域，其整数环为$o$ .设$\bf X$是$o$的剩余域的代数闭包上的$F$ -高度$n$的一维形式$o$ -模.通过Drinfeld的工作，证明了$\bf X$的泛变形$X$是幂级数环$R_0$上的形式群，其变量为$n-1$，环上的变量为$o$的最大非分歧扩张的完成.对于$h \in \{0,...,n-1\}$，令$U_h$为$\Spec(R_0)$的子模式，其中$X$的关联可除模的连通部分具有高度$h$。利用Drinfeld能级结构理论，证明了$U_h$的基本群在Etale商的Tate模上的表示是满射的.
Global rigid inner forms and multiplicities of discrete automorphic representations
给定一个数域，我们在其上构造一个规范伽罗瓦格贝，并证明其上同调提供了arXiv：1304.3292中引入的改进的局部内窥镜和经典的全局内窥镜之间的桥梁。作为特殊的应用，我们表示的典型adelic转移因子，支配稳定的阿瑟-塞尔伯格迹公式作为产品的归一化的本地转移因子，我们给出了一个椭圆L-包与相应的S-群之间配对的一个显式构造（根据当地环境中的文化配对）这是必要的成分，在描述的离散自守谱的约化群，我们给出了一个证明的一些期望亚瑟。
Lower bounds for the number of number fields with Galois group $GL_2(\mathbb{F}_\ell)$
本文证明了伽罗瓦群为 $GL_2(\mathbb{F}_\ell)$ 且判别式有界的数域数量具有明确的渐近下界，并对按 Artin 导子排序的相应满射伽罗瓦表示给出了类似下界。
Serre's constant of elliptic curves over the rationals
本文定义了有理数上无复乘椭圆曲线的Serre常数，给出判定模m Galois表示非满射的充分条件，并在Serre均匀性猜想下确定了无限多次出现的常数及可能的表示组合。
Galois theory of iterated endomorphisms
给定一个整体域$F$，$α\in A(F)$和一个素数$\ell$上的交换代数群$A$，$α$的所有原像在$[\ell]$的某个阶下的集合生成$F$的一个扩张，它包含所有的$\ell$ -幂扭点以及一个Kummer型扩张。我们分析了伽罗瓦群的这种扩展，并为几个类的$A$，我们给出了一个简单的表征时，伽罗瓦群是尽可能大的约束所施加的自同态环或Weil配对。该伽罗瓦群编码关于$F$的整数环中素数$\p$的密度的信息，使得$(α\bmod{\p})$的阶与$\ell$互质。我们计算这种密度在一般情况下的几个类的$A$，包括椭圆曲线和一维环面。例如，如果$F$是数域，$A/F$是具有满射2进表示的椭圆曲线，并且$α\in A(F)$具有$α\not\in 2A(F(A[4]))$，则具有奇数阶的（$α\bmod{\p}$）的$\mathfrak{p}$的密度是11/21。
Possible indices for the Galois image of elliptic curves over Q
对于有理数上的非CM椭圆曲线$E$，其扭点上的伽罗瓦作用可以用伽罗瓦表示$ρ_E : G \to GL_2(\hat{\mathbb{Z}})$表示，其中$G$是有理数的绝对伽罗瓦群。Serre的一个著名定理说$ρ_E$的像是开的，因此在$GL_2(\hat{\mathbb{Z}})$中有有限的指数。我们将研究什么指数是可能的，假设我们愿意排除有限数量的可能的$j$ -不变量的考虑。例如，我们将证明有一个有理数的有限集合$J$，使得如果$E/\mathbb{Q}$是一个非CM椭圆曲线，其$j$ -不变量不在$ J$中，并且对所有$\ell >37$都具有满射mod $\ell$表示（这在理论上总是成立），则索引$[GL_2(\hat{\mathbb{Z}}) : ρ_E(G)]$位于集合\[ I:= \left\{\begin{array}{c}2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 48, 54, 60, 72, 84, 96, 108, 112,120, 144, \\192, 220, 240, 288, 336, 360, 384, 504, 576, 768, 864, 1152, 1200, 1296, 1536 \end{array}\right\}. \]中。
Serre curves relative to obstructions modulo 2
本文研究了在模2像受限时阿德尔伽罗瓦表示像极大的椭圆曲线，通过$\ell$-adic像刻画此类曲线，计算了导子至多500,000的实例，并推广了Serre曲线的基础结果。
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