An extension problem for convex functions
Bo Berndtsson
受正线丛上度量的类似推广结果的启发，我们给出了线性子空间上凸函数的估计的推广
We give a statement on extension with estimates of convex functions defined on a linear subspace, inspired by similar extension results concerning metrics on positive line bundles
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On extensions of d.c. functions and convex functions
我们表明，我们最近的结果组合的直流功能（和映射）意味着积极的结果直流功能（和映射）的扩展。回答两个自然相关的问题的例子。关于连续凸函数从赋范线性空间的闭子空间的可拓性的两个定理补充了J.Borwein，V.Montesinos和J. Vanderwerff最近的结果。
On the continuity and regularity of convex extensions
研究了从紧集$C$到其凸包$K$的函数凸扩张的连续性和正则性。证明了如果$C$包含$K$的相对边界，且$f$是$C$上的连续凸函数，则$f$利用标准凸屋顶构造扩展为$K$上的连续凸函数.事实上，$f$从任意集合扩张到凸包上的连续凸函数的充要条件是$f$扩张到凸包的相对边界上的连续凸函数.我们给出的例子表明，结果中的假设是必要的。特别地，如果$C$不包含$K$的整个相对边界，则可能不存在$f$的任何连续凸扩展。最后，当$K$和$f$的边界为$C^1$时，给出了凸屋顶构造为所有$K$上的$C^1$的充要条件.我们还讨论了凸屋顶结构在量子计算中的应用。
A convex extension of lower semicontinuous functions defined on normal Hausdorff space
证明了定义在正规T2空间上的真下连续函数的极小化问题与定义在某个对偶巴拿赫空间的弱凸紧子集上的真弱下连续凸函数的极小化问题正则等价.我们证明了在这两类函数之间存在一个双射算子，它保持了极小化问题。
Some extensions from famous theorems for $h$-mid-convex function
研究在适当条件下连续 $h$-mid-convex 函数与 $h$-convex 函数的关系，并推广四个相关经典定理。
An Extension of Tychonoff Fixed Point Theorem
本文在实向量空间上引入了弱范数、拟弱范数的概念。利用这些概念，我们引入了拟局部凸拓扑向量空间的概念，它包括了局部凸拓扑向量空间作为其特例。利用Fan-KKM定理证明了拟局部凸拓扑向量空间中的一个不动点定理，它是Tychonoff不动点定理在局部凸拓扑向量空间中的自然扩张.然后给出一个例子说明这种扩张是一种恰当的扩张。
Extensions of convex functions with prescribed subdifferentials
设$E$是Banach空间$X$的任意子集，$f: E \rightarrow \mathbb{R}$是函数，$G:E \rightrightarrows X^*$是集值映射.本文给出了$f, G$上存在$f$的连续凸扩张$F: X \rightarrow \mathbb{R} $使得$F$的次微分$\partial F$与$E.$上的$G$重合的充要条件
An extension of Alexandrov's theorem on second derivatives of convex functions
如果$f$是一个$n$变量的函数，它是局部$L^1$可由一个光滑函数序列逼近的，该光滑函数序列满足Hessian行列式的局部$L^1$界，则$f$几乎处处允许二阶泰勒展开。这扩展了A.D. Alexandrov的一个经典定理，涵盖了$f$是局部凸的特殊情况。
Extension Of The Bauer's Maximum Principle For Compact Metrizable Sets
设X是Haus-dorff局部凸拓扑向量空间S的非空凸紧子集。众所周知的Bauer的最大值原理指出，每个从X到R的凸上半连续函数在X的某个极值点处达到其最大值。当X是紧度量化的时，我们给出了这个结果的一些推广。本文证明了在X的一个极值点上达到极大值的凸上半连续函数的集合是凸上半连续函数空间的G $δ$稠密子集，它具有与一致收敛性相容的度量.
