整体几何与$1$ -喷注的$C^1$凸扩张
Global geometry and $C^1$ convex extensions of $1$-jets
摘要：
设$E$是$\mathbb{R}^n$的任意子集（不一定有界），$f:E\to\mathbb{R}$，$G:E\to\mathbb{R}^n$是函数。我们给出了$1$ -jet $(f,G)$具有$F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$凸的和类为$C^{1}$的扩展$(F, \nabla F)$的充要条件.此外，如果$G$是有界的，我们可以取$F$使得$\textrm{Lip}(F)\lesssim \|G\|_{\infty}$ .作为应用，我们还解决了一个类似的问题，寻找类$C^1$的凸超曲面与指定的法线在$\mathbb{R}^n$的任意子集的点。
英文摘要：
Let $E$ be an arbitrary subset of $\mathbb{R}^n$ (not necessarily bounded), and $f:E\to\mathbb{R}$, $G:E\to\mathbb{R}^n$ be functions. We provide necessary and sufficient conditions for the $1$-jet $(f,G)$ to have an extension $(F, \nabla F)$ with $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ convex and of class $C^{1}$. Besides, if $G$ is bounded we can take $F$ so that $\textrm{Lip}(F)\lesssim \|G\|_{\infty}$. As an application we also solve a similar problem about finding convex hypersurfaces of class $C^1$ with prescribed normals at the points of an arbitrary subset of $\mathbb{R}^n$.
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