Centrally Extended Conformal Galilei Algebras and Invariant Nonlinear PDEs
对任意给定的$ \ell = \frac{1}{2} + {\mathbb N}_0, $，构造了在中心扩张共形Galilei代数变换下不变的二阶\textit{nonlinear}偏微分方程.生成元由陪集构造得到，偏微分方程由标准李对称技术构造。观察到对于$ \ell > \frac{3}{2}. $，不变偏微分方程具有显著差异
2015-11-04 math-ph math.MP
Exact Solutions and Reductions of Nonlinear Diffusion PDEs of Pantograph Type
我们研究非线性缩放型反应扩散偏微分方程，其中，除了未知的$u=u(x,t)$，也包含相同的功能与膨胀或收缩的参数的形式$w=u(px,t)$，$w=u(x,qt)$，和$w=u(px,qt)$，其中$p$和$q$是自由标度参数（与比例延迟的方程，我们有$0<p<1$，$0<q<1$）。简要回顾了缩放型常微分方程和偏微分方程及其应用的出版物。本文首次给出了这类非线性偏泛函微分方程的精确解和约化。我们提出了比例延迟的非线性缩放型偏微分方程的例子，它允许行波和自相似的解决方案（注意，具有常数延迟的偏微分方程没有自相似的解决方案）。还得到了加法解、乘法解、泛函可分解以及其它一些精确解。特别注意的是一个相当一般的形式，其中包含一个或两个任意函数的非线性缩放型偏微分方程。总共有四十多个非线性缩放型反应扩散偏微分方程的扩张或收缩的参数，承认精确解，已被认为是。本文还讨论了多比例尺非线性偏微分方程。类比原理的制定，这使得有可能有效地构造精确解的非线性缩放型偏微分方程。本文还讨论了任意依赖于时间或空间坐标的变时滞非线性泛函微分方程的一些精确解。所提出的方程及其精确解可用于制定测试问题，旨在评估数值和近似分析方法求解相应的非线性初边值问题的变时滞偏微分方程的精度。
2021-03-02 math-ph math.AP math.MP
Attractors of nonlinear Hamiltonian PDEs
本文综述了非线性Hamilton偏微分方程的长时间行为和吸引子的研究结果，考虑了定态、定轨和孤子的全局吸引，孤子的绝热有效动力学，以及孤立子流形的渐近稳定性。相应的数值结果和量子公设的关系被认为是。
2015-11-28 math-ph math.MP
The decomposition method and Maple procedure for finding first integrals of nonlinear PDEs of any order with any number of independent variables
本文提出了一种新的方法来求解某些类型的非线性偏微分方程的封闭形式的解。该方法基于非线性算子在低阶算子序列上的分解。结果表明，分解过程可以通过迭代过程来完成，每一步都归结为对一个因变量求解一些辅助偏微分方程组。此外，还得到了可分解初始偏微分方程的首次积分的一阶偏微分方程的显式表达式。值得注意的是，如果初始PDE在其最高导数中是线性的，则该一阶PDE是线性的。该方法在Maple程序中得以实现，可以求解多个不同阶数的独立变量的偏微分方程。算例表明该方法具有自动求解非线性偏微分方程的潜力。
2007-04-01 math-ph math.MP
Determination of approximate nonlinear self-adjointenss and approximate conservation law
近似非线性自伴性是构造摄动偏微分方程近似守恒定律的一种有效方法。本文研究了扰动偏微分方程的近似非线性自伴性与相应的未扰动偏微分方程的非线性自伴性之间的关系，从而提供了一种判别扰动偏微分方程近似非线性自伴性的简单方法.利用已知的无扰动偏微分方程的守恒定律，给出了一个简洁的近似守恒定律公式.作为应用，我们将一类扰动波动方程分类为近似非线性自伴，并构造了一般的近似守恒律公式。具体算例表明，近似非线性自伴性可以产生新的近似守恒律。
2013-04-22 math-ph math.MP
Nonlinear PDEs for Fredholm determinants arising from string equations