An Extension Theorem for convex functions of class $C^{1,1}$ on Hilbert spaces
设$\mathbb{H}$是Hilbert空间，$E \subset \mathbb{H}$是任意子集，$f: E \rightarrow \mathbb{R}, \: G: E \rightarrow \mathbb{H}$是两个函数.给出了$(f,G)$对上存在\textit{convex}函数$F\in C^{1,1}(\mathbb{H})$使得$F=f$和$\nabla F =G$在$E$上的一个充要条件.我们还表明，如果这个条件得到满足，$F$可以采取，使$\textrm{Lip}(\nabla F) = \textrm{Lip}(G)$。我们给出了这一结果的几何应用，关于由$\mathbb{H}$中的$C^{1,1}$凸体的边界插值集。最后，我们给出了光滑凸函数的光滑凸扩张的一个反例。
Representation of convex operators and their static and dynamic sandwich extensions
单调凸算子和时间一致的算子系统自然出现在随机最优化和数学金融的定价和风险度量的背景下。研究了单调凸\emph{operator}的定义域定义在$L_p$的子空间上时的对偶表示，用$p\in [1,\infty]$证明了一个三明治保持扩张定理.这些结果，然后应用于研究系统的这种运营商只定义在子空间。我们提出了各种动态三明治保持扩展结果取决于时间的性质：有限离散，可数离散，连续。特别值得注意的是，所获得的延期具有时间一致性。
An Extension and Refinement of the Brouwer-Schauder-Tychonoff Fixed Point Theorem
本文在局部凸空间中扩展并改进了Brouwer-Schauder-Tychonoff不动点定理，提出了关于紧星形集的更简洁条件和更广泛的应用。
Polynomial valuations on convex functions and their maximal extensions
该研究探讨凸函数不同锥上的多项式赋值扩张问题，证明其可归结为赋值支集的几何阻碍，借助齐次分解与分布支集性质推导结论，并给出最高次赋值的显式积分表示。
Convex $C^1$ extensions of $1$-jets from compact subsets of Hilbert spaces
令$X$表示Hilbert空间。给定$X$的紧子集$K$和两个连续函数$f:K\to\mathbb{R}$，$G:K\to X$，我们证明了存在凸函数$F\in C^1(X)$使得$F=f$在$K$上，$\nabla F=G$在$K$上的充要条件是$1$ -jet $(f, G)$满足（1）对所有$x, y\in K$都满足$f(x)\geq f(y)+ \langle G(y), x-y\rangle$，（2）如果$x, y\in K$和$f(x)= f(y)+ \langle G(y), x-y\rangle$则满足$G(x)=G(y)$ .我们还解决了类似的问题，$K$替换为任意有界子集的$X$，并为$C^1(X)$替换为类$C^{1,u}_{b}(X)$的可微函数与一致连续的衍生物上的有界子集的$X$。
A geometric form of the Hahn-Banach extension theorem for L0 linear functions and the Goldstine-Weston theorem in random normed modules
本文给出了$L^{0}-$线性函数的Hahn-Banach扩张定理的一种几何形式，并证明了这种几何形式与Hahn-Banach扩张定理的解析形式是等价的.进一步，我们利用几何形式给出了随机局部凸模中一个已知的基本严格分离定理的新证明。最后，利用严格分离定理建立了随机赋范模在$(ε,λ)-$拓扑和局部$L^{0}-$凸拓扑下的Goldstine-Weston定理，并给出了一个反例，证明了局部$L^{0}-$凸拓扑下的Goldstine-Weston定理只对具有可数级联性质的随机赋范模成立.
