Examples of derivation-based differential calculi related to noncommutative gauge theories
T. Masson
介绍和评述了一些用于构造非对易规范理论模型的基于导子的微分演算。并对它们进行了比较。
Some derivation-based differential calculi which have been used to construct models of noncommutative gauge theories are presented and commented. Some comparisons between them are made.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Noncommutative differential calculi and the unifying zero curvature representation of integrable systems
基于导数的微分演算在非对易几何、非对易规范理论和可积系统中具有重要的意义。在本文中，我们提出了联系和曲率从一类变形导子为基础的微分。利用这一理论，我们统一地给出了连续-连续、离散-连续和离散-离散可积系统的零曲率表示。
In analogy with classical submanifold theory, we introduce morphisms of real metric calculi together with noncommutative embeddings. We show that basic concepts, such as the second fundamental form and the Weingarten map, translate into the noncommutative setting and, in particular, we prove a noncommutative analogue of Gauss equations for the curvature of a submanifold. Moreover, the mean curvature of an embedding is readily introduced, giving a natural definition of a noncommutative minimal embedding, and we illustrate the novel concepts by considering the noncommutative torus as a minimal s…
We equip a family of algebras whose noncommutativity is of Lie type with a derivation based differential calculus obtained, upon suitably using both inner and outer derivations, as a reduction of a redundant calculus over the Moyal four dimensional space.
On the existence of noncommutative Levi-Civita connections in derivation based calculi
本研究在*代数上基于导子的非交换微分微积分框架下，给出Levi-Civita联络存在的充要条件与推广的度量对称条件，通过秩3自由模的显式计算阐释理论，采用纯代数方法。
We study covariant derivatives on a class of centered bimodules $\mathcal{E}$ over an algebra A. We begin by identifying a $\mathbb{Z} ( A ) $-submodule $ \mathcal{X} ( A ) $ which can be viewed as the analogue of vector fields in this context; $ \mathcal{X} ( A ) $ is proven to be a Lie algebra. Connections on $\mathcal{E}$ are in one to one correspondence with covariant derivatives on $ \mathcal{X} ( A ). $ We recover the classical formulas of torsion and metric compatibility of a connection in the covariant derivative form. As a result, a Koszul formula for the Levi-Civita connection is als…
Comments on the Noncommutative Geometry of Quantum Homogeneous Vector Bundles
将Woronowicz的方法推广到本文，得到了量子齐性空间的微分演算.研究了微分演算的表示论性质。利用投射模理论，对量子齐次向量丛上的联络进行了分类，并明确地构造了它们。
We construct a noncommutative Cartan calculus on any braided commutative algebra and study its applications in noncommutative geometry. The braided Lie derivative, insertion and de Rham differential are introduced and related via graded braided commutators, also incorporating the braided Schouten-Nijenhuis bracket. The resulting braided Cartan calculus generalizes the Cartan calculus on smooth manifolds and the twisted Cartan calculus. While it is a necessity of derivation based Cartan calculi on noncommutative algebras to employ central bimodules our approach allows to consider bimodules over…
