A generalisation of Seymour's second neighbourhood conjecture
本文将Seymour的第二邻域猜想推广到顶点集上的两个有向图。我们证明，这种泛化的情况下，比赛，我们表明，自然加强这一猜想不成立。
2020-01-20 math.CO
A counterexample to the Alon-Saks-Seymour conjecture and related problems
考虑通过取$k$完全二部图的边不交并而得到的图。Alon，Saks和Seymour证明了这类图的色数至多为$k+1$ .这个著名的猜想仍然开放了近20年。本文构造了该猜想的一个反例，并讨论了组合几何和通信复杂性中的几个相关问题。
2010-02-25 math.CO
The Kelmans-Seymour conjecture I: special separations
Seymour和Kelmans在20世纪70年代独立地证明了每个5-连通非平面图包含$K_5$的一个细分。Ma和Yu对含有$K_4^-$的图证明了这个猜想，证明中的一个重要步骤是处理具有平面边的图的5-分离性。为了建立所有图的Kelmans-Seymour猜想，我们需要考虑具有较少限制结构的5-分离和6-分离。本文的目的是处理特殊的5-分离性和6-分离性，包括那些有顶点的边。这些结果将在随后的论文中用于证明Kelmans-Seymour猜想。
2015-11-16 math.CO
The Second Neighborhood Conjecture for Oriented Graphs Missing Combs
Seymour的第二邻域猜想断言，每个定向图都有一个顶点，它的第一个外邻域至多与它的第二个外邻域一样大。梳是没有诱导的$C_4$、$\overline{C_4}$、$C_5$、椅子或$\overline{chair}$的图。我们使用依赖有向图来刻画梳。我们利用依赖有向图刻画了没有导出$C_4$、$\overline{C_4}$、chair或$\overline{chair}$的图.然后证明了每一个缺梳的定向图都满足这个猜想。然后我们推导出每个有向梳和每个有向阈值图都满足西摩猜想。
2016-07-29 math.CO
The Kelmans-Seymour conjecture for apex graphs
我们给出了一个简短的证明，证明了一个5-连通非平面顶点图包含一个细分的$K_{_5}$或一个$K^-_{_4}$（=去掉一条边的$K_{_4}$）作为子图.再加上Ma和Yu最近的一个结果{ \sl：每个包含$K^-_{_4}$作为子图的非平面5-连通图都有一个细分的$K_{_5}$ }，这解决了顶点图的Kelmans-Seymour猜想。
2010-12-28 math.CO
The Kelmans-Seymour conjecture IV: a proof
Kuratowski在1932年的一个著名定理指出，一个图是平面的当且仅当它不包含$K_5$或$K_{3,3}$的一个细分。瓦格纳在1937年证明，如果一个图以外的$K_5$不包含任何细分的$K_{3,3}$然后它是平面或它承认削减的大小最多为2。Kelmans和Seymour在20世纪70年代独立地提出，如果一个图不包含$K_5$的任何细分，那么它是平面的，或者它允许切割的大小最多为4。本文给出了Kelmans-Seymour猜想的一个证明。我们还讨论了几个相关的结果和问题。
2016-12-21 math.CO
The Number of Seymour Vertices in Random Tournaments and Digraphs
西摩距离2猜想指出，在任何有向图中，都存在一个顶点（“西摩顶点”），它在距离2处的邻居至少和在距离1处的邻居一样多。我们探索的有效性的概率语句沿线建议西摩的猜想，证明几乎肯定有一个“大”的西摩顶点的随机比赛和“甚至更多”一般随机有向图。
2015-02-13 math.CO
A Minimum Counterexample Proof of the Seymour Second Neighborhood Conjecture via the Graph Level Order
将Seymour第二邻域猜想转化为集合包装优化问题，通过引入图层次序（GLOVER）坐标系，证明最小反例中非Seymour顶点的包装不可持续，从而完成构造性证明。
2026-05-30 cs.DS math.CO
A dense-case theorem for Seymour's second neighborhood conjecture
CoinFund
该研究证明了最小出度为$\delta$、阶数$n=2\delta+2$且缺失边无规定结构的定向图满足Seymour第二邻域猜想，将反例阶数下界从16提至17，条件下提至19。
2026-08-13 math.CO
On the Chudnovsky-Seymour-Sullivan Conjecture on Cycles in Triangle-free Digraphs
对于一个不含有向三角形或对角形的简单有向图$G$，令$β(G)$是使得$G\setminus X$不含有向圈的最小子集$X \subseteq E(G)$的大小，令$γ(G)$是$G$中不相邻顶点的无序对的数目。2008年，Chudnovsky、Seymour和Sullivan证明了$β(G) \le γ(G)$，并证明了$β(G) \le γ(G)/2$。最近，Dunkum、Hamburger和Pór证明了$β(G) \le 0.88 γ(G)$。本文证明了$β(G) \le 0.8616 γ(G)$ .