与二维引力相关的弦方程似乎很自然地和系统地提供了Its-Izergin-Korepin和Slavnov意义上的可积核。其中一些核（除了Airy和Pearcey的“经典”例子）已经出现在随机矩阵理论中，它们具有自然的朗斯基结构，由弦关系$[L^\pm,Q^\pm] = \pm 1$中的一个算子给出，即$L^\pm$。的内核是密切相关的波函数的凝胶'fand-Dickey减少KP层次。这些核的Fredholm行列式也满足维拉索罗约束，导致其对数导数的偏微分方程，这些偏微分方程显式依赖于Painlevé-like系统的常微分方程的解决方案相当于相关的字符串关系。我们给出了随机矩阵理论（高阶Tracy-Widom分布）和统计力学（伊辛模型）中临界现象的一些例子。
2012-11-13 math-ph math.MP nlin.SI
Invariant subspace method to the initial and boundary value problem of the higher dimensional nonlinear time-fractional PDEs
本文提出利用变量变换将(k+1)维非线性时间分数阶偏微分方程降为(1+1)维，并结合不变子空间方法求精确解，首次求解了(3+1)维对流扩散反应方程及含时滞方程。
2023-04-05 math-ph math.AP math.MP
The direct method of functional separation of variables can provide more exact solutions than the compatibility analysis of PDEs based on a single differential constraint
本文指出，在寻找非线性偏微分方程的精确解，函数分离变量的直接方法，在某些情况下，可以更有效的方法比微分约束的基础上的相容性分析偏微分方程与一个单一的约束（不变曲面条件）。这一事实是说明的例子，非线性反应扩散和对流扩散方程的变系数，非线性Klein-Gordon型方程，和流体动力学边界层方程。给出了几个新的精确解。
2019-03-06 math-ph math.AP math.MP
Nonlinear PDEs for gap probabilities in random matrices and KP theory
Airy和Pearcey核和随机矩阵理论中的推广表示为指数比的二重积分，可能乘以有理函数。在这项工作中，它表明，这样的内核是密切相关的波函数多项式（凝胶'fand-Dickey减少）或合理的减少KP-层次，其Fredholm行列式也满足线性偏微分方程（维拉索罗约束），产生，在一个系统的方式，非线性偏微分方程的Fredholm行列式的内核。例子包括Fredholm行列式给出了一些无限维扩散的间隙概率，如Airy过程，有或没有异常值，以及Pearcey过程，有或没有内点。
2012-10-25 math-ph math.MP math.PR
On the construction of almost general solutions for PDEs arising in nonlinear optics
本文考虑了广泛应用的非线性Fokas-Lenells方程、（2+1）维三次聚焦非线性薛定谔方程和耦合Drinfel 'd-Sokolov-Wilson方程，试图用行波方法构造出波包包络的几乎一般解。所得到的解用Jacobi椭圆正弦函数表示，通过对某些四次多项式的根施加适当的条件，可以得到孤立波（特）解。
2021-04-28 math-ph math.MP
Functional separation of variables in nonlinear PDEs: General approach, new solutions of diffusion-type equations
该研究给出了一个简要的概述现有的修改方法的功能分离变量的非线性偏微分方程。基于一种带积分项的特殊变换和广义分裂原理，提出了一种构造应用数学和数学物理中非线性方程精确解的更一般的方法.这种方法的有效性说明了非线性扩散型方程，包含反应和对流项与变系数。重点是一个相当一般的形式，依赖于一个，两个或三个任意函数的方程（这样的非线性偏微分方程是最难以分析和找到精确的解决方案）。给出了一系列新的泛函可分离解和广义行波解（共给出了30多个精确解）。结果表明，在某些情况下，函数分离变量的方法可以更有效的比（i）基于不变表面条件的对称性约简的非经典方法，和（ii）基于单个微分约束的微分约束的方法。所得精确解可用于检验数学物理和力学的各种数值和近似分析方法。
2020-01-06 math-ph math.AP math.MP
