Heat Content, Heat Trace, and Isospectrality
Peter B. Gilkey
在光滑边界的紧致流形上，在有限覆盖和翘曲积的背景下，研究了具有Dirichlet边界条件的Laplacian算子的热容函数、热迹函数和等谱性问题.
We study the heat content function, the heat trace function, and questions of isospectrality for the Laplacian with Dirichlet boundary conditions on a compact manifold with smooth boundary in the context of finite coverings and warped products.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Growth of heat trace and heat content asymptotic coefficients
我们表明，在光滑的范畴，热迹渐近和热含量渐近可以任意快速增长。然而，在真正的分析语境中，这是不正确的，我们对它们的增长建立了普遍的界限。
Heat trace asymptotics with singular weight functions II
本文研究了具有混合边界条件的Laplace型算子的加权热迹渐近性，其中权函数具有径向爆破。我们给出了展开式中前三个边界项的几何表达式。
Initial trace of solutions of semilinear heat equation with absorption
研究了具有强吸收项的半线性热方程正解的初始迹问题。我们表明，在一般情况下，这个初始跟踪是一个外部定期Borel措施。我们特别强调$u$满足（E）$\partial_t u-Δu+t^α|u|^{q-1}u=0$的情况，其中$q>1$和$α>-1$，并证明在亚临界情况下$1
Heat trace asymptotics for quantum graphs
我们考虑一个量子图，其中算子包含一个潜在的。我们表明，该运营商承认一个热核。在对势的某些假设下，这个热核在t=0时有一个渐近展开，其系数以一种普遍的方式依赖于势。这些系数是谱不变量，我们计算其中的前几个。
Heat traces and existence of scattering resonances for bounded potentials
我们表明，在奇数维，任何实值，紧支撑的有界潜力至少有一个散射共振。对于三维和更高的维度，这是以前只知道足够光滑的潜力。证明是基于一个相反的结果，它指出，相关的热核的轨迹有一个适当的渐近展开，当且仅当潜在的光滑。
Initial traces of solutions to a semilinear heat equation under the Dirichlet boundary condition
该研究探讨Dirichlet边界条件下半线性热方程非负解初始迹的定性性质，针对Cauchy–Dirichlet问题得到非负解存在的严格充要条件，确定可解非负初值的最优奇性。
Nonnegative solutions of the heat equation in a cylindrical domain and Widder's theorem
本文证明有界柱形域中热方程的非负解可由抛物边界上的底部迹、角部迹和侧向迹组成的迹三元组积分表示，且该三元组唯一确定解。
On the trace of Schrödinger heat kernels and regularity of potentials
对于完备黎曼流形上的Schr？dinger算子$-Δ_\rm{g}+V$，我们建立了$V$的Sobolev正则性与Schr？dinger热核的相对迹的有限阶渐近展开式$t\rightarrow 0$的存在性之间的一个等价关系.作为应用，我们将Sà Barreto和Zworski关于欧几里得空间紧度量扰动的共振存在性的一个结果推广到有界可测势的情形.