2009-09-14 math.CO
The Arc-Weighted Version of the Second Neighborhood Conjecture
Seymour证明了每一个有向单图都包含一个顶点，该顶点的第二邻域至少与第一邻域一样大。西摩猜想在几种特殊情况下得到了验证，最著名的是费舍尔的竞赛。一些研究人员已经使用的猜想的一个扩展是考虑顶点加权有向图。在本文中，我们介绍了一个版本的猜想弧加权有向图。我们证明了在特殊情况下的弧加权竞赛猜想，加强费舍尔定理。我们的证明不依赖于费雪的结果，因此可以被看作是上述定理的另一种证明。
2012-12-09 math.CO
Seymour's second neighbourhood conjecture: random graphs and reductions
本文研究 Seymour 第二邻域猜想，证明在随机图 G(n,p) 中当 p<1/2 时猜想几乎必然成立，并通过 p=1/2 的障碍及最小度分析给出该猜想的两个归约。
2024-08-09 math.CO
Seymour-tight orientations
Korteweg-de Vries Institute for Mathematics, University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学柯帝格-德弗里斯数学研究所）
研究Seymour第二邻域猜想的几乎反例，探讨Seymour紧导向的性质及其在勒克西克图形积中的封闭性，并构造反例。
2026-03-31 math.CO
A note on the second neighborhood problem for $k$-anti-transitive and $m$-free digraphs
本文证明：若有限有向图 $D$ 是 $k$-反传递且 $(k-4)$-自由的，则 $D$ 必存在 Seymour 顶点，从而在 7-反传递定向图上验证了 Caccetta-Haggkvist 猜想的一个特例，扩展了已知结果。
2024-05-28 math.CO
The Kelmans-Seymour conjecture III: 3-vertices in $K_4^-$
设$G$是一个5-连通非平面图，且$x_1,x_2,y_1,y_2\in V(G)$是不同的，使得$G[\{x_1,x_2,y_1,y_2\}]\cong K_4^-$和$y_1y_2\notin E(G)$ .我们证明了以下之一成立：$G-x_1$包含$K_4^-$，或$G$包含$K_4^-$，其中$x_1$是2度的，或$G$包含$TK_5$，其中$x_1$不是分支顶点，或$\{x_2,y_1,y_2\}$可以被选择，以便对于任何不同的$z_0, z_1\in N(x_1)-\{x_2,y_1,y_2\}$，$G-\{x_1v:v\notin \{z_0, z_1,x_2, y_1,y_2\}\}$包含$TK_5$。这个结果将被用来证明Kelmans-Seymour猜想。
2016-09-19 math.CO
Seymour and Woodall's conjecture holds for graphs with independence number two
本文针对独立数为二的图，证明其在 $2\ell\leqχ(G)$ 时包含 $K^{\ell}_{\ell,χ(G)-\ell}$-minor，从而验证 Seymour–Woodall 猜想在该图类中成立。
2025-02-19 math.CO
About The Second Neighborhood Problem in Tournaments Missing Disjoint Stars
在一定条件下证明了缺失图为不交星时的Seymour第二邻域猜想。当n=2或3时，需要较弱的条件。在某些情况下，我们展示了两个具有所需属性的顶点。
2015-09-13 math.CO
Towards a hypergraph version of the Pósa-Seymour conjecture
该研究证明了满足特定最小余度条件的k-均匀超图包含紧哈密顿环的指定次幂，同时该余度条件也适用于寻找特定树宽的生成超图副本，推进了Pósa-Seymour猜想的超图版本研究。
2023-07-19 math.CO
A short proof of the Goldberg-Seymour conjecture
本文给出了Goldberg-Seymour猜想的简短证明，并提出时间复杂度为$O(|V|^5|E|^3)$的多项式算法，证实了Hochbaum-Nishizeki-Shmoys关于边着色可多项式时间求解的猜想。
2024-07-12 math.CO
Degreewise Cut-Semigroup Saturation for $K_5$-Minor-Free Graphs and Seymour's Planar Edge-Colouring Conjecture
