A non-periodic and two-dimensional example of elliptic homogenization
Jens Persson
本文主要研究一类可能非周期问题的椭圆均匀化。一个非周期和二维的例子进行了研究，我们数值说明了均匀化矩阵。
The focus in this paper is on elliptic homogenization of a certain kind of possibly non-periodic problems. A non-periodic and two-dimensional example is studied, where we numerically illustrate the homogenized matrix.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Note on Iterations-based Derivations of High-order Homogenization Correctors for Multiscale Semi-linear Elliptic Equations
本文旨在给出一个简单而有效的方法来导出应用于穿孔区域上的半线性椭圆型方程的均匀化极限的高阶校正估计的结构。我们的工作技术依赖于单调迭代结合正式的两尺度均匀化渐近。当模型方程仅通过非线性生产项耦合时，它可以适于处理更复杂的场景，包括例如在射孔边界处构成的非线性和矢量情况。
Deterministic homogenization of elliptic equations with lower order terms
对于一类具有快速振荡系数的一般型线性椭圆型方程，利用σ-收敛方法证明了均匀化结果和校正型结果.在渐近周期系数的情况下，我们得到的最佳收敛速度的零级逼近的解决方案，没有光滑的系数，在对比已经做了到现在为止，在文献中。这是由于一般非光滑系数存在渐近周期校正。均匀化过程是通过证明一个亥姆霍兹型分解定理在贝西科维奇空间的情况下得到的紧性结果。
Periodic homogenization of convolution type operators with heavy tails
本文研究核为重尾密度与快速振荡周期函数乘积的非局部对称卷积型算子的周期均匀化，在密度局部振荡满足无穷远处上界条件下证明了均匀化结果。
Estimates in homogenization of higher-order elliptic operators
对于任意偶数阶等于或大于2的椭圆算子，得到了算子型均匀化估计。所考虑的算子是具有低阶项的非自伴算子。
Homogenization of non-autonomous operators of convolution type in periodic media
研究了一类抛物方程的周期均匀化问题，其椭圆部分为具有快速振荡系数的卷积型算子.假设系数在空间和时间变量中都是快速振荡的周期函数，并且缩放是扩散的，即时间变量的缩放因子等于空间变量的缩放因子的平方。在卷积核具有有限二阶矩和算子关于空间变量对称的假设下，我们证明了所研究的方程允许均匀化，并证明了极限算子是二阶常系数微分抛物算子.
High-order Regularity Theory for High-contrast Elliptic Homogenization
本文研究高对比椭圆正则化中的高阶正则性问题，提出高对比Caccioppoli不等式并证明全局高阶正则性结果。
Homogenization of random elliptic systems with an application to Maxwell's equations
本文研究了一类散度型椭圆方程组的均匀化问题，其中系数是具有平稳梯度的随机双同态的周期函数的复合。这是在Blanc，Le Bris和P. L.狮子给出了抽象结果在随机耗散双各向异性介质中的应用。
Quantitative Homogenization of Elliptic PDE with Random Oscillatory Boundary Data
研究了具有随机Dirichlet或Neumann边界值的非线性一致椭圆型偏微分方程在小尺度上振动的平均行为。在算子、数据和随机介质导致测度集中的条件下，证明了一个几乎必然的局部一致均匀化结果，并以概率的收敛速率收敛.