On symmetry and uniqueness of ground states for linear and nonlinear elliptic PDEs
研究了具有任意阶（伪）微分算子的$\mathbb{R}^n$中线性和非线性椭圆型偏微分方程的基态解.我们证明了一般的对称性结果在非线性的情况下，以及在线性的情况下基态的唯一性结果。特别是，我们可以处理问题（例如，G.高阶偏微分方程），不能解决的常用方法，如最大值原理，移动平面，或波利亚-Szegö不等式。相反，我们使用的参数的傅里叶变换的基础上，我们申请的Hardy-Littlewood优势问题在$\mathbb{R}^n$最近获得的最后两位作者的本文件的刚性结果。
2022-03-29 math-ph math.AP math.MP
On critical behavior in nonlinear evolutionary PDEs with small viscosity
本文讨论了拟线性迁移方程的一般耗散正则化问题。我们认为正则化方程的解在迁移方程的梯度突变点附近的局部行为可以用Pearcey函数的对数导数来描述，这是A.M.Il'in的结果的推广。我们提供了一些分析参数支持这样的猜想，并测试它的数值。
2013-01-30 math-ph math.MP
How to solve smooth nonlinear PDEs in algebras of generalized functions with dense singularities
作为对早期广义函数代数性质的重要加强，本文给出了一类能处理稠密奇点的广义函数代数。事实上，奇点集合的基数可以大于非奇点的基数。这个大类的奇点允许解决大类的光滑非线性偏微分方程。这在某些方面克服了著名的1957年H。路易不可能的结果。
2004-06-29 gr-qc math-ph math.AP
Asymptotic scaling symmetries for nonlinear PDEs
在某些情况下，非线性偏微分方程的解在非方程对称的群$G$下是渐近不变的（对于大的$x$和/或$t$）。在回顾了微分方程对称性的几何意义和保解映射之后，我们提供了偏微分方程渐近对称性的精确定义;为了便于讨论和物理相关性，我们特别处理标量方程的缩放和平移对称性。我们将一般性讨论应用到一类“类Richardson”反常扩散和反应扩散方程，其解通过数值实验已知是渐近标度不变的;我们得到了数值观测到的渐近标度性质的解析解释。我们也将我们的方法应用到另一类与光晶格相关的反常扩散方程。这里开发的方法可以应用于更一般的方程，因为它们的几何结构清楚。
2006-02-14 math-ph math.MP
Nonlinear first order PDEs reducible to autonomous form polynomially homogeneous in the derivatives
本文证明了一个定理，它提供了一个将导数为多项式的一阶非线性偏微分方程组映射到导数为多项式齐次的一阶等价自治系统的充要条件。结果是密切相关的源系统的对称性，和证明，涉及使用的正则变量相关联的承认李点对称性，是建设性的。一阶Monge-Ampère系统，无论是与常系数或系数取决于场变量，定理可以成功地应用，被认为是。
2021-07-30 math-ph math.MP
New Green's functions for some nonlinear oscillating systems and related PDEs
在过去的三十年中，格林函数的有利概念已经从线性系统扩展到非线性系统。在这一点上，存在一个严格的和一个近似的扩张。严格的扩展引入了所谓的向后和向前传播子，它们对非线性系统的作用与格林函数对线性系统的作用相同。近似扩展涉及格林公式的线性系统的格林函数满足相应的非线性方程。对于非线性常微分方程的数值计算，第二种方法似乎更方便。在这篇文章中，我们研究了一系列的非线性偏微分方程，可以近似的第二种方法。格林函数为特定的非线性推导明确。在指数非线性的情况下，不同的源函数的数值误差分析支持该方法的优点。
2018-03-26 math-ph math.MP
Dynamically orthogonal tensor methods for high-dimensional nonlinear PDEs
