Badly approximable affine forms and Schmidt games
Jimmy Tseng
对任何实数\t，所有实数x的集合，其中存在常数c（x）> 0，使得\inf_{p \in \ZZ}| \t q - x - p|对于\ZZ {0}中的所有q，\geq c（x）/ |q|是1/8获胜集。
For any real number \t, the set of all real numbers x for which there exists a constant c(x) > 0 such that \inf_{p \in \ZZ} |\t q - x - p| \geq c(x)/|q| for all q in \ZZ {0} is an 1/8-winning set.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On badly approximable subspaces
给出了$\mathbb{R}^d$中的一个$a$维线性子空间$\mathfrak{A}$，它包含一个$b$维的可差逼近子空间$\mathfrak{B} \subset \mathfrak{A}$ .研究了几乎所有的$c$维线性子空间$\mathfrak{C} \subset \mathfrak{A}$的坏逼近性.
Weighted badly approximable vectors and games
我们证明了（r_1，r_2，.，r_{d}）-如果r_1=r_2=.=，则可差逼近向量是获胜集合。r_{d-1} \geq r_{d}。
Badly approximable systems of linear forms over a field of formal series
证明了系数来自有限域的洛朗级数域上的m个n元线性型的差逼近系统的豪斯多夫维数是极大的.这是一个类似施密特的多维概括Jarnik定理的严重逼近的数字。
Some explicit badly approximable pairs
考虑了一对无理数的具有公分母的超范数同时有理逼近的丢番图逼近问题，并对某些具有大逼近常数的无理数对进行了显式计算.其中一对是迄今为止计算出的最差的近似对。
Badly approximable infinite products of quadratic polynomials
我们提供了一些条件的有理数$u$和$v$，确保洛朗级数$g_{u,v}(x):=\prod_{t=0}^\infty (1+ux^{-3^t} + vx^{-2\cdot 3^t})$是严重的逼近。
Strongly badly approximable matrices in fields of power series
研究了域$K$上的幂级数域上的强坏逼近矩阵的概念。我们证明了在这种情况下的转移原理，并表明，这样的矩阵存在时，$K$是无限的。
Badly approximable systems of linear forms in absolute value
本文证明了混合型坏逼近同时小线性型的集合具有极大维数。作为这个定理的结果，我们解决了第一作者的一个猜想。
A note on badly approximable affine forms and winning sets
我们给出了J.Tseng最近一个结果的另一种证明的草图。
Decaying and non-decaying badly approximable numbers
我们称一个很难近似的数为$decaying$，如果粗略地说，这个数的整数倍的拉格朗日常数衰减得尽可能快。用这个术语来说，就是Y的问题。Bugeaud（'15）要求找到的豪斯多夫维数的一套衰减严重逼近的数字，也是一套严重逼近的数字，这是不衰减。我们回答这两个问题，表明这两个集的豪斯多夫维数都等于一。我们的证明的一部分利用了一个游戏，它结合了巴拿赫-马祖尔游戏和施密特的游戏，首先介绍了菲什曼，里姆斯和西蒙斯（预印本'15）。
Fully Inhomogeneous Multiplicative Diophantine Approximation of Badly Approximable Numbers
本文对垂直线上的一对完全可逼近的数建立了一个强形式的Littlewood猜想.我们还证明了一个统一的断言，这种性质，概括了一个强有力的形式的结果海恩斯，詹森和克里斯滕森。最后，我们建立了一个类似的结果，涉及不均匀的严重逼近的数字，取得进展的问题所提出的Pollington，Velani，Zafiropoulos和佐林。
Badly Approximable Systems of Affine Forms and Incompressibility on Fractals
我们探索和完善的技术，估计豪斯多夫维数的例外集和他们的同构图像。具体地说，我们使用施密特博弈的一个变体来推导出线性型的一组不良可逼近系统的强C^1不可压缩性，以及相对于一个固定的线性型系统的一组不良可逼近向量的强C^1不可压缩性。
