Configuration space integrals for embedding spaces and the Haefliger invariant
Keiichi Sakai
备注：
41 pages, many figures (v2: Theorem 1.3 and its proof have been improved. many minor corrections. v3: Theorem 1.3 and its proof have been revised, since Lemma 5.26 in v2 was wrong. v4: The proof of Theorem 1.3 has been fully revised. To appear in J. Knot Theory Ramifications)
发表信息：
Journal of Knot Theory and Its Ramifications, Vol. 19, No. 12 (2010), 1597-1644
Let K be the space of long j-knots in R^n. In this paper we introduce a graph complex D and a linear map I from D to the de Rham complex of K via configuration space integral, and prove that (1) when both n>j>=3 are odd, the map I is a cochain map if restricted to graphs with at most one loop component, (2) when n-j>=2 is even, the map I is a cochain map if restricted to tree graphs, and (3) when n-j >=3 is odd, the map I added a correction term produces a (2n-3j-3)-cocycle of K which gives a new formulation of the Haefliger invariant when n=6k, j=4k-1 for some k.
Classification of embeddings below the metastable dimension
本文对流形嵌入欧几里得空间的合痕分类这一经典问题提出了一种新的方法。这种方法涉及到一种新的嵌入不变量，几乎嵌入和光滑，以及明确的嵌入结构的研究。使用这种方法，我们得到完整的具体的分类结果低于亚稳维范围，即在配置空间不变量的Haefliger-Wu是不完整的。请注意，所有已知的完整的混凝土分类结果，除了链接和光滑结的Haefliger分类，可以使用Haefliger-Wu不变量获得。更准确地说，我们根据Stiefel流形的同伦群（直到p>1和光滑范畴的微小不确定性）对p<1的嵌入S^p x S^{2l-1} -> R^{3l+p}进行分类。一个特殊的情况是分段线性嵌入的分段线性合痕类的集合（或者等价地，光滑嵌入的几乎光滑合痕类的集合）S^1 x S^3 -> R^7有一个几何定义的群结构，并且这个群结构同构于Z + Z + Z_2。我们展示了一个例子反驳了由Viro等人提出的关于多重Haefliger-Wu不变量在余维至少为3的连通流形的PL嵌入的分类的完备性的猜想。
A classification of smooth embeddings of 3-manifolds in 6-space
我们的工作是平稳的。如果存在纽结嵌入S^n \to R^m，这经常发生在2 m <3 n +4的情况下，那么除了球面的不相交并之外，没有已知的关于n-流形嵌入R^m直到合痕的具体完整描述。设N是闭连通可定向三维流形。我们的主要结果是下面对嵌入N \to R ^6直到合痕的集合Emb^6（N）的描述。惠特尼不变量W：Emb^6（N）\to H_1（N;Z）是满射的。对于每个\in H_1（N;Z），Kreck不变量η_u：W^{-1} \to Z_{d(u)}是双射的，其中d（u）是u到H_1（N;Z）的自由部分的投影的整除性.群Emb^6（S^3）同构于Z（Haefliger）。此群通过嵌入连通和作用于Emb^6（N）。利用Vrabec和Haefliger的光滑理论证明了该作用量的轨道空间在W下双射映射到H_1（N;Z）。我们的分类结果的新的部分是确定的作用轨道。E. G.对于N= RP ^3，作用是自由的，而对于N= S ^1 \times S ^2，我们明确地构造一个嵌入f：N \to R ^6，使得对于每个纽结l：S ^3 \to R ^6，嵌入f#l与f是同位素的。我们的证明使用了新的方法，包括Kreck修正手术理论或Boechat-Haefliger公式来平滑梗阻。
当3 n> 4 m +4时，我们给出了将m维流形M在欧氏n-空间中的浸入转化为嵌入的一个完全障碍.它是一种继发性梗阻，只有当由于Haefliger而引起的原发性梗阻消失时才存在。障碍生活在扭曲的配边群，它的消失意味着存在一个嵌入的正规同伦类的给定浸入在指定的范围内。我们使用Goodwillie的演算函子，以下韦斯，以帮助组织和证明的结果。
A new invariant and parametric connected sum of embeddings
本文定义了流形在欧几里得空间中的嵌入N -> R^m的同痕不变量。这个不变量与Haefliger-Wu的α-不变量在α-不变量可能不完全的维数范围内是完全的。我们还定义了某些嵌入的参数连接和（类似于手术）。这允许获得新的完整性结果的α-不变量和以下估计的同伦类的嵌入。对于分段线性范畴，一个（3 n-2 m +2）-连通的n-流形N和（4 n +4）/3 < m <（3 n +3）/2的每个α-不变量原像注入到H_{3n-2m+3}（N）的一个商中，其中系数对于m-n奇数为Z，对于m-n偶数为Z2.
Wrinkling h-principles for integral submanifolds of jet spaces
Y. Eliashberg和N.米沙切夫引入了褶皱嵌入的概念，以表明任何切向同伦都可以近似为具有温和奇点的拓扑嵌入的同伦。这个概念在接触拓扑学中起着重要的作用：E.墨菲依靠褶皱的嵌入来操纵阿德里安阵线。类似地，D.阿尔瓦雷斯-加韦拉通过定义皱纹的概念。本文及其续集概括这些想法一般喷空间。本文的主要定理证明了Eliashberg和Mishachev的类似结果：嵌入的r阶微分信息的任何同伦都可以近似为嵌入的同伦，其中嵌入具有（r阶的）奇异性。上一个陈述的局部版本是独立的，它说完整逼近定理在闭流形上成立，如果我们考虑具有简单奇点的多值截面而不是截面。
