Accurate calculation of eigenvalues and eigenfunctions. I: Symmetric potentials
Francisco M. Fernandez
本文描述了一种计算可分量子力学模型的能量本征值和观测值期望值的方法。我们讨论了该方法在具有对称势能函数的一维非谐振子中的应用。
We describe a method for the calculation of accurate energy eigenvalues and expectation values of observables of separable quantum-mechanical models. We discuss the application of the approach to one-dimensional anharmonic oscillators with symmetric potential-energy functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Asymptotic behaviors for eigenvalues and eigenfunctions associated to Stokes operator in the presence of small boundary perturbations
本文考虑了R3中有界区域上的Stokes特征值问题，其Dirichlet边界条件为.本文的目的是推进Stokes算子的本征值、本征函数和本征压力的边界摄动的渐近展开式中高阶项的发展。我们的推导是严格的，并通过层势技术得到了证明。
Two-elliptic coordinates. Eigenfunctions and eigenvalues
利用椭圆坐标系建立了一类新的二维正交分离变量坐标系。构造了这些系统的特性曲线图，并与Mathieu的特性曲线图进行了比较。可能的应用是在量子力学，衍射理论，振动和经典动力学。
Calculation of the eigenfunctions and eigenvalues of Schrödinger type equations by asymptotic Taylor expansion method (ATEM)
提出了一种新的方法，在函数泰勒展开的背景下确定薛定谔型方程本征函数的解析表达式和本征值的数值结果。泰勒级数的最佳截断给出了本征函数的最佳解析表达式和本征值的数值结果。
Expansions for Eigenfunction and Eigenvalues of large-n Toeplitz Matrices
本文从戴、吉尔里和卡丹诺夫的工作开始（戴辉、扎卡里·吉尔里和利奥·卡丹诺夫，H。戴，加-地Geary和L. P. Kadanoff，Journal of统计力学，P05012（2009））关于Toeplitz算子的精确本征函数。它建立的方法，寻找收敛展开的特征向量和特征值的大n Toeplitz矩阵，使用无限n的情况下作为起点。一个扩展是从具有二维连续谱的特征值的算子方程导出的，该特征值包括有限- $n$矩阵的特征值。另一种展开式是从转置方程导出的，它根本没有本征值。这两个展开式一起工作，给出一个明显收敛的展开式，其展开参数表示为n的逆幂。提出了一种变分原理，给出了确定特征值的近似表达式。一个一致性条件的产生，这给最低阶完全相同的条件的特征值。
Eigenfunctions of Unbounded Support for Embedded Eigenvalues of Locally Perturbed Periodic Graph Operators
众所周知，如果组合图或量子图上的局部扰动周期自伴算子允许嵌入在连续谱中的本征值，则相关的本征函数是紧支撑的--也就是说，如果费米面是不可约的，这一般发生在二维或更高维中。本文通过耦合几个周期系统，构造了一类费米面对所有能量都可约的算子。费米面的分量对应于混合态的解耦空间，并且在某些频带中，一些分量贡献振荡混合态（对应于谱），而其他分量仅贡献指数混合态。这种分离允许局部缺陷抑制振荡（辐射）模式，并保留倏逝模式，从而导致嵌入的本征值，其相关的本征函数呈指数衰减，但不支持compatible。
Simplicity of eigenvalues and non-vanishing of eigenfunctions of a quantum graph
证明了在任意小的边长调整后，具有$δ$型顶点条件的紧致量子图的谱可以是简单的。我们还表明，本征函数，除了那些完全生活在一个循环的边缘，可以是非零的图的所有顶点。作为上述结果的一个应用，我们建立了一个大图族的长期流形（也称为“行列式流形”）恰好有两个光滑连通分支。
Eigenvalue and Eigenfunction for the $PT$-symmetric Potential $V = - (ix)^N$