Spectral triples and differential calculi related to the Kronecker foliation
根据Connes和Moscovici的思想，我们描述了两个与Kronecker叶状有关的谱三元组，其广义Dirac算子与一阶和二阶签名算子有关。我们还考虑了相应的微分结石$Ω_D$，这是完全不同的两种情况下。作为边注，我们给出了一个已知的演算的二维非交换环面的生成元和关系的描述。
Noncommutative vector field calculi
从向量场视角探讨非交换微分几何，基于一阶向量场演算定义通用FOVC，构建范畴间伴随关系，扩展对应关系到协变情形，在霍普夫代数等上进行研究并给出例子，通过层理论丰富向量场方法。
Quantum Calculi: differential forms and vector fields in noncommutative geometry
本文修订并扩展非交换向量场框架，填补旧有不足，阐明嘉当对与一阶微分的对应，并显式构造右/左泛向量场双模。
Automorphisms of associative algebras and noncommutative geometry
探讨了一类由底层结合代数的一组自同构所决定的微分演算。提出了几个例子。特别地，以这种方式恢复量子平面、$h$变形平面和量子群GLpq（2）上的微分演算。几何结构，如度量和兼容的线性连接。
Noncommutative Riemannian geometry of Kronecker algebras
本文研究Kronecker箭图路径代数的非交换黎曼几何，构造无挠双模联络及Levi-Civita联络，并探讨其与厄米形式的相容性。
Lectures on graded differential algebras and noncommutative geometry
这些说明载有调查的某些方面的理论分级微分代数和非交换微分微积分以及一些应用与物理。报告还介绍了几项新的发展。
On the Gauss-Chern-Bonnet theorem for the noncommutative 4-sphere
在伪黎曼演算的框架下构造了非对易4-球面上的一个微分学，证明了对于圆度量的共形扰动类中的每一个度量，都存在唯一的度量无挠联络.此外，我们找到了对应于向量场空间的投射模的一个局部化，这使得我们能够为非交换的4-球面建立一个Gauss-Chern-Bonnet型定理。
Noncommutative Yang-Mills-Higgs actions from derivation-based differential calculus
非交换代数的导子可以用来构造微分演算，即所谓的基于导子的微分演算。我们应用这个框架的Moyal代数${\cal{M}}$的一个版本。我们表明，微分，所产生的最大子代数的推导代数的${\cal{M}}$，可以与无穷小的辛同胚，产生了一个自然的建设杨米尔斯希格斯模型上${\cal{M}}$和自然的解释的协变坐标希格斯场。我们还比较详细的主要数学性质表征目前的情况下，具体的其他两个非交换几何，即有限维矩阵代数$M_n({\mathbb{C}})$和代数的矩阵值函数$C^\infty(M)\otimes M_n({\mathbb{C}})$。本文还讨论了Yang-Mills-Higgs模型的紫外/红外混合问题。
Pseudo-Riemannian Metrics in Models Based on Noncommutative Geometry
基于交换代数上的非交换微分演算的几个例子和模型表明，度量应被视为1-形式空间与自身的左线性张量积的元素。我们展示了如何度量兼容性条件与线性连接推广到这个框架。
Noncommutative Differential Geometry and Classical Field Theory on Finite Groups
本报告的计划如下：1.从物理和数学的角度来看动机; 2。有限群上的微分学; 3. 4.拉格朗日场论与辛结构; 5.有限群的标量场与谱。
In this paper, we start the investigation of a new natural approach to "unifying" noncommutative gauge field theories (NCGFT) based on approximately finite-dimensional ($AF$) $C^*$-algebras. The defining inductive sequence of an $AF$ $C^*$-algebra is lifted to enable the construction of a sequence of NCGFT of Yang-Mills-Higgs types. The present paper focus on derivation-based noncommutative field theories. A mathematical study of the ingredients involved in the construction of a NCGFT is given in the framework of $AF$ $C^*$-algebras: derivation-based differential calculus, modules, connections…
Connections on Lie algebroids and on derivation-based noncommutative geometry
在本文中，我们将展示如何在传递李代数胚的连接和他们的推广有关的概念，连接的基础上推导的非交换几何的框架。为了比较这两种构造，我们强调了李代数胚上联络的代数方法，使用适当的微分学。有两个例子可以进行这种比较：一方面是主纤维丛的Atiyah李代数胚，另一方面是$SL(n, \mathbb{C})$ -向量丛的自同态代数的导子空间。规范变换也被认为是在这个比较。
Noncommutative oscillators from a Hopf algebra twist deformation. A first principles derivation
非对易振子通过一个Hopf代数的交换Drinfel扭曲变形及其对模的作用而首次量子化。几个重要的和微妙的问题，使量化的解决。计算了单粒子哈密顿量的谱。多粒子哈密顿量是固定的，明确地，由Hopf代数余积。保证了粒子交换下的对称性。在d=2维中，旋转不变性被保留，而在d=3维中，so（3）旋转不变性被分解为so（2）不变性。