Homogenization of a semilinear elliptic problem
针对系数可能不连续的半线性椭圆方程，研究证明细尺度解的存在唯一性与先验估计，并通过双尺度收敛推导均匀化方程及校正子结果。
Linear elliptic homogenization for a class of highly oscillating non-periodic potentials
当高振荡势$V$属于一类特殊的非周期势时，考虑二阶椭圆型方程$- Δu^{\varepsilon} + \dfrac{1}{\varepsilon} V(./\varepsilon) u^{\varepsilon} + νu^{\varepsilon} =f$的均匀化问题.我们证明了自适应校正的存在性，并证明了$u^{\varepsilon}$收敛到其均匀化极限。
Regularity of Homogenized Boundary Data in Periodic Homogenization of Elliptic Systems
研究了具有一阶振荡Dirichlet数据或Neumann数据的散度型二阶椭圆型方程组的周期均匀化问题。我们证明了对于任何$1<p<\infty$，均匀化的边界数据都属于$W^{1, p}$。特别地，这意味着对于任何$α\in (0,1)$，边界层尾部都是$α$阶的Hölder连续的。
Stochastic homogenization of coarse-grained elliptic equations
本文在系数满足平稳、遍历、可积及粗粒化椭圆性假设下，证明了椭圆方程的随机同质化，并推导了系数场对称与反对称部分的联合积分性条件。
Reiterated Homogenization of nonlinear degenerate elliptic operators with nonstandard growth
在Sobolev-Orlicz条件下，通过迭代双尺度收敛证明了一类非标准增长的非线性椭圆算子的高振荡问题的解序列收敛于与非标准增长算子相关联的齐次非线性椭圆方程的解.
Homogenization of Elliptic Systems with Neumann Boundary Conditions
本文的主要目的是研究一族椭圆算子$\{\mathcal{L}_\varepsilon, \varepsilon>0\}$的一致正则性估计，该算子是在均匀化理论中产生的，具有快速振荡的周期系数。在$C^{1,α}$域上，对Neumann边界条件下的解建立了关于参数$\varepsilon$的一致的$W^{1,p}$估计、Lipschitz估计和非切极大函数估计.
Propagation of smallness in elliptic periodic homogenization
本文主要研究椭圆周期均匀化方程解的一个近似三球不等式。考虑一类具有快速振荡和周期系数的散度型二阶算子$\mathcal{L}_ε$.这是首次得到均匀化理论的近似三球不等式。这意味着一个近似数量的传播小。证明依赖于由泊松核和拉格朗日插值技术的解决方案的表示。还示出了另一个小性的完全传播结果。
An H-convergence-based implicit function theorem for homogenization of nonlinear non-smooth elliptic systems
研究非光滑数据的非线性椭圆系统Dirichlet问题的同调，通过H收敛隐函数定理证明小参数下弱解的存在性和唯一性。
Stochastic homogenization of fully nonlinear uniformly elliptic equations revisited
本文给出了非发散形式椭圆型方程随机均匀化的障碍问题方法的一个简化表示。我们的论证也适用于依赖于未知函数的梯度的方程。在后一种情况下，我们克服了困难所造成的缺乏估计的一阶导数的近似校正通过修改扰动检验函数参数，以利用传播的接触集。
Slow convergence in periodic homogenization problems for divergence type elliptic operators
本文提出了一种新的构造性方法来建立与散度型椭圆算子相关的周期均匀化问题的收敛速度的下界。该构造适用于两种设置。首先，我们证明了半空间中具有无限光滑数据的发散型椭圆型方程边界层问题的解，可以根据超平面的位置尽可能慢地收敛到相应的边界层尾部.其次，我们构造了一个有界区域上的散度型椭圆算子的狄利克雷问题，所有数据都是$C^\infty$ -光滑的，其边值均匀化以任意慢的速度成立。
Homogenization estimates for high order elliptic operators