1998年Bender和Boettcher在一对Stokes楔中检验了$PT$ -对称哈密顿量$H = p^2 - (ix)^N$与$x\in\mathbb{C}$的实能谱。对于这个哈密顿量，我们讨论以下三个问题。首先，由于他们的论文使用龙格-库塔方法沿Stokes楔形中心的路径积分以高精度计算本征值$E$，我们想知道如果沿不同形状的其他路径积分是否可以获得相同的本征值。第二，相应的本征函数是什么样的？本征函数是否与路径形状无关？第三，由于对于大的$N$，哈密顿量包含许多对关于$x$的虚轴对称的Stokes楔形，因此可以获得多族实能谱。他们长什么样？他们之间有什么关系吗？
Eigenvalues and eigenfunctions of the anharmonic oscillator $V(x,y)=x^{2}y^{2}$
本文用三种不同的方法得到了具有势$V(x,y)=x^{2}y^{2}$的非谐振子的足够精确的本征值和本征函数。我们的研究结果强烈表明，该振荡器的频谱是离散的，与早期严格的数学证明相一致，并反对最近的声明，对它表示怀疑。
Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin planar domains
我们考虑拉普拉斯算子的Dirichlet边界条件的平面域和研究的效果，在一个方向上进行缩放的频谱。我们推导出本征值和相应的本征函数作为标度参数在零附近的函数的渐近展开。这种方法允许我们，例如，以获得一个近似的第一Dirichlet特征值的一大类平面域，在非常温和的假设。
On the exponential decay of Laplacian eigenfunctions in planar domains with branches
本文考虑Laplace算子在平面区域中的本征值问题，该区域可分解为任意形状的有界区域和变截面的伸长的\branches“。当本征值小于一个给定的阈值时，相应的本征函数沿每个分支呈指数衰减。我们证明了Robin边界条件的这种行为，并通过数值计算的本征函数说明了一些相关的结果。
Stability of eigenvalues of quantum graphs with respect to magnetic perturbation and the nodal count of the eigenfunctions
我们证明了量子图上磁节定理的一个类似结果：量子图上薛定谔算符的$n$ -次本征函数的零点$ϕ$的个数与算符受磁势扰动的$n$ -次本征值的稳定性有关.更精确地说，我们认为$n$ -th本征值作为磁扰动的函数，并表明其Morse指数在零磁场等于$ϕ- (n-1)$。
Eigenfunction Behavior and Adaptive Finite Element Approximations of Nonlinear Eigenvalue Problems in Quantum Physics
本文研究了量子物理中的一类非线性本征值问题。我们首先证明了特征函数在任何开集上都不可能是多项式，这可以看作是经典的唯一连续性的一个改进。然后利用特征函数的非多项式性质证明了自适应有限元逼近在初始网格不够精细的情况下也是收敛的。最后，我们注意到类似的论点可以适用于一类线性本征值问题，改进了相关的现有结果。
On the structure of eigenfunctions corresponding to embedded eigenvalues of locally perturbed periodic graph operators
这篇文章专门讨论以下问题。考虑图（量子图）G上的周期自伴差分（微分）算子，其具有整数格Z^n的余紧自由作用。已知算子的局部扰动可能将本征值嵌入到连续谱中（这是二阶周期椭圆算子不常见的特征）。在这类例子的所有已知构造中，相应的本征函数都是紧支集的。人们不禁要问，情况是否总是如此。本文对此作了肯定的回答。更令人惊讶的是，人们可以估计本征模必须在离微扰不远的地方（在微扰支持的邻域中，邻域的宽度仅由未微扰算子确定）。这一结果的有效性需要的费米（Floquet）表面的周期性运营商，这是预计将满足例如周期薛定谔运营商的不可约的条件。
Nonlinear and Nonlocal Eigenvalue Problems
研究了一类包含卷积算子和超线性非线性项的非线性特征值问题。我们的变分存在性证明是基于约束优化，并提供了一个单参数家庭的解决方案，正特征值和单峰特征函数。我们还讨论了这些本征函数的衰减性质和数值计算，并得出了关于小本征值和大本征值的两个渐近结果。
Exponential Decay of Eigenfunctions and Accumulation of Eigenvalues on Manifolds with Axial Analytic Asymptotically Cylindrical Ends
在本文中，我们继续我们的研究的拉普拉斯流形上的轴解析渐近圆柱形结束开始在~arXiv：1003.2538。利用复尺度方法和Phragmén-Lindelöf原理，证明了Laplacian函数的非阈值特征值对应的特征函数的指数衰减性.在有（非紧）边界的流形的情况下，它是狄利克雷拉普拉斯算子或诺依曼拉普拉斯算子。我们表明，指数衰减的本征函数的速率规定的距离从相应的本征值到下一个阈值。根据我们的假设的行为度量在无穷大积累孤立和嵌入的特征值发生。本征函数的衰减结果与Perry的紧性论证相结合，意味着本征值只能在阈值处积累，并且只能从下面积累。特征值是有限重数的。
