Beyond O*(2^n) in domination-type problems
在本文中，我们为几个NP完全支配型问题提供了比O*（2^n）更快的算法。更准确地说，我们提供：CAPACITATED支配集的求解时间为O（1.89^n），最大不冗余集的求解时间为O（1.9657^n），最小包含-最大不冗余集的求解时间为O（1.999956^n）。我们还提供了一个指数逼近方案的电容支配集。所有算法都需要多项式空间。尽管所讨论的问题与支配集问题非常相似，但在本文之前，我们还没有发现任何已发表的算法比明显的O*（2^n）解更快地解决这些问题。
2009-09-22 cs.DM cs.DS
A Faster Pseudopolynomial Time Algorithm for Subset Sum
给定一个正整数集合$n$和一个目标整数$t$，子集和问题是判断是否存在一个和为$t$的$S$子集.我们提出了一个新的分治算法，计算所有可实现的子集和$\widetilde{O}\!\left(\min\{\sqrt{n}u,u^{4/3},σ\}\right)$中的整数$u$，其中$σ$是$S$中所有元素的总和和$\widetilde{O}$隐藏多对数因子。该结果改进了在$O(nu)$时间内运行的标准动态规划算法。据我们所知，新算法是最快的一般算法为这个问题。我们还提出了一个改进的算法，它计算所有的可实现的子集和内的循环群在$\widetilde{O}\!\left(\min\{\sqrt{n}m,m^{5/4}\}\right)$时间，其中$m$是组的顺序。
2016-12-12 cs.DS
Faster Algorithms for Semi-Matching Problems
我们考虑的问题，发现\textit{semi-matching}在二分图，这也是广泛研究的各种名称在调度文献。我们给更快的算法加权和未加权的情况下。对于加权情形，我们利用问题的几何结构给出了一个$O(nm\log n)$时间算法，其中$n$是顶点数，$m$是边数.这改进了Horn [Operations Research 1973]和Bruno、Coffman和Sethi [Communications of the ACM 1974]的经典$O(n^3)$算法。对于未加权的情况，界限可以进一步改进。我们给出了一个简单的分治算法，运行在$O(\sqrt{n}m\log n)$时间，改进了两个以前的$O(nm)$时间算法亚伯拉罕[硕士论文，格拉斯哥大学2003年]和哈维，Ladner，Lovász和塔米尔[WADS 2003年和算法杂志2006年]。我们还扩展了该算法，以在$O(\sqrt{n}m\log n)$时间内解决\textit{Balance Edge Cover}问题，改进了Harada、Ono、Sadakane和Yamashita [ISAAC 2008]先前的$O(nm)$时间算法。
2012-06-13 cs.DS
Faster Graph Coloring in Polynomial Space
我们提出了一个多项式空间算法，计算任何输入图的数量独立集的时间$O(1.1387^n)$的最大程度为3的图和一般图的时间$O(1.2355^n)$，其中n是顶点的数量。结合Björklund，Husfeldt和Koivisto的包容-排除方法[SIAM J. COMPUT。2009]，这导致了一个更快的多项式空间算法的图着色问题的运行时间$O(2.2355^n)$。作为副产品，我们还获得了一个指数空间$O(1.2330^n)$时间算法计数的独立集。我们的主要算法计数图的独立集，最大度为3，没有顶点与三个邻居的度为3。使用最近引入的分离，测量和征服方法[Gaspers & Sorkin，ICALP 2015]分析该多项式空间算法。使用Wahlström的复合测度方法，这种小度图的运行时间的改进然后被引导到更大的度，从而给出了一般图的改进。结合这两种方法，导致在选择小度情况下的分支顶点时出现一些不确定性，我们用结构图属性来反驳。
2016-10-13 cs.DS
Obstructions to faster diameter computation: Asteroidal sets
