Helicoid-Like Minimal Disks and Uniqueness
Jacob Bernstein, Christine Breiner
我们证明了R^3中具有大曲率的嵌入极小圆盘是具有一片螺旋面的bilipschitz圆盘。此外，螺旋面的唯一性提供了一个简化的证明。
We show that an embedded minimal disk in R^3 with large curvature is bilipschitz with a piece of a helicoid. Additionally, a simplified proof of the uniqueness of the helicoid is provided.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A uniqueness theorem for the singly periodic genus-one helicoid
单周期genus-one螺旋面是发现第一个例子的完整的极小曲面与有限的拓扑结构，但无限的全曲率，著名的霍夫曼-Karcher-魏的属一螺旋面的起源。本文给出了单周期亏格为一的螺旋面在存在一种对称性条件下的唯一性定理。
The uniqueness of the helicoid in the Lorentz-Minkowski space L3
本文讨论了Lorentz-Minkowski空间L3中具有镜像对称类光边界的适当嵌入极大曲面中Lorentzian螺旋面和Enneper曲面的唯一性。
Minimal surfaces with helicoidal ends
在本文中，我们描述了一个新的变形，连接最小的磁盘与平面端与最小的磁盘与螺旋端。这样，我们就可以构造出一族含Hoffman，Karcher和Wei单周期亏格的带螺旋端点的完备极小曲面.
Distortions of the Helicoid
Colding和Minicozzi已经证明，在0处具有大曲率的$\Real^3$中嵌入的极小圆盘$0\inΣ\subset B_R$看起来像是$R$尺度上的螺旋面。接近0时，这可以被锐化：在$|A|^{-1}(0)$的尺度上，$Σ$在Lipschitz意义上接近螺旋面的一部分。我们使用由Colding和Minicozzi构造的曲面来观察这种描述在$R$尺度上是不成立的。
Logarithmically spiraling helicoids
我们构造螺旋状嵌入最小磁盘轴沿自相似曲线对数螺线建模。曲面具有从曲线和构造性质继承的自相似性。此外，在“对数锥”内部，表面被嵌入。
Helicoidal minimal surfaces in the 3-sphere: An approach via spherical curves
该研究证明了三维球面中由轴距连续函数给定平均/高斯曲率的球面螺旋面的存在唯一性，推广了欧氏空间belicoid与catenoid的共轭关系，以球面曲线的球面角动量为关键工具确定Lawson意义下的伴随曲面。
The uniqueness of the Enneper surfaces and Chern-Ricci functions on minimal surfaces
利用Gauss曲率和角函数构造了${\mathbb{R}}^{3}$中负曲率极小曲面上的第一和第二Chern-Ricci函数，并证明了它们是极小曲面上的调和函数.证明了一个极小曲面具有常数第一Chern-Ricci函数当且仅当它是Enneper曲面。明确地确定了具有常数第二Chern-Ricci函数的极小曲面的模空间，其中包含悬链面、螺旋面及其相关族。
Normalizing Topologically Minimal Surfaces II: Disks
我们证明了在一个四面体中的一个拓扑最小圆盘的指数为$n$是一个正常的三角形，一个正常的四边形，或正常的螺旋面的边界长度为4（n+1）。这反映了Colding和Minicozzi的几何结果。
Minimal disks bounded by three straight lines in Euclidean space and trinoids in hyperbolic space
根据Riemann的思想，我们证明了在欧几里得空间中存在一个极小圆盘，该圆盘由三条在一般位置的直线围成，且三个螺旋端的角小于$π$ .在一般角的情况下，我们证明了最多存在四个这样的极小圆盘，我们给出了一个二次三方程组存在的充分条件，我们给出了Weierstrass数据的超几何函数的显式公式.最后，利用共轭表亲浸入的方法构造了双曲空间中的常平均曲率为1的三次曲面。
Uniqueness of capillary disks in three-dimensional domains
论文证明了在三维域中，基于椭圆PDE的毛细盘的唯一性，扩展了Nitsche的结果，并受Gálvez和Mira对常均曲率球的Hopf定理的启发。
What are the shapes of embedded minimal surfaces and why?