Derivations of the Moyal Algebra and Noncommutative Gauge Theories
微分学的基础上的导子的结合代数的基础大多数的非交换场论考虑到目前为止。我们回顾了这一框架的基本性质和非分次结合单位代数的情况下，对合的非交换连接的主要特征。我们将这个框架推广到${\mathbb{Z}}_2$ -分次单位元对合代数的情形。我们表明，在Moyal代数或一些相关的${\mathbb{Z}}_2$ -分级版本的情况下，基于微分的推导是一个合适的框架来构建杨米尔斯希格斯型模型Moyal（或相关）代数，协变坐标具有特别是自然的解释为希格斯场。我们还展示了，在一种情况下，可重正化NC $ϕ^4$模型与谐波项和规范理论模型之间的联系。一些可能的后果，这是简要讨论。
Dynamical Evolution in Noncommutative Discrete Phase Space and the Derivation of Classical Kinetic Equations
通过考虑扩展相空间的格点模型，利用非对易微分几何的技巧，我们得到：（a）向量场作为格点上运动和转移概率分布的生成元的概念，（b）基于格点结构中概率编码的时间方向的出现，（c）格点结构中概率分布的生成元的概念，（d）格点结构中概率分布的生成元的概念，（e）格点结构中概率分布的生成元的概念，（f）格点结构中概率分布的生成元的概念。（3）与经典动力学相类比的观测量演化的一般规定。我们表明，在连续描述的限制下，这些结果导致了观测量的时间演化，广义Fokker-Planck方程（的伴随方程），具有：（1）扩散系数，其由晶格坐标的相关矩阵的极限给出，相对于与运动发生器相关联的概率分布;（2）在本文中由动力学方程的微观平均给出的漂移项。这些结果适用于1D和2D的问题。具体而言，我们得到：（I）速度空间中的扩散方程、Smoluchowski方程和Fokker-Planck方程，从而表明了随机游走模型在本上下文中的结合方式;（II）Kramers方程，通过进一步假设，运动在坐标空间中是确定性的
A class of differential quadratic algebras and their symmetries
本文研究了一类四生成元的多参数二次代数，它包括非交换四平面的坐标代数和作为商代数的非交换三球面。特殊的子族包括Sklyanin代数和Connes-Dubois-Violette平面。我们确定了一般代数的对称性量子群，并构造了有限维协变微分演算。
We discuss the construction of $κ$-Poincaré invariant actions for gauge theories on $κ$-Minkowski spaces. We consider various classes of untwisted and (bi)twisted differential calculi. Starting from a natural class of noncommutative differential calculi based on a particular type of twisted derivations belonging to the algebra of deformed translations, combined with a twisted extension of the notion of connection, we prove an algebraic relation between the various twists and the classical dimension d of the $κ$-Minkowski space(-time) ensuring the gauge invariance of the candidate actions for g…
Geometrical techniques for the N-dimensional Quantum Euclidean Spaces
我们简要地报告我们的应用版本的非交换几何的量子欧几里得空间$R^N_q$，任何$N \ge 3$ ;这个空间在量子群$SO_q(N)$的作用下是协变的，并且在它上面已知两个协变微分演算。更准确地说，我们描述如何在Cartan“移动标架形式”中构造度量、两个共变导数、Dirac算子、标架，对于这两种演算，内导子都与框架元素对偶。在差分基础上的框架元素的分量提供了$U_q^{\pm}(so(N))$的Faddeev-Reshetikhin-Takhtadjan生成元的“局部实现”。
We propose a conceptually economical and computationally tractable completion of the foundations of gauge theory on quantum principal bundles à la Brzeziński--Majid to the case of general differential calculi and strong bimodule connections. In particular, we use explicit groupoid equivalences to reframe the basic concepts of gauge theory -- gauge transformation, gauge potential, and field strength -- in terms of reconstruction of calculi on the total space (to second order) from given calculi on the structure quantum group and base, respectively. We therefore construct gauge-equivariant modul…
Algebraic Versus Spectral Torsion
本文以闭定向黎曼自旋流形与两点空间乘积的近似交换几何为例，将新定义的谱挠率与非交换微分演算的代数挠率联系起来。
Noncommutative epsilon-graded connections
我们引入了ε-分次结合代数的新概念，它的根源是李代数中引入的交换因子的概念。定义并研究了相关的基于ε-导子的微分学概念，推广了结合代数上的基于导子的微分学。本文还定义了相应的非交换联络概念。我们说明这些考虑与各种例子的ε-分次代数，特别是一些分次矩阵代数和Moyal代数。这最后一个例子也允许在数学上解释一个非对易的规范场理论。