Strong extensions for $q$-summing operators acting in $p$-convex Banach function spaces for $1 \le p \le q$
设$1\le p\le q<\infty$和$X$是$σ$ -有限测度$μ$上的$p$ -凸Banach函数空间.结合空间$L^p(μ)$和$L^q(ξ)$的结构构造了新的空间$S_{X_p}^{\,q}(ξ)$，其中$ξ$是与$X$相关联的某个紧集上的概率Radon测度.我们展示了它的一些性质，以及相关的事实，即每一个$q$求和算子$T$定义的$X$可以连续（强）扩展到$S_{X_p}^{\,q}(ξ)$。这个结果是Pietsch和Maurey-Rosenthal因子分解定理的混合，当$1 \le q \le p$时，它们通过$L^q$ -空间提供了$q$ -求和算子的（强）因子分解。因此，我们的结果完成了图片，显示发生了什么互补的情况下$1\le p\le q$，打开大门的研究多线性版本的$q$求和运营商也在这些情况下。
Global geometry and $C^1$ convex extensions of $1$-jets
设$E$是$\mathbb{R}^n$的任意子集（不一定有界），$f:E\to\mathbb{R}$，$G:E\to\mathbb{R}^n$是函数。我们给出了$1$ -jet $(f,G)$具有$F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$凸的和类为$C^{1}$的扩展$(F, \nabla F)$的充要条件.此外，如果$G$是有界的，我们可以取$F$使得$\textrm{Lip}(F)\lesssim \|G\|_{\infty}$ .作为应用，我们还解决了一个类似的问题，寻找类$C^1$的凸超曲面与指定的法线在$\mathbb{R}^n$的任意子集的点。
Maximum Lebesgue Extension of Monotone Convex Functions
给定本质有界随机变量空间上具有Lebesgue性质（序连续）的单调凸函数，考虑将其保Lebesgue性质的推广到尽可能大的实随机变量向量空间.我们表明，存在一个最大的这样的扩展，与明确的建设，其中最大域的扩展是作为一个自然的Orlicz型空间的子空间（可能是正确的），其特征在于一定的一致可积性。作为应用，我们给出了任意随机变量立体空间上单调凸函数的Lebesgue性质的一致可积性的一个特征，并给出了该函数的一个“好”的对偶表示.
Extending quasiconvex functions from uniformly convex sets
研究从均匀凸集扩展准凸函数的可行性，发现其扩展性质由集的几何特性决定，且无法保证 Lipschitz 扩展。
Differentiable convex extensions with sharp Lipschitz constants
本文提出了一种在超反射Banach空间中通过显式公式构造具有精确Lipschitz常数的C^{1,ω}凸扩展的方法，并在Hilbert空间中改进了相关估计。
Extension of Euler Lagrange identity by superquadratic power functions
本文利用凸性和超二次性推广了Euler Lagrange恒等式、Bohr不等式和三角不等式。
On a Space of Infinitely Differentiable Functions on an Unbounded Convex Set in ${\mathbb R}^n$ Admitting Holomorphic Extension in ${\mathbb C}^n$ and its Dual
考虑${\mathbb R}^n$中无界闭凸集上的无穷光滑函数空间。它表明，该空间中的每个功能可以扩展到整个功能在${\mathbb C}^n$满足某些规定的增长条件。得到了该空间上线性连续泛函的傅里叶-拉普拉斯变换刻画。本文还给出了回火分布的Paley-Wiener-Schwartz定理的一个变形。
The sharp Whitney extension theorem for convex $C^1$ Lipschitz functions
该研究提出了一种构造凸 $C^1$ Lipschitz 函数精确延伸的方法，其 Lipschitz 常数与给定函数的上界相关，并可控制延伸的全局行为。
Uniqueness of Hahn-Banach extensions in locally convex spaces
本文研究局部凸空间中线性泛函的Hahn-Banach延拓唯一性，提出property-SNP并给出其多种刻画，建立其与Banach空间property-U的对应关系，还在逐点收敛拓扑下的连续函数空间上开展相关研究。