具有一致曲率（或面积）边界的极小曲面已经被很好地理解，正则性理论也是完备的，但没有这样的边界，基本上什么都不知道。我们在这里讨论嵌入式理论（即，无自相交）的无先验界的欧氏空间中的极小曲面。该研究分为三种情况，这取决于表面的拓扑结构。第一种情况是曲面是圆盘，第二种情况是曲面是平面域（亏格为零），第三种情况是有限（非零）亏格。对圆盘情形的完整理解适用于情形二和情形三。正如我们将要看到的，螺旋面是一个双螺旋楼梯，它是嵌入最小圆盘的最重要的例子。事实上，我们将看到，每一个这样的圆盘要么是一个函数的图形，要么是双螺旋楼梯的一部分。螺旋面被发现是一个极小曲面的Meusnier在1776年。对于平面域的基本例子是悬链面，也发现了Meusnier在1776年，和黎曼的例子发现了黎曼在19世纪60年代初。最后，对于一般的固定亏格，一个重要的例子是霍夫曼-韦伯-沃尔夫最近的一个亏格为1的螺旋面的例子。在最后一节中，我们讨论了为什么嵌入的极小曲面是自动正确的。这就是所谓的嵌入曲面的卡-丘拓扑。对于浸没表面，有Jorge-Xavier和Nadirashvili的反例。
We show that a minimal disk satisfying the free boundary condition in a constant curvature ball of any dimension is totally geodesic. We weaken the condition to parallel mean curvature vector in which case we show that the disk lies in a three dimensional constant curvature submanifold and is totally umbilic. These results extend to higher dimensions earlier three dimensional work of J. C. C. Nitsche and R. Souam.
Mean curvature flow with free boundary in embedded cylinders or cones and uniqueness results for minimal hypersurfaces
本文研究嵌入圆柱或广义旋转锥上具有自由边界的嵌入圆盘的中曲率流动。我们确定的支持超曲面的内部区域，使初始数据被驱动到一个曲率奇点在有限的时间或存在的所有时间，并收敛到一个最小的磁盘。我们进一步对奇点的类型进行了分类。我们还提出了应用这些结果的唯一性问题的极小超曲面与自由边界的支持超曲面，这样得到的结果不需要先验的任何对称性或拓扑限制。
Uniqueness and non-uniqueness for the asymptotic Plateau problem in hyperbolic space
该研究针对三维双曲空间中的渐近Plateau问题，证明了解的唯一性等价于稳定极小圆盘类中的唯一性，给出了满足唯一性的曲线条件，并构造出存在不可数多稳定极小圆盘解的拟圆周实例。
Generic Uniqueness of Area Minimizing Disks for Extreme Curves
我们证明了对于紧致的、可定向的、平均凸3-流形M的边界上的一般零同伦简单闭曲线C，存在唯一的嵌入M的面积极小化圆盘D，其中D的边界是C.我们还表明，同样是真实的绝对面积最小化的表面。
Liouville theorem for immersed minimal surfaces in any codimension
研究了浸入最小盘在余维数任意情况下的李维定理，证明了谐函数的负部分以亚线性速率增长时为常数，从而得出更高余维数的伯恩斯坦定理，并通过猫眼曲面、螺旋面和恩内珀族曲面证明结果最优，同时展示了谐函数的均匀霍尔德正则性。
We prove existence and uniqueness for a two-parameter family of translators for mean curvature flow. We get additional examples by taking limits at the boundary of the parameter space. Some of the translators resemble well-known minimal surfaces (Scherk's doubly periodic minimal surfaces, helicoids), but others have no minimal surface analogs. A one-parameter subfamily of the examples (the pitchforks) have finite topology and quadratic area growth, and thus might arise as blowups at singularities of initially smooth, closed surfaces flowing by mean curvature flow.