一个端点是一个顶点，它的封闭邻域的删除不会增加连接组件的数量。设$Ext_α$是所有由模分解得到的商图不超过$α$的两两不相邻端点的连通图类.我们的主要贡献如下。首先证明了$Ext_α$中每个$m$ -边图的直径都可以在确定性的${\cal O}(α^3 m^{3/2})$时间内计算.然后，我们改进的运行时间线性的所有图与有界的cabinet数。此外，我们可以计算一个附加的$+1$ -近似的所有顶点偏心率在确定性的${\cal O}(α^2 m)$时间。这与一般的$m$ -边图形成鲜明对比，对于一般的$m$ -边图，在强指数时间假设（SETH）下，对于任何$ε> 0$，人们不能计算在${\cal O}(m^{2-ε})$时间中的直径。作为我们的主要结果的重要特例，我们导出了一个${\cal O}(m^{3/2})$ -时间算法，用于直径至少为6的支配对图的精确直径计算，以及一个${\cal O}(k^3m^{3/2})$ -时间算法，用于小行星数至多为$k$的图的精确直径计算.最后，我们提出了一个改进的算法，弦图的有界星状数，和我们的结果的部分扩展到更大的类的所有图与一个主导目标的有界基数。在合理的复杂性假设下，我们的时间上界在纸上被证明是基本上最优的。
2023-02-27 cs.DS
Even Faster Exact Bandwidth
我们处理精确的算法带宽，长期研究的NP-难问题。在很长一段时间里，没有什么比平凡的O*（n！）详尽的搜索是已知的。2000年，Feige和Kilian提出了O*（10^n）时间算法。最近，我们提出了一个运行时间为O*（5^n），空间为O*（2^n）的算法。在本文中，我们提出了一个主要的修改，我们的算法，使其运行在O（4.83 ^n）的时间与O*（4 ^n）的空间复杂度的成本。这种修改使我们能够对以前不用于此类问题的时间复杂度进行测量和征服分析。
2009-02-10 cs.CC cs.DS
Edge Bipartization faster than $2^k$
在边二分化问题中，给定一个无向图$G$和一个整数$k$，问题是是否可以从$G$中删除$k$边，使它成为二分的。2006年，Guo等人[J. Comput.系统科学，72（8）：1386-1396，2006]提出了一种及时解决该问题的算法$O(2^k m^2)$ ;如今，该算法是迭代压缩技术的应用的教科书示例。尽管近年来在理解图分离问题的参数化复杂性方面取得了广泛的进展，但尚未报道对该结果的重大改进。我们提出了一个边二分算法，工作在时间$O(1.977^k nm)$，这是第一个算法的运行时间依赖于参数优于$2^k$。为此，我们结合了郭等人的一般迭代压缩策略[J. Comput.系统科学，72（8）：1386-1396，2006]、Wahlstrom [SODA 2014，1762-1781]提出的使用以赋值约束满足问题的形式的多项式时间可解松弛来指导有界深度分支算法的技术，以及递归树的相关测量和征服分析。
2017-03-28 cs.DS
Retraction: Improved Approximation Schemes for Dominating Set Problems in Unit Disk Graphs
回撤注释：在arXiv上发布手稿后，Erik Jan van Leeuwen告诉我们，这两个结果都是已知的，并出现在他的论文中[vL 09]。MDS的PTAS见第79页的定理6.3.21，MCDS的PTAS见第82页的定理6.3.31。使用的技术非常相似。他指出，在移位技术中使用恒定数量的额外层来处理连接版本的想法不仅出现在Zhang et al. [ZGWD 09]但也在他2005年的论文[vL 05]中。最后，van Leeuwen还告诉我们，我们发布的开放问题已经被Marx解决了~[Mar 06，Mar 07]，他表明MDS的有效PTAS不存在[Mar 06]，并且在ETH下，$n^{O(1/ε)}$的运行时间是最好的[Mar 07]。我们感谢Erik Jan van Leeuwen提供的信息，我们很遗憾我们犯了这个错误。摘要撤回前：我们提出了两个（指数）更快的PTAS的支配集问题的单位盘图。给定一个单位圆盘图的几何表示，我们的PTAS的，找到$(1+ε)$ -近似解的最小支配集（MDS）和最小连通支配集（MCDS）的输入图运行在时间$n^{O(1/ε)}$。这可以与最著名的Nieberg和Hurink~[WAOA'05]针对MDS的仅使用图结构的$n^{O(1/ε \log {1/ε})}$ -时间PTAS和Zhang、Gao、Wu和Du~[J Glob Optim'09]…
2021-09-17 cs.DS
On the maximum number of minimal connected dominating sets in convex bipartite graphs
众所周知，一般图的最小连通控制集的计数是非常困难的。目前，只知道集合的枚举速度比$\mathcal{O}^{*}(2^n)$稍快，并且算法非常重要。此外，在构造枚举算法时，似乎很难使用二分性作为结构辅助。因此，据我们所知，没有已知的输入敏感算法枚举最小支配集，或其相关的集合之一，在二分图比一般的图。本文给出了二部图的一些非平凡子类，即凸图的第一个输入敏感计数算法。给出了一个计算凸二部图在时间上的所有最小连通控制集的算法$\mathcal{O}(1.7254^{n})$，其中$n$是输入图的顶点数.我们的算法意味着一个相应的上界的最小连通支配集的数量为这个图类。我们通过提供一个凸二部图来补充这个结果，这个凸二部图至少有$3^{(n-2)/3}$最小连通控制集。