Examples of badly approximable vectors over number fields
我们考虑向量$\mathbf{z}\in F\otimes\mathbb{R}\cong\mathbb{R}^r\times\mathbb{C}^s$的数域$F$的元素的近似，并构造了一些可近似向量的例子。这些例子来自$SL_2(\mathcal{O}_F)\backslash SL_2(F\otimes\mathbb{R})$的紧致子空间，它自然地与（完全不定的、各向异性的）$F$ -有理二元二次和厄米特形式相关联，这是众所周知的事实的推广，即二次无理数在$\mathbb{Q}$上是很难逼近的。
A note on badly approximable linear forms on manifolds
本文的动机是达文波特问题以及随后关于欧几里得空间子流形中的严重可逼近点的工作。本文在扭曲丢番图逼近领域中研究了这一问题，并提出了两种不同的方法。第一种方法表明，在一定的限制条件下，R^n的任何非退化C^1子流形上的加权差逼近点集的可数交都是满维的。在第二种方法中，我们引入了各向同性获胜的属性，并表明加权的差逼近点集是各向同性获胜的相同的限制下，如上所述。
Two-dimensional badly approximable vectors and Schmidt's game
我们证明了，对于任何一对$(s,t)$的非负数与$s+t=1$，一组二维$(s,t)$ -严重逼近向量是施密特的游戏获胜。因此，我们用Schmidt的对策给出了Schmidt猜想的一个直接证明。
Badly approximable numbers related to the Littlewood conjecture
利用Peres-Schlag方法证明了实数$α, β$的存在性，使得$$ \liminf_{q\to \infty}（q \log^2 q）||αq||||βq||> 0。
On badly approximable numbers
受Ngoc Ai Van Nguyen、Anthony Poëls和Damien Roy的一篇精彩论文的启发，我们证明了一个向量$\pmbα\in \mathbb{R}^d$是一个糟糕的可逼近向量的准则。此外，我们构造了一些例子，表明我们的标准的更一般的版本是无效的。
Thue-Morse constant is not badly approximable
我们证明了Thue-Morse常数$τ_{TM}=0.01101001..._2$不是一个差逼近数。此外，我们还证明了$τ_{TM}(a)=0.01101001..._a$对每个整数基$a\geq 2$都不是差逼近的，使得$a$不能被15整除.同时给出了洛朗级数$\tilde{f}_{TM}(z) = z^{-1}\prod_{n=1}^\infty (1-z^{-2^n})$的一个精确的换算公式，进一步发展了Alf van der Poorten等人的研究.
Badly approximable points on manifolds
本文的动机是丢番图逼近理论中的两个问题，即关于欧几里得空间子流形上的差逼近点的Davenport问题和关于加权差逼近点集的交的Schmidt问题.这些问题最近已经在第二维中得到解决，但在更高的维度中仍然没有解决。在本文中，我们开发了新的技术，使我们能够解决他们在充分的一般性。该技术依赖于格点计数和Bernik，Kleinbock和Margulis的强大的定量结果。本文的主要定理是：$R^n$的任意解析非退化子流形上的加权差逼近点集的有限交具有满维数。这一结果的后果之一是存在超越实数严重逼近的代数数的任何程度。
Badly approximable $S$-numbers and absolute Schmidt games
令$K$是数域，令$S$是$K$的所有正规化的非共轭阿基米德赋值的集合，并且令$K_{S} = \prod_{v \in S} K_v$是与$K$相关联的Minkowski空间。我们加强了最近的结果\cite{EsdahlKristensen10}和\cite{EinsiedlerGhoshLytle13}的$K_S$的不良逼近元素的集合是$\mathcal{H}$ -绝对赢得了$K_{S}$的某个家庭的子空间。
Delone sets associated with badly approximable triangles
本文构造与难逼近数相关、预期具旋转不变衍射的新 Delone 集，并借助方程 $x+y+z=1$ 优化瓦片取向差异，证明恰有两个字典序下部分商最小的解。
The winning property of mixed badly approximable numbers
对任意一对实数$(i,j)$与$0<i,j<1$和$i+j=1$，证明了$p$ -adic混合$(i,j)$ -差逼近数$\bad_p(i, j)$的集合在Schmidt对策意义下是1/2胜的.这改进了Badziahin，Levesley和Velani关于混合Schmidt猜想的一个结果.
