Latin transversals of rectangular arrays
设m和n为整数，$2 \leq m \leq n$。一个m × n阵列由mn个单元组成，排列成m行和n列，每个单元恰好包含一个符号。一个数组的横截由m个单元组成，每行一个，同一列没有两个。一个拉丁横切面是一个横切面，其中没有一个符号出现超过一次。我们将建立一个3 × n数组有拉丁断面的充分条件。
2001-09-18 math.CO
Hall's Condition for Partial Latin Squares
Hall条件是部分拉丁方可完备的必要条件。Hilton和Johnson证明了对于一个部分拉丁方，其填充单元形成一个矩形，Hall条件等价于Ryser条件，这是可完全性的一个充要条件。我们给什么可以被视为一个扩展的Ryser定理，通过显示，部分拉丁方的填充细胞形成一个矩形，其中有最多一个空细胞在每列的矩形，霍尔的条件是一个充要条件的可完成性。部分拉丁方是否可完备的判定问题是NP-完全的。证明了满足Hall条件的部分拉丁方是否可完备的问题是NP-困难的。
2011-07-13 math.CO
Latin Cubes with Forbidden Entries
我们考虑的问题，建设拉丁立方体的条件下，一些符号可能不会出现在某些细胞。证明了存在一个常数$γ> 0$使得如果$n=2^k$和$A$是$3$维$n\times n\times n$数组，其中每个单元至多包含$γn$符号，并且每个符号在$A$的每行中至多出现$γn$次，则$A$是{ \em可避免};即，存在顺序为$n$拉丁立方体$L$，使得对于每个$1\leq i,j,k\leq n$，$L$的位置$(i,j,k)$中的符号不出现在$A$的相应单元中。
2018-09-07 math.CO
Toward a Three-dimensional Counterpart of Cruse's Theorem
本文确立了完全λ重3-图边着色嵌入一因子分解的充要条件，证明了首个超图Ryser型定理及Evans型结果。
2025-09-14 math.CO
Latin squares and their defining sets
拉丁方$L(n,k)$是一种$n$阶的正方形，其条目用$k$颜色着色，因此一行或一列中的所有条目都具有不同的颜色。令$d(L(n,k))$为$n \times n$正方形的着色项的最小数目，使得存在对尚未着色的项着色的唯一方式，以获得拉丁正方形$L(n, k)$。本文讨论了$k=2n-1$和$k=2n-2$的$d(L(n,k))$的性质。我们给出了$d(L(n, 2n-1))=n^2-n$恒等式的另一个证明，它对偶数$n$成立，我们建立了新的结果$d(L(n, 2n-2)) \geq n^2-\lfloor\frac{8n}{5}\rfloor$，并证明了这个界对于可被10整除的$n$是紧的。
2005-09-19 math.CO
Completions of epsilon-dense partial Latin squares
组合数学中的一个经典问题是：给定一个部分拉丁方P，我们何时能将P完全化为一个拉丁方L？本文研究了一类\leq ε-稠密的部分拉丁方：每个符号、行和列包含\leq ε n个非空单元的部分拉丁方。一个猜想的纳什威廉姆斯三角图导致Daykin和Häggkvist猜想，所有\leq（1/4）-密集部分拉丁方是完全的。本文讨论了以往解决这一猜想的证明方法和结果，介绍了Jacobson和Matthews关于生成随机拉丁方的论文中提出的一种新方法，并利用该方法研究了含有\leqdn^2胞元的\leq ε-稠密部分拉丁方.特别地，我们建立了所有\leq（1/5300）-稠密n乘n部分拉丁方是可完成的，以及所有\leq（1/13）-稠密n乘n部分拉丁方包含\leq（8.8*10^（-5）*n^2）-许多填充单元。这改进了Gustavsson的先前结果，其要求ε= d \leq 10^（-7），以及Chetwynd和Haggkvist的先前结果，其要求ε= d \leq 10^（-5）和n偶数，\leq 10 ^7。
2013-06-03 math.CO
Latin cubes of even order with forbidden entries
我们考虑的问题，建设拉丁立方体的条件下，一些符号可能不会出现在某些细胞。我们证明了存在一个常数$γ> 0$使得如果$n=2t$和$A$是一个$3$维$n\times n\times n$数组，其中每个单元最多包含$γn$符号，并且每个符号在$A$的每行中最多出现$γn$次，则$A$是{ \em可避免};即，存在顺序为$n$拉丁立方体$L$，使得对于每个$1\leq i,j,k\leq n$，$L$的位置$(i,j,k)$中的符号不出现在$A$的相应单元中。