2019-08-06 cs.DM cs.DS math.CO
Faster Approximation Schemes and Parameterized Algorithms on H-Minor-Free and Odd-Minor-Free Graphs
我们改进的运行时间的一般算法技术称为贝克的方法（1994年）的H-小的自由图从O（n^{f（|H|）}）到O（f（|H|）n^{O（1）}）。众多的应用程序包括例如2-近似着色和PTASes的各种问题，如支配集和最大割，在那里我们得到类似的改进。在最近受到广泛关注的无奇子图类上，我们得到了Demaine等人（2010）证明的结构分解定理的一个变体的类似加速。我们使用这些算法来获得更快的2-近似，此外，我们提出了第一PTASes和次指数FPT算法的独立集和顶点覆盖这些图形类使用一种新的动态规划技术。我们还介绍了一种技术，以获得（近）次指数参数化算法的H-未成年人的自由图。我们的技术适用于，特别是，问题，如斯坦纳树，（有向）子图的属性，（有向）最长路径，（连通/独立）支配集，在一些或所有适当的小闭图类。我们得到一个推论，所有的问题与一个小单调的次指数内核，并服从我们的技术可以解决在次指数FPT时间的H-未成年人自由图。这导致在二维框架外的次指数参数化算法的一般方法。
2010-04-20 cs.DM cs.DS
The Effect of Sparsity on $k$-Dominating Set and Related First-Order Graph Properties
研究稀疏性对k-支配集细粒度复杂度的影响，证明其下界为mn^{k-2-o(1)}，并发现它是唯一在稀疏图上复杂度降低的相关问题。
2023-12-22 cs.DS
Approximating Directed Connectivity in Almost-Linear Time
本文提出了一种基于收缩包裹技术的随机算法，用于在几乎线性时间内近似计算有向图的边和顶点连通性。
2025-11-28 cs.DS
Faster algorithms to enumerate hypergraph transversals
超图的横截是与每个超边相交的顶点的集合。我们设计并分析了一个新的指数时间算法来计算超图的所有包含最小断面。对于每一个固定的k>2，我们的超图的秩k，其中的秩是一个超边的最大大小的算法，优于以前的最佳。这也意味着改进的上界的最大数目的最小断面的n-顶点超图的秩k>2。我们的主要算法是一个分支算法，其运行时间分析与测量和征服。它在时间O（1.6755^n）内枚举了n个顶点上秩为3的超图的所有极小断面。我们的超图的秩为4的算法是基于迭代压缩。我们的枚举算法改进后，最有名的算法，用于计算最小横在超图的秩k为k>2，k>5的计算最小横在超图的秩k。
2015-10-17 cs.DM cs.DS math.CO
Faster Algorithms for Sparse ILP and Hypergraph Multi-Packing/Multi-Cover Problems
本文研究稀疏矩阵 ILP 的可行性、求解与计数问题，并提出图及超图多重装填/多重覆盖问题的更快指数算法框架。
2024-01-22 cs.CC cs.DS math.CO
Faster Combinatorial k-Clique Algorithms
本文提出新的分治归约，将 k-Clique 组合算法复杂度较 Vassilevska 界限改进两个对数因子，并给出超图 k 团首个 o(n^k) 算法及三角形枚举改进算法。
2024-08-03 cs.DS
A Faster Randomized Algorithm for Vertex Cover: An Automated Approach
本工作通过自动化生成分支规则和新的度量与征服分析技术，提出了顶点覆盖问题的最快随机化算法，在次立方图、最大度为4的图及一般图上分别达到$O^*(1.07625^n)$、$O^*(1.13735^n)$和$O^*(1.25281^k)$的时间复杂度。
2025-10-10 cs.CC cs.DS
Faster Planar Graph Algorithms for Connectivity Problems via Meanders
Roma Tre University（罗马第三大学）；University of Latvia（拉脱维亚大学）
