区间上分数阶拉普拉斯算子的本征值渐近行为与一致本征函数界
Eigenvalues and eigenfunctions of the fractional Laplacian on the interval
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中文总结 AI 辅助
该研究针对区间上的分数阶拉普拉斯算子，证明了其本征值的三项渐近公式及归一化本征函数的一致有界性，改进了现有渐近理论并解决了相关猜想。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了有界区间上分数阶拉普拉斯算子本征值的三项渐近公式，该结果改进了Kulczycki–Kwaśnicki–Małecki–Stós与Kwaśnicki的本征值渐近理论，并通过Kaleta–Kwaśnicki–Małecki的数值模拟确认了猜想的O_α(n⁻²)余项。我们还证明了归一化本征函数在本征值指标n和分数阶α下一致有界，解决了Kwaśnicki通过数值实验提出的猜想。
英文摘要
We prove a three-term asymptotic formula for the eigenvalues of the fractional Laplacian on the bounded interval $(-1,1)$. This improves the eigenvalue asymptotics of Kulczycki--Kwaśnicki--Małecki--Stós and Kwaśnicki, and confirms the conjectural $O_α(n^{-2})$ remainder suggested by the numerical simulations of Kaleta--Kwaśnicki--Małecki. Moreover, we prove that the normalized eigenfunctions are bounded uniformly in the eigenvalue index $n$ and the fractional order $α$. This settles the conjecture proposed by Kwaśnicki through numerical experiments. Furthermore, we prove that the $n$-th eigenfunction has exactly $n-1$ zeros in the interval $(-1,1)$ and every zero is simple, and hence there are exactly $n$ nodal domains. A key ingredient in the proof is an explicit representation of the eigenfunction.
发表机构
- Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）
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