The Conjugacy Problem in the Grigorchuk Group is polynomial time decidable
I. Lysenok, A. Myasnikov, A. Ushakov
本文证明了Grigorchuk群$Γ$中的共轭问题具有多项式时间复杂度。
In this paper we prove that the Conjugacy Problem in the Grigorchuk group $Γ$ has polynomial time complexity.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Linear time algorithm for the conjugacy problem in the first Grigorchuk group
证明了第一类Grigorchuck群$Γ$中的共轭问题可以在线性时间内求解.此外，判定元素列表$w_1,\ldots,w_k\inΓ$是否包含一对共轭元的问题可以在线性时间内求解。我们还证明了一对共轭元$u,v\inΓ$的共轭子可以在多项式时间内找到。
Conjugacy classes of polyspinal groups
脊柱组和多GGS组都是众所周知的Griglouk-Gupta-Sidki（GGS-）组的推广。在这里我们给出了脊群共轭的一个必要条件，并建立了多GGS群共轭的一个充要条件。我们还介绍了一个自然的共同概括这两个类，我们称之为多棘群。我们的研究结果使我们能够给一个否定的答案的问题Bartholdi，Grigorchuk和Sunik，是否每个生成的分支组同构的弱分支的脊椎组。
Coset enumeration for certain infinitely presented groups
我们描述了一个算法，计算的指数的一个生成的子群在一个生成的$L$ -提出的组，只要这个指数是有限的。该算法证明了有限指数子群在一个可判定的$L$ -表示群中的子群成员问题是可判定的。作为应用，我们考虑了一些自相似群的低指数子群，包括Grigorchuk群，Grigorchuk群的扭曲孪生群，Grigorchuk超群和Hanoi 3-群
Groups with decidable word problem that do not embed in groups with decidable conjugacy problem
证明了具有可判定字问题的无挠群的存在性，这些群不能嵌入任何具有可判定共轭问题的有限生成群中。这回答了柯林斯在20世纪70年代初提出的一个著名问题。
Conjugacy Growth and Conjugacy Width of Certain Branch Groups
共轭增长函数计算半径为$n$的球中不同共轭类的数量。本文给出了某些支群的共轭增长的一个下界，其中包括Grigorchuk群。这个界限是中间增长的函数。我们进一步证明了某些分支群具有这样的性质，即每个元素都可以表示为生成元的一致有界的许多共轭的乘积。我们称这个性质为有界共轭宽度。我们还展示了有界共轭宽度与群的其他代数性质的关系，并将这些结果应用于研究某些分支群的回文宽度。
A branch group with unsolvable conjugacy problem
本文通过将任意有限生成剩余有限群保持共轭关系地嵌入有限生成分支群，构造出字问题可解但共轭问题不可解的分支群，回答了相关公开问题。
On generalized conjugacy and some related problems
我们建立了一个$G$ -by- $\mathbb{Z}$群的广义共轭问题，$GCP(G \rtimes \mathbb{Z})$，和$G$的两个算法问题之间的联系：广义Brinkmann共轭问题，$GBrCP(G)$，和广义扭曲共轭问题，$GTCP(G)$。我们探索这种连接的不同种类的推广：相对于生成的子群，他们的陪集，或可识别的，合理的，上下文无关或代数子集的组。利用这个结果，我们能够证明，$GBrCP(G)$是可判定的（相对于陪集）时，$G$是一个虚拟的多环组，这意味着特别是广义Brinkmann的等式问题，$GBrP(G)$，是可判定的，如果$G$是一个可判定的生成的阿贝尔群。最后，证明了如果$G$是一个可生成的虚自由群，则Brinkmann等式问题和扭曲共轭问题的简单形式$BrP(G)$和$TCP(G)$是可判定的.