在全空间$R^d$，$d\ge 2$中，研究了具有可测$\varepsilon$ -周期系数的$2m\ge 4$阶散度型椭圆算子$A_\varepsilon$的均匀化问题，其中$\varepsilon$为小参数.对于预解式$(A_\varepsilon+1)^{-1}$，我们利用齐次算子的预解式、单位立方体上几个辅助周期问题的解以及光滑算子，构造了一个在算子$(L^2{\to}H^m)$ -范数中具有$\varepsilon^2$阶余项的逼近.这里的均匀化算子不同于均匀化中常用的算子。
Improved homogenization estimates for high order elliptic systems
在全空间$R^d$（$d\ge 2$）中，研究了具有可测$\varepsilon$ -周期系数的大于2的任意偶数阶发散型矩阵椭圆算子$L_\varepsilon$的均匀化问题，其中$\varepsilon$是一个小参数.本文构造了$L_\varepsilon$的预解式在算子$L^2$ -范数中具有$\varepsilon^2$级余项的逼近.我们没有施加任何正则性条件的运营商以外的椭圆性和有界系数。我们使用两个规模的扩展与Steklov平滑正则化的校正。
Nodal Sets and Doubling Conditions in Elliptic Homogenization
本文研究椭圆齐次化方程节点解集的一致测度估计。考虑一类具有快速振荡和周期系数的散度型二阶椭圆算子$\{ \mathcal{L}_\e\}$.证明了球中$\mathcal{L}_\e (u_\e)=0$在$\R^d$中的解的节点集的$(d-1)$维Hausdorff测度在$\e>0$中是一致有界的.证明依赖于一个均匀的加倍条件和近似的$u_\e$的均匀化方程的解决方案。
Approximate homogenization of convex nonlinear elliptic PDEs
我们近似均匀化的完全非线性，凸，一致椭圆偏微分方程在周期设置，使用变分公式的最佳不变测度，这可能是通过Legendre-Fenchel对偶。变分公式将$\bar H$表示为算子对最佳不变测度的平均值，推广了线性情况。得到了$\bar H$的几个非平凡解析公式。这些公式进行了比较，数值模拟，使用PDE和变分方法。我们还进行了数值研究的收敛速度均匀化的周期性和随机设置，并比较这些理论结果。
Existence and homogenization of nonlinear elliptic systems in nonreflexive spaces
考虑具有齐次Dirichlet边界条件的强非线性椭圆问题。假设椭圆算子的增长性和收敛性由非齐次各向异性$\mathcal{N}$ -函数表示。首先，在假设$\mathcal{N}$ -函数或其凸共轭满足$Δ_2$ -条件的条件下，证明了该解的存在性.第二个结果是关于族的强非线性椭圆问题的均匀化过程的齐次Dirichlet边界条件在上述条件下的椭圆算子，这是另外假设是周期的空间变量。
A Carleman-Type Inequality in Elliptic Periodic Homogenization
对于一族具有快速振荡周期系数的二阶椭圆型方程，我们感兴趣的是这些解满足椭圆周期均匀化中附加增长条件的Carleman型不等式，这意味着宏观尺度上没有误差项的三球不等式。此外，如果我们在宏观尺度上用加倍条件代替附加增长条件，那么不带误差项的三球不等式在任何尺度下都成立。证明依赖于解的$H^1$ -范数的收敛性和紧性论证。
On Lp Estimates in Homogenization of Elliptic Equations of Maxwell's Type
对于一族在$C^{1, α}$域$Ω$中具有快速振荡周期系数的二阶Maxwell型椭圆系统，我们建立了$L^p(Ω)$中$1<p\le \infty$的解$u_\varep$和$\nabla \times u_\varep$的一致估计.证明依赖于周期系数标量椭圆型方程解的一致$W^{1,p}$和Lipschitz估计。
Layer Potential Methods for Elliptic Homogenization Problems
本文利用层势方法研究均匀化理论中一类具有快速振荡周期系数的二阶椭圆型方程组在有界Lipschitz区域$Ω$中的$L^2$边值问题.让$\mathcal{L}_\varepsilon=-\text{div}\big(A(\varepsilon^{-1}X)\nabla \big)$。假设$A(X)$是椭圆的、对称的、周期的和Hölder连续的，我们建立了$L^2$ Dirichlet问题、正则性问题和Neumann问题的可解性，其中$\mathcal{L}_\varepsilon (u_\varepsilon)=0$在$Ω$中的最优估计在$\varepsilon>0$中是一致的.