该论文证明了 $K_5$-无 minors 图的齐次割半群在高度 $k$ 的饱和性与平面 $k$-图的 $k$-边可染色性等价，从而将割多面体正规性猜想与 Seymour 平面边染色猜想联系起来。
2026-09-14 math.CO
A new proof of Seymour's 6-flow theorem
Tutte著名的5-流猜想断言每个无桥图都有一个无处为零的5-流。Seymour证明了每一个这样的图都有一个nowhere-zero 6-flow。本文给出了西摩定理的一个新证明（两种形式）.两者在复杂性方面都与西摩的大致相当，但它们提供了一个我们希望有价值的替代视角。
2015-12-19 math.CO
Seymour's conjecture on 2-connected graphs of large pathwidth
本文证明了Seymour（1993）的猜想：对每个顶点森林$H_1$和外平面图$H_2$，存在一个整数$p$，使得路宽至少为$p$的2-连通图包含$H_1$或$H_2$作为子图. Dang和Thomas最近得到了一个独立的证明。
2020-02-05 cs.DM math.CO
Seymour's second neighbourhood conjecture for quasi-transitive oriented graphs
Seymour的第二邻域猜想断言，每个定向图都有一个顶点，其第二外邻域至少与它的外邻域一样大。本文证明了该猜想对拟传递定向图成立，它是竞赛图和传递无圈有向图的超类。一个有向图$D$称为拟传递的，是指每一对不同顶点之间的弧$xy,yz$，$x,y,z$，$xz$或$zx$（“或”包括在内）都在$D$中。
2017-11-19 cs.DM math.CO
The Kelmans-Seymour conjecture II: 2-vertices in $K_4^-$
我们用$K_4^-$表示从$K_4$去掉一条边得到的图，用$TK_5$表示$K_5$的一个细分。设$G$是一个5-连通非平面图，且$\{x_1,x_2,y_1,y_2\}\subseteq V(G)$使得$G[\{x_1,x_2,$ $y_1,y_2\}]\cong K_4^-$具有$y_1y_2\notin E(G)$ .令$w_1,w_2,w_3\in N(y_2)-\{x_1,x_2\}$不同。我们证明了$G$包含一个$TK_5$，其中$y_2$不是分支顶点，或者$G-y_2$包含$K_4^-$，或者$G$具有特殊的5-分离，或者$G-\{y_2v:v\notin \{w_1,w_2,w_3,x_1,x_2\}\}$包含$TK_5$。
2016-02-24 math.CO
Equivalence between Erdős-Hajnal and polynomial Rödl and Nikiforov conjectures
本文证明了多项式Rödl猜想、多项式Nikiforov猜想与Erdős-Hajnal猜想三者等价，并由此推出字符串图满足多项式Rödl猜想，同时将结果推广至超图、锦标赛、有序图和着色图。
2024-04-19 math.CO
A contribution to the second neighborhood problem
Seymour的第二邻域猜想断言，每个有向图（没有对角）都有一个顶点，其第一个外邻域至多与第二个外邻域一样大。对竞赛图、缺少匹配的竞赛图和缺少广义星的竞赛图证明了这一定理。我们证明了这一猜想的有向图类的缺失图是一个梳，一个完全图减去2个独立的边缘，或一个完全图减去边的一个周期的长度为5。
2011-06-27 math.CO
Towards a strengthening of the second neighborhood conjecture
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）；Seoul National University（首尔大学）
研究西摩第二邻域猜想，提出更强版本，即存在从\(N^+_D(x)\)到\(N^{++}_D(x)\)的完美匹配，证明该更强版本对最小出度至多\(5\)的定向图和\(5 -\)反传递定向图成立，进而推出定向平面图满足此更强版本。
2026-07-27 math.CO
Locating a Seymour vertex in oriented graphs having minimum outdegree at most 7
Indian Institute of Technology Dharwad（印度理工学院达瓦德分校）
通过局部约简和OR-Tools CP-SAT不可行性检验，证明了最小出度为7的有向图的Seymour第二邻域猜想，将阈值从6提升至7。
2026-10-15 cs.DM math.CO
On Seymour's and Sullivan's Second Neighbourhood Conjectures
Nankai University（南开大学）；Royal Holloway University of London（伦敦皇家霍洛威学院）；Central China Normal University（华中师范大学）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