Dehn Functions, the Word Problem, and the Bounded Word Problem For Decidable Group Presentations
我们构建的例子，满足某些组合的可解性的字问题，可解性的有界字问题，和可计算性的Dehn函数的生成的可判定组演示文稿。我们证明，没有生成的可判定的演示文稿存在满足的组合，我们不提供的例子。我们构建的演示也是最小的。这些结构回答了R.I.格里戈丘克和伊凡诺夫我们的方法使用Birget，Ol'shanskii，Rips和Sapir开发的机器来构建模拟图灵机的有限群表示。我们推广这种机器来构建模拟计算对象类似于甲骨文图灵机的可判定组演示文稿。
Key-agreement based on automaton groups
我们提出了几个自动机群作为Anshl-Anshel-Goldfeld元方案的密钥协商平台，它们包括Grigorchuk群和泛Grigorchuk群，Hanoi 3-Towers群，Basilica群和具有不可解共轭问题的仿射群的子群
On the conjugacy problem for finite-state automorphisms of regular rooted trees
研究了正则有根树$T$的自同构群$Aut(T)$及其有限态自同构子群$FAut(T)$中的共轭性问题。证明了在收缩条件和轨道信号子的有限性下，两个有限态自同构在$Aut(T)$中是共轭的当且仅当它们在$FAut(T)$中是共轭的，并且这个问题是可判定的.我们证明了这两个条件都满足有界自同构，并建立（同时）共轭问题的有界自动机组是可判定的。
Immutability is not uniformly decidable in hyperbolic groups
称无挠双曲群G的一个生成子群H是不变的，如果H到G中的注入的共轭类只有1/2个。我们表明，没有统一的算法来识别不变性，回答了作者提出的一个问题的统一版本。
The Conjugacy Problem for $Out(F_3)$
本文利用可计算不变量、train track 与映射环面，证明 $Out(F_3)$ 中两类剩余情形的共轭问题可判定，从而解决 $Out(F_3)$ 的共轭问题。
The Conjugacy Problem in Amalgamated Products I: Regular Elements and Black Holes
讨论了子群$C$上合并的群$A$和群$B$的自由积$G = A \star_C B$的字和共轭搜索问题的时间复杂度.我们分层的一组元素的$G$方面的复杂性的字和共轭问题，并表明，对于通用层的共轭搜索问题是可判定的一些合理的假设下，组$A,B,C$。
Generic complexity of the Conjugacy Problem in HNN-extensions and algorithmic stratification of Miller's groups
本文讨论了群的HNN-扩张中共轭问题的时间复杂性，特别是在Miller群中。我们表明，“几乎所有”，在某种明确的意义上，元素，共轭问题是在立方时间可判定的。值得注意的是，米勒群中的共轭问题可能是不可判定的。我们的研究结果表明，“硬”的问题的情况下，包括一个可以忽略不计的一小部分组。
Polynomial time conjugacy in wreath products and free solvable groups
证明了圈积和自由可解群的共轭问题的复杂性在多项式时间内是可判定的。对于圈积Awr B，我们必须假设A和B的共轭问题和B的幂问题在多项式时间内可判定。我们得到的结果，使算法的共轭问题中描述的马修斯在多项式时间运行。利用这个结果和Magnus嵌入的性质，我们证明了自由可解群中的共轭和共轭搜索问题是多项式时间可计算的。
$\mathcal{C}$-Hereditarily conjugacy separable groups and wreath products
该研究给出限制 wreath 积为 $\boldsymbol{\textit{C}}$-遗传共轭可分群的充要条件，证明 Grigorchuk 群是 2-遗传共轭可分群，构造了无穷多类非多循环遗传共轭可分群。
The Conjugacy Problem for Higman's Group
1951年，Higman构造了一个显著的群$$H=\left\langle a,b,c,d \, \left| \, b^a = b^2, c^b = c^2, d^c = d^2, a^d = a^2 \right. \right\rangle$$，并用它产生了第一个无限单群的例子。通过研究有限状态变换器的不动点，我们证明了$H$中的共轭问题是可判定的（对所有输入）。Diekert，Laun和Ushakov最近证明了$H$中的字问题可以在多项式时间内解决，使用Myasnikov，Ushakov和Won的电源电路技术。在这项工作的基础上，我们在一个强通用的设置，共轭问题有一个$O(n^7)$多项式时间的解决方案。
The conjugacy problem in extensions of Thompson's group F
我们解决了汤普森群F上的扭共轭问题。给出了Aut（F）的轨道不可判定子群，并证明了Aut（F）和Aut+（F）是轨道可判定的，只要Thompson群T上的一个猜想成立.利用Bogopolski，Martino和Ventura在[5]中引入的一般准则，我们构造了F的一族自由扩张，其中共轭问题是不可解的.作为我们技巧的一个副产品，我们给出了Bleak-Fel'shtyn-Goncalves在[4]中的一个结果的新证明，证明了F具有性质R_ \infty，并推广到Thompson群T也具有性质R_ \infty .