Eigenvalue homogenization for quasilinear elliptic operators
本文研究拟线性椭圆算子（非线性）特征值的均匀化问题。我们证明了收敛的第一和第二特征值，并在运营商是独立的$\varepsilon$的情况下，收敛的全（变分）频谱一起whit明确在$k$和$\varepsilon$顺序的收敛。
Homogenization of elliptic equations with large random potential
本文考虑一个椭圆型方程，它具有纯虚的、高度非均匀的和大的随机势，且相关函数衰减得足够快。我们表明，它的解决方案是很好的近似的解决方案，以一个齐次方程的实值均匀化的潜力的相关长度的随机介质$\varepsilon\rightarrow 0$和估计的大小的随机波动的设置$d\geq3$。
Uniformly Elliptic Equations on Domains with Capacity Density Conditions: Existence of Hölder Continuous Solutions and Homogenization Results
本文综述CDC区域上一致椭圆Poisson型方程的全局Hölder连续解理论，并将其应用于ε周期系数均匀化，得到L^∞范数收敛速率估计。
Elliptic homogenization from qualitative to quantitative
本文自包含地介绍随机系数场的椭圆均匀化理论，从定性到定量，并给出高斯随机场局部函数系数场的最优估计新结果。
Homogenization of fully nonlinear elliptic equations with oscillating dirichlet boundary data
研究了具有振荡Dirichlet边界数据的二阶完全非线性方程在算子和边界数据均为$\e$ -周期时的均匀化问题.我们将证明解$u_\e$在定义域$D$的每个紧子集$K$上一致收敛于某个函数$\bar u(x)$.此外，$\bar u$是某些边值问题的解。对于这个结果，我们假设域的边界没有（有理）平坦点，并且椭圆常数$Λ/ λ$的比率足够大。
Homogenization of nonlinear elliptic systems in nonreflexive Musielak-Orlicz spaces
研究了一类强非线性椭圆型方程组在齐次Dirichlet边界条件下的均匀化过程。假设椭圆算子的增长性和非线性性由一般的非齐次各向异性$N-$函数表示，该函数也可能依赖于空间变量，即，均匀化过程将在每一步改变特征函数空间。这样的问题是众所周知的，有许多积极的结果，满足$Δ_2$和$\nabla_2$条件的功能，是除了Hölder连续的空间变量。我们将表明，情况下，这些条件可以忽略不计，并将处理一个相当普遍的问题，在一般的函数空间设置。
Eigenvalue homogenization for quasilinear elliptic equations with different boundary conditions
研究了有界区域内几类含振荡权的非线性问题在不同边界条件下特征值的（变分）收敛速度收敛速率。
Convergence Rates and Hölder Estimates in Almost-Periodic Homogenization of Elliptic Systems
对于一族具有快速振荡的概周期系数的散度型二阶椭圆方程组，我们得到了近似校正子的估计.结果被用来调查的问题的收敛速度。在有界$C^{1, α}$域上，我们也建立了狄利克雷问题的一致Hölder估计.
Periodic homogenization of the principal eigenvalue of second-order elliptic operators
本文研究了与$1$ -齐次一致椭圆二阶算子相关的主本征值问题的均匀化结果。在相当一般的假设下，我们证明了与振荡算子相关的主本征对收敛于与有效算子相关的本征对。这包括完全非线性算子的情况。在额外的正则性/凸性假设下，为线性和非线性问题提供了特征值的收敛速度。最后，线性问题的适当规范化的本征函数的线性收敛速率（在振荡参数方面）。
Convergence Rates in Periodic Homogenization of Systems of Elasticity
本文研究具有快速振荡周期系数的线弹性力学系统的均匀化问题。对于可测系数有界的混合边值问题，我们建立了$L^2$的快速收敛速度.