Locally $C^{1,1}$ convex extensions of $1$-jets
设$E$是$\mathbb{R}^n$的任意子集，$f:E\to\mathbb{R}$，$G:E\to\mathbb{R}^n$是给定函数.我们给出了凸函数$F\in C^{1,1}_{\textrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$存在的充要条件，使得$F=f$和$\nabla F=G$在$E$上.我们给出了一个有用的明确的公式，这样的扩展$F$，和我们的主要结果的一个变种类$C^{1, ω}_{\textrm{loc}}$，其中$ω$是一个模的连续性。我们还提出了这些结果的两个应用，关于如何找到$C^{1,1}_{\textrm{loc}}$凸超曲面与给定的$\mathbb{R}^n$子集上的切超平面，和一些明确的公式（不一定是凸的）$C^{1,1}_{\textrm{loc}}$扩展的$1$ -喷。
Metric convex extensions and optimal transport on classical and quantum structures
提出折叠最优输运方法，将凸集极端边界上的成本或距离扩展到整个凸集，并应用于量子设置，得到可分量子Wasserstein距离，统一了经典、半经典和可分量子最优输运。
An extension property for noncommutative convex sets and duality for operator systems
本文刻画了紧致非交换凸集满足连续仿射函数一致延拓性质的包含关系，由此给出可对偶化算子系统的几何刻画，并建立其永久性质及新例子。
Abstract convex optimal antiderivatives
在经典凸分析的背景下研究了反导数族及其包络之后，我们现在将这些概念和结果推广并应用到抽象凸分析的背景下。给定关于c-次微分的部分数据，我们考虑所有符合给定数据的c-凸c-反导数的集合。在一定的假设下，这个集合不是空的，并且包含它的下包络和上包络。我们用明确的公式表示这些最优反导数。一些著名的函数实际上是最优c-凸c-反导数。在一个应用中，我们指出了c-单调映射的Fitzpatrick函数的一个自然极小性，即它是极小反导数.在另一个应用中，在度量空间中，约束Lipschitz扩张问题自然符合我们在这里讨论的凸性概念。最优Lipschitz扩张恰好是最优反导数。这种方法产生明确的公式，这些扩展，其中最特殊的情况下，恢复众所周知的扩展，由于麦克沙恩和惠特尼。
Operator inequalities associated with the Kantrovich type inequalities for $s$-convex functions
本文证明了与$s$ -凸函数的Kantorovich型不等式的推广有关的几个算子不等式.我们还应用于三元保序幂不等式，在一定条件下得到了正算子数值半径的一个较好的下界。
Brunn-Minkowski and Zhang inequalities for Convolution Bodies
研究Minkowski和的一个定量形式，推广了凸体的$θ$ -卷积的定义，得到了Brunn-Minkowski不等式和Zhang不等式的推广，以及涉及卷积体或极投影体的凸几何的其它有趣性质.本文也给出了这个新版本的扩展到两个以上的集合。
Epigraph of Operator Functions
已知实函数$f$是凸的当且仅当$f$的上图的集合$$\mathrm{E}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R};\ f(x)\leq y\},$$是$\mathbb{R}^2$中的凸集。本文将这一结果推广到算子凸函数和$C^*$ -凸集以及算子对数凸函数和$C^*$ -对数凸集。此外，埃尔米特矩阵的$C^*$ -凸包已被表示为其特征值。
Operator extensions of Hua's inequality
在不利用凸性和经典的华氏不等式的情况下，给出了在pre-Hilbert $C^*$ -模上的华氏不等式的一个推广.作为结果，这个不等式的一些已知的和新的推广推导。在Hilbert $C^*$ -模的内容中给出了一个Jensen不等式，得到了Hua不等式的另一个推广.给出了一个算子华氏不等式，它等价于给定连续实函数的算子凸性。
Higher order extension of Löwner's theory: Operator $k$-tone functions
引入算子/矩阵$k$ -调函数的概念，它是算子/矩阵单调函数和凸函数的高阶推广.矩阵$k$音调函数的微分性质。刻画，性质，并提出了运营商$k$音函数的例子。特别地，给出了算子$k$ -调函数的整表示，推广了常见的算子单调和凸函数的表示.