2019-04-15 math.CO
Ryser's Theorem for Simple Multi-Latin Rectangle
本文推广了拉丁矩的补全理论，证明了在预先指定符号出现次数且单元格无重复符号的设定下，简单多重拉丁矩可扩展为拉丁方，并证实了Cavenagh等人关于部分拉丁方嵌入的猜想。
2025-09-14 math.CO
A Generalization of Plexes of Latin Squares
拉丁方的$k$ -plex是表示每行、列和符号精确$k$次的单元格的集合。$k=1$的经典病例通常称为横截骨。我们引入了$k$ -权的概念，它是一个拉丁方的行、列和符号和都是$k$的单元格上的积分权函数。然后，我们表明，几个不存在的结果有关$k$ -丛可以被看作是更一般的事实，关于$k$ -权重和权重类似物的几个著名的存在性理论丛实际上持有的$k$ -权重。
2010-08-01 math.CO
Latin Hypercubes and Cellular Automata
拉丁方和超立方体是在统计学、密码学和编码理论中有几个应用的组合设计。本文将一种基于双置换元胞自动机的拉丁方构造推广到维数为$k>2$的拉丁超立方体的情形。特别地，我们证明了产生$k>2$维拉丁超立方体的线性双置换CA（LBCA）是由系数部分重叠的可逆Toeplitz矩阵序列定义的，该Toeplitz矩阵序列可以由行列式函数的支集导出的一种特殊的正则de Bruijn图来描述.进一步，我们通过计算这个de Bruijn图上长度为$k-3$的路的个数，导出了由LBCA生成的$k$维拉丁超立方体的个数.
2020-04-15 cs.DM math.CO
An enumeration of spherical latin bitrades
拉丁比特（T1，T2）是一对不相交的部分拉丁方，占据相同的非空单元格集合，并且其对应的行和列包含相同的条目集合。一个亏格可以通过在一个定向曲面中构造一个底层图的嵌入来与一个拉丁比特率相关联。我们报告的球形（属0）拉丁bitrades的数量计算枚举结果的大小为24。
2009-09-16 math.CO
The four-way intersection problem for latin squares
对于给定$n$阶的拉丁方的$μ$，当它们具有$k$相同的单元格和具有相互不同条目的$n^2-k$单元格时，它们具有{ \sf $k$ intersection}。对于每个$n\geq 1$，整数$k$的集合使得存在具有$k$交集的$n$阶的$μ$拉丁方由$I^μ[n]$表示。在P. Adams等人（2002）的论文中，完全确定了$I^3[n]$。本文完全确定了$n\geq 16$的$I^4[n]$。对于$n \le 16$，我们找出了$I^4[n]$的大部分元素。
2015-09-16 math.CO
On the existence of 3-way k-homogeneous Latin trades
卷$s$的{ \sf $μ$ -way Latin trade}是$μ$部分拉丁方块$T_1,T_2,...,T_μ$的集合，包含完全相同的$s$填充单元格，使得如果单元格$(i, j)$被填充，则它在每个$μ$部分拉丁方块中包含不同的条目，并且使得每个$μ$部分拉丁方块中的行$i$按组包含：同样的符号和列$j$。%如果是$μ=2$，则$(T_1,T_2)$称为{ \sf Latin bitrade}。它被称为{ \sf $μ$ -方式$k$ -均匀拉丁贸易}，如果在每一行和每一列$T_r$，为$1\le r\le μ,$包含正好$k$元素，和每个元素出现在$T_r$正好$k$倍.它也表示为$(μ,k,m)$拉丁贸易，其中$m$是部分拉丁方的大小。我们介绍了一些一般的构造$μ$ -路$k$ -同质拉丁贸易，并特别表明，对于所有的$k \le m$，$6\le k \le 13$和k=15，和所有的$k \le m$，$k = 4, \ 5$（除了四个特定的值），一个3路$k$ -同质拉丁贸易量$km$存在。我们还表明，没有（3，4，6）拉丁贸易和（3，4，7）拉丁贸易。最后，我们提出了一般结果的存在3路$k$ -齐次拉丁贸易的一些模类的$m$。
2012-07-09 math.CO
On the chromatic number of Latin square graphs
拉丁方的色数是覆盖其胞腔的部分断面的最少数目。这就是它的关联拉丁方图的色数。虽然拉丁方图作为强正则图已被广泛研究，但其色数似乎还未被探索。确定了循环拉丁方的色数，并给出了其它几类拉丁方的界.用计算机，我们找到了所有主类的拉丁方阶的色数至多为8。
