Bounds for the sum of distances of spherical sets of small size
我们推导出上界和下界的距离总和的大小$N$在$n$尺寸的球形代码时，$N\sim n^α, 0<α\le 2.$的界限是由专门最近的一般，普遍的能量范围的球形集。我们讨论了我们的边界的渐近行为，以及几个例子的代码，其距离和密切遵循的上界。
2022-12-21 cs.IT math.CO math.IT
New bounds for equiangular lines and spherical two-distance sets
$\mathbb{R}^n$中的一组直线称为等角，如果每对直线之间的角度相同。我们得到了等角线基数的新的上界。让我们用$M_α(n)$表示$\mathbb{R}^n$中具有公共角$\arccos α$的等角线的最大基数。我们证明了在区间$a^2 -2 \leq n \leq 3 a^2-16$和$a \geq 3$中对任何$n \in \mathbb{N}$都有$M_{\frac 1 a} (n) \leq \frac 1 2 ( a^2-2) ( a^2-1)$.进一步讨论了等角线与球面二距离集之间的关系，得到了关于$\mathbb{R}^n$到$n \leq 417$的最大球面二距离集的新结果.
2016-09-05 math.MG
Upper bounds for $s$-distance sets and equiangular lines
度量空间中的点集称为$s$距离集，如果这些点之间的成对距离只允许$s$不同的值。具有标积$\{α, -α\}$，$α\in[0,1)$的集合的两距离球面集称为等角集。确定各种空间中$s$ -距离集的最大尺寸的问题在数学中有着悠久的历史。本文提出了一种新的方法，通过带状球函数来界定紧两点齐性空间中$s$距离集的大小。这个方法使我们能够证明$\mathbb{R}^n$，$n\geq 7$中的球形两距离集的最大尺寸是$\frac{n(n+1)}2$，对于某些$n=(2k+1)^2-3$，$k \in \mathbb{N}$可能有例外。我们还证明了具有$α=\frac 1 a$的等角集的普遍上界$\sim \frac 2 3 n a^2$，并利用这个界，证明了一个新的等角集在所有维度上的大小上界。最后，我们分类所有等角集达到这个新的界限。
2016-11-29 math.CO math.MG
Spherical sets avoiding orthonormal bases
本文利用球面调和分析与超压缩不等式，证明高密度球面集必含完整正交向量组，并给出避开 $k$ 个正交向量集合的指数型测度上界。
2025-06-10 math.CO math.MG
Subcomplexes and fixed point sets of isometries of spherical buildings
本文研究球形建筑物的凸子复形。我们特别注意球形建筑物保型等距的不动点集。这些集合也是建筑物的自然多面体结构的凸子复形。我们表明，除其他事项外，如果不动点集是顶维的，那么它要么是一个子建筑物或它有外接圆半径$\leq \fracπ{2}$。如果建筑物是类型$A_n$或$D_n$，我们还表明，同样的结论适用于任意（顶维的$D_n$ -情况下）凸子复形。这证明了Kleiner-Leeb在这些情况下的猜想。
2014-08-13 math.GR math.MG
On Unit Spherical Euclidean Distance Matrices Which Differ in One Entry
单位球面欧几里德距离矩阵（EDM）D是其元素可以被实现为单位球面上的n个点的点间（平方）欧几里德距离的矩阵。在本文中，给定这样一个D和1 \leq k <1 \leq n，我们提出了一个集的特征的所有单位球面EDM，其项目与D的那些，除了可能与第k1和第lk位置的项目。因此，我们表明，这个集合可以是离散的，由一个或两个元素组成，或者它可以是连续的。使用两种替代方法，其中第二种是基于凯莱-门格尔矩阵的结果。
2019-04-08 math.MG
Constructions of maximum few-distance sets in Euclidean spaces
在$d$维欧氏空间$\mathbb{R}^d$中，如果$\mathcal{X}$的不同元素之间的相互距离的集合具有基数$s$，则称为$s$距离集.本文提出了一种无同构图的穷举生成和Gröbner基计算相结合的方法来分类$\mathbb{R}^4$中的最大$3$ -距离集、$\mathbb{R}^3$中的最大$4$ -距离集和$\mathbb{R}^2$中的最大$6$ -距离集.我们还构造了新的例子大$s$距离集$d\leq 8$和$s\leq 6$，并独立验证了文献中的几个早期结果。
2018-04-17 math.CO math.MG
