5-cycles and the Petersen graph
Matt DeVos, Vahan V. Mkrtchyan, Samvel S. Petrosyan
我们证明了如果G是一个连通的无桥三次图，它的每一个2-因子都是由长度为5的圈组成的，那么G是Petersen图。
We show that if G is a connected bridgeless cubic graph whose every 2-factor is comprised of cycles of length five then G is the Petersen graph.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Beyond symmetry in generalized Petersen graphs
如果一个图的所有自同态都是自同构，则该图是核心图或不可收缩图。核的著名例子包括彼得森图和十二面体图--这两个都是广义的彼得森图。我们刻画了广义Petersen图的核心。自同态传递广义Petersen图的一个简单的特征如下。这推广了Frucht，Graver和Watkins关于点传递广义Petersen图的刻画，解决了Fan和Xie的一个问题.此外，我们研究广义Petersen图（底层图）的凯莱图monoid。我们表明，这是彼得森图的情况下，回答最近的mathoverflow问题，为Desargues图，和十二面体-回答一个问题的Knauer和Knauer。此外，我们还刻画了无限族的广义Petersen图，它们是么半群的Cayley图，生成联络集为2。这扩展了Nedela和Škoviera关于广义Petersen图是群Cayley图的刻画，并补充了Hao，Gao和Luo的结果。
On minimum vertex cover of generalized Petersen graphs
对于自然数$n$和$k$（$n > 2k$），由点集$\lbrace u_i,v_i\rbrace$和边集$\lbrace u_iu_{i+1},u_iv_i,v_iv_{i+k}\rbrace$定义了一个广义Petersen图$P(n,k)$，其中$i = 1,2,\dots,n$和下标是模$n$约简的.本文首先刻画了广义Petersen图的最小顶点覆盖。其次，我们给出了$P(n,k)$的最小顶点覆盖大小$β(P(n,k))$的一个下界和一些上界。第三，在某些情况下，我们确定$β(P(n,k))$的精确值。我们的猜想是，对于所有的$n$和$k$，都有$β(P(n,k)) \le n + \lceil\frac{n}{5}\rceil$。
Girth six cubic graphs have Petersen minors
本文证明了任何不含长度小于6的圈的3-正则图都有一个子图同构于Petersen图的一个剖分。
The crossing number of the generalized Petersen graph P(10, 3) is six
图的交叉数是指图在平面上的所有图中边交叉的最少数目。本文证明了广义Petersen图P（10，3）的交叉数等于6。
Algorithms for Silver Coloring of Generalized Petersen Graphs
这篇论文被撤回了。
On Mixed Domination in Generalized Petersen Graphs
给定一个图$G = (V, E)$，如果不包含在$S$中的每个顶点和边恰好与$S$中的一个成员相邻或关联，则称一个顶点和边的集合$S \subseteq V \cup E$为混合支配集。图的混合控制数$γ_{md}(G)$是图$G$的最小混合支配集的大小。我们提出了一个明确的方法来构造最佳的混合控制集的彼得森图$P(n, k)$ $k \in \{1, 2\}$。我们的方法也为其他Petersen图提供了一个新的上界。
On the cop number of generalized Petersen graphs
我们证明了每个广义Petersen图的cop数至多为4。该策略是在无限循环覆盖空间上玩一个修改后的警察和强盗游戏，目标是抓住强盗或迫使强盗走向无限图的一端。我们证明了有限等距子树是1-可保的，并将其应用于确定某些广义Petersen图族的确切copnumber。我们还推广了这些思想，证明了任何连通的I-图的cop数至多为5。
[1,2]-Domination in Generalized Petersen Graphs
图$G=(V,E)$的顶点子集$S$是$[1,2]$ -支配集，如果$V\backslash S$的每个顶点与$S$中的一个或两个顶点相邻. $G$的$[1,2]$ -支配集的最小基数记为$γ_{[1,2]}(G)$，称为$G$的$[1,2]$ -控制数.本文确定了广义Petersen图$P(n,2)$的$[1,2]$ -控制数和$[1,2]$ -全控制数.
A remark on Petersen coloring conjecture of Jaeger
如果$G$和$H$是两个三次图，则我们记为$H\prec G$，如果$G$允许一个具有$H$的边的适当边染色$f$，使得对于$G$的每个顶点$x$，都有一个具有$f(\partial_G(x))=\partial_H(y)$的$H$的顶点$y$.设$P$和$S$分别是Petersen图和Sylvester图。本文介绍了Sylvester着色猜想。此外，我们还证明了如果$G$是一个连通无桥三次图，且有$G\prec P$，则有$G=P$ .最后，如果$G$是一个连通三次图，且有$G\prec S$，则有$G=S$ .