Eigenvalues of Šeba billiards with localization of low-energy eigenfunctions
研究了薄矩形上点散射体本征函数的局部化问题。我们发现一组明确的本征函数本地化的矩形的一部分，显示的一维薛定谔算子与狄拉克δ潜力渐近管理的二维点散射体的光谱特性。我们还发现本地化的矩形的纵横比方面的速度。此外，我们提出了数值结果的渐近行为的本地化。
On the spectrum and eigenfunctions of the equivariant general boundary value problem outside the ball for the Schrödinger operator with Coulomb potential
本文研究了具有库仑势和非点球核的类氢原子的薛定谔方程。本文求出了核球边界上任意转动不变边值问题所给出的算子的本征值和本征函数，并证明了本征值与任何边值问题的选择无关，与点核的本征值相同。
Nodal count of graph eigenfunctions via magnetic perturbation
我们建立了在磁扰动下本征值的稳定性与相应本征函数零点个数之间的联系。也就是说，我们考虑图上离散拉普拉斯算子的特征函数，并计算特征函数改变符号（具有“零”）的边的数量。已知第$n$个本征函数具有$n-1+s$这样的零点，其中“节点盈余”$s$是0和图上的循环数之间的整数。然后，我们扰动的拉普拉斯算子的弱磁场和视图的$n$ -th本征值作为扰动的函数。证明了该函数在零场有一个临界点，临界点的Morse指数等于无扰图的第$n$个本征函数的结点剩余$s$.
The scaling limit of eigenfunctions for 1d random Schrödinger operator
本文给出了具有随机衰减势的一维随机薛定谔算子的本征值和本征函数的标度极限。该问题的公式化是基于Rifkind-Virag的论文。
Exponential growth and decay estimates for eigenfunctions with complex eigenvalues
研究非自伴薛定谔算子具有复特征值的局部平方可积本征函数的指数增长和衰减估计，通过改编伊藤 - 斯基布斯特德的交换子方案，给出统一方法及额外估计。
A Class of Exactly-Solvable Eigenvalue Problems
区间$-\infty<x<\infty$上的一类微分方程特征值问题$-y''(x)+x^{2N+2}y(x)=x^N Ey(x)$（$N=-1,0,1,2,3,...$）对于所有的特征值$E$和相应的特征函数$y(x)$都可以用封闭形式求解.特征值均为整数，特征函数均为合流超几何函数。本征函数可以被重写为多项式和函数的乘积，其指数衰减为$x\to\pm \infty$。对于奇数$N$，以这种方式获得的多项式是新的和有趣的正交多项式类。例如，当N = 1时，本征函数是$x^3$乘以$x^2$的Airy函数中的正交多项式。详细描述了所有$N$的多项式的性质。
On the volume of nodal sets for eigenfunctions of the Laplacian on the torus
本文研究二维或多维标准环面上拉普拉斯算子本征函数的节点集的体积。我们考虑一个序列的特征值$4π^2\eigenvalue$与增长的重数$\Ndim\to\infty$，并计算期望和方差的体积的节点集相对于高斯概率测度的特征空间。我们证明了节点集的期望体积是$const \sqrt{\eigenvalue}$。我们的主要结果是，由$\sqrt{\eigenvalue}$归一化的体积的方差是有界的$O(1/\sqrt{\Ndim})$，使归一化的体积有消失的波动，因为我们增加了本征空间的维数。
Some properties of eigenvalues and eigenfunctions of the cubic oscillator with imaginary coupling constant
比较精确值的频谱zeta函数，$Z_{H}(1)=5^{-6/5}[3-2\cos(π/5)]Γ^2(1/5)/Γ(3/5)$，数值和WKB计算的结果支持的猜想Bessis，所有的特征值的PT不变的哈密顿量是真实的。对于具有单调虚部的复势的一维薛定谔算子，本征函数（及其对数导数的虚部）没有实零点。
Eigensystem multiscale analysis for Anderson localization in energy intervals