Badly approximable vectors in affine subspaces: Jarn\'ık-type result
考虑维数为$a$的无理仿射子空间$ A\subset \mathbb{R}^d$。我们证明了集合$$ \{ξ=(ξ_1,...,ξ_d) \in {A}:\,\,\, \ q^{1/a}\cdot \max_{1\le i \le d} ||qξ_i|| \to \infty,\,\,\,\, q\to \infty\} $$对于每个$α\in (0,1/2]$都是$α$获胜集
A note on weighted badly approximable linear forms
本文证明了与Schmidt对策理论有关的扭丢番图逼近的一个结果。特别是，在一定的限制下，我们给一个肯定的答案类似于在此设置的一个著名的猜想施密特从丢番图逼近。
On multiplicatively badly approximable numbers
Littlewood猜想指出liminf_{q\to \infty} q . | |qx|| . | |qy||对于所有的实数对（x，y）= 0。我们证明，与log q的附加因子。loglog q这个陈述是假的。事实上，我们的主要结果意味着，（x，y）的集合，其中liminf_{q\to\infty} q。对数q洛格洛格角| |qx|| . | |qy||> 0是全维度。
Badly approximable points on manifolds and unipotent orbits in homogeneous spaces
本文研究了流形上的加权$n$维差逼近点。给定一个$C^n$可微非退化子流形$\mathcal{U} \subset \mathbb{R}^n$，我们证明了$\mathcal{U}$上的加权差可逼近点集的任何可数交都有全豪斯多夫维数.这加强了Beresnevich的一个结果，去掉了权的条件，削弱了流形上的光滑性条件。与Beresnevich的工作相比，我们的方法依赖于均匀动力学。为了解决这一问题，研究齐性空间中长幂幺轨片的分布是至关重要的。证明依赖于线性化技术和$\mathrm{SL}(n+1,\mathbb{R})$的表示。
Badly approximable points for diagonal approximation in solenoids
本文研究了有限维p-adic代数中的点如何能被有理数逼近的问题。我们工作的环境是以前研究帕尔默，谁证明了类似的狄利克雷定理和杜芬-谢弗定理。我们证明了一个补充的结果，表明该集的不良逼近点有最大的豪斯多夫维数。我们的证明是施密特博弈的优雅机制的简单应用。
Badly approximable numbers and Littlewood-type problems
我们建立了实数对$(α, β)$的集合，使得$$ \liminf_{q \to + \infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \Vert q α\Vert \cdot \Vert q β\Vert > 0, $$在$\R^2$中具有全豪斯多夫维数，其中$\Vert \cdot \Vert$表示到最近整数的距离。我们的证明依赖于Peres和Schlag介绍的方法，我们进一步应用于各种Littlewood型问题
Schmidt's game, Badly Approximable Linear Forms and Fractals
证明了对任意两个自然数M和N，若Tau是R^MN的紧集K上的Borel有限绝对友好测度，则K与BA（M，N）的交集是K上Schmidt博弈意义下的获胜集，其中BA（M，N）是M \times N矩阵的差逼近集.作为直接结果，我们有以下应用。如果K是满足开集条件的R^（M \times N）的不可约有限族压缩相似映射的吸引子（例如Cantor三元集、Koch曲线和Sierpinski垫片），则dimK=dimK \capBA（M，N）。
Generalized continued fraction expansions of complex numbers, and applications to quadratic and badly approximable numbers
本文在[3]和[1]的一般框架下，研究了复数的广义连分数展开式关于欧氏子环的元素，特别是高斯或Eisenstein整数的广义连分数展开式.通过考虑一般线性群的作用，介绍了研究二元形式零点的连分数展开式的一般方法，并将其应用于讨论二次根式的展开式和差逼近数的展开式.同时，我们将简单连分数展开式的收敛性是“最佳逼近”的性质推广到一大类复数的连分数展开式。
Badly approximable numbers, Kronecker's theorem, and diversity of Sturmian characteristic sequences
在$θ$是一个无理数的情况下，我们给出了经典的关于$n θ$的分数部分的“三缺口定理”的一个最优版本.作为结果，我们推导出一个版本的克罗内克的非齐次逼近定理在一维差逼近数。我们应用这些结果，以获得一个改进的措施的特征Sturmian序列的序列多样性，其中的斜率是严重的近似。
On the asymptotic behaviour of Sudler products for badly approximable numbers