我们发展了新的动态正交张量方法来逼近多元函数和高维时间相关的非线性偏微分方程（PDE）的解。其关键思想是将问题的自变量分解为互不相交的子集，从而得到近似空间的层次分解。这个过程可以方便地用二叉树来可视化，产生类似于经典张量火车和分层塔克张量格式的级数展开。通过在二叉树的每一层上施加动态正交条件，我们得到了跨越层次分解中每个子空间的模式的耦合发展方程。这使我们能够有效地计算解决高维时间依赖的非线性偏微分方程的张量流形的常秩，而不需要降秩方法。我们还提出了新的算法动态添加和删除每个子空间内的模式。数值例子和讨论高维双曲型和抛物型偏微分方程在有界域。
2019-07-12 cs.NA math-ph math.MP
Gibbs measures as unique KMS equilibrium states of nonlinear Hamiltonian PDEs
经典Kubo-Martin-Schwinger（KMS）条件是统计力学的一个基本性质，用来描述无限大经典力学系统的平衡态。它是由G. Gallavotti和E. Verboven作为Dobrushin-Lanford-Ruelle（DLR）方程的替代。在这篇文章中，我们考虑这个概念的框架内的非线性哈密顿偏微分方程，并讨论其相关性。特别地，我们证明了Gibbs测度是这类系统唯一的KMS平衡态。我们的证明是基于Malliavin演算和Gross-索伯列夫空间。我们的工作的主要特点是我们的结果的白噪声，抽象的维纳空间和高斯概率空间的一般情况下，以及基本的例子，如非线性薛定谔，哈特里，和波（克莱因-戈登）方程的偏微分方程的适用性。
2021-02-24 math-ph math.AP math.DS
An efficient stochastic particle method for high-dimensional nonlinear PDEs
本文提出一种随机粒子方法（SPM），通过跟踪粒子运动、随机跳跃、重采样和加权，结合分段常数重构实现自适应采样，在6维Allen-Cahn和7维Hamiltonian-Jacobi-Bellman方程上验证了其高效求解高维非线性PDE的潜力。
2024-12-03 cs.NA math-ph math.MP
The exotic conformal Galilei algebra and nonlinear partial differential equations
利用共形Galilei代数（CGA）和奇异共形Galilei代数（ECGA）构造了包含这些代数的偏微分方程（PDE）和偏微分方程组。我们表明，有没有单一的二阶偏微分方程不变的CGA下，但系统的偏微分方程可以承认这个代数。此外，还存在一类非线性偏微分方程，它们在CGA下是条件不变的。它进一步表明，有系统的非线性偏微分方程承认ECGA的实现最近在[D。Martelli和Y. Tachikawa，arXiv：0903.5184v2 [hep-th]（2009）].此外，广泛的类的非线性系统，不变下的两个不同的10维子代数的ECGA明确构造和一个例子与可能的物理解释。
2010-02-12 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Mixing via controllability for randomly forced nonlinear dissipative PDEs
我们继续我们的研究问题的混合一类偏微分方程非常退化的噪声。如前所述，在双Lipschitz度量下，当未扰动方程只有一个全局稳定的平衡点时，平稳测度的唯一性和指数稳定性成立.在本文中，我们放宽了这个条件，只假设全局可控的一个给定的点。证明了平稳测度的唯一性和收敛性仍然成立，但收敛速度不一定是指数的，而是收敛速率。结果适用于随机强迫抛物型偏微分方程，只要外力的确定性部分在一般位置，确保未扰动问题的吸引子的规则结构。证明使用了一个新的想法，减少了一个稳定性属性的调查条件随机游动的验证。
2019-02-01 math-ph math.AP math.MP
Partial Differential Equations of Mixed Type: Analysis and Applications
偏微分方程（PDE）是许多数学和科学进步的核心。在过去的80年里，标准型偏微分方程的理论研究取得了很大的进展，而混合型非线性偏微分方程的分析还处于起步阶段。本文的目的是通过流体力学、微分几何和其他领域中的几个长期存在的基本问题来说明，在这些领域中出现的许多非线性偏微分方程不再是标准类型，而是处于偏微分方程分类的边界，甚至超越了混合类型的分类。一些相互关联的连接，历史的观点，最近的发展，和当前的趋势，在混合型非线性偏微分方程的分析。
2022-08-14 math-ph math.AP math.DG