我们提出了一个本征系统多尺度分析证明本地化（纯点谱与指数衰减的本征函数，动态本地化）的安德森模型在一个能量区间。特别是，它产生本地化的安德森模型在一个非空的间隔在底部的频谱。这种本征系统多尺度分析在一个能量区间对待所有的能量的有限体积算子在同一时间，建立水平间距和本地化的本征函数的本征值的能量区间在一个固定的盒子具有很高的概率。与通常的策略相反，我们不研究有限体积格林函数。相反，我们执行基于有限体积本征系统（本征值和本征函数）的多尺度分析。在任何给定的标度中，我们只有本征值在能量区间内的本征函数的衰减，而没有关于其他本征函数的信息。由于这个原因，进入更大的尺度需要新的参数，这在我们之前对安德森模型在高度无序时的本征系统多尺度分析中是不必要的，在给定的尺度下，我们对所有本征函数都有衰减。
Eigenvalues and eigenfunctions of the fractional Laplacian on the interval
该研究针对区间上的分数阶拉普拉斯算子，证明了其本征值的三项渐近公式及归一化本征函数的一致有界性，改进了现有渐近理论并解决了相关猜想。
On the eigenvalues of the fermionic angular eigenfunctions in the Kerr metric
鉴于最近发表的结果在变形理论的线性哈密顿系统的背景下，我们重新考虑的特征值问题的角度方程分离后产生的Dirac方程的克尔度量，我们如何有效地证明了一个准线性一阶偏微分方程的角度特征值可以得出。我们还证明，它是不可能获得的特征值的作用的独立变量是由粒子能量或黑洞质量的常微分方程。最后，我们构造了Kerr情形下本征值的新的微扰展开式，并得到了Kerr裸奇点情形下本征值的一个渐近公式。
Dirichlet p-Laplacian eigenvalues and Cheeger constants on symmetric graphs
本文研究了图上具有Dirichlet边界条件的$p$ -Laplacian算子的特征值和特征函数。通过符号条件刻画了二部图的第一特征函数和最大特征函数。利用$p$的第一特征函数的唯一性，作为$p\to 1,$，我们把对称图的Cheeger常数与商图的Cheeger常数等同起来.利用这种方法，我们计算了球对称图的各种Cheeger常数。
Calculating eigenvalues of many-body systems from partition functions
本文提出了一种无需求解本征函数而计算多体系统本征值的方法。在许多情况下，我们只需要本征值的知识，而不是本征函数的知识，所以我们需要一种方法，只求解本征值，而不求解本征函数。本文以统计力学为基础建立了该方法。在统计力学中，计算热力学量只需要特征值的知识，特征值的信息就体现在热力学量中。本文提出的方法实际上是一种从热力学量中提取本征值的方法。作为应用，我们计算了一些多体系统的本征值。特别地，该方法被用于计算量子多体系统中的量子交换能。利用该方法计算了拓扑效应对特征值的影响。此外，我们改进了文献中计数函数与热核之间关系的结果。
Weighted analyticity of Hartree-Fock eigenfunctions
在加权索伯列夫空间中，证明了一类带奇异位势的椭圆型非线性本征值问题（包括Hartree-Fock方程）的本征函数的解析估计.超越经典的结果的解析波函数远离核，我们证明加权估计本地在每个奇点，精确控制的所有订单的衍生物。我们的估计有深远的影响，所考虑的问题的本征函数的近似，他们可以用来证明先验估计的数值解这样的本征值问题。
Cherednik integrable system: eigenfunctions at generic eigenvalues
研究受$A$型DAHA启发的$N$体Cherednik可积系统，通过类似Noumi和Shiraishi的方法，构造任意特征值的本征函数，其一般本征函数结构复杂，有$N!$个分支，还给出特定情形显式公式。
Eigenvalues and eigenfunctions of spin-weighted spheroidal harmonics in four and higher dimensions
自旋加权球谐函数在各种物理情况下都是有用的，包括光散射、核建模、信号处理、电磁波传播、四维和更高维的黑洞微扰理论、弯曲时空中的量子场论和D-膜的研究。我们首先回顾分析和数值计算的特征值和特征函数在四维空间，填补现有文献中的空白，必要时。然后，我们计算了Kerr黑洞慢阻尼准正规模频率对应的自旋加权球谐函数的角度依赖性，给出了它们的标量积的数值表和近似公式.最后，我们提出了一个详尽的分析和数值研究标量球谐（n+4）维。
Approximate Normality of High-Energy Hyperspherical Eigenfunctions
Berry启发式是关于本征函数的高能量（即大本征值）行为的长期存在的\emph{ansatz}（参见Berry 1977）。粗略地说，它指出，在一些一般的边界条件下，这些本征函数表现出高斯行为时，本征值增长到无穷大。我们在本文中的目的是使这种说法定量，并建立一些严格的界限的距离高斯，重点是超球的情况下（即，对于Laplace-Beltrami算子在归一化的$d$维球面上的本征函数-也称为球谐函数）。还讨论了非高斯模型的一些应用。
Signatures of three coalescing eigenfunctions