给定一个差逼近数$α$，研究了由$P_N(α) = \prod_{r=1}^N 2 | \sin πr α|$定义的Sudler乘积的渐近性质.我们证明了当$α$的连分数展开式中的部分连续项的序列超过$7$无限次时，$\liminf_{N \to \infty} P_N(α) = 0$和$\limsup_{N \to \infty} P_N(α)/N = \infty$都成立.这改进了Lubinsky对一般情况的结果，以及Grepstad、Neumüller和Zafiropoulos对二次无理数特殊情况的结果。此外，我们证明了这个门限值$7$是最佳的，即使当限制$α$是一个二次无理，这给了一个否定的答案后一个问题的作者。
Badly approximable systems of affine forms, fractals, and Schmidt games
一个仿射形式的差逼近系统由一个矩阵和一个向量决定。我们表明Kleinbock的猜想的仿射形式的严重逼近系统：对于任何固定的向量，一组严重逼近系统的仿射形式是获胜（在施密特游戏的意义上），即使限制到一个分形（从某个大类的分形）。此外，我们考虑固定矩阵而不是向量，其中模拟语句成立。
Multiplicatively badly approximable numbers and generalised Cantor sets
设p为素数。混合利特尔伍德猜想的p-adic情况表明，liminf_{q \to \infty} q . |q| _p . ||Q x||对于所有实数x = 0。我们证明，与额外的因子log q.loglog q的陈述是假的。事实上，我们的主要结果意味着，集合x，其中liminf_{q\to\infty} q。对数q洛格洛格角|q| _p . | |qx||> 0是全维度。结果是作为本文开发的康托集的一般框架的应用。
The dimension of the set of $ψ$-badly approximable points in all ambient dimensions; on a question of Beresnevich and Velani
该研究解决Beresnevich与Velani的相关问题，证明任意环境维度下$\psi$-坏逼近点集的Hausdorff维数与$\psi$-良逼近点集一致，采用基于延迟修剪的质量转移原理新证法，推广了一维已有结果。
Diophantine approximation and badly approximable sets
设（X，d）是一个度量空间，（Ω，d）是X的一个紧致子空间，它支持一个非原子有限测度m.我们认为“自然”类的Ω的严重逼近的子集。不严格地说，它们由Ω中的点组成，这些点与X中的某个给定点集“保持清晰”。经典的集合\Bad的“严重逼近”的数字在理论的丢番图逼近属于我们的框架做集合\Bad（i，j）的同时严重逼近的数字。在各种自然条件下，我们证明了Ω的差逼近子集具有满豪斯多夫维数.我们的一般框架的应用包括那些从数论（古典，复杂，p-adic和正式的幂级数）和动力系统（迭代函数计划，合理的映射和Kleinian群）。
Hausdorff dimension of differences of badly approximable sets
针对不可良好逼近集差集的维数问题，通过在幺模网格空间上使用施密特博弈的变体“快速博弈”，证明该集差具有满豪斯多夫维数，补充了相关领域的维数研究结果。
Badly approximable points on planar curves and a problem of Davenport
设C是R^2中的二次连续可微曲线，其中至少有一点的曲率不为零。对于任何i，j > 0且i+j =1，设Bad（i，j）表示R^2中的点（x，y）的集合，其中max {||QX|| ^{1/i}，||qy|| ^{1/j}} > c/q对于所有整数q >0。这里c = c（x，y）是一个正的常数。我们的主要结果意味着，任何有限的交集与C有充分的豪斯多夫维数。这提供了一个解决问题的达文波特追溯到六十年代。
Dimension estimates for sets of uniformly badly approximable systems of linear forms
已知可差逼近的$m \times n $矩阵的集合具有豪斯多夫维数$mn $。每个这样的矩阵都有自己的近似常数$c$，并且可以要求近似常数大于或等于某个固定$c$的不良可近似矩阵的集合的维数。在一维情况下，这个问题的一个非常精确的答案是已知的。本文得到了高维情形下的上界和下界。
Extended-cycle integrals of modular functions for badly approximable numbers
期望模函数的循环积分在奇异模的实二次模拟中发挥作用。本文将模函数的循环积分的定义从实二次数推广到差逼近数。对于某些情形，我们也给出了扩张循环积分值的显式表示。
Fractional dimension related to badly approximable matrices associated with higher successive minima
本文在$\mathbb R^d$中引入高阶连续极小值的高阶矩阵的不良逼近的概念。证明了当阶数小于$d$时，它们的勒贝格测度零，且它们之间的间隙仍具有满豪斯多夫维数.