On the periodic homogenization of elliptic equations in non-divergence form with large drifts
本文研究带大漂移项的非散度型周期椭圆方程的定量均匀化，通过中心化条件与不变测度将其转化为无漂移的散度型方程，从而获得收敛速率与一致Lipschitz正则性。
Stochastic-Periodic homogenization of Maxwell's equations with nonlinear and periodic conductivity
本文通过随机双尺度收敛方法，证明了具有非线性和周期电导率的麦克斯韦方程在随机-周期均匀化下解序列收敛到均匀化方程的解。
Periodic operators over a component domain and homogenization of some class of quasi-linear elliptic problems in two-component domain with interfacial resistance
本文提出周期扩展算子用于双组分域中拟线性椭圆问题的周期均质化，处理具有界面电阻的$ L^2 $和$ L^1 $数据问题。
Periodic Homogenization for Weakly Elliptic Hamilton-Jacobi-Bellman Equations with Critical Fractional Diffusion
本文建立了Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的周期均匀化，该方程与非局部积分微分型算子有关。我们考虑的情况下，分数扩散具有相同的顺序的漂移项，是弱椭圆。该文件的结果是双重的。一方面，我们给出了弱椭圆非局部HJB的Lipschitz正则性结果，推广了文[8]中的结果。另一方面，我们建立了一个收敛结果，半放松的限制和比较原则的有效问题的基础上。后者强烈依赖于有效哈密顿量的正则性和椭圆性，其中校正器的精细Lipschitz估计起着至关重要的作用。
Quantitative Estimates in Elliptic Homogenization of Non-divergence Form with Unbounded Drift and an Interface
本文研究了具有无界漂移和界面的非散度型椭圆均匀化的定量估计，这是Hairer和Manson [Ann. Probab. 39（2011）648-682]，其中他们研究了这种过程在扩散重新缩放下的限制性长时间/大规模行为。我们确定了有效方程，并得到了格林函数梯度的大小估计以及最佳（一般）收敛速度。证明方法是先将非散度型转化为系数矩阵指数衰减的发散型，然后在均匀化散度型的基础上研究这种特殊结构。
On homogenization estimates in Neuman boundary value problem for an elliptic equation with multiscale coefficients
研究了有界区域上具有Neuman边界条件的标量椭圆型方程的均匀化问题.该算子的系数在两组不同的小周期$\varepsilon$和$δ=δ(\varepsilon)$的变量上振荡。我们假设当$\varepsilon$趋于零时，$δ/{\varepsilon}$趋于零。已知该极限问题是通过迭代均匀化方法得到的，对应于一个常系数的椭圆型方程。在算子$(L^2\to L^2)$ -范数下估计了初值问题和极限问题的预解式的差异。该估计的阶数为$τ=τ(\varepsilon)$，它是$\ve$和$δ/{\varepsilon}$的最大值。我们还找到了初始预解式在算子$(L^2\to H^1)$ -范数下的逼近，它是$\sqrtτ$阶的.
Quasi-periodic and almost periodic homogenizations of integro-differential equations with Levy operators
本文研究了具有Levy算子的积分微分方程的拟周期和概周期齐次化，其中包含α稳定的Levy密度.这是非局部问题的周期均匀化和随机均匀化之间的中间阶段，并且是偏微分方程的直接推广。
Convergence Rates and Interior Estimates in Homogenization of Higher Order Elliptic Systems
研究了具有有界可测、快速振荡周期系数的$2m$阶椭圆型方程组的定量均匀化问题。在有界Lipschitz域上建立了$\mathbb{R}^d$中的$W^{m-1, p_0}$和$p_0=\frac{2d}{d-1}$的$O(\varepsilon)$收敛速度以及一致大尺度内$C^{m-1, 1}$估计.在附加光滑性假设下，得到了一致内部$C^{m-1, 1}$、$W^{m,p}$和$C^{m-1, α}$估计.作为正则性估计的应用，我们建立了基本解的渐近展开式。
$L^p$ Neumann Problems in Homogenization of General Elliptic Systems