2016-04-06 math.CO
On the minimum number of entries in a pair of maximal orthogonal partial Latin squares
ARC Centre of Excellence for Plant Success in Nature and Agriculture（植物在自然与农业中成功卓越中心）；School of Mathematics and Physics, University of Queensland（昆士兰大学数理学院）；School of Mathematics and Statistics, The Open University（开放大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Koç University（科奇大学数学系）
研究证明了一对最大正交偏拉丁方中填充值的下限为$n^2/3$，并确定了该下限的唯一结构形式。
2026-02-10 math.CO
Completing partial Latin squares with two filled rows and three filled columns
考虑一个部分拉丁方$P$，其中前两行和前三列完全填充，并且$P$的每隔一个单元格为空。它已被证明，所有这样的部分拉丁方的顺序至少$8$是可完成的。基于技术的库尔和麦金，我们描述了一个框架，完成部分拉丁方在这个类。此外，我们使用我们的方法证明，所有部分拉丁方从这个家庭，其中的非空的行和列的交点形成一个拉丁矩形与三个不同的符号，是可完成的。
2020-05-17 math.CO
On the Number of Maximum Inner Distance Latin Squares
拉丁方的内部距离是由我和其他六个人在2020年夏天在摩拉维亚学院的REU期间定义的。从那时起，我一直好奇它与其他组合数学的可能联系。矩阵的内部距离是相邻单元中的元素之间的距离的最小值，其中我们的距离度量是距离模$n$。直觉上，人们认为大多数拉丁方的内部距离为1，例如，可能存在一对相邻的单元格，它们具有连续的整数。只有极少数应该有\textit{maximum}内部距离;通过构造，所有$n\geq 3$的最大内部距离都恰好是$\left \lfloor\frac{n-1}{2}\right \rfloor$。在本文中，我们还建立了所有较小的内部距离的存在性。\cite{inner distance}中展示了我们的大部分介绍性工作，主要关注于确定拉丁方和数独拉丁方的最大内部距离。本文研究了最大内距离平方的计数问题，并计算了任意$n$的最大内距离平方的精确个数。
2021-12-27 math.CO
On the distances between Latin squares and the smallest defining set size
本文证明了对于每一个$n\geq 2$阶的拉丁方$L$，都存在一个$n$阶的拉丁方$L'\neq L$，使得$L$和$L'$至多在$8\sqrt{n}$胞元上不同.等价地，每一个$n$阶的拉丁方包含一个最大为$8\sqrt{n}$的拉丁交易。我们还证明了拉丁方的最小定义集的大小是$Ω(n^{3/2})$。也就是说，存在常数$c$和$n_0$，使得对于任何$n>n_0$，阶数$n$的最小定义%集合的大小至少为$cn^{3/2}$。
2016-02-24 math.CO
On the completion of $ε$-dense partial Latin squares
School of Mathematics and Statistics, Beijing Jiaotong University（北京交通大学数学与统计学院）；Hebei Provincial Key Laboratory of Mathematical Theory and Analysis for Network and Data Science, Beijing Jiaotong University（北京交通大学河北省网络与数据科学数学理论与分析重点实验室）
本文证明对于充分大的 $n$，每个 $\frac{2}{25}$-稠密 $n$ 阶部分拉丁方可完备化，通过建立存在 $\eta>0$ 使每个满足一定条件的平衡三部图有分数三角形分解。
2026-07-01 math.CO
Restricted completion of sparse partial Latin squares