The twisted conjugacy problem for pairs of endomorphisms in nilpotent groups
构造了一个算法，当给出一个显式表示的一个非线性生成的幂零群$G,$决定任何一对自同态$φ, ψ: G \to G$和任何一对元素$u, v \in G,$是否方程$(xφ)u = v (xψ)$有一个解决方案$x \in G.$因此，它表明该问题的标题是可判定的.我们还提出了一个算法，产生一个有限集的生成子的所有元素$u \in G$（均衡器）$Eq_{φ, ψ}(G) \leq G$，使$u φ= u ψ.$
Decidability and Independence of Conjugacy Problems in Finitely Presented Monoids
有几次尝试将共轭的概念从群扩展到幺半群。本文的目的是研究其中三个概念（我们记为$\sim_p$，$\sim_o$，和$\sim_c$）在某些类的双表示幺半群中共轭问题的可判定性和独立性.我们将证明在多环幺半群类中，$p$ -共轭是“几乎”传递的，$\sim_c$严格包含在$\sim_p$中，并且$p$ -和$c$ -共轭问题是线性可判定的.对于其他类的幺半群，情况要复杂得多。我们证明了存在一个幺半群$M$定义的一个有限的完整表示，$c$ -共轭问题$M$是不可判定的，并为非完整的幺半群，$c$ -共轭问题和字问题是独立的，是$c$ -共轭和$p$ -共轭问题。
Orbit decidability and the conjugacy problem for some extensions of groups
给出一个满足一定条件的短正合群列$1\to F\to G\to H\to 1$，证明了$G$有可解共轭问题当且仅当相应的作用子群$A\leqslant Aut(F)$是轨道可判定的.从这一点，我们推断，共轭问题是可解的，除其他外，所有的形式$\mathbb{Z}^2\rtimes F_m$，$F_2\rtimes F_m$，$F_n \rtimes \mathbb{Z}$，和$\mathbb{Z}^n \rtimes_A F_m$与虚拟可解的行动组$A\leqslant GL_n(\mathbb{Z})$的群体。同时，我们给出了构造$\mathbb{Z}^4\rtimes F_n$和$F_3\rtimes F_n$形式的群的一种简便方法，并给出了共轭问题不可解的情形.在此基础上，我们解决了虚曲面群和虚多环群的扭共轭问题，并给出了一个共轭问题可解但扭共轭问题不可解的群的例子。作为应用，给出了$Aut(F_2)$中共轭问题的另一种解决方案。
Conjugacy problem in virtual right-angled Artin groups
本文运用代数与几何方法，证明保长自同构构造的virtual RAAGs是CAT(0)群且共轭问题可解，推导其共轭增长级数的超越性，研究非保长情形实例，并解决保长自同构下RAAGs的扭曲共轭问题及部分算法复杂度。
Algorithmic decidability of Engel's property for automaton groups
我们认为可判定性问题与恩格尔的身份（$[\cdots[[x,y],y],\dots,y]=1$足够长的换向器序列）在由自动机产生的群体。我们给出了一个部分算法，决定，给定$x,y$，恩格尔恒等式是否满足。重要的是，它成功地证明了Grigorchuk的$2$ -群不是Engel。接下来，我们考虑识别恩格尔元素，即元素$y$，使得映射$x\mapsto[x,y]$吸引到$\{1\}$的问题。虽然这个问题似乎棘手的一般情况下，我们证明，它是可判定的Grigorchuk的组：恩格尔元素正是那些为了最多$2$。我们的计算是使用计算机代数系统GAP中的FR包实现的。
Orbit problems for free-abelian times free groups and related families
该研究证明自由阿贝尔乘自由（FATF）群Fn×Z^m的自同态的Brinkmann问题、扭曲共轭问题可判定，且单同态的双侧Brinkmann共轭问题可判定，进而推导出自FATF群的升HNN扩张的共轭问题可判定。
Contracting Self-similar Groups in Group-Based Cryptography
提出使用自相似压缩群作为基于同时共轭搜索问题(SCSP)的密码方案平台，利用其核肖像正规形式抵抗现有攻击，并分析了Grigorchuk群等实例的计算安全性。
Algorithmic problems in groups with quadratic Dehn function
我们构造并研究了具有二次Dehn函数的群（QD-群），并给出了我们最近论文中所发展的方法的以下应用。(1)同构问题在QD-群类中是不可判定的。(2)对于每个递归函数$f$，存在一个QD-群$G$，它包含一个其Dehn函数比$f$增长得快的非线性表示子群$H$。(3)存在一个共轭问题不可判定但幂共轭问题可判定的群，此群为QD。