研究西摩和沙利文关于有向图顶点邻域关系的第二邻域猜想，给出满足沙利文猜想的传递三角形数量充分条件，证明其对平面图等成立，还表明对一些定向分裂图族两个猜想也成立。
2026-07-16 math.CO
Proof of the Goldberg-Seymour Conjecture on Edge-Colorings of Multigraphs
给定一个多重图$G=(V,E)$，{ \em边着色问题}（ECP）是用最少的颜色数给$G$的边着色，使得相邻的边都不具有相同的颜色.这个问题可以自然地表述为整数规划，其线性规划松弛被称为{ \em分数边着色问题}（FECP）。在文献中，ECP的最佳值（分别为。FECP）被称为{ \em色度指数}（分别为{ \em分数色指数}），表示为$χ'(G)$（分别$χ^*(G)$）。令$Δ(G)$是$G$的最大度，令\[Γ(G)=\max \Big\{\frac{2|E(U)|}{|U|-1}:\,\, U \subseteq V, \,\, |U|\ge 3 \hskip 2mm {\rm and \hskip 2mm odd} \Big\},\]，其中$E(U)$是$G$的所有边的集合，其两端都在$U$中。显然，$\max\{Δ(G), \, \lceil Γ(G) \rceil \}$是$χ'(G)$的下限。如Seymour所示，$χ^*(G)=\max\{Δ(G), \, Γ(G)\}$ .在20世纪70年代，Goldberg和Seymour独立地验证了$χ'(G) \le \max\{Δ(G)+1, \, \lceil Γ(G) \rceil\}$。在过去的四十年里，这个猜想，现代边着色的基石，一直是广泛研究的主题，并激发了大量的工作。本文给出了这个猜想的一个证明。我们的结果意味着…
2022-06-07 math.CO
Split-Twin Extensions Preserving Seymour Vertices
研究Seymour第二邻域猜想中Pisa图的结构，提出分解公式并验证小阶数图的分类。
2026-07-24 math.CO
The Second Neighborhood Conjecture for Oriented Graphs Missing $\{C_{4}, \overline{C_{4}}, S_{3},$ chair and co-chair$\}$-Free Graph
Seymour的第二邻域猜想（SNC）认为，每个定向图都有一个顶点，它的第一个外邻域至多与它的第二个外邻域一样大。本文证明了：如果$G$是一个不含导出$C_4$，$\overline{C_4}$，$S_3$，chair和$\overline{chair}$的图，则每个缺少$G$的定向图都满足这个猜想.因此，我们推出的猜想成立的任何定向图缺少一个阈值图，一个广义梳或星。
2020-10-21 math.CO
A Remark on the Second Neighborhood Problem
Seymour的第二邻域猜想指出，每个简单有向图（没有对角）都有一个顶点，其第一个外邻域至多与第二个外邻域一样大。这样的顶点被称为具有第二邻域属性（SNP）。我们定义了“好”的有向图，并证明了一个声明，这意味着每个饲料顶点的比赛有SNP。在有向图缺少匹配的情况下，我们通过改进Fidler和Yuster的证明并使用良好的有向图来展示具有SNP的饲料顶点。此外，在某些情况下，我们展示了两个顶点与SNP。
2015-09-10 math.CO
A Semigroup Proof of the Bounded Degree Case of S.B. Rao's Conjecture on Degree Sequences and a Bipartite Analogue
S.B. Rao在1971年证明了图的度序列是由一个由诱导子图关系定义的关系很好地拟序的。2008年，M. Chudnovsky和P. Seymour通过给出图度序列的结构定理证明了这个长期存在的Rao猜想。本文证明并利用交换半群理论中Dickson引理的一个变形，给出了Rao猜想的有界度情形的一个简短证明，它与Chudnovsky-Seymour结构理论无关.事实上，我们肯定地回答了N的两个问题。Robertson，其中第一个暗示了Rao猜想的有界度情况。
2010-10-26 math.CO
Vertices with the Second Neighborhood Property in Eulerian Digraphs
第二邻域猜想指出，每个简单有向图都有一个顶点，其第二外邻域至少与其第一外邻域一样大，即具有第二邻域性质。偶图的圈交图是一个新的图，其顶点是原图的圈分解中的圈，其边表示圈的顶点交。通过使用这个概念的一个有向图的变体，我们证明了允许一个简单圈交图的欧拉有向图不仅符合第二邻域猜想，而且局部简单性在某些情况下也意味着原有向图中存在一个Seymour顶点.