一个$n \times n$部分拉丁方$P$被称为$α$ -密集的，如果每行和列最多有$αn$非空单元格，并且每个符号在$P$中出现最多$αn$次。如果每个符号在每行和每列中最多出现$βn$次，并且每个单元最多包含$βn$大小的集合，则每个单元包含$\{1,\dots, n\}$子集的$n \times n$阵列$A$是$(βn, βn, βn)$阵列。结合完备部分拉丁方和避免数组的概念，证明了存在常数$α, β> 0$，使得对于每个正整数$n$，如果$P$是$α$ -稠密的$n \times n$部分拉丁方，$A$是$n \times n$ $(βn, βn, βn)$ -数组，并且$P$的任何单元都不包含出现在$A$的相应单元中的符号，则存在避免$A$的$P$的完成;即，在$P$的每个非空单元上存在与$P$一致的拉丁方$L$，并且对于满足$1 \leq i,j \leq n$的每个$i,j$，$L$中位置$(i,j)$中的符号不出现在$A$的相应单元中。
2016-08-26 cs.DM math.CO
Transversals in Latin Squares
本文综述了过去十年关于Latin squares中transversals研究的最新进展。
2024-06-28 math.CO
Embedding Equitable Rectangles
Illinois State University（伊利诺伊州立大学）；Georgia State University（佐治亚州立大学）；Vanderbilt University（范德堡大学）
研究部分拉丁方阵的补全问题，推广Ryser定理到更一般情形，给出填充剩余单元格使各符号出现次数均衡的充要条件，统一并推广了多个经典结果。
2026-06-26 math.CO
On the transversals of Latin squares generated by nonlinear bipermutive cellular automata
University of Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）；Durham University（杜伦大学）；University of Twente（特文特大学）
本文研究了在无边界条件的情况下，双置换细胞自动机生成的拉丁方是否具有正交配对的条件，证明了主对角线存在transversal的双置换细胞自动机的生成函数特性，并通过穷举搜索实验确定了最小直径d=6时存在非线性双置换CA生成具有主对角线transversal的拉丁方。
2026-05-15 cs.FL math.CO
Inside-Out Polytopes
我们提出了一个共同的推广计算的合理多面体格点和计数适当的图形着色，无零流的图形，幻方和图形，反幻方和图形，组成的一个整数的部分是部分不同的，和广义拉丁方。我们的方法是将Ehrhart的格点计数理论推广到由超平面排列分割的凸多胞体。我们特别开发的应用程序，图和签名图着色，组成的整数，和antimagic标签。
2005-08-15 math.CO
Mutually Orthogonal Latin Squares based on Cellular Automata
研究了有限域上由元胞自动机生成的相互正交拉丁方集合。在介绍了由$q$元素的字母表上的直径$d$的双置换局部规则定义的CA如何生成$q^{d-1}$阶拉丁方之后，我们研究了两个CA生成一对正交拉丁方的条件。特别地，我们证明了有限域$\mathbb{F}_q$上两个线性双置换CA（LBCA）所诱导的拉丁方是正交的当且仅当与它们的局部规则相关联的多项式是互质的.接下来，我们通过计算$\mathbb{F}_q$上具有非零常数项和次数$n$的互质多项式对来枚举所有这样的正交拉丁方对。最后，我们提出了一个由LBCA生成的MOLS与不可约多项式的构造，并证明了所得集的极大性，以及一个下界，这是渐近接近他们的实际数量。
2019-10-31 cs.DM math.CO nlin.CG
Distance in Latin Squares
$n$阶的拉丁方是一个$n\times n$数组，它在每行和每列中只包含一个$n$不同的符号。我们定义两个相邻单元（包含整数）之间的相邻距离是它们的差模$n$，并且拉丁方的内部距离是拉丁方中相邻距离的最小值。通过首先建立上界，然后用所述内部距离构造正方形，我们发现$n \times n$拉丁方的最大内部距离是$\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$。然后，我们研究了特殊类型的拉丁方，如泛对角线（也称为Knut-Vik设计），以及数独拉丁方。这项研究是在美国国家科学基金会的支持下，在摩拉维亚学院的计算和实验数学研究挑战REU进行的。