Decidability of the Brinkmann Problems for endomorphisms of the free group
本文研究自由群自同态情形下的 Brinkmann 问题与 Brinkmann 共轭问题，证明二者对 Fn 的自同态均具有可判定性。
Twisted conjugacy in $BS(n, 1)$
本文解决可解 Baumslag-Solitar 群 $BS(n,1)$ 的扭共轭问题，提出判定算法，并证明其自同构群轨道可判定。
Decidability problems in automaton semigroups
我们考虑自相似半群的可判定性问题，特别是在$X^*$的自动变换半群。我们描述的算法回答的字问题，并限制其复杂性下的一些额外的假设。我们给出了一个部分算法，决定在一个自动机，给定$x,y$，是否恩格尔身份（$[\cdots[[x,y],y],\dots,y]=1$足够长的换向器序列）所产生的一组是满意的。这个算法成功地证明了Grigorchuk的$2$ -群不是Engel群。接下来，我们考虑识别恩格尔元素，即元素$y$，使得映射$x\mapsto[x,y]$吸引到$\{1\}$的问题。虽然这个问题似乎棘手的一般情况下，我们证明，它是可判定的Grigorchuk的组：恩格尔元素正是那些为了最多$2$。我们在正文中包括了大量的未决问题。我们的计算是使用计算机代数系统“Gap”中的软件包“Fr”实现的。
On suspensions, and conjugacy of hyperbolic automorphisms (and of a few more)
第一部分：我们注意到一个群（通常是一个自由群）的双曲自同构对的共轭问题是可判定的.我们提出的解决方案使用的同构问题的悬浮液，和他们的自同构群的研究。第二部分：在以前的工作（第1部分）中，我们注意到自由群的环面自同构对的共轭问题可以通过双曲群的同构问题和它们的悬挂自同构群的轨道问题（即它们与Z的半直积）来解决。我们考虑同样的问题，自由群的几个自同构，那些产生相对双曲悬挂，不分裂的抛物子群。
On the word problem for just infinite groups
研究了仅无限群的词问题，证明了有限生成群的词问题在可枚举关系集下可判定，并探讨了可数生成群在局部有限时的可判定性问题，构造了局部有限群的不可判定词问题示例。
Computational complexity and the conjugacy problem
一个有限生成群$G$的共轭性问题是一个二元问题，即对于$G$的任意元素对$(u,v)$，$u$是否与$G$中的$v$共轭。我们构造了可计算生成的群的例子，使得对于$G$的每个元素$u_0$，决定任意元素是否与$u_0$共轭的问题在二次时间内是可判定的，但全局共轭问题的最坏情况复杂度是任意的：它可以是任何c. e.图灵度可以精确地反映时间层次定理，或者可以是$\mathcal{NP}$ -完全的。我们的群还具有共轭问题是一般线性时间的性质：即对于其域具有密度$1$的共轭问题，存在一个线性时间部分算法，所以困难的例子是非常罕见的。我们还考虑了“半共轭”问题与共轭问题的复杂性关系。在最后一节中，我们讨论了极端相反的情况：具有算法有限共轭的群。
On finite extensions of lamplighter groups
本文通过构造灯夫群的有限扩张，系统回答了组合群论中关于子群成员资格、字问题、共轭问题等多个开放问题，并研究了余字问题、剩余有限性和同构问题。
On the dynamics of endomorphisms of the direct product of two free groups
本文证明了$F_n\times F_m$自同态的Brinkmann问题及单射自同态的双边共轭问题可判定，并证明了其自同构在无穷远处的动力学具有渐近周期性。
On the isomorphism problem for generalized Baumslag-Solitar groups: invariants and flexible configurations
本研究针对具有一个拟共轭类且完全支撑带隙的广义Baumslag-Solitar（GBS）群，引入一族不变量，证明其同构问题可判定，且该不变量可完全刻画此类群的同构性。
Computing centralizers in [f.g. free]-by-cyclic groups
本文证明有限生成自由-循环群中元素的中心化子可计算，并由此得出共轭元集合可计算及带上下文无关约束的共轭问题可判定，最后提出若干开放问题。
Quadratic equations in the lamplighter group
论文研究 lamplighter 群中二次方程的求解复杂度，按方程亏格等特征完整划分 NP 完全与多项式时间可解情形，并证明共轭问题线性可解及整体问题属于 XP。