An extension of the second order dynamical system that models Nesterov's convex gradient method
本文研究了一类与具有Frèchet可微目标函数的凸极小化问题相联系的一般二阶连续动力系统。我们表明，惯性算法，如Nesterov的算法，可以通过我们的动力系统的自然显式离散化。我们的动力系统可以被看作是一个扰动版本的重球方法与消失阻尼，但扰动是在目标函数的梯度的论点。这种扰动似乎有一个平滑效果的能量误差，并消除了振荡的情况下，消失的阻尼的重球方法，为这个错误，一些数值实验表明。我们证明了生成轨迹中的目标函数的值以O（1/t^2）的顺序收敛到目标函数的全局极小值。此外，我们得到的轨迹所产生的动力系统收敛到一个极小点的目标函数。
First Integrals for Problems of Calculus of Variations on Locally Convex Spaces
变分法的基本问题被认为是局部凸空间上的可微曲线的解决方案。这样的问题允许扩展的欧拉-拉格朗日方程[Orlov 2002]连续正常可微拉格朗日。在这里，我们制定了一个勒让德条件和埃米诺特的经典定理的扩展，从而获得第一积分的局部凸空间上的变分问题。
Convexity of Radial Mean Bodies via an Extension of Ball's Bodies
本文利用Prékopa定理证明了当p∈(-1,0)时径向p次均体的凸性，同时给出了Keith Ball定理的新证明并扩展至p负区间。
On Hadamard Type Inequalities Involving Several Kind of Convexity
本文不仅推广了Gill等人在[7]中关于对数凸函数的结果，而且得到了对数凸、m凸和（alpha，m）-凸函数的Hadamard型不等式.
Extending Whitney's extension theorem: nonlinear function spaces
我们考虑一个整体的，非线性版本的惠特尼扩张问题的流形值光滑函数的封闭区域$C$，与非光滑边界，在可能的非紧流形。假设$C$是一个带角点的子流形，或者是一个紧的、具有粗糙边界的局部凸子流形，我们证明了处处定义函数的约束映射是一个局部凸流形的浸没，从而在图上允许局部线性分裂.这是通过考虑向量丛的紧支撑部分的局部凸空间的相应的限制映射，允许更一般的情况下，$C$只有轻微的限制向内和向外的尖点，并证明存在的扩展操作。
The Hardy-Littlewood-Polya inequality of majorization in the context of w-m-star-convex functions
将ω-m-星凸函数的Hardy-Littlewood-Polya控制不等式推广到序巴拿赫空间的框架下.几个开放的问题，似乎感兴趣的进一步推广的Hardy-Littlewood-Polya不等式也包括在内。
The Hadwiger theorem on convex functions, IV: The Klain approach
给出了凸函数上光滑和连续赋值的Hadwiger定理的新证明，建立了凸函数上的Klain-Schneider定理.此外，还证明了定义在低维区域上的函数赋值的一个扩张定理，并解释了它与Abel变换的关系。
Towards a Lie theory for locally convex groups
在这篇综述中，我们报告了李群的李群理论中的一些基本问题的最新进展，这些基本问题以局部凸空间为模型，例如李代数的可积性、李子代数到李群的可积性以及李代数扩展到李群扩展的可积性。我们进一步描述如何正则性或局部指数的李群可以用来获得相当满意的答案的一些基本问题。这些结果通过特殊化到某些特定的李群类，如直接极限群、线性李群、光滑映射群和非光滑同态群来说明。
Non-commutative perspectives
证明了算子凸函数的非交换透视图是相应的保持齐性和凸性的交换透视图的唯一推广。
Explicit formulas for $C^{1, 1}$ and $C^{1, ω}_{\textrm{conv}}$ extensions of $1$-jets in Hilbert and superreflexive spaces
给定$X$为Hilbert空间，$ω$为连续模，$E$为$X$的任意子集，以及函数$f:E\to\mathbb{R}$，$G:E\to X$，我们通过一个简单的显式公式，给出了喷流$(f,G)$允许具有$F:X\to \mathbb{R}$凸和$C^{1, ω}(X)$类的扩张$(F, \nabla F)$的充要条件.由于这个结果，如果$ω$是线性的，我们表明，这个公式的一个变体提供了明确的$C^{1,1}$扩展一般（不一定是凸）$1$ -喷气机满足通常的惠特尼扩展条件，最好的可能的Lipschitz常数的梯度的扩展。最后，如果$X$是一个超自反Banach空间，我们建立了类似的结果类$C^{1, α}_{\textrm{conv}}(X)$。
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