2021-07-15 math.CO
A Markov chain on the solution space of edge-colorings of bipartite graphs
本文利用解空间的某些性质，证明了二部图的边$k$ -染色上的不可约马尔可夫链$M$。我们证明了这个马尔可夫链的直径与图中的边数线性增长。我们还证明了一个多项式上界的接受率的倒数的Metropolis-Hastings算法时，该算法应用于$M$与所有可能的边$k$均匀分布的$G$着色。我们的结果的一个特殊情况是拉丁矩形的可能完成的解空间。
2021-03-22 cs.DM math.CO
Enumerating Colorings, Tensions and Flows in Cell Complexes
本文研究了任意CW-复形$X$中的拟多项式，它包含了图的正常着色、无零张力和无零流，推广了图的色多项式、张力多项式和流多项式。我们的着色、张力和流可以是模的（对于某些$k$，其值为$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$），也可以是积分的（其值为$\{-k+1,\dots,k-1\}$）。在一定的单模性条件下，我们得到了色、张力和流拟多项式的消去-收缩递推公式和闭公式。我们使用几何方法，特别是Ehrhart理论和由内而外的多面体，获得互惠定理的所有上述quasipolynomials，给出组合的解释，他们的值在负整数，以及公式的数量的无环和全循环方向的$X$。
2013-10-24 math.CO
A proof of the Ryser-Brualdi-Stein conjecture for large even $n$
本文证明了对足够大的偶数 $n$，每个 $n$ 阶拉丁方都含有 $n-1$ 个单元格的横截线，从而解决了 Ryser-Brualdi-Stein 猜想的大偶数情形，并将方法应用于 Steiner 三元系匹配问题，证明了 Brouwer 1981 年猜想。
2023-10-30 math.CO
Counting Near-Spanning Matchings in Latin Squares and Steiner Triple Systems
Georgia State University（佐治亚州立大学）
本文证明了拉丁方和斯坦纳三元系中近生成匹配的精确计数结果，给出了指数级数量的部分横截和匹配，证实了相关猜想和预测。
2026-09-11 math.CO
All group-based latin squares possess near transversals
在$n$阶的拉丁方中，近横切面是$n-1$单元格的集合，它们与每行、列和符号类最多相交一次。Brualdi、Ryser和Stein的一个长期猜想断言，每个拉丁方都有一个近断面。我们证明了这个猜想是真实的每一个拉丁方是主类等价于凯莱表的有限群。
2019-08-11 math.CO math.GR
On magic squares
这是Leonhard Euler的“De quadratis magicis”的翻译。它是Enestrom指数中的E795。本文研究了如何构造具有一定数目单元的幻方，特别是9、16、25和36。它考虑了一些一般规则，使广场的偶数和奇数秩序。欧拉使用Graeco-拉丁方，并约束变量可以取的值来制作幻方。我认为这就是术语“拉丁”和“希腊拉丁”广场的来源，因为他在一个广场上使用拉丁字母，在另一个广场上使用希腊字母（即“希腊”）。(This这篇论文发表在欧拉唯一的另一篇关于拉丁方的论文“Recherches sur une nouvelle espece de quarres squarques”E530之前，发表于1782年。）
2005-04-08 math.CO
Lower bounds on the sizes of defining sets in full $n$-Latin squares and full designs
完整的$n$ -拉丁方是每个单元格中具有符号$1,2,\dots ,n$的$n\times n$数组。在本文中，我们表明，作为一个更一般的结果的一部分，任何定义集的充分$n$ -拉丁广场的大小$n^3(1-o(1))$。完整设计$N(v,k)$是具有参数$(v,k,{v-2 \choose k-2})$的唯一简单设计;也就是说，设计由一组尺寸$v$中的所有尺寸$k$子集组成。我们表明，任何定义集的完整设计$N(v,k)$的大小为${v\choose k}(1-o(1))$（作为$v-k$变大）。这些结果改进了已有的结果，并且是渐近最优的。特别是，后一个结果解决了（Donovan，Lefevre等人，2009）中给出的一个开放问题，其中证明了完整设计的补充中的区组比例将渐近接近零。