2019-10-04 math.CO
About the second neighborhood conjecture for tournaments missing two stars or disjoint paths
本文针对 Seymour 第二邻域猜想，证明了缺失两颗星的竞赛图满足该猜想，并研究了缺失不相交路径（尤其是长度为 2 的路径）的竞赛图，在某些情形下还证明了至少存在两个具有第二邻域性质的顶点。
2024-06-05 math.CO
Some remarks on hypergraph matching and the Füredi-Kahn-Seymour conjecture
本文研究Füredi-Kahn-Seymour猜想，证明其对秩3超图成立，并给出迭代舍入算法的改进界，优于基线保证。
2022-03-08 cs.DS math.CO
The Directed Grid Theorem
网格定理最初由Robertson和Seymour于1986年在Graph Minors V中证明，是图的子式研究中最核心的结果之一。它在算法图结构理论中有许多应用，例如在二维理论中，并且它是在图未成年人项目中开发的其他几个结构定理的基础。在90年代中期，Reed和Johnson，Robertson，Seymour和Thomas（参见Reed 97，Johnson，Robertson，Seymour，Thomas 01）独立地证明了一个关于有向图的类似定理，即存在函数f：N -> N使得每个有向树宽至少为f（k）的有向图包含k阶有向网格。在2001年的一份未发表的手稿中，Johnson，Robertson，Seymour和Thomas给出了平面有向图的这个猜想的证明。但在过去的十多年里，这是里德、约翰逊、罗伯逊、西摩和托马斯猜想证明的最普遍的情况。直到最近，这个结果才被推广到所有类别的有向图，不包括固定无向图作为子图（见[Kawarabayashi，Kreutzer 14]）。本文在猜想提出近20年后，终于能够全面地证实Reed，Johnson，Robertson，Seymour和Thomas猜想，并证明有向格网定理。由于我们的结果，我们能够改善结果里德等。在1996年[里德，罗伯逊，西摩，托马斯96]（另见[开放问题花园]）的不相交的周期长度至少为l和[Kawarabayashi，…
2022-05-06 cs.DM math.CO
Disproof of the Odd Hadwiger Conjecture
Institute for Applied Mathematics, University of Bonn（波恩大学应用数学研究所）
该研究通过证明存在特定图不包含奇极小且色数较高，从而否定了奇Hadwiger猜想。
2025-12-23 math.CO
Powers of Hamilton cycles of high discrepancy are unavoidable
Pósa-Seymour猜想断言，$n$顶点上的每一个最小度至少为$(1 - 1/(r+1))n$的图都包含一个Hamilton圈的$r^{th}$幂。Komlós，Sárközy和Szemerédi著名的证明了猜想大$n.$的概念出现在许多领域的数学，包括图论。在这种情况下，图$G$与其边的$2$ -着色一起给出。然后要求在$G$中找到具有大差异的给定子图的副本，即，其明显多于一半的边缘为一种颜色。对于$r \geq 2,$，我们确定的最小程度阈值需要找到$r^{th}$功率的汉密尔顿循环的大差异，回答了一个问题所提出的Balogh，Csaba，Pluhár和Treglown。值得注意的是，对于$r \geq 3,$，这个阈值近似匹配Pósa-Seymour猜想的最小度要求。
2022-08-26 math.CO
Vertex-minors and the Erdős-Hajnal conjecture
证明了对图$H$，存在$\varepsilon>0$，使得每个与$H$同构的没有顶点子式的$n$ -顶点图都有一对顶点的不交集$A$，$B$，使得$|A|, |B|\ge \varepsilon n$和$A$是$B$的完全或反完全的.我们从Chudnovsky，Scott，Seymour和Spirkl（2018）的最新工作中推断出这一点。这证明了Erdens-Hajnal猜想对于顶点子式的类似性。
2018-09-06 math.CO
Some remarks on even-hole-free graphs