Badly approximable systems of affine forms
我们证明了W的一个非齐次模拟。M. Schmidt（1969）关于线性型的坏逼近系统的集合的豪斯多夫维数的定理。证明是基于动力系统理论的思想和方法，特别是基于李群的齐性空间上混合流的有界轨道的丰富性。
Roots of Markoff quadratic forms as strongly badly approximable numbers
对于实数$x$，$\| x\| = \min \{|x-p|: p\in Z\}$是$x$到最近整数的距离。我们说两个实数$θ$，$θ'$是$\pm$等价的，如果它们的和或差是整数。设$θ$是无理数，并把\[ϕ(θ) = \inf \{q \,\| q θ\| : q \in N \}. \]代入，我们将证明：如果$ϕ(θ)> 1/3$，则$θ$是等价于$f_m (x,1) = 0$的根的$\pm$，其中$f_m$是马尔可夫形式.相反，如果$θ$是等价于$f_m(x,1)=0$的根的$\pm$，则\[ϕ(θ) = m \| mθ\| = \frac{2}{3+\sqrt{9-4m^{-2}}} > 1/3. \]
Winning property of badly approximable points on curves
本文证明了$\mathbb{R}^n$中任意解析非退化曲线上的差逼近点是绝对优胜集。这证实了Badziahin和Velani（2014）所述领域的一个关键猜想，该猜想代表了20世纪60年代达文波特问题的深远概括。在我们的主要结果的各种后果是一个解决方案Bugeaud的问题的实数严重逼近的任意程度的代数数。证明依赖于分形几何和齐次动力学的新思想。
Twisted inhomogeneous Diophantine approximation and badly approximable sets
对于任意实对i，j geq 0，i+j=1，设Bad（i，j）表示（i，j）-坏逼近对的集合.也就是说，Bad（i，j）由R^2中的无理向量x：=（x_1，x_2）组成，对于该无理向量，存在正常数c（x），使得max {||qx_1|| ^（-i），||qx_2|| ^（-j）} > c（x）/q对于N中的所有q。在“扭曲的”非齐次丢番图逼近的区域中，建立了集合Bad（i，j）在“良好可逼近”向量方面的一个新的特征.此外，它表明，Bad^x（i，j），“扭曲”的非齐次模拟的Bad（i，j），有完整的豪斯多夫维数2时，x是从集合Bad（i，j）。主要结果自然地推广了Kurzweil的i=j=1/2工作。
Badly approximable numbers over imaginary quadratic fields
我们回顾了欧氏虚二次域$K$上最近整数连分式的概念，并通过$z$的连分式展开式中的部分连续项的有界性来刻画“差逼近”数（$z$使得对于所有$p/q\in K$存在具有$|z-p/q|\geq C/|q|^2$的$C(z)>0$）。应用该算法的“标记”不定积分二进制厄米特形式证明了存在的整个圆的$\mathbb{C}$的点是严重的逼近$K$，有效常数。通过其他方法（Dani对应），我们证明了在任何虚二次域上的坏逼近数的圈的存在性，损失的有效性。在这些严重的逼近数是代数数的每一个偶数度以上$\mathbb{Q}$，我们的特点。我们考虑的所有例子都与Bianchi群$SL_2(\mathcal{O})$的余紧Fuchsian子群有关，其中$\mathcal{O}$是虚二次域中的整数环。
Dimension bound for doubly badly approximable affine forms
我们证明，对于所有的$b$，豪斯多夫维数的集合的$m \times n$矩阵$ε$ -严重逼近的目标$b$是不充分的。双度量的情况如下。已知对于几乎每个矩阵$A$，$ε$的集合$Bad_A(ε)$的豪斯多夫维数-可差逼近目标$b$是不满的，并且对于实数$α$，$\dim_H Bad_α(ε)=1$当且仅当$α$平均奇异。我们证明了，如果$\dim_H Bad_A(ε)=m$，那么$A$是奇异的平均。