On the uniqueness of certain families of holomorphic disks
佐尔度量是一种黎曼度量，其测地线都是等长的圆。通过LeBrun和Mason的扭量对应，二维球面上的Zoll度量对应于CP_2中以全实子流形P为边界的一个全纯圆盘族.本文证明了对于一个固定的全实子流形P，如果存在这样一个全纯圆盘族，则这个全纯圆盘族是唯一的，这意味着LeBrun和Mason的扭量对应是内射的.证明中的一个关键要素是梅尔罗斯意义上的blow-up和blow-down结构。
On the Uniqueness of Certain Types of Circle Packings on Translation Surfaces
本文证明在 $H(1,1)$ 平移曲面上，固定割缝两圆盘时，某些圆堆积在不改变接触图的前提下仅有有限种变化，并利用分裂双角刻画这些变化，进而推广到任意亏格 $g \geq 2$ 的特定曲面。
Stability and uniqueness of minimal disks in non-constant curvature
本文在具有平均凸边界的黎曼3-球体中，在负截面曲率收缩条件和Ricci张量协变导数有界下，证明了总曲率至多4π的Jordan曲线界定唯一且严格稳定的嵌入极小圆盘。
In this paper we prove that a flat free-boundary minimal $n$-disk, $n\geq3$, in the unit Euclidean ball $B^{n+1}$ is the unique compact free boundary minimal hypersurface in the unit Euclidean ball which the squared norm of the second fundamental form is less than either $\frac{n^2}{4}$ or $\frac{(n-2)^2}{4|x|^2}$. Moreover, we prove analogous results for compact free boundary minimal hypersurfaces in annular domains with a conformally Euclidean metric.
In this paper, we establish a min-max theory for constructing minimal disks with free boundary in any closed Riemannian manifold. The main result is an effective version of the partial Morse theory for minimal disks with free boundary established by Fraser. Our theory also includes as a special case the min-max theory for Plateau problem of minimal disks, which can be used to generalize the famous work by Morse-Thompkins and Shiffman on minimal surfaces in $\mathbf{R}^n$ to the Riemannian setting. More precisely, we generalize the min-max construction of minimal surfaces using harmonic replace…
A Fenchel Theorem for the Gauss maps and uniqueness of minimizers of nonlocal curvature energies
本文通过提供高斯映射路径长度的精确下界，证明了关于高斯映射的芬谢尔定理，并展示圆圈在大多数广义切点能量下是最小化的，同时证明盘在所有分数Willmore能量下是凸平面集中的最小化解。
A Minimal Lamination of the Unit Ball with Singularities along a Line Segment
我们在欧氏空间的单位球中构造了一列紧致嵌入极小圆盘，它们的边界在球的边界上，并且曲率在从原点延伸的垂直轴的线段上的每一点处爆炸.进一步研究了最小极限层合的横向结构，发现了沿线段的可去奇点和原点的不可去可去奇点。这扩展了结果的冷和Minicozzi，他们建造了一个序列的曲率吹只在中心的球，院长的建设一个序列的曲率吹在一个规定的离散集的点，以及经典的情况下序列的重新缩放螺旋面的曲率吹沿整个垂直轴。
Minimal diffeomorphisms with $L^1$ Hopf differentials
本文证明单位圆盘上两个黎曼度量之间的边界同胚至多能延拓为一个具有 $L^1$ Hopf 微分的拟共形极小微分同胚，首次不依赖反德西特几何给出证明，并指出在变曲率下缺少 $L^1$ 假设时结论不成立。
The topology, geometry and conformal structure of properly embedded minimal surfaces
本文开发了新的工具，用于理解具有多个端点（通常是无限拓扑）的曲面，这些曲面可以最小限度地嵌入到欧几里得三维空间中。在这样的曲面上，端点的集合形成一个紧致的T2空间，自然地由端点在空间中的相对高度排序。我们的主要结果之一是，该表面的中间端有平方面积增长，因此不是极限端。例如，这意味着曲面最多可以有两个极限端点（在排序的顶部和底部），这是一个强拓扑限制。也有限制的渐近几何和共形结构这样的表面：例如，我们证明，如果表面有两个极限结束（如经典的黎曼阶梯的例子），那么它是经常性的（即，几乎所有的布朗路径是密集的表面，特别是任何积极的调和函数的表面上是常数）。这些结果在证明螺旋面的唯一性、恰当嵌入极小曲面上坐标函数的通量不变性以及恰当嵌入极小曲面的拓扑分类等理论方面发挥了重要作用。
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