2017-08-21 math.CO
A counting proof for the smallest critical set in a Latin square
University of Queensland（昆士兰大学）
本文通过模2计数论证，证明阶为n的拉丁方的最小临界集尺寸为⌊n²/4⌋，证实了相关猜想，且证明过程使用了AI辅助。
2026-10-14 math.CO
Asymmetric Latin squares, Steiner triple systems, and edge-parallelisms
这篇文章表明，标题中几乎所有的对象都是不对称的，它是从我在1980年左右写的一份手稿中重新打印出来的（在Bang和Friedland关于永久猜想的论文之后，但在Egorychev和Falikman之前）。我不确定确切的日期。手稿丢失了，但最近在我的文件中出现了。我感谢Laci Babai和Ian Wanless鼓励我公开这份文件，并感谢Ian发现了几个错别字。在关于拉丁方的章节中，Ian反对我使用术语“单元格”;这可能更合理地称为“三元组”（因为它指定了行、列和符号），但我决定保留我最初使用的术语。拉丁方的结果在B中。D.麦凯和我。M. Wanless，On the number of拉丁方，Annals of Combinatorics 9（2005），335-344（arXiv 0909.2101），而Steiner三元系的结果在L. Babai，Almost all Steiner三元系are asymmetric，Annals of Discrete Mathematics 7（1980），37-39.
2015-07-08 math.CO
Universal probability bounds for partial Latin squares
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）
本文研究随机拉丁方中包含给定部分拉丁方的概率，得到概率介于(δ/n)^k和(Δ/n)^k之间的通用界，并应用于子方计数，首次证明3阶子方期望数非零，并给出a阶子方期望数的最佳渐近。
2026-06-23 math.CO
Coloring Drawings of Graphs
我们考虑平面图的图的胞腔着色。给定一个多重图$G$和一个平面上的图$Γ(G)$，图中只有100个交叉点，我们定义一个$Γ(G)$的单元$k$ -着色为图的最大连通区域的着色，这些单元具有$k$颜色，使得相邻单元具有不同的颜色。根据$4$ -着色定理，无桥图的每一幅图都有一个胞腔$4$ -着色.一个图的绘制是单元格$2$ -可着色的当且仅当底层图是欧拉图。我们证明了每一个不含1度顶点的图都有一个胞元$3$ -可着色图.这就引出了一个自然的问题，即抽象图的每个图形都有一个单元格$3$ -着色。我们说这样的图是普遍的细胞$3$着色。我们证明了任何$4$ -边连通图和任何允许无零$3$ -流的图都是泛胞$3$ -可着色的.我们还讨论了普遍的细胞$3$的可着色性的情况下，保证存在一个无处为零的$3$流。在消极的一面，我们提出了一个无限族的普遍细胞$3$ -可着色图没有无处零$3$ -流。在积极的一面，我们制定了一个猜想，它有一个令人惊讶的关系，著名的公开问题Tutte称为$3$流猜想。我们证明了我们的猜想为次立方和$K_{3,3}$ -minor自由图。
2022-08-26 cs.DM math.CO
Improved bounds on completion of partial Latin squares
Institut für Mathematik, Freie Universität Berlin（柏林自由大学数学研究所）；School of Mathematics, University of Birmingham（伯明翰大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学与技术研究所）
本文改进了部分拉丁方完备化的条件，证明当每行每列及每个符号使用次数不超过0.231n时可完备化，优于此前0.08n的界，采用放电策略与平衡性方法。
2026-09-30 math.CO
Self-Orthogonal Cellular Automata
本文研究双置换元胞自动机生成自正交拉丁方的条件，枚举小直径规则并给出线性CA自正交性的完整理论刻画，证明二元情形下不可约性为充分条件，并将判定简化为局部规则中心系数奇偶性计算。