Initial traces and solvability for a semilinear heat equation on a half space of ${\mathbb R}^N$
证明了半空间${\mathbb R}^N$上半线性热方程在零Dirichlet边界条件下非负解的初始迹的存在唯一性.进一步得到了相应的Cauchy-狄利克雷问题可解的初值必要条件和充分条件。我们的必要条件和充分条件是尖锐的，使我们能够找到最佳的奇异性的初始数据的可解性的柯西-狄利克雷问题。
Growth of heat trace coefficients for locally symmetric spaces
研究了局部对称空间中标量拉普拉斯算子的热迹系数$a_n$在n趋于无穷大时的渐近行为。我们证明了如果非紧型对称空间的Plancherel测度是多项式，则这些系数像1/n!另一方面，对于偶数维局部秩1-对称空间，有$|a_n|$像C ^n * n一样增长!对于某些C> 0;我们猜想这是一般情况下，如果相关的Plancherel措施不是多项式。这些例子表明，Berry和Howls对增长的估计是准确的。我们还构造了局部对称空间的例子，这些空间不是不可约的，不是平坦的，并且只有有限数量的热迹系数是非零的。
Noncommutative Residues, Dixmier's Trace, and Heat Trace Expansions on Manifolds with Boundary
对于有边流形，我们定义了Wodzicki的非交换剩余到Boutet de Monvel微积分中的边值问题的推广.我们表明，这个残留物可以恢复与帮助的热核扩展，并探讨其关系到Dixeneu的痕迹。
Uniform bounds for Neumann heat kernels and their traces in convex sets
本文研究了凸集内Neumann热核及其迹的统一界，通过精确展开获得小时间展开的前两项，并探讨了Lipschitz域中的渐进行为。
Trace heat kernel asymptotics in 3D contact sub-Riemannian geometry
本文利用微扰方法研究了次黎曼流形上热核的小时间渐近性。然后，我们明确地计算，在一个三维接触结构的情况下，前两个系数的小时间渐近展开的热核的对角线上，表示它们在两个基本的功能不变量$χ$和$κ$定义的三维切触结构。
Quantum heat traces
我们研究椭圆型偏微分算子作用于一个封闭的黎曼流形上的向量丛的截面上的新的不变量，我们称之为相对论热迹和量子热迹。我们得到了一些约化公式表示这些新的不变量的一些积分变换的通常的经典热迹和计算这些不变量的渐近。这些渐近展开的系数由通常的热迹系数（这是局部可计算的）以及由一些新的全局不变量确定。
Heat trace asymptotics with singular weight functions
本文研究了具有Dirichlet边界条件的Laplace型算子的加权热迹渐近性，其中权函数具有径向爆破。我们给出了公式的前几项的几何数据方面的扩展。
Beyond Three Terms: Exponential Bounds in the Neumann Heat Trace of Polygons
本文通过建立角点、边和内部的热核局部性原理，用模型热核逼近多边形上的热核，给出了诺伊曼热迹渐近展开中指数小余项的显式估计，并讨论了该指数的锐度及与已知结果的关系，最后探讨了推广到Robin边界条件的问题。
Heat trace asymptotics for wedge-like singularity
本文考虑了具有楔状奇点的流形上的热迹展开。我们发现，有两个条款中的扩展，包含有关的奇异性，即对数项$ct^{-1/2}\log t$和半功率项$bt^{-1/2}$的存在的信息。还给出了$c$的几何表达式。
A unified proof of sharp bounds for the Jacobi heat kernel with trace and estimates of multiplicative constants
本文通过统一证明，对Jacobi热核的尖锐界值进行定量控制，并扩展到相关热核的常数估计。
Heat kernel estimates for boundary traces of reflected diffusions on uniform domains
本文研究一致区域上反射扩散的边界迹过程，利用调和测度估计、Naïm核延拓及Doob–Naïm公式，在次高斯热核条件下证明其类稳定热核估计。
Initial trace of positive solutions of a class of degenerate heat equation with absorption
本文研究了方程$ \prt_tu-\Gd_p u+f(u)=0$在$\BBR^N\ti(0,\infty)$中具有无界非负函数或测度的初值问题，其中$p>1$，$\Gd_p u = \text{div}(\abs {\nabla u}^{p-2} \nabla u)$和$f$是一个连续的非负减函数，使得$f(0)=0$ .在$p>\frac{2N}{N+1}$情形下，我们给出了$f$上满足初始数据$k\gd_0$的解的存在唯一性的充分条件，并研究了当$k\to\infty$根据$f^{-1}$和$F^{-1/p}$在无穷远处可积或不可积时解的极限，其中$F(s)=\int_0^s f(\gs)d\gs$ .对于初值无界的初值问题，我们也给出了非唯一性的新结果。如果$p>2$，我们证明了，对于一个大类的非线性$f$，任何正解承认一个初始迹类的正Borel措施。作为一个模型的情况下，我们考虑的情况$f(u)=u^\ga \ln^\gb(u+1)$，其中$\ga>0$和$\gb\geq 0$。
Heat trace expansion on manifolds with conic singularities
利用Jochen Bruening和Robert T. Seeley [BS].在随后的文件中，我们调查如何在扩展项反映几何的流形。
Classification of positive solutions of heat equation with supercritical absorption
令$q\geq 1+\frac{2}{N}$。证明了（E）$\prt_t u-\xD u+u^q=0$在$\mathbb{R}^N\times(0,\infty)$中的任何正解都有一个初始迹，它是一个非负Borel测度，关于$\BBR^N$（$q'=q/q-1)$）中与Bessel容量$C_{\frac{2}{q},q'}$相关的精细拓扑是外正则的，并且关于这个容量是绝对连续的.若$ν$是$\BBR^N$中的非负Borel测度，并具有上述性质，我们构造了（E）具有初始迹$\gn$的正解$u$，并证明了该解是（E）具有初始迹的唯一$\gs$ -适度解.最后证明了（E）的每一个正解都是$\gs$ -适度的.