该研究改进了基于球割分解的动态规划框架，结合曲折系统分析与快速矩阵乘法，得到了平面图连通性问题的更快亚指数算法，优化了曲折线数量上界及多个平面图问题的确定性时间复杂度，包括平面图哈密顿环问题。
2026-10-09 cs.DS
New Algorithms for Weighted $k$-Domination and Total $k$-Domination Problems in Proper Interval Graphs
给定一个正整数$k$，图$G$中的$k$ -支配集是一个顶点集，使得每个不在集合中的顶点在集合中至少有$k$邻居。全$k$ -支配集，也称为$k$ -元组全支配集，是一个顶点集合，使得图的每个顶点在该集合中至少有$k$邻居。在给定的图中，分别求$k$ -控制集和全$k$ -支配集的最小尺寸的问题称为$k$ -控制集和全$k$-控制集.这些经典控制和全控制问题的推广在弦图类中是NP-困难的，更具体地说，甚至在分裂图类（两个问题）和无向路图类（在全$k$ -控制的情况下）中也是NP-困难的。另一方面，它遵循Kang等人最近的工作。（2017），这两个家庭的问题是可解的时间$\mathcal{O}(|V(G)|^{6k+4})$在类的区间图。我们开发了更快的算法$k$ -支配和总$k$ -支配类的适当的区间图，通过减少到一个最短路径计算在一个派生的有向无环图的$\mathcal{O}(|V(G)|^{2k})$节点和$\mathcal{O}(|V(G)|^{4k})$弧。我们表明，一个合适的实现，这避免了构建所有的弧的有向图，导致运行时间的$\mathcal{O}(|V(G)|^{3k})$。该算法也适用于加权的情况。
2018-07-24 cs.DM cs.DS math.CO
Switch and Conquer: Efficient Algorithms By Switching Stochastic Gradient Oracles For Decentralized Saddle Point Problems
IIT Bombay（印度理工学院孟买分校）
针对无中心服务器的非光滑强凸-强凹去中心化鞍点问题，提出 inexact PDHG 框架并设计 C-DPSSG 算法，通过在初始阶段和适当时机切换 GSG 与 SVRG 梯度预言机加速收敛，证明其具有线性收敛率并能快速获得不同精度的解。
2023-09-13 cs.DC cs.DS cs.LG
Tight Complexity Bounds for Counting Generalized Dominating Sets in Bounded-Treewidth Graphs Part II: Hardness Results
本文针对有界树宽图中的广义 $(σ,ρ)$-集计数问题，基于 $\\#$SETH 证明配套算法的底数 $c_{σ,ρ}$ 不可改进，并将下界扩展到有限集合情形的判定版本。
2023-05-26 cs.CC cs.DS
Tight Bounds for Connectivity Problems Parameterized by Cutwidth
在这项工作中，我们开始调查严格的复杂性界限的连通性问题的参数化cutwidth假设强指数时间假设（SETH）。Van Geffen等人对奇圈截线和反馈点集提出了这个问题。我们回答了这两个和四个进一步的问题，即连通顶点覆盖，连通控制集，steiner树，连通奇圈断面。对于后两个问题，它足以证明下界匹配的运行时间继承的参数化树宽;对于其他人，我们提供更快的算法比相对树宽和证明匹配的下界。对于上界，我们首先扩展了Groenland等人的思想。[STACS~2022]来解决我们所说的类似着色的问题。这样的问题是由一个对称矩阵$M$定义的$\mathbb{F}_2$索引的一组颜色。我们的目标是计算一个图的着色数（模为某个素数$p$），使得$M$在任何边的端点的颜色索引下都有一个$1$ -条目。我们表明，这个问题可以更快地解决，如果$M$有小的排名超过$\mathbb{F}_p$。我们应用这个结果得到了连通顶点覆盖和连通支配集的上界。奇循环截线和反馈顶点集的上界使用细分技巧，使其低于矩阵秩产生的上界。
2022-12-23 cs.DS
Breaking the Barrier $2^k$ for Subset Feedback Vertex Set in Chordal Graphs
本文针对弦图中的子集反馈顶点集问题，利用 Dulmage-Mendelsohn 分解和分治方法设计算法，将时间复杂度从 $2^k$ 改进到 $1.820^k$，打破了此前的 $2^k$ 障碍。
2025-01-03 cs.DS