一个图的一个顶点是双单纯的，如果它的邻点集是两个团的并;一个图是拟线的，如果每个顶点都是双单纯的。Chudnovsky和Seymour最近的一个结果断言，每个非空偶无洞图都有一个双单顶点。Hadwiger猜想和Erdens-Lovász Tihany猜想都被证明对拟线图是正确的，但对偶无洞图是开放的。本文证明了对所有的$k\ge7$，每个不含$K_k$子图的偶无洞图都是$(2k-5)$ -可着色的;每个含$ω(G)<χ(G)=s+t-1$的偶无洞图$G$满足Erdens-Lovász Tihany猜想，只要$ t\ge s> χ(G)/3$ .进一步证明了每一个具有$ω(G)\le 8$的$9$ -色图$G$都有一个$K_4\cup K_6$子图.我们的证明在很大程度上依赖于Chudnovsky和Seymour关于偶无洞图的结构结果。
2021-06-23 math.CO
On polynomially high-chromatic pure pairs
本文研究了不含特定诱导子图的图中的多项式高色数纯对，并证明了多项式Gyárfás-Sumner猜想在某些情况下的成立。
2026-01-01 math.CO
Orientation-based edge-colorings and linear arboricity of multigraphs
关于$f$ -着色的Goldberg-Seymour猜想指出无环重图的$f$ -色指数本质上由最大度或最大密度参数决定。我们引入了一个定向版本的$f$ -着色，现在每个颜色类的边着色被要求是定向在这样一种方式，每个顶点$v$有入度和出度在最多一些指定的值$g(v)$和$h(v)$。我们证明了相关的面向$(g,h)$的色指数满足Goldberg-Seymour公式。然后，我们提出了简单的应用程序，这一结果的变化$f$着色。特别是，我们发现，线性荫度猜想持有$k$退化无环多重图时，最大程度至少是$4k-2$，改善了界最近宣布陈，郝，于单图。最后，我们证明了面向$(g,h)$的色指数总是等于它的列表着色模拟。
2021-08-26 math.CO
Short fans and the 5/6 bound for line graphs
2011年，第二作者证明了每个线图$G$都满足$χ(G)\le \max\{ω(G),\frac{5Δ(G)+8}{6}\}$。这个猜想是最可能的，如通过用$k$平行边替换5-圈中的每条边并取线图所示。本文证明了这一猜想。我们还开发了更一般的技术和结果，将可能是独立的利益，由于他们在攻击Goldberg-Seymour猜想的使用。
2016-10-13 math.CO
A note on the Alon-Saks-Seymour problem
Stanford University（斯坦福大学）
本文通过递归上界 $f(k+1) \leq f(k)+f(\lfloor k/4 \rfloor)$ 改进了图边划分成完全二部图时的色数上界，将指数因子渐近优化为2。
2026-05-27 cs.DM math.CO
Erdős-Hajnal conjecture beyond five-vertex graphs
Nankai University（南开大学）
本文证明 Erdős-Hajnal 猜想对不含诱导子图 E-图（在五顶点路径 P5 中间顶点添加一条悬挂边得到的图）的图成立，推广了 Nguyen、Scott 和 Seymour 关于五顶点路径的结果。
2026-09-01 math.CO
Chromatic number is not tournament-local
本文否定 Scott 与 Seymour 关于色数可由锦标赛局部邻域刻画的猜想，并进一步否定相关推广问题，同时揭示退化性情形具有不同行为。
2023-12-04 math.CO
Extending some results on the second neighborhood conjecture
有向图中的顶点被称为具有大的第二邻域，如果它具有至少与外邻域一样多的第二外邻域。第二邻域猜想，首先由Seymour提出，断言在每个有向图（没有循环或对角的有向图）中存在具有大的第二邻域的顶点。我们证明了定向图的缺失的边缘可以划分成（可能是空的）匹配和（可能是空的）星满足这个猜想。这推广了Fidler和Yuster的一个结果。我们的结果的一个含义是，每一个定向图没有一个汇，其缺失的边缘形成一个（可能是空的）匹配至少有两个顶点与大的第二个邻域。这是一个加强定理的哈维特和Pillasse，谁表明，同样适用于锦标赛没有水槽。此外，我们还证明了对于顶点集可划分为一个独立集和一个2-退化图的定向图，该猜想是成立的。