Heat trace asymptotics and compactness of isospectral potentials for the Dirichlet Laplacian
设$Ω$是$\mathbb{R}^n$，$n \geq 1$的一个$C^\infty$ -光滑有界域，矩阵${\bf a} \in C^\infty (\overlineΩ;\R^{n^2})$是对称的一致椭圆的.本文研究了算子$-\mydiv ( {\bf a} \nabla \cdot)$在Dirichlet边界条件下的$L^2(Ω)$ -实现$A$.我们用实值位势$V \in C_0^\infty (Ω)$扰动$A$并记为$A_V=A+V$ .对于任何系数为$0$次齐次的矩阵${\bf a}$，我们将$\mbox{tr}\left( e^{-t A_V}-e^{-t A}\right)$的渐进展开式计算为$t \downarrow 0$。在$A$是$Ω$中的Dirichlet Laplacian算子的特殊情况下，即当${\bf a}$是$\R^{n^2}$的恒等式时，我们使渐近展开式中出现的四个主要项显式化，并证明了$A$的等谱势的$L^\infty$ -有界集对于$s <2$是$H^s$ -紧的.
On the nonlocal heat equation for certain Lévy operators and the uniqueness of positive solutions
本文为涉及一般 Lévy 算子的非局部热方程发展了 Widder 型理论，证明了非负解的唯一性、初始迹的存在性及解的表示公式，并从纯非局部算子扩展至各向异性及混合算子。
On the Noncommutative Residue and the Heat Trace Expansion on Conic Manifolds
本文研究了锥流形上锥伪微分算子的热迹渐近展开，显式给出了包含 $\log t$ 和 $(\log t)^2$ 新项的完整展开式，并据此恢复了自然代数上的所有迹泛函。
Heat trace asymptotics and the Gauss-Bonnet Theorem for general connections
研究了由外代数上任意超联络定义的de Rham复形的局部超迹渐近性。我们表明，在相反的情况下，其中的连接问题是列维-奇维塔连接，这些不变量是一般的非零的积极程度和关键的长期是不是Pfavian。
Boundary integral operators for the heat equation in time-dependent domains
本文给出了热传导方程在不定常域上边界积分方程的泛函分析框架。更具体地说，我们考虑时空中的非圆柱形域，它是圆柱的$C^2$ -双纯像，即，时间间隔和空间中固定区域的张量积。在非圆柱域上，我们引入了索伯列夫空间，并仿照[M. Costabel，热方程的边界积分算子，积分方程和算子理论，13（4）：498-552，1990]。在这里，关键的是，诺依曼轨迹需要一个修正项的正常速度的移动边界。因此，我们必须仔细分析形势。
Asymptotic Expansion of the Heat Trace of the Thermoelastic Dirichlet-to-Neumann map
本文研究了具有双曲项的黎曼流形上热弹性方程Dirichlet-to-Neumann映射的热迹的渐近展开。通过提供一种方法，我们可以得到所有的系数的渐近展开。特别地，我们明确地给出了涉及体积和边界的总中曲率的前两个系数。
One can hear the area and curvature of boundary of a domain by hearing the Steklov eigenvalues
对于光滑黎曼流形$(\mathcal{M},g)$中给定的具有光滑边界的有界区域$Ω$，我们证明了Dirichlet-to-Neumann算子的热核的Poisson型上估计、Sobolev迹不等式、Log-Sobolev迹不等式、Nash迹不等式和Rozenblum-Lieb-Cwikel型不等式都是等价的.将Dirichlet-to-Neumann算子分解为Laplacian算子的平方根和一个伪微分算子，并应用Grubb的符号微积分方法，建立了一个计算Dirichlet-to-Neumann算子的热核迹的渐近展开式的所有系数的方法，即$t\to 0^+$ .特别地，我们明确地给出了这个渐近展开的前四个系数。这些系数给出了精确的信息，关于该领域的边界的Steklov问题的频谱和曲率。