2025-04-12 cs.DM math.CO
Decomposition of bi-colored square arrays into balanced diagonals
给定一个$n\times n$数组$M$（$n\ge 7$），其中每个单元都被着色为两种颜色中的一种，我们给出了$M$划分为$n$对角线的一个充要条件，每个对角线至少包含每种颜色的一个单元.因此，如果每种颜色出现在至少$2n-1$单元中，则存在这样的分区。证明使用的结果完成部分拉丁方。
2015-08-15 math.CO
Coloring the Voronoi tessellation of lattices
在本文中，我们定义了一个格子的色数：它是一个需要着色的Voronoi镶嵌格的细胞的内部，使没有两个细胞共享一个面是相同的颜色的最少的颜色数。本文计算了根格、根格和Leech格的色数，讨论了第一类Voronoi格的色数，并研究了当维数趋于无穷大时格的色数的渐近性质.本文借鉴有限图的Hoffman界的思想，引入了格的色数的谱下界。我们计算了根格的这个界，并将其与相应的李群的特征理论联系起来。
2021-03-22 math.CO
The Chromatic Number of Finite Group Cayley Tables
拉丁方$L$的色数，记作$χ(L)$，是覆盖其所有胞元所需的部分横截的最小数目。证明了每个拉丁方都满足$χ(L) \leq |L|+2$。如果是真的，这将解决一个长期存在的猜想-通常归因于Brualdi-每个拉丁方都有一个大小为$|L|-1$的部分断面。限制我们的注意力有限群的凯莱表，我们证明了两个主要结果。首先，我们解决了有限阿贝尔群的Cayley表的色数问题：阿贝尔群$G$的Cayley表具有色数$|G|$或$|G|+2$，后一种情况发生当且仅当$G$具有非平凡循环Sylow 2-子群。其次，我们给出了任意有限群的Cayley表的色数的一个上界。对于$|G|\geq 3$，这将最著名的一般上界从$2|G|$改进为$\frac{3}{2}|G|$，同时在无限多的情况下产生甚至更强的结果。
2018-05-17 math.CO
Analysis of subsystems with rooks on a chess-board representing a partial Latin square (Part 2.)
该论文分析部分拉丁方对应的棋盘车子系统，证明Cruse容量函数的闭式恒等式，得出非退化远砖块对的容量性质，推导部分拉丁方可完成的容量条件，并提出层可完成的平衡条件。
2026-08-11 math.CO
Edge coloring lattice graphs
本文发展了无限格图的边着色理论，提出了基于平移诱导条件的近似最小与最小边着色方法，并证明其在量子模拟、优化及态验证中可提供最小深度量子电路。
2024-02-13 cs.DM math.CO quant-ph
Distribution of rooks on a chess-board representing a Latin square partitioned by a subsystem
研究n阶拉丁方d维推广棋盘上车的分布，通过对由子集族诱导的子系统进行分析，证明df(T_k) = (-1)^k df(T_0)，给出多线性证明，此结果有自由度，还针对d = 3得出相关结论及证明棋盘代表一个主要类别。
2026-07-21 math.CO
Symmetric Layer-Rainbow Colorations of Cubes
我们是否可以用$n^2$颜色对$n\times n\times n$立方体的$n^3$单元进行着色，使得平行于每个面的每一层都只包含一种颜色，并且着色是对称的，使得$L_{ij\ell}=L_{j\ell i}=L_{\ell ij}$用于不同的$i,j,\ell \in \{1,\dots,n\}$，而$L_{iij}=L_{jj i}, L_{iji}=L_{jij}, L_{ij j}=L_{jii}$用于$i,j\in \{1,\dots,n\}$？使用运输网络，我们表明，这样的着色是可能的，当且仅当$n\equiv 0,2 \mod 3$（有两个例外，$n=1$和$n\neq 3$）。受实验设计的启发，Kishen和Fisher在20世纪40年代开始研究这些物体（不对称）。这些物体也与正交表密切相关，正交表的存在已被广泛研究，它们是对称拉丁方的自然三维类似物。
2022-05-04 cs.DM math.CO
Invariant colorings of random planar maps