On the $μ$-parameters of the Petersen graph
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们分别用$V(G)$和$E(G)$表示它的顶点集和边集。一个函数$φ:E(G)\rightarrow \{1,...,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.图$G$的$t$的最小值为$χ'(G)$，它使图$G$的$t$ -染色为真边。对任意图$G$和任意满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$的整数$t$，我们用$α(G,t)$表示$G$的所有真边$t$ -染色的集合.让我们也定义一个集合$α(G)$的所有正常边染色的图$G$：$$ α(G)\equiv\bigcup_{t=χ'(G)}^{|E(G)|}α(G,t). $$一个任意的非空有限子集的连续整数称为一个区间。如果$φ\inα(G)$和$x\in V(G)$，则与$x$关联的$G$的边的颜色集合用$S_G(x,φ)$表示，并且称为图$G$的顶点$x$在适当边染色$φ$处的谱。如果$G$是一个图，并且$φ\inα(G)$，则定义$f_G(φ)\equiv|\{x\in V(G)/S_G(x,φ) \textrm{is an interval}\}|$。对于图$G$和任何整数$t$，满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$，我们定义：$$ μ_1(G,t)\equiv\min_{φ\inα(G,t)}f_G(…
Boxicity and Interval-Orders: Petersen and the Complements of Line Graphs
本文提出基于区间序子图的通用方法确定图的盒状维数，证明彼得森图为3、Kneser图K(n,2)为n-2，并表明线图具有多项式数量的边极大区间序子图，从而为相关NP难问题提供多项式时间算法。
The Target Set Selection Problem on Cycle Permutation Graphs, Generalized Petersen Graphs and Torus Cordalis
在本文中，我们考虑了病毒式营销领域的一个基本问题，称为T{ \scriptsize ARGET} S{ \scriptsize ET} S{ \scriptsize ELECTION}问题。在病毒式营销设置中，社交网络由具有新产品的潜在客户作为顶点和朋友关系作为边的图来建模，其中每个顶点$v$被分配阈值$θ(v)$。阈值代表了客户（顶点）购买新产品时，他们的朋友（邻居）做的不同的潜在倾向。考虑社交网络$(G,θ)$上的重复过程，其中每个顶点$v$与两个状态（活动和非活动）相关联，这两个状态指示$v$是否被说服购买新产品。假设我们有一个目标集$S\subseteq V(G)$。最初，$G$中的所有顶点都处于非活动状态。在时间步0，我们选择$S$中的所有顶点变为活动。然后，在每个时间步$t>0$，在时间步$t-1$中活动的所有顶点保持活动，并且如果其邻居中的至少$θ(v)$在时间步$t-1$是活动的，则我们激活任何顶点$v$。当没有更多的顶点可以被激活时，激活过程终止。我们感兴趣的是下面的优化问题，称为T{ \scriptsize ARGET} S {\scriptsize ET} S{ \scriptsize ELECTION}：找到一个目标集$S$的最小可能的大小，激活所有顶点的$G$。有一个重要且研究得很好的阈值，称为严格多数阈值，其中对于$G$中的每个顶点$v$，我们都有$θ(…
On sublinear approximations for the Petersen coloring conjecture
如果$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$是一个函数，那么让我们说$f$是次线性的，如果\[\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{f(n)}{n}=0.\]如果$G=(V,E)$是一个三次图和$c:E\rightarrow \{1,...,k\}$是一个正确的$k$ -边染色的$G$，那么边$e=uv$的$G$是穷人（丰富）在$c$，如果边事件$u$和$v$是三（五）色。如果一个边既不富也不穷，那么它就是不正常的。Jaeger的Petersen着色猜想指出，任何无桥三次图都有一个正常的5-边着色$c$，使得$G$关于$c$没有异常边。对于$G$的正确5-边着色$c$，设$N_G(c)$是$G$关于$c$的异常边的集合。本文证明了：（a）Petersen着色猜想等价于存在一个次线性函数$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$，使得所有无桥三次图都有一个具有$|N_G(c)|\leq f(|V|)$的真5-边着色$c$;（b）对于$k=2,3,4$，存在次线性函数$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$的陈述，使得所有（循环）$k$ -边连通三次图允许具有$|N_G(c)|\leq f(|V|)$的真5-边着色$c$等价于所有（循环）$k$ -边连通三次图允许一…
Intersection of Longest Cycle and Largest Bond in 3-Connected Graphs
本文证明了在特定条件下的3-连通图中，最长圈必定与最大键相交，并研究了广义Petersen图的余谱。
Fast recognition of some parametric graph families
我们确定了所有的$[1, λ, 8]$ -圈正则$I$ -图和所有的$[1, λ, 8]$ -圈正则双重广义Petersen图.因此，我们描述这些图形家庭的线性识别算法。利用折叠立方体的结构特性，我们设计了一个$o(N \log N)$识别算法。研究了它们的$[1,λ,4]$、$[1,λ,6]$和$[2, λ, 6]$ -循环规律，确定了参数$λ$的取值.