Full asymptotic expansion of the heat trace for non-self-adjoint elliptic cone operators
本文研究了锥奇性流形上非自伴椭圆算子的热迹，在参数椭圆性条件下，通过参数依赖微积分构造拟基本解逼近预解式，获得了热迹的全渐近展开。
Weighted heat traces of the Dirichlet Laplacian on Lipschitz domains
本文证明 Lipschitz 域上 Dirichlet Laplacian 加权热迹的渐近展开，并应用于加权 Riesz 均值和特征函数局部化测度的收敛。
Maximal regularity and caloric trace estimates in mixed Lebesgue norms for the heat equation
研究半空间上非齐次Dirichlet边界数据的热方程，建立了边界数据g的混合Besov和Lizorkin-Triebel型范数与热延拓v的混合Lebesgue范数之间的最大正则性估计和逆热迹估计，覆盖端点情形。
Eigenvalue inequalities and three-term asymptotic formulas of the heat traces for the Lamé operator and Stokes operator
本文建立了Laplace、Lamé、Stokes、屈曲和夹紧板算子特征值问题的联系，证明Stokes和Laplace特征值是Lamé特征值的极限，并给出了特征值不等式及热迹的三项渐近公式。
Trace formulas for the magnetic Laplacian and Dirichlet to Neumann operator -- Explicit expansions --
本文受 Liu 和 Tan 启发，通过显式示例概述磁热迹公式，并计算 Steklov 热迹渐近中的非局部项和对数项，获得新公式。
The heat trace for domains with curved corners
研究了具有弯曲角的平面多边形的热迹，发现其在阶$ t^{1/2} $处首次出现角和曲率的相互作用，并证明了Dirichlet角因子的符号法则，表明其符号仅由角是否为凸或凹决定。
Controlled harmonic map heat flow and blow-up from the disk to the sphere
本文研究圆盘到球面的单余旋调和映射热流，提出适应控制的粘合策略以阻止爆破，并证明边界控制可驱动爆破或阻止无限时间浓度。
Heat and Martin kernel estimates for Schrödinger operators with critical Hardy potentials
设$Ω$是$\mathbb{R}^N$中具有$C^2$边界的有界区域，$K\subset\partialΩ$是余维$k<N$的边界的$C^2$子流形或点.在这篇文章中，我们研究了与薛定谔算子$L_μ =-Δ- μd_K^{-2}$有关的各种问题，其中$d_K$表示到$K$和$μ\leq k^2/4$的距离。我们建立了抛物型边界Harnack不等式以及相关的双边热核和格林函数估计。我们构造了相应的Martin核，并证明了相应的边值问题的存在性和唯一性。接下来，我们将结果应用到$L_μu+g(u) = 0$的研究，并建立在适当的假设下的功能$g$的存在性和唯一性。为了证明我们的结果，我们引入了一个合适的边界迹的概念。该迹线不同于Marcus和Nguyen \cite{MT}使用的迹线，因此允许我们覆盖整个范围$μ\leq k^2/4$。
Trace theory for parabolic boundary value problems with rough boundary conditions
本文提出了一种适用于处理边界处导数发散的抛物型边值问题的迹理论，证明了热方程在粗糙边界数据下的适定性。
Heat and Wave kernel expansions for stationary spacetimes
研究静止时空中的波核展开，探讨热核系数与zeta函数残差的关系，计算波迹展开的第二非零项，揭示其与拉普拉斯算子热核系数的类比。
Heat kernel asymptotics, local index theorem and trace integrals for CR manifolds with $S^1$ action