参数依赖的非厄米量子系统不仅具有本征值的简并性，而且在例外点处具有相应本征函数的简并性。虽然两个合并的本征函数对循环参数变化的影响进行了很好的研究，迄今很少有人注意到两个以上的合并本征函数的影响。在这里的一个特征的对称哈密顿与三个合并的本征函数的行为，使用微扰理论的非厄米特运营商。需要区分两种主要类型的参数扰动，这导致特征值和特征向量模式下的循环变化。一个物理系统的介绍，这两种行为可能是实验访问。
Courant-sharp property for Dirichlet eigenfunctions on the Möbius strip
确定哪些特征值存在与相关特征值的标签具有相同数目的节点域的特征函数（Courant-sharp性质）的问题是由最小谱划分的分析激发的。在以前的作品中，已经分析了许多例子对应的正方形，矩形，磁盘，三角形，圆环，\ldots。进一步研究的自然玩具模型是默比乌斯带，一种具有欧拉示性数$0$的不可可定向曲面，特别是特征值具有更高重数的“正方形”默比乌斯带。在这种情况下，我们证明了唯一的Courant-sharp Dirichlet特征值是第一和第二，我们表现出独特的节点模式。
Optimization Inverse Spectral Problem for the Schrödinger Operator on a Compact Graph
该研究针对紧图上薛定谔算子前m个特征值的优化逆谱问题，证明了解的存在性，给出无环、有环图下最优修正/势的表示，还构造反例并推导势的解析性条件。
Spectrum of a non-self-adjoint operator associated with the periodic heat equation
研究了线性算子$θ\in [-π,π]$在周期边界条件下的谱。证明了对于$|ε| < 2$，该算子在区域为$H^1_{\rm per}([-π,π])$的$L^2([-π,π])$中是闭的，其谱由无穷多个孤立本征值组成，且相应的本征函数集是完备的.通过使用数值近似的特征值和特征函数，我们表明，所有的特征值是简单的，位于虚轴和两个随后的特征函数之间的角度趋于零较大的特征值。因此，线性无关本征函数的完整集合不形成$H^1_{\rm per}([-π,π])$中的基。
Exponential decay of Laplacian eigenfunctions in domains with branches
研究了具有分支区域的拉普拉斯特征函数的性质。如果一个特征值低于一个阈值，这是由分支的形状所确定的，相关的特征函数被证明是指数衰减内的分支。衰减率是阈值和本征值之差的平方根的两倍。导出的指数估计适用于任何空间维度中的任意域。数值模拟说明并进一步扩展了理论估计。
Eigenvalues of the Liouvillians of Quantum Master Equation for a Harmonic Oscillator
谐振子的马尔可夫主方程的Liouvillians特征值具有一般形式。被认为是二次的Liouvillians的位置坐标或创建和湮灭运营商，以及具有积极的重整化频率。我们证明了这一点，表明一个通用的Liouvillian的这种形式可以类似于Liouvillian的Kossakowski-林德布拉德方程，其特征值是已知的。一般Liouvillian的左和右本征函数也形成一个完整的双正交集。类似的相关的右本征函数的例子。
An Explicit Formula for Symmetric Polynomials Related to the Eigenfunctions of Calogero-Sutherland Models
我们回顾了最近的一个明确的解析级数表示的对称多项式的Calogero-Sutherland型模型的本征函数的基态因子的建设。我们还表明，这一结果的概括多项式给出所谓的“变形”Calogero-Sutherland型模型的本征函数。
Sub-exponential decay of eigenfunctions for some discrete Schrödinger operators
按照Froese和Herbst的方法，我们证明了对于一类势V，当λ的估计在E处成立时，在\mathbb{Z}^d上的多维离散薛定谔算子H = $Δ$ + V的特征值为E的特征函数$ψ$是次指数衰减的.在一维情况下，我们进一步证明了这个本征函数至少以cosh^{--1}（（E --2）/（$θ$ \_E --2））的速率指数衰减，其中$θ$ \_E是H位于E和2之间的最近阈值。后一个结果的后果是2和高于和低于该值的最近阈值之间不存在本征值。对离散薛定谔算子的Combes-Thomas方法也作了评述。
Exact Eigenfunctions of $N$-Body system with Quadratic Pair Potential
我们得到了一维二次对势的$N$ -体玻色和费米系统的全部精确本征值和相应的本征函数。在一维空间中，原有的激发态能级消失了，这是由于全同粒子的对称性或反对称性作用的结果。在二维及更高维情况下，我们给出了所有的本征值和解析的基态波函数及简并数。通过与AvinashKhare的结果的比较，完善了他的结果.