Linearly $χ$-Bounding $(P_6,C_4)$-Free Graphs
给定两个图$H_1$和$H_2$，一个图$G$是$(H_1,H_2)$ -free的，如果它不包含与$H_1$或$H_2$同构的子图.令$P_t$和$C_s$分别为$t$顶点上的路径和$s$顶点上的循环。本文证明了对任何无$(P_6,C_4)$的图$G$，有$χ(G)\le \frac{3}{2}ω(G)$，其中$χ(G)$和$ω(G)$分别是$G$的色数和团数. %我们的界限是由$C_5$和Petersen图得到的。我们的界限是由几个图，例如，五圈，彼得森图，彼得森图与一个额外的通用顶点，和所有$4$ -关键$(P_6,C_4)$ -自由图以外的$K_4$（见\cite{HH17}）。新的结果统一了以前已知的结果存在的线性$χ$绑定功能的几个图形类。我们的证明是基于一个新的结构定理的$(P_6,C_4)$ -自由图，不包含团割集。利用这个结构定理，我们还设计了一个多项式时间的$3/2$ -近似算法，用于$(P_6,C_4)$ -free图的着色.我们的算法在$O(n^2m)$时间内计算任何$(P_6,C_4)$ -free图$G$的$\frac{3}{2}ω(G)$颜色的着色。
Shortest cycle covers and cycle double covers with large 2-regular subgraphs
在本文中，我们表明，许多snark有最短的循环覆盖的长度$\frac{4}{3}m+c$为常数$c$，其中$m$是在图中的边的数量，在协议的猜想，所有的snark有最短的循环覆盖的长度$\frac{4}{3}m+o(m)$。特别地，我们证明了完美匹配指数不超过4的图的圈覆盖长度为$\frac{4}{3}m$，并且满足张的$(1,2)$ -覆盖猜想，而周长较大的图的圈覆盖长度接近于$\frac{4}{3}m$ .我们还证明了一些结果，图的低奇性和讨论的连接Jaeger的彼得森着色猜想。
On parsimonious edge-colouring of graphs with maximum degree three
在最大度的图$G$中，$Δ$令$γ$表示可以被$Δ$边着色的边的最大分数。Albertson和Haas证明了当$G$是立方时，$γ\geq 13/15$。我们在这里表明，这个结果可以扩展到最大度为3的图，除了5个顶点的图。此外，恰好有两个图的最大度为3（一个显然是彼得森图），其中$γ= 13/15$。这推广了Steffen的一个结果。这些结果是通过使用所谓的$δ$ -最小边染色的最大度为3的图的结构特性。关键词：三次图;边着色
Three-edge-coloring projective planar cubic graphs: A generalization of the Four Color Theorem
本文证明射影平面上除彼得森图外所有循环4边连通三次图均可3边着色，推广四色定理，并得出着色-流对偶及加强的Tutte 4流猜想结论。
Normal edge-colorings of cubic graphs
三次图的正常$k$ -边染色是具有$k$颜色的边染色，具有附加性质，即当查看分配给任何边$e$和与其相邻的四条边的颜色集合时，我们恰好有五种不同的颜色或恰好有三种不同的颜色。我们用$χ'_{N}(G)$表示最小的$k$，对于它$G$允许正规的$k$ -边染色。正规$k$ -边着色是Jaeger为了研究他著名的Petersen着色猜想而引入的。更确切地说，已知对于每个无桥三次图证明$χ'_{N}(G)\leq 5$等价于证明Petersen着色猜想，然后证明圈双覆盖猜想和Berge-Fulkerson猜想。考虑到所有简单三次图（不一定是无桥的）的较大类，自然会出现一些有趣的问题。例如，存在具有$χ'_{N}(G)=7$的简单三次图，而不是无桥图。另一方面，$χ'_{N}(G)$的已知最佳通用上限是$9$。在这里，我们通过证明，$χ'_{N}(G)\leq7$的任何简单的三次图$G$，这是最好的可能。我们通过证明在$4$ -边连通图中存在特定的no-where零$\mathbb{Z}_2^2$ -流来得到这个结果。