在由Atiyah和Singer提出的横截椭圆算子中，Kohn的$\Box_b$算子在具有$S^1$作用的CR流形上是一个对复分析具有几何意义的自然算子.我们的第一个主要结果建立了一个渐近展开的热核这样一个运营商的值在其傅立叶分量，这涉及到一个前所未有的贡献在距离函数从低维层的$S^1$ -行动。我们的第二个主要结果计算的局部指数密度，在\emph{tangential}特征形式，在这样的流形，包括\emph{Sasakian manifolds}的兴趣在弦理论，通过显示，某些非平凡的贡献，从地层中的热核膨胀将最终取消应用Getzler的重标度技术的非对角估计。这导致了一个局部的结果，它可以被认为是一种类型的局部指标定理，这些CR流形。作为CR指标定理的应用，我们证明了CR形式的Grauert-Riemenschneider准则，并在弱伪凸CR流形上产生了许多具有横截$S^1$作用的CR函数和一类CR流形上的CR截面，回答了（在这类流形上）多复变数和CR几何中的一些长期存在的问题.我们给出这些CR流形的例子，其中一些来自Brieskorn流形。此外，在某些情况下，不使用等变上同调方法，也不像以前的工作那样保留低维层的贡献，我们可以重新解释Kawasaki的Hirzebruch-Riemann-Roch公式，该公式适用于具有orbifold全纯线丛的复orbifold，作为光滑CR流形…
Hodge-theoretic analysis on manifolds with boundary, heatable currents, and Onsager's conjecture in fluid dynamics
利用Hodge理论和泛函分析方法，在边界黎曼流形上建立了热流和Onsager猜想的一种简洁方法，其中弱解位于迹临界Besov空间$B_{3,1}^{\frac{1}{3}}$中.我们还介绍了可加热电流的自然模拟回火分布，并证明其重要性霍奇理论。
Boundary null controllability of degenerate heat equation as the limit of internal controllability
本文通过分析一类合格的状态控制对$((u_{\varepsilon}, h_{\varepsilon}))_{\varepsilon >0}$解相应的奇异摄动内部零能控性问题的渐近性态，恢复了退化热方程的边界零能控性.在文献中研究的其他情况下，我们的方法依赖于Carleman估计和细致的弱收敛结果。然而，对于退化抛物情形，必须得到一些特殊的迹算子不等式，以正确地证明极限论证的通过。
Heat Kernel Asymptotics of the Gilkey-Smith Boundary Value Problem
紧黎曼流形上的规范理论在边界上的表述导致了具有Gilkey-Smith边界条件的偏微分算子，其特殊性质是在边界上同时出现法向和切向导数。与标准的Dirichlet或Neumann边界条件不同，这个边值问题不是自动椭圆的，而是在边界算子的某些条件下变成椭圆的。本文研究了Laplace型算子的Gilkey-Smith边值问题，得到了椭圆性的一个简单判据。计算了热核迹的渐近展开式的第一非平凡系数，得到了热核对角线的局部领先渐近性。结果表明，在非椭圆情形下，热核对角线在边界附近不可积，这反映了热核不是迹类的事实。我们将这种分析应用到一般的线性玻色子规范理论中，并找到了一个椭圆性的显式条件。
Heat invariants of the Steklov problem
研究了带边界的黎曼流形上Steklov本征值问题的热迹渐近性。特别是，我们描述的Steklov热不变量的结构和计算的前几个明确的标量和中曲率。这是通过将Seeley演算应用于Dirichlet-to-Neumann算子来完成的，其谱与Steklov特征值一致。作为应用，证明了在所有具有光滑连通边界的欧几里得整环中，一个三维球是由它的Steklov谱唯一定义的.
Heat kernel coefficients for chiral bag boundary conditions
本文研究了fexp（-tP^2）的涂抹L2迹的渐近展开，其中P是Dirac型算子，f是用于局部化的辅助光滑涂抹函数，并施加手征袋边界条件.特殊情况下的计算，函子的方法和理论的zeta和eta不变量被用来获得热核系数a1和a2的边界部分。
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