Badly approximable points in twisted Diophantine approximation and Hausdorff dimension
对于任何j_1，…，j_n>0，且j_1+...+ j_n=1和任何x \in R^n，我们考虑点y \in R^n的集合，其中max_{1\leq i\leq n}（||qx_i-y_i||对于某个正常数c=c（y）和所有q \in N，^{1/j_i}）>c/q。这些集合是Bad（j_1，...，j_n）的同时丢番图逼近理论。本文证明了它们在非加权情况下，即当j_i=1/n时，以及在加权情况下，当x选自Bad（j_1，.，j_n）。我们推广了这些结果，证明了完全豪斯多夫维数的加权设置没有任何条件的x。
Dimension estimates for badly approximable affine forms
对于给定的$ε>0$和$b\in\mathbb{R}^m$，我们说一个真正的$m\times n$矩阵$A$是$ε$ -差逼近目标$b$，如果$$\liminf_{q\in\mathbb{Z}^n, \|q\|\to\infty} \|q\|^n \langle Aq-b \rangle^m \geq ε,$$其中$\langle \cdot \rangle$表示距离最近的整数点。本文给出了固定目标$b$的$ε$ -差逼近矩阵集和固定目标$A$的$ε$ -差逼近矩阵集的豪斯多夫维数的上界.此外，我们给出了$A$的一个等价丢番图条件，使得固定$A$的$ε$ -差逼近目标集对某些$ε>0$具有全豪斯多夫维数.上界的建立有效的熵刚性齐次动力学，这是独立的利益。对于$A$ -固定的情况下，我们的方法也适用于加权设置的上确界范数被某些加权拟范数取代。
Continued fraction expansions of complex numbers, Lagrange's theorem, and badly approximable numbers
本文通过推广连分数展开概念，研究复数的连分数展开性质，并扩展了拉格朗日定理及Hines关于极差近似复数的结果。
Random walks with badly approximable numbers
使用差异度量，我们分析了随机游动在d旋转产生的圆上的收敛速率，并建立了尖锐的速度，表明R^d中的d-元组的可近似性差会产生最快收敛的游动。我们使用差异度量，因为行走不会在全变差中收敛。对于可近似性差的d-元组，差异的上下界为（常数）k^（-d/2），其中k是随机游动的步数。我们展示了常数如何依赖于d元组。
Badly approximable points on planar curves and winning
对于任何i，j>0且i+j =1，令Bad（i，j）表示点（x，y）\in R^2的集合，使得max \{||qx|| ^{1/i}，\，||qy|| ^{1/j} \} > c/q，对于某个正常数c = c（x，y）和N中的所有q。我们证明了\Bad（i，j）\cap C在Schmidt对策意义下是获胜的，对于一大类平面曲线C，即处处非退化的平面曲线和满足自然丢番图条件的直线.这加强了最近的结果解决达文波特从六十年代的问题。简而言之，在达文波特问题的背景下，获胜的陈述是最好的。此外，我们还得到了平面曲线和直线的非齐次推广，并证明了Bad（i，j）的非齐次形式是二维Schmidt对策的优胜者。
Badly approximable vectors on rational quadratic varieties
本文用整数格点在单位$d$ -立方体上的投影逼近矢量。我们定义了一个合理的二次品种，并表明这些向量，这是（自然）索引的$m \in \QQ$，是胜利和强大的施密特游戏的意义上的逼近向量集。从获胜的性质，它遵循这些集有完整的豪斯多夫维数，而且，他们的交集。在大多数情况下，这些集合被称为空集。