The word and conjugacy problems in lacunary hyperbolic groups
研究缺双曲群（简称LHG）中的字与共轭问题。特别地，我们描述了LHG中字问题可判定的一个充要条件。然后，基于Olshanskii的分次小消去理论，我们发展了一个一般框架，使我们能够构造缺双曲群的字和共轭问题高度可控和灵活的可计算性和计算复杂性。作为一个应用程序，我们表明，对于任何递归可重复的子集$\mathcal{L} \subseteq \mathcal{A}^*$，其中$\mathcal{A}^*$是一组字在任意选择的非空有限字母表$\mathcal{A}$，存在一个缺双曲群$G_{\mathcal{L}}$，使$ \mathcal{L}$的成员资格问题是“几乎”线性时间等价于共轭问题$G_{\mathcal{L}}$。此外，对于上述组的字和个人的共轭问题是可判定的“几乎”线性时间。另一个应用是建设一个缺双曲群与“几乎”线性时间字问题和所有的个人共轭问题是不可判定的字问题。作为另一个应用程序的开发框架，我们构建无限的口头完全群和扭转免费塔斯基怪物，即无限扭转免费组的所有真子群是循环的，“几乎”线性时间字和多项式时间共轭问题。这些群被构造为任意给定的非初等无挠双曲群的代数，并且是缺双曲群。最后，作为主要结果的结果，我们回答了一些开放的问题。
Conjugacy in Baumslag's group, generic case complexity, and division in power circuits
共轭问题属于算法群论。这是下面的问题：给定两个词x，y在一个固定群G的生成元上，决定x和y是否共轭，即，G中是否存在z使得zxz^{-1} = y.一般来说，共轭问题比文字问题更难。研究了两个著名群：Baumslag-Solitar群BS（1，2）和Baumslag-Gersten群G（1，2）的共轭问题的复杂性. BS（1，2）中的共轭问题是TC ^0-完全的。据我们所知，BS（1，2）是第一个自然的无限非交换群，其中显示出如此精确和低的复杂性。Baumslag群G（1，2）是BS（1，2）的HNN-扩张。我们表明，共轭问题是可判定的（这是已知的），但我们的结果远远超出了可判定性。特别地，我们能够证明，在G（1，2）的共轭可以解决在多项式时间在一个强通用的设置。这意味着基本上对于所有输入G（1，2）中的共轭性可以有效地确定。相比之下，我们表明，在一个合理的假设下，同一问题的平均情况下的复杂性是非小学。通过将电力电路中的除法问题归结为G（1，2）中的共轭问题，给出了G（1，2）中共轭问题的一个下界.电力电路中除法问题的复杂性是整数运算中一个开放而有趣的问题。
Amenability of Schreier graphs and strongly generic algorithms for the conjugacy problem
在各种情况下，对于不能共轭到基群中的元素，可以有效地判定混合积和HNN扩张中的共轭性问题。这种观察要求对有多少这样的元素有一个界限。这样的界限可以使用顺从图的理论推导出来：在这项工作中，我们研究Schreier图的合并产品和HNN扩展。对于合并产品$G = H *_A K $和$[H:A] \geq [K:A] \geq 2$，关于$H$或$K$的Schreier图证明是不服从的当且仅当$[H:A] \geq 3$。此外，对于形式为$G = <H,b | bab^{-1}=ϕ(a), a \in A >$的HNN扩张，我们证明了$G$关于子群$H$的Schreier图是不服从的当且仅当$A \neq H \neq ϕ(A)$。作为这些刻画的应用，我们证明了在一定条件下，具有自由交换顶点群的有限群的基本群的共轭问题可以在强一般集上多项式时间内得到解决.此外，共轭群的问题，有一个以上的结束，可以解决一个强一般的算法，具有基本上相同的时间复杂性的字问题。这些是相当惊人的结果，因为字问题可能很容易，但共轭问题甚至可能是不可判定的。最后，我们的结果产生另一个证明，该集合的共轭问题的Baumslag群是在多项式时间内可判定的也是强通用的。
Full-featured peak reduction in right-angled Artin groups
在直角Artin群的背景下，我们证明了自由群自同构的经典峰降定理的一个新版本。我们利用这个峰降定理证明了直角Artin群$A_Γ$的自同构群在$A_Γ$共轭类的$k$ -元组集合上的作用的两个重要推论：轨道成员是可判定的，稳定子是可表示的.此外，我们解释检查轨道成员和建设介绍稳定器的程序。这改进了作者以前的一个结果。通过考虑自同构群的无限生成集，我们克服了以前工作中的一个技术困难。该方法还涉及到一个变化的Hermite规范形式的矩阵。
Compressed primitivity problem in free groups
研究自由群\(F_r\)中压缩本原性问题，证明对于\(r\geq2\)可在非确定性多项式时间判定，\(r = 2\)时可在确定性多项式时间判定，还表明在固定秩\(r\geq2\)中压缩字共轭类的自同构极小性也可在确定性多项式时间判定。