Fast Stencil Computations using Fast Fourier Transforms
时空计算被广泛用于模拟物理系统在多个时间步长上跨多维网格的状态变化。该领域的最新技术分为三类：缓存感知的平铺循环算法，缓存无关的分治梯形算法和Krylov子空间方法。在本文中，我们提出了两个有效的并行算法进行线性模板计算。目前在这个领域的直接求解器计算效率低下，Krylov方法需要手工劳动和数学训练。我们解决这些问题的线性stenestrant通过使用DFT预处理的Krylov方法实现直接求解器，这是快速和通用的。事实上，虽然所有目前可用的算法，用于解决一般的线性stentleman执行$Θ(NT)$工作，其中$N$是空间网格的大小和$T$是时间步的数量，我们的算法执行$o(NT)$工作。据我们所知，我们给出了第一个算法，使用快速傅立叶变换来计算最终的网格数据，通过不断演变的初始数据为许多时间步长一次。我们的算法处理周期性和非周期性边界条件，并实现多项式更好的性能界限（即，计算复杂性和并行运行时间）。初步的实验结果表明，我们的算法，大约$10^5$时间步长的演变网格$10^7$细胞运行的数量级快于国家的最先进的实现周期性的模板问题，和1.3 $\times$到8.5 $\times$更快的非周期性的模板问题。
2021-05-14 cs.DC cs.DS
Output-sensitive approximate counting via a measure-bounded hyperedge oracle, or: How asymmetry helps estimate $k$-clique counts faster
本文推广了DLM归约，提出度量有界超边预言机，实现输出敏感的$k$-团、$k$-支配集和$k$-和近似计数算法，在见证数少时显著提速。
2025-03-27 cs.DS
Solving connectivity problems parameterized by treedepth in single-exponential time and polynomial space
Cygan等人（FOCS 2011）的突破性结果表明，树宽参数化的连通性问题可以比以前最好的已知时间$\mathcal{O}^*(2^{\mathcal{O}(tw \log(tw))})$更快地解决。使用他们的启发切割\计数技术，他们获得了许多这样的问题的$\mathcal{O}^*(α^{tw})$时间算法。此外，他们证明了这些运行时间是假设强指数时间假设的最佳时间。不幸的是，像其他关于树分解的动态规划算法一样，这些算法也需要指数空间，这被广泛认为是不可避免的。相比之下，对于稍大的参数treedepth，已经有几个算法的例子匹配的时间边界获得的树宽，但只使用多项式空间。然而，这仍然是开放的连接问题。在目前的工作中，我们关闭这一知识差距，应用割\计数技术的小树深度的图形。虽然一般的想法是不变的，我们必须设计新的程序来计算一致的削减解决方案的候选人只使用多项式空间。具体地，我们得到了树深为$d$的图上的连通顶点覆盖、反馈顶点集和Steiner树的时间$\mathcal{O}^*(3^d)$和多项式空间。同样地，我们得到了连通支配集和连通奇圈transmitting的时间$\mathcal{O}^*(4^d)$和多项式空间。
2021-06-25 cs.DS
Exact and Heuristic Algorithms for the Domination Problem
本文针对支配问题提出精确隐式枚举算法与启发式算法，实验表明精确算法在中稠密度实例上优于ILP和现有精确算法，启发式算法在大型图上更快且多数实例达最优，平均近似误差1.18。
2023-06-16 cs.DM cs.DS
Dynamical perturbation theory for eigenvalue problems
物理、化学和其他领域中的许多问题本质上都是微扰的，即与已知解的相关问题只有微小的不同。其中突出的是特征值扰动问题，其中一个寻求的特征向量和特征值的矩阵与小的非对角元素。在这里，我们介绍了一种新的迭代算法来计算这些特征对基于不动点迭代的代数方程在复射影空间。我们从显式和数值例子表明，我们的算法优于通常的瑞利-薛定谔展开的三个计数。首先，由于它没有被定义为幂级数，它的收敛域并不是先验地局限于复平面中的圆盘;我们发现它确实通常延伸到标准的摄动收敛半径之外。其次，它的收敛速度比瑞利-薛定谔展开更快，即需要更少的迭代来达到给定的精度。第三，每次迭代的（时间和空间）算法复杂度不会随着近似的阶数而增加，从而允许更高精度的计算。因为这种复杂性仅仅是矩阵乘法，我们的动态方案也比通用的特征值例程，如移位QR或分治算法更好地扩展矩阵的大小。无论它们是密集的，稀疏的，对称的或不对称的，我们确认，动态对角化迅速超过LAPACK驱动程序的矩阵的大小的增长;对于计算的只是占主导地位的特征向量，我们的方法收敛的数量级快于ARPACK中实现的Arnoldi算法。