本文推广了C. Kenig，F. Lin和Z. Shen在\cite{KFS1}中讨论了具有快速振荡周期系数的非齐次椭圆算子.结果依赖于以前的工作\cite{X2}，和最佳的边界估计，这是基于一定的估计收敛速度。与齐次情形相比，附加的自举过程似乎是不可避免的，并且由低阶项引起的Neumann边界校正在这里仍然是有用的。
Regularity of boundary data in periodic homogenization of elliptic systems in layered media
本文研究了当系数和边界值均为振荡时，散度型椭圆型方程组狄利克雷问题的周期均匀化。这里的关键困难之一是确定相应的限制（均质化）问题的固定边界数据。D. Gérard-Varet和N. Masmoudi和C.然而，Prange对这个固定数据的规律性知之甚少。本文的主要目的是开始研究这个问题，并证明这方面的几个正则性结果。
Quantitative Estimates on Reiterated Homogenization of Linear Elliptic operators Using Fourier Transform Methods
本文研究了具有Dirichlet边界条件的$-\frac{\partial}{\partial x_{i}} \left(a_{i j} \left(\frac{x}{\varepsilon}, \frac{x}{\varepsilon^{2}}\right) \frac{\partial u_\varepsilon}{\partial x_{j}}\right)=f$型线性椭圆型方程在$Ω$中的迭代均匀化问题.我们得到了该方程在有界$C^{1,1}$域上的误差估计$O(\varepsilon)$以及在（非常）大尺度下的内部Lipschitz估计.与一般的均匀化问题相比，重复均匀化问题的难点在于需要处理不同尺度的$x$。为了克服这个困难，我们首先引入均匀化理论中的傅里叶变换来分离这些不同的尺度。我们还注意到，这种方法可以适用于以下重复的均匀化问题：$-\frac{\partial}{\partial x_{i}} \left(a_{i j} \left(\frac{x}{\varepsilon},\cdots, \frac{x}{\varepsilon^{N}}\right) \frac{\partial u_\varepsilon}{\partial x_{j}} \right) = f$在$Ω$与Dirichlet边界条件。此外，我们的结果可以推广到相关的Neumann边值问题…
Lower Bound of Nodal Sets in Elliptic Homogenization and Functions with Strong Maximum Principle
本文尝试证明椭圆均匀化中节点体积的一致下界，并在二维情形得到常数下界，进而推广到满足强极大值原理的连续函数。
Homogenization of some periodic Hamilton-Jacobi equations with defects
研究了一类定常Hamilton-Jacobi方程的均匀化问题，其中Hamilton-Jacobi方程的均匀化问题。我们证明了限制问题由一个Hamilton Jacobi方程的起源之外，与周期性均匀化相同的有效哈密顿，补充在原点与一个有效的Dirichlet条件，保持跟踪的扰动。各种意见和扩展进行了讨论。
Homogenization of non-convex integral energies with Orlicz growth via periodic unfolding
该研究将周期展开法推广至Orlicz框架，证明了Orlicz-Sobolev框架下向量值构型上非凸积分能量的均匀化结论。
Corrector estimates for higher-order linearizations in stochastic homogenization of nonlinear uniformly elliptic equations
在随机一致椭圆型方程的均匀化理论中，校正估计是通过双尺度展开技术推导最优收敛速度的关键因素。目前的工作跟进-在校正估计方面-Fischer和Neukamm（arXiv：1908.02273）的最近的工作，它提供了一个定量的随机均匀化理论的非线性一致椭圆型方程下的谱间隙假设。我们建立最优阶估计（相对于缩放的比例之间的微观和宏观尺度）高阶线性校正。校正估计的一个相当直接的结果是相关的均匀化单调算子的高阶正则性。
Remarks on optimal rates of convergence in periodic homogenization of linear elliptic equations in non-divergence form
研究并刻画了非散度型线性椭圆型方程周期均匀化的最优收敛速度。我们得到的最佳收敛速率是$O(\varepsilon)$或$O(\varepsilon^2)$取决于扩散矩阵$A$，源项$f$，和边界数据$g$。此外，我们表明，一组扩散矩阵$A$，给出最佳速率$O(\varepsilon)$是开放的和密集的$C^{2,α}$周期，对称，正定矩阵，这意味着一般来说，最佳速率是$O(\varepsilon)$。
Homogenization for Time-periodic KPP Reactions