The Post correspondence problem in groups
将经典的Post对应问题（$\mathbf{PCP}_n$）及其非齐次变式（$\mathbf{GPCP}_n$）推广到非交换群上，并研究了这些新问题的计算复杂性.我们观察到，$\mathbf{PCP}_n$是密切相关的组中的均衡器问题，而$\mathbf{GPCP}_n$连接到双扭共轭问题的自同态。此外，还证明了在一个群$G$中的最强形式之一的字问题（我们称之为{ \em遗传字问题}）可以在多项式时间内在$G$中化为$\mathbf{GPCP}_n$.主要结果是：$\mathbf{PCP}_n$在一个非交换生成的幂零群中在多项式时间内可判定，而$\mathbf{GPCP}_n$在任何含有自由非交换子群的群中不可判定（尽管其论证与自由半群的经典情形有很大不同）.证明了双自同态扭共轭问题在有限秩充分大的自由群中是不可判定的。我们还研究了有界$\mathbf{PCP}$，发现对于任何具有$\mathbf{P}$ -时间可判定字问题的群，它都是$\mathbf{NP}$的，而对于任何含有自由非交换子群的群，它都是$\mathbf{NP}$ -困难的.特别地，在非初等双曲群和非交换直角Artin群中，有界$\mathbf{PCP}$是$\mathbf{NP}$ -完全的.
Knapsack problem for automaton groups
背包问题是一个经典的优化问题，最近已扩展到组的设置。它的研究表明是有趣的，因为它提供了许多不同的行为，这取决于所考虑的群体类别。在本文中，我们处理的群体所产生的Mealy自动机，一类是经常被用来研究组理论programmures-and证明背包问题是不可判定的这一类。在第二次，我们构造一个图，如果有限，提供了一个背包问题的解决方案。我们推断，背包问题是可判定的所谓的有界自动机组，一类的顺序和共轭问题已经知道是可判定的。
Geodesic languages for rational subsets and conjugates in virtually free groups
本文证明拟自由群中有理子集与测地词语言的有理性等价，并由此得出有理子集的双重广义共轭问题可判定，自由群情形下对共轭元施加有理约束仍可判定。
On closed subgroups of the R. Thompson group $F$
证明了Thompson群$F$有一个子群$H$，使得$H$中的共轭问题不可判定，而$H$中的成员问题易判定. $F$的子群$H$是$F$的闭子群。也就是说，$F$中的每一个函数都是分段$H$函数，属于$H$。$F$的闭子群的其他有趣的例子包括Jones子群$\overrightarrow{F}_n$和Jones的$3$ -可着色子群$\mathcal F$ .利用第一作者最近的一个结果，证明了无穷指数的$F$的极大子群是闭的.本文证明了：如果$K\leq F$是随机生成的，则$K$的闭包，即，生成包含$K$的$F$的最小闭子群。我们还证明了$F$的所有非正则生成的闭子群在$F$中是不失真的。特别地，$F$的所有非线性生成的极大子群在$F$中是不失真的。
A robust family of residually finite groups; spectra of residual finiteness growth, computability properties, and other applications (with an appendix by Arman Darbinyan and Emmanuel Rauzy)
本文引入一个剩余有限群族，证明满足特定快速增长条件的函数均可实现为二元生成可解群的剩余有限增长函数，并刻画其与字问题可判定性、左可计算函数及递归可枚举图灵度的关系，进而回答了若干公开问题。
Garside groups are strongly translation discrete
Garside群是有限型的辫群和Artin群的推广，它被定义为Garside幺半群的分数群.证明了Garside幺半群的半直积是Garside幺半群.利用无限循环群$\mathbb Z$的半直积$\mathbb Z\ltimes G^n$和Garside群$G$的笛卡儿积$G^n$，研究了$G$中元素的根和幂的性质.主要结果是当生成集是简单元素的集合时，估计了Garside群中元素的幂的最小字长的增长。一个直接的应用是Garside群中的平移数的集合是离散的。对Gersten和Short关于Garside群的问题给出了肯定的回答。最初的问题是针对双自动组的。证明了在Garside群$G$中的求根问题可以归结为$\mathbb Z\ltimes G^n$中的共轭问题。利用Garside群中共轭问题的算法，证明了对于任何Garside群，其根的抽取问题都是可判定的。
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