2020-03-11 cs.DS math-ph math.MP
Exact Algorithms via Multivariate Subroutines
我们考虑一族$Φ$ -子集问题，其中输入由大小为$n$的论域$U_I$上大小为$N$的实例$I$组成，并且任务是检查论域是否包含具有属性$Φ$的子集（例如，$Φ$可以是作为大小至多为$k$的输入图的反馈顶点集的属性）。我们的主要工具是一个简单的随机算法，解决$Φ$ -子集的时间$(1+b-\frac{1}{c})^n N^{O(1)}$，提供了一个算法的$Φ$ -扩展问题的运行时间$b^{n-|X|} c^k N^{O(1)}$。这里，$Φ$ -Extension的输入是大小为$n$的全域$U_I$上的大小为$N$的实例$I$、子集$X\subseteq U_I$和整数$k$，并且任务是检查是否存在具有$X\subseteq Y \subseteq U_I$和具有属性$Φ$的$|Y\setminus X|\le k$的集合$Y$。我们去随机化这个算法的成本增加了运行时间的一个次指数因子在$n$，我们适应它的枚举设置，我们需要枚举的属性$Φ$的所有子集的宇宙。这概括了Fomin等人[STOC 2016]的结果，Fomin等人证明了$b=1$。作为案例研究，我们使用这些结果来设计更快的确定性算法：-检查一个图是否有一个反馈顶点集的大小最多$k$ -枚举所有最小的反馈顶点集-枚举所有最小顶点覆盖的大小最多$k$，和-枚举所有最小的3-命中集。我们得到这些结果，通过推导相应的$Φ$ -扩展…
2017-04-26 cs.DS
Online Disjoint Spanning Trees and Polymatroid Bases
针对在线到达的边，研究多拟阵基打包问题，提出基于多拟阵商的随机算法，实现多对数竞争比，并推广至在线不相交生成树等场景。
2025-03-25 cs.DS
Counting Patterns in Degenerate Graphs in Constant Space
IIT Gandhinagar（印度理工学院 gandhinagar）；Université Libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
本文引入DAG树深度参数，在常数空间内高效计数退化宿主图中的同态、子图同构和诱导子图同构，并给出模式图的诱导子图刻画。
2026-07-01 cs.DS
Exploiting Graph Structure for Near-Optimal Broadcasting
NISER Bhubaneswar, An OCC of Homi Bhabha National Institute, Mumbai（印度国家科学教育研究所，霍米·巴巴国立大学附属机构）；IISER Pune（印度科学教育与研究学院浦那分校）
研究利用图结构实现近最优广播，改进精确算法为近似算法，给出有界顶点完整性图上的近似算法，证明部分参数化硬度，还给出距离团、距离路径及极图的相关算法。
2026-07-16 cs.DS
Quantum Algorithms for Graph Coloring and other Partitioning, Covering, and Packing Problems
本文提出量子算法，针对集合划分、覆盖和打包问题，在经典枚举算法可二次加速时实现 O*((2+c)^(n/2)) 运行时间，并将图着色改进至 O(1.7956^n)，Domatic Number 达到 O((2-ε)^n)。
2023-11-14 cs.DS quant-ph
Towards exact structural thresholds for parameterized complexity
参数化复杂性试图使用输入结构来获得NP难问题的更快算法。这对于低树宽的图是最成功的：许多问题允许相对于树宽的快速算法，其中许多在SETH下是最优的。更一般的结构，如低candle-width和更严格的结构，如低删除距离稀疏图类，这样的结果是已知的。尽管取得了这些成功，但这些成果仍然是可能结构范围内的“孤岛”。而不是添加更多的岛屿，我们试图确定它们之间的过渡，也就是说，我们的目标是结构阈值的复杂性增加输入结构变得更加普遍。从删除距离到树宽，是一个单一的删除集的图与简单的组件足以产生相同的下界作为树宽或它需要许多不相交的分隔符？从树宽到宽，密度增加多少才能带来与宽相同的复杂性？相反，什么是最严格的结构，产生相同的下限？对于树宽，我们得到改进的和新的下界，已经适用于图形与一个单一的分隔符$X$，使$G-X$具有树宽$r=O(1)$，而$G$具有树宽$|X|+O(1)$。我们排除了在时间$O^*((r+1-ε)^{k})$中运行的算法，用于删除$r$ -由$k=|X|$参数化的可着色。对于candle-width，我们排除了删除到$r$ -Colorable的时间$O^*((2^r-ε)^k)$，其中$X$现在允许由$k$双类组成。在顶点覆盖、支配集和最大割上有进一步的结果。所有的下限匹配现有的和新设计的算法。