在时间周期空间平稳遍历的背景下，我们证明了具有KPP反应的反应-对流-扩散方程的均匀化，并找到了均匀化动力学的一个显式公式。我们还将这一结果推广到具有非局部扩散和KPP反应的模型。
Slow periodic homogenization for Hamilton-Jacobi equations
Capuzzo-Dolcetta和Ishii证明了强制Hamilton-Jacobi方程的周期均匀化率为$O(\varepsilon^{1/3})$ .我们补充这一结果的强制性非凸哈密顿的周期均匀化率是$Ω(\varepsilon^{1/2})$构建的例子。
Homogenization for non-self-adjoint locally periodic elliptic operators
本文研究了$L_2(\mathbb R^d)^n$上矩阵强椭圆算子的均匀化问题，其形式为$\mathcal A^\varepsilon=-\operatorname{div}A(x,x/\varepsilon)\nabla$。函数$A$在第一个变量中是Lipschitz函数，在第二个变量中是周期函数。我们不需要$A^*=A$，因此$\mathcal A^\varepsilon$不必是自伴的。在本文中，我们提供了，对于小$\varepsilon$，两项的$(\mathcal A^\varepsilon-μ)^{-1}$的一致逼近和首项的一致逼近$\nabla(\mathcal A^\varepsilon-μ)^{-1}$。主要注意力是证明尖锐的顺序界的近似误差。
Periodic Homogenization of Schrödinger type equations with rapidly oscillating potential
本文研究了扩散项系数周期振荡的Shrödinger型方程的均匀化问题，并讨论了一个快速振荡的周期含时势。证明了一个收敛定理，并导出了宏观均匀化模型。我们的方法是众所周知的双尺度收敛方法。
Weighted $L^2$ Estimates for Elliptic Homogenization in Lipschitz Domains
我们发展了一种新的实变量加权$L^p$估计方法。应用该方法研究了具有有界可测系数的散度型二阶椭圆型方程组弱解在Lipschitz域上的加权$W^{1, 2}$估计.给出了加权$W^{1,2}$估计在给定权的固定Lipschitz域中成立的一个充要条件，该条件依赖于权函数.利用这一条件，对于Lipschitz域上具有快速振荡、周期和VMO系数的椭圆型方程组，我们将加权估计问题归结为常系数的情形。
Optimal homogenization rates in stochastic homogenization of nonlinear uniformly elliptic equations and systems
在一致椭圆情形下，我们得到了具有单调非线性的随机非线性椭圆偏微分方程的最优阶均匀化率。更确切地说，对于随机单调算子$\mathbb{R}^d$与平稳律（即空间齐次统计）和快速衰减的相关性尺度大于微观$\varepsilon>0$，我们建立均匀化误差估计的顺序$\varepsilon$的情况下$d\geq 3$，分别为$\varepsilon |\log \varepsilon|^{1/2}$的情况下$d=2$。以前的非线性随机均匀化结果已被限制到一个小的代数收敛速度$\varepsilon^δ$。我们还建立了误差估计的近似的均匀化算子的方法的代表性体积的顺序$(L/\varepsilon)^{-d/2}$的代表性体积的大小$L$。我们的结果也持有的情况下，系统的（小规模）$C^{1,α}$正则性理论是可用的。
Estimates of eigenvalues and eigenfunctions in elliptic homogenization with rapidly oscillating potentials
本文研究了一类具有快速振荡周期系数和快速振荡周期势的二阶椭圆型方程的$H^1$收敛速度和Dirichlet特征值以及Dirichlet特征函数法向导数的界. $H^1$的收敛速度依赖于Dirichlet校正和一阶校正的振荡电位。对于Dirichlet条件下的解，其界依赖于$H^1$中的一个$O(\varepsilon)$估计.
Stochastic homogenization of linear elliptic equations: Higher-order error estimates in weak norms via second-order correctors
研究了具有随机系数场的二阶线性椭圆型方程的均匀化问题。对于对称系数字段只有短程相关性，量化通过对数Sobolev不等式的合奏，我们证明了，当测量在弱空间规范，均匀化方程的解决方案提供了一个高阶近似的解决方案，振荡系数的方程。在非对称系数场的情况下，我们提供了一个高阶近似（在弱空间范数）的解决方案的方程振荡系数的解决方案，常数系数方程。在这两种设置中，我们还提供了最佳的误差估计的两个规模的扩展截断在二阶。我们的结果依赖于新的估计的二阶均匀化校正，我们建立通过灵敏度估计的二阶校正和大规模的$L^p$理论的椭圆型方程随机系数。我们的结果也涵盖了椭圆系统的情况。
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