Exactly solvable potentials with finitely many discrete eigenvalues of arbitrary choice
我们解决的问题，可能的变形的精确可解的潜力有许多离散的特征值的任意选择。正如凯和摩西在1956年证明的那样，一维量子力学中的无反射势是完全可解的。与一个额外的时间依赖性，这些潜力被确定为孤子解的KdV系列。一个$N$ -孤子势具有时间$t$和$2N$正参数$k_1<...<k_N$和$c_j$，$j=1,...,N$，对应于$N$离散本征值$-k_j^2$ .本征函数是由行列式的比值表示的初等函数。基于本征函数删除的Darboux-Crum-Krein-Adler变换或Abraham-Moses变换在修正参数$c'_j$的情况下产生较低的孤子数势。我们探讨了孤子势的本征函数所满足的各种恒等式，这些恒等式反映了可分离（退化）核的Gel'fand-Levitan-Marchenko方程的唯一性定理.
Twisted Cherednik systems and non-symmetric Macdonald polynomials
本文通过非对称马尔科夫多项式构造扭曲本征函数，为可积系统理论提供了新的视角。
Scarred eigenstates for arithmetic toral point scatterers
我们研究了在$d=2,3$维标准环面$\mathbb{R}^d/2 π\mathbb{Z}^d$上δ势扰动下拉普拉斯算子的本征函数。尽管“新”本征函数的集合具有量子遍历性，但我们证明了在$d=2,3$的动量表示中以及在$d=2$的位置表示中存在疤痕（即，本征函数不能沿着新本征值的无限子序列在相空间中均匀分布。对于$d=3$，疤痕本征态是相当罕见的，但对于$d=2$疤痕的动量表示是非常常见的--与$N_{2}(x) \sim x/\sqrt{\log x}$表示的计数功能，为新的本征值低于$x$，有$\gg N_{2}(x)/\log^A x$本征值对应的动量疤痕本征函数。
Ultrarelativistic bound states in the spherical well
我们解决了一个特征值问题的超相对论（柯西）运营商$(-Δ)^{1/2}$，其行动是有限的功能，消失的内部以外的一个单位球在三维空间。我们提供了这个无限深球势阱问题的最低本征值和本征函数的高精度谱数据。我们的重点是径向和轨道形状的本征函数。该谱由一组有序的严格正的本征值组成，这些本征值自然地分裂成非重叠的、轨道标记的$E_{(k,l)}$系列。对于每个轨道标记$l=0,1,2,...$，标记$k =1,2,...$枚举连续的第$l$系列本征值。它们都是$2l+1$ -简并的。$l=0$本征值序列$E_{(k,0)}$与$d=1$柯西阱的偶数标记本征值集合：$E_{(k,0)}(d=3)=E_{2 k}(d=1)$相同。同样地，本征函数$ψ_{(k,0 )}(d=3)$和$ψ_{2k }(d=1)$显示亲和性。我们已经确定了球阱本征函数的一般函数形式，它似乎是由固体谐波和适当的纯径向函数的乘积组成的。已发现（近似）评估后者的方法遵循通用模式，该模式有效地允许跳过所有（有时涉及）中间计算（在计算$l \leq 3$的特征值时使用的那些）。
The Eigenvalue Problem of Nonlinear Schrödinger Equation at Dirac Points of Honeycomb Lattice
本文严格推导了蜂窝格点对称势下非线性薛定谔方程在Dirac点的本征值问题。基于Bootstrap方法，我们从二维退化的线性薛定谔方程的本征空间中观察到本征函数分叉为八个不同的模.给出了这些特征函数在$H^2$空间中的存在性、构造方法、唯一性以及$C^\infty$连续性。
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