2022-12-17 cs.CC cs.DS
Eigenvector Synchronization, Graph Rigidity and the Molecule Problem
图的实现问题近年来受到了极大的关注，由于其在无线传感器网络和结构生物学等应用中的重要性。针对$\mathbb{R}^3$中的图实现问题，在距离测量稀疏且有噪声的情况下，提出了3D-ASAP算法。3D-ASAP是一种分而治之、非增量和非迭代的算法，它将局部距离信息集成到全局结构确定中。我们的方法首先为每个节点识别其1跳邻域图的子图，该子图可以准确地嵌入到其自己的坐标系中。在无噪声的情况下，每个贴片中的传感器的计算坐标必须与它们的全局定位一致，直到一些未知的刚性运动，即，直到平移、旋转和可能的反射。换句话说，每个面片都对应于$\mathbb{R}^3$中刚性变换的欧几里得群Euc（3）的一个元素，目标是估计将以全局一致的方式正确对齐所有面片的群元素。此外，3D-ASAP成功地结合了结构生物学中分子问题的特定信息，特别是已知子结构及其方向的信息。此外，我们还提出了3D-SP-ASAP，3D-ASAP的一个更快的版本，它使用频谱划分算法作为预处理步骤，用于将初始图划分为更小的子图。我们广泛的数值模拟表明，3D-ASAP和3D-SP-ASAP是非常强大的测量距离和稀疏连接的测量图中的高水平的噪声，并有利地比较类似的国家的最先进的定位算法。
2012-03-02 cs.CE cs.DS math.CO
Solving weighted and counting variants of connectivity problems parameterized by treewidth deterministically in single exponential time
众所周知，对于图G=（V，E），给定树分解宽度为tw，许多局部图问题，如顶点覆盖和支配集，都可以在2^{O（tw）} |V| ^{O（1）}时间内得到解决.然而，对于非局部问题，比如连通性问题的基本类，很长一段时间我们不知道如何比tw^{O（tw）} |V| ^{O（1）}更快地完成这一过程。最近，Cygan等人（FOCS 2011）提出了一种用于在时间$c^{tw} |V| ^{O（1）}中运行的各种连通性问题的Monte Carlo算法，其中c是一个小常数，例如，哈密尔顿圈和斯坦纳树。当然，这就提出了一个问题，随机化是否是实现这个运行时所必需的;此外，还需要解决计数和加权版本（后者不会在权重方面产生伪多项式成本）。我们提出了两个新的方法植根于线性代数，矩阵秩和行列式的基础上，提供确定性c^{tw} |V| ^{O（1）}时间算法，也为加权和计数版本。例如，在这段时间里，我们可以解决旅行推销员问题或计算哈密尔顿圈的数量。基于秩的思想提供了一个相当普遍的方法，通过确定“小”集的代表性部分解决方案，以加快甚至直接的动态规划配方，我们专注于通过分区集表示连接的情况下，但基本的想法应该有进一步的应用。基于行列式的方法使用矩阵树定理推导出封闭的公式计算版本的连通性问题，我们展示了如何通过动态规划来评估这些公式。
2012-11-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Fast Maximal Quasi-clique Enumeration: A Pruning and Branching Co-Design Approach
针对现有极大γ-拟团枚举分支定界算法仅优化剪枝、最坏时间复杂度为O^*(2^n)的问题，本文提出剪枝与分支协同设计的FastQC算法，结合分治策略将复杂度降至O^*(α_k^n)（α_k<2），实验显示其比现有最优方法最快快两个数量级。
2023-08-26 cs.DB cs.DS
Fast Dynamic Programming in Trees in the MPC Model
本研究提出MPC模型下的确定性算法，以O(log D)轮求解树中多种动态规划及图优化等问题，运行时间与节点数无关，严格优于现有两类算法。
2023-05-05 cs.DC cs.DS