Normal 6-edge-colorings of some bridgeless cubic graphs
在一个三次图的边着色中，如果一条边和与之相邻的四条边的颜色集分别恰好有五种或恰好三种不同的颜色，则该边是贫边或富边。在边着色中，如果边的着色是丰富的或贫乏的，则该边是正常的。三次图的正规$k$ -边染色是用$k$颜色进行边染色使得图的每条边都是正规的。我们用$χ'_{N}(G)$表示最小的$k$，对于它$G$允许正常的$k$ -边染色。正规边着色是Jaeger为了研究他著名的Petersen着色猜想而引入的。证明无桥三次图的$χ'_{N}(G)\leq 5$等价于证明Petersen着色猜想。此外，Jaeger能够证明它包含了经典的猜想，如循环双覆盖猜想和Berge-Fulkerson猜想。最近，两个作者能够证明，任何简单的立方图允许正常的$7$ -边染色，这个结果是最好的可能。本文证明了任意无爪无桥三次图、置换蛇、树型蛇都有正规的$6$ -边染色。最后，我们证明了任何无桥三次图$G$都允许$6$ -边染色，使得$G$的至少$\frac{7}{9}\cdot |E|$边是正规的。
On Sylvester Colorings of Cubic Graphs
如果$G$和$H$是两个三次图，则$G$的$H$ -染色是具有$H$的边的真边染色$f$，使得对于$G$的每个顶点$x$，存在具有$f(\partial_G(x))=\partial_H(y)$的$H$的顶点$y$。如果$G$允许$H$ -着色，那么我们将写为$H\prec G$ . Jaeger的Petersen着色猜想指出，对于任何无桥三次图$G$，有：$P\prec G$。第二作者最近介绍了西尔维斯特着色猜想，其中指出，对于任何三次图$G$有：$S\prec G$。这里$S$是$10$顶点上的Sylvester图。本文证明了Sylvester着色猜想在三次伪图上的类似性。此外，我们还证明了：如果$G$是任意连通的简单三次图$G$，且有$G\prec P$，则有$G = P$ .这意味着Petersen图不允许$S_{16}$ -染色，其中$S_{16}$是没有完美匹配的最小连通简单三次图. $S_{16}$具有$16$顶点。我们猜想有无穷多个连通的三次简单图不允许$S_{16}$ -染色.最后，我们得到了关于Sylvester着色猜想的$2$结果。第一个结果表明：任意三次图$G$都有Sylvester图$S$的边染色，使得$G$的至少$\frac45$的顶点满足Sylvester染色猜想的条件.第二个结果表明，任何无爪三次图允许PDMATHAMV-染色。这个结果是我们的结果在…
Avoiding 5-circuits in a 2-factor of cubic graphs
我们证明了除Petersen图外的所有在$n$顶点上的无桥三次图$G$都有一个2-因子，且至多有$2(n-2)/15$长度为$5$的回路.一个无限族的图达到这个界限。我们还表明，$G$有一个2-因子，最多$n/5.8\overline{3}$奇电路。这改进了先前已知的$n/5.41$的界限[Lukoka，Máčajová，Mazák，Škoviera：Small snarks with large oddness，arXiv：1212.3641 [cs.DM] ]。
Classification of vertex-transitive cubic partial cubes
部分立方体是可等距嵌入超立方体的图。本文证明了每一个三次顶点可迁部分立方体同构于下列图之一：$K_2 \, \square \, C_{2n}$，对于某些$n\geq 2$，广义Petersen图$G(10,3)$，立方置换面体，截顶立方八面体或截顶二十面体.这种分类是Brešar等人结果的推广。从2004年开始，它包含了所有的立方，距离正则的部分立方体（Weichsel，1992），并对所有立方部分立方体的分类做出了贡献。
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