q-Deformed quaternions and su(2) instantons
最近我们引入了q-四元数双代数的概念，并证明了它与SO_q（4）-协变量子欧几里得空间R_q ^[4]的严格联系。采用后者和四元数语言的可用微分几何工具，我们制定和发现的（反）自对偶方程[瞬子和多瞬子]的一个将被变形的su（2）杨米尔斯理论在这个量子空间的解决方案。这些解依赖于一些非对易参数，表明完备理论的模空间应该是一个非对易流形。我们总结了这些结果，并对R_q上的两个SO_q（4）-协变微分演算和双（分别）上的两个4维双协变微分演算进行了比较。Hopf）代数M_q（2），GL_q（2），SU_q（2），证明了它们本质重合。
Gauge Theories in Noncommutative Homogeneous Kähler Manifolds
我们在非对易齐次Kähler流形上构造了一个规范理论，其中我们采用了Karabegov关于Kähler流形的分离变量形变量子化.这种构造的关键是获得作为形变量化的内导子的矢量场。我们证明了这些向量场是唯一的Killing向量场。我们给出了非对易${\mathbb C}P^N$和非对易${\mathbb C}H^N$上的规范理论的一个显式构造。
Noncommutative de Rham cohomology of finite groups
我们研究了8阶以下有限群G上各种微分演算的de Rham上同调。这些群包括置换群S_3、二面体群D_4和四元数群Q。庞加莱的对偶性在任何情况下都成立，在某些假设下（基本上是存在一个顶形式），我们发现它必须在一般情况下成立。简要回顾了有限G上的双协变（非交换）微分自洽。外导数、外积、度量、霍奇对偶、联络、挠率、曲率和双不变积分都可以用代数定义。找到了辫子算子的投影分解，并利用它构造了2-形式空间上的投影算子。利用辫子算子和度量定义了有限群的纽结不变量。
A Course on Noncommutative Geometry in String Theory
在这个教学的迷你课程中，我们将回顾弦论中出现的非对易结构的推导基础。首先，我们讨论了磁化D-膜上开弦顶点算子的关联函数中非对易Moyal-Weyl星积的存在性。其次，我们将回顾最近的尝试，推广这些概念的封闭弦在非几何通量背景下运动。
Commutative Poisson algebras from deformations of noncommutative algebras
本文将形式形变导出泊松括号的经典结果推广至非交换代数，在中心与商空间的积上构造泊松代数结构，并以多个量子代数实例验证。
Differential Geometry of Group Lattices
在一系列出版物中，我们开发了基于非交换几何概念的离散集“微分几何”。特别是，原来，一阶微分演算（在代数的功能）的离散集是在双射对应的有向图结构的顶点是由元素的集合。有向图的一个特殊类别是凯莱图，也称为群格。它们由离散群G和有限子集S确定。有一个特殊的“双共变”Cayley图子类，它具有ad（S）S包含在S中的性质。我们探讨的性质所产生的凯莱图通过上述对应的微分演算。一阶微积分扩展到更高阶，然后允许引入进一步的微分几何结构。此外，我们探讨了“离散”向量场的性质，它描述了确定性流的群格。定义了离散向量场的李导数和具有形式的内积。李-嘉当恒等式则对离散向量场的某个子类的所有形式都成立。我们开发规范理论的元素，并构建一个类似的格点规范理论（杨米尔斯）作用于任意群格。也被认为是线性连接，并建立了一个简单的几何解释的扭转。通过对离散群的某个子群求商，得到了与所谓的Schreier图相关的广义微分演算。
Rigorous Definition of Quantum Field Operators in Noncommutative Quantum Field Theory
在任何理论中，给出量子场算符的空间都是这样构造的，其中测试函数之间的通常乘积被$\star$ -乘积（Moyal-型乘积）代替。这种理论的重要例子是非对易量子场论（NC QFT）。这种构造是Wightman重构定理推导的关键。
Noncommutative Poisson vertex algebras and Courant-Dorfman algebras
本文提出双 Courant-Dorfman 代数，证明其 Kontsevich-Rosenberg 性质及与双 Poisson 顶点代数的一一对应，并建立非交换微分演算。
Gauge theories in noncommutative geometry
在这篇评论中，我们提出了一些允许定义非对易规范场理论的基本数学结构。特别是，我们强调的非对易连接的理论，曲率和规范变换的概念。两种不同的方法，非交换几何涵盖：一个基于导子和一个基于谱三元组。非对易规范场理论的例子来说明的建设，并显示一些共同的特点。
Mapping spaces and automorphism groups of toric noncommutative spaces
我们开发了一个层理论的方法复曲面非交换几何，使我们能够正式的概念之间的两个复曲面非交换空间的映射空间。作为应用，我们研究了环面非交换空间的“内化”自同构群，并证明了它的李代数具有辫子导子的初等描述。
The Leibniz rule for derivations is invariant under cyclic permutations of co-multiples within the arguments of derivations. We explore the implications of this principle: in effect, we construct a class of noncommutative bundles in which the sheaves of algebras of walks along a tesselated affine manifold form the base, whereas the fibres are free associative algebras or, at a later stage, such algebras quotients over the linear relation of equivalence under cyclic shifts. The calculus of variations is developed on the infinite jet spaces over such noncommutative bundles. In the frames of such…
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