考虑$\mathbb{Z}^d$上的Bernoulli（1/2）渗流，并定义开顶点和闭顶点之间的完美匹配，其方式是配置的确定性等变函数。我们希望找到这样的匹配规则，使得原点对的距离大于$r$的概率尽可能快地衰减。对于二维情形，我们给出了一个最优的衰减匹配$cr^{1/2}$.对于至少3维，我们给出了一个具有指数尾的匹配规则。这大大改善了以前的边界。构造有两个主要部分：首先，我们定义了一个序列的粗和粗分区的$\mathbb{Z}^d$在等变的方式，这样的高概率的细胞的不动点是像一个立方体，它的标签是独立同分布。然后，我们定义一个固定的有限单元格的匹配，当我们重复应用于连续分区的单元格时，它会稳定下来。我们的方法也工作的情况下，当一个人想要匹配点的两个泊松过程，他们可能会被应用到分配问题。
2009-09-06 math.CO math.PR
New bounds for Ryser's conjecture and related problems
$n$阶的拉丁方是填充有$n$符号的$n \times n$阵列，使得每个符号在每行或每列中仅出现一次，并且横截是不共享相同行、列或符号的单元的集合。对拉丁方的研究可以追溯到200多年前欧拉的工作。这一领域最著名的开放问题之一是60年代Ryser-Brualdi-Stein提出的一个猜想，该猜想认为每个$n\times n$阶的拉丁方都包含一个$n-1$阶的横截。本文证明了$n-O(\log{n}/\log{\log{n}})$阶断面的存在性，改进了Hatami和Shor关于$n-O(\log^2n)$阶断面的著名界.我们的方法（不同于Hatami-Shor的方法）是相当普遍的，并给出了其他几个应用程序。我们得到了一个新的下界40岁的猜想Brouwer的最大匹配Steiner三元系，表明每一个这样的系统的顺序$n$是保证有一个匹配的大小$n/3-O(\log{n}/\log{\log{n}})$。这实质上改进了Alon、Kim和Spencer的具有$n^{1/2+o(1)}$阶误差项的当前最佳结果。最后，我们还表明，$O(n\log{n}/\log{\log{n}})$许多符号在拉丁数组足以保证一个完整的横向，提高以前已知的界$n^{2-\varepsilon}$。证明以一种新的方式结合半随机方法与强大的扩展性能的边缘着色伪随机图显示存在的彩虹匹配覆盖所有，但$O(\log n/\…
2020-05-25 math.CO
Topological obstructions to graph colorings
对于任何两个图$G$和$H$，Lovász定义了一个胞腔复形$Hom(G,H)$，考虑到通用程序，即这些复合体的代数不变式应该为图形着色提供障碍。在这里，我们宣布证明一个猜想的Lovász关于这些复杂的$G$周期的奇数长度。更具体地说，我们证明了：如果$Hom(C_{2r+1},G)$是$k$ -连通的，则$χ(G)\geq k+4$ .我们的实际陈述在某种程度上更为尖锐，因为我们已经在某些Stiefel-Whitney类的幂的不消失中发现了障碍。
2003-08-03 math.AT math.CO
Ryser's Theorem for Symmetric $ρ$-latin Squares
本文研究对称 $ρ$-拉丁方的填充问题，建立了充要条件以确保部分填充的数组在对称约束下能扩展为符号出现次数符合规定的拉丁方，并推广了 Andersen-Hoffman 定理。
2025-09-14 cs.DM math.CO
Mutually orthogonal anti-Latin squares
Tokai Senior High School（东海高中）；School of Data Science, The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学深圳数据科学学院）；Graduate School of Mathematics, Nagoya University（名古屋大学大学院数学研究科）
本文研究相互正交反拉丁方的最大规模$N_A(d)$，结合经典相互正交拉丁方的最大规模$N_L(d)$确定其取值，证明$d\geq3$时$N_A(d)$与$N_L(d)$的关系，且对$3\leq d\leq9$给出明确数值。
2026-09-01 cs.IT math.CO math.IT
New upper bounds for the chromatic numbers of Euclidean spaces
本文通过构造显式有理格和解析方法，将欧几里得空间色数上界改进为R^4≤43、R^5≤132等，反驳了相关猜想，并首次给出R^10低于3^n的界。
2026-09-18 math.CO