On The Hausdorff Dimension of Weighted Badly Approximable Vectors
本文研究加权不良近似向量的豪斯多夫维数，通过扩展Koivusalo等人在无权情况下的构造和质量分布论证，证明了加权情况下的维数与无权情况相同。
Infinitely badly approximable affine forms
本文针对实矩阵与向量构成的仿射形式，提出新的奇异性概念来刻画无限坏逼近性质，并计算了相应集合的 Hausdorff 维数，同时给出其在网格空间中的动力系统解释。
Limit Points Badly Approximable by Horoballs
对于一个真的测地线Gromov双曲度量空间X，一个等距算子的离散子群Γ，其极限集是一致完美的，以及一个不相交的时球集{H_j}，我们证明了{H_j}的极限点的差逼近集在极限集中绝对是最优的.作为应用，我们证明了对于作用在H^{n+1}上的几何有限Kleinian群，抛物线可差逼近的极限点是绝对成立的，推广了Dani和McMullen以前的结果.作为获胜的结果，我们表明，一组严重逼近的极限点的维数等于临界指数的群体。由于这个集合也可以描述为商H^{n+1}/Γ中表示有界测地线的极限点，我们重新获得了最初由Bishop和Jones得到的结果。
Weighted badly approximable complex vectors and bounded orbits of certain diagonalizable flows
本文将加权坏逼近向量研究推广到全虚数域，证明SL2(C)乘积空间中在单参数Ad-半单子群作用下有界轨道的点构成超平面绝对获胜集，并推广了坏逼近复数集合的相关结果。
Badly approximable numbers for sequences of balls
差可逼近数集的勒贝格测度为零是丢番图逼近的经典结果。在本文中，我们将这一结果推广到更一般的球序列。给定一个可数的闭$d$维欧氏球集$\{B(x_{i},r_{i})\}_{i=1}^{\infty},$，如果存在$κ(α)>0$和$N(α)\in\mathbb{N}$使得对所有$i\geq N(α)$都有$α\notin B(x_{i},κ(α)r_{i})$，则称$α\in \mathbb{R}^{d}$是关于$\{B(x_{i},r_{i})\}_{i=1}^{\infty}$的一个差逼近数.在球集上的自然条件下，我们证明了关于$\{B(x_{i},r_{i})\}_{i=1}^{\infty}$的严重逼近数集的勒贝格测度为零。此外，我们的方法产生了一个新的证明，该集的严重逼近的号码有勒贝格测度为零。
Transference inequalities for multiplicative Diophantine exponents
在本文中，我们证明了丢番图指数的乘法类似物的不等式，类似于经典情况中已知的不等式。特别地，我们证明了一个矩阵是坏逼近的当且仅当它的转置是坏逼近的，并建立了一些不等式连接乘法指数与普通的。
Badly approximable vectors and fractals defined by conformal dynamical systems
证明了如果$J$是不可约共形迭代函数系（有限字母表或可数无限字母表）的极限集，则在$J$中的差逼近向量构成一个满豪斯多夫维数集.如果$J$是一个不可约亚纯函数（有理函数或超越函数）的径向朱利亚集，也是如此。证明的方法是寻找$J$的子集，这些子集支持大维数的绝对友好和Ahlfors正则测度。在本文的附录中，我们回答了Broderick，Kleinbock，Reich，Weiss和第二位作者（'12）的一个问题，证明了每个超平面扩散集都支持绝对衰减测度。
Badly approximable points on non-linear carpets
本文研究了非线性非共形吸引子中难近点的全维相交性质，并给出了这些吸引子的Hausdorff维数公式。
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