2021-10-22 cs.DM math.CO
Packing six T-joins in plane graphs
设G是一个平面图，T是其顶点的偶子集.如果G的所有T-割都具有相同的奇偶性，且每个T-割的长度至少为k，则G包含k个边不相交的T-并. k=3的情形等价于四色定理，Seymour证明的k=4的情形和Guenin证明的k=5的情形。我们解决下一个开放的情况k=6。
2014-04-24 math.CO
Neighborhood complexes, homotopy test graphs and a contribution to a conjecture of Hedetniemi
图$G$的邻域复形$\N(G)$是L.在他的Kneser猜想的证明。他证明，对于任何图$G$，\begin{align} \label{abstract} χ(G) \geq conn(\N(G))+3. \end{align}在这篇文章中，我们表明，一类指数图的界限（\ref{abstract}）是尖锐的。进一步，我们证明了这些指数图的邻域复形在同伦下是球面。我们还能够找到一类指数图，这是同伦测试图。Hedetniemi猜想指出两个图的范畴积的色数是因子的色数的最小值。设$M(G)$表示图$G$的Mycielskian。我们证明了，对于任何含有$M(M(K_n))$作为子图的图$G$和任何图$H$，如果$χ(G \times H) = n+1$，则$\min\{χ(G), χ(H)\} = n+1$。因此，我们丰富了满足Hedetniemi猜想的图族。
2018-10-16 math.CO
Every graph with no $\mathcal{K}_8^{-4}$ minor is $7$-colorable
Hadwiger猜想在1943年提出，任何没有$K_{t}$子图的图都是$(t-1)$ -可着色的;它对所有的$t\ge 7$都是开放的。对于正整数$t$和$s$，令$\mathcal{K}_t^{-s}$表示从完全图$K_t$去除$s$边得到的图族。我们说一个图$G$没有$\mathcal{K}_t^{-s}$子图，如果它对每个$H\in \mathcal{K}_t^{-s}$都没有$H$子图。Jakobsen在1971年证明了没有$\mathcal{K}_7^{-2}$子图的图是$6$ -可着色的。在本文中，我们考虑下一步，并证明了每一个没有$\mathcal{K}_8^{-4}$子图是$7$ -着色。我们的结果意味着Paul Seymour在2017年提出的$H$ -Hadwiger猜想对于每个八个顶点的图$H$都成立，使得$H$的补最大度至少为四、完美匹配、三角形和长度为四的循环。我们的证明利用本文中得到的$\mathcal{K}_8^{-4}$未成年人的极值函数，Rolek和第二作者的压缩临界图的广义Kempe链，以及Kawarabayashi和Toft从三个不同的$K_5$子图中找到$K_7$未成年人的方法;该方法首先由Robertson，Seymour和Thomas在1993年开发，以证明$t=6$的Hadwiger猜想。
2022-08-22 math.CO
Bounding the chromatic number of dense digraphs by arc neighborhoods
本文证明竞赛图中所有弧邻域色数有界则整图色数有界，并推广到独立数有界的稠密定向图，由此建立两个高色数结构猜想的等价性。
2024-04-08 cs.DM math.CO
On the size of spheres of relations with a transitive group of automorphisms
设$Γ=(V,E)$是点传递自反关系。设$v\in V$和$r=|Γ(v)|.$也假设为$Γ^j(v)\cap Γ^{-}(v)=\{v\}$。然后$$ |Γ^{j} (v)\setminus Γ^{j-1} (v)| \ge r-1.$$特别是我们有$ |Γ^{j} (v)| \ge 1+(r-1)j.$最后的结果证实了最近的猜想西摩的情况下点传递图。对点传递图的Caccetta-Häggkvist猜想的有效性给出了一个简短的证明，推广了Shepherdson的一个可加性结果.
2006-03-21 math.CO