Discrete subsets of R^2 and the associated distance sets
我们证明了R^2的一个均匀分布的子集可以有一个分离的距离集，只有当距离是由多边形诱导的。
2002-03-15 math.CO math.MG
The two-distance sets in dimension four
在$d$维欧几里得空间$\mathbb{R}^d$中的不同向量的有限集$\mathcal{X}$称为$2$ -距离集，如果$\mathcal{X}$的不同元素之间的相互距离的集合恰好具有$2$的势.本文利用计算机辅助方法对$\mathbb{R}^4$中的$2$距离集进行等距分类。
2018-06-20 math.CO math.MG
Illuminating spindle convex bodies and minimizing the volume of spherical sets of constant width
d维欧几里得空间的一个具有非空内部的子集称为纺锤体凸体，如果它是（1个或无穷多个）全等d维闭球的交.如果主轴凸体包含其生成球的中心，则称之为“胖”体。本文的核心部分是将Schramm关于等宽凸体的定理及其证明推广到“胖”纺锤体凸体族。
2011-02-06 math.MG
Borsuk's conjecture for two-distance sets and its equivalent formulation for graphs
本研究利用图可作为双距离集嵌入欧氏空间的性质，给出双距离集下博苏克猜想的图论等价表述，介绍其未解决的维度范围，还探讨了图构造反例的思路与向s-距离集的推广。
2025-11-15 math.CO math.MG
Bounds on equiangular lines and on related spherical codes
一个$L$ -球形码是一组欧几里德单位向量，其成对内积属于集合$L$。我们表明，对于一个固定的$α,β>0$，任何$[-1,-β]\cup\{α\}$球形码的大小是在最线性的维度。特别地，这个界限适用于每两条线彼此成固定角度的线集合。
2016-02-25 math.CO math.MG
Uniqueness of maximum three-distance sets in the three-dimensional Euclidean space
$d$维欧几里得空间中的子集$X$称为$k$距离集，如果在$X$中的两个不同点之间恰好存在$k$距离. Einhorn和Schoenberg证明了正二十面体的顶点是$\mathbb{R}^3$中直到同构的唯一的12点三距离集。本文证明了$\mathbb{R}^3$中12点三距离集的唯一性。
2013-09-09 math.CO math.MG
A proof of a Dodecahedron conjecture for distance sets
欧几里得空间的有限子集称为$s$ -距离集，如果在该集合中两个不同点之间的欧氏距离恰好存在$s$值。本文证明了$\mathbb{R}^3$中所有5-距离集之间的最大基数为20，并且$\mathbb{R}^3$中的每个含有$20$点的$5$ -距离集都与正十二面体的顶点集相似。
2020-09-28 math.CO math.MG
Distance sets of well-distributed planar sets for polygonal norms
设X是二维赋范空间，BX是X中的单位球.讨论了当X包含一个距离集Delta满足估计的均匀分布集时，BX的极值点集必须有多大的问题|Δ \cap [0，N]|<CN^{3/2 -ε}。我们还给出了一个良分布集存在的充要条件，|Δ \cap [0，N]|< CN.
2004-05-01 math.CO math.MG
Clustering in typical unit-distance avoiding sets
本文在平面中严格证明，稠密乃至典型的避免单位距离集合都会出现距离约为2的点对过度富集的聚类现象，并基于线性规划方法加以论证。
2024-07-06 math.CO math.MG
On Representations of Graphs as Two-Distance Sets
设a \neq b是两个正标量。一个单图G在R^r中的欧几里得表示是G的节点到R^r中的点的映射，使得任意两点之间的平方欧几里得距离在对应的节点相邻时为a，否则为b。如果点位于（r-1）-球面上，则欧几里得表示是球面的;如果该球面的半径为1且a=2 < b，则欧几里得表示是J-球面的。设dim_E（G），dim_S（G）和dim_J（G）分别表示G的欧氏表示、球面表示和J-球面表示的最小维数r.本文推广和简化了Roy[18]和Nozaki和Shinohara[17]的结果，导出了dim_E（G）和dim_S（G）关于V^TAV的特征值的精确简单公式，其中A是G的邻接矩阵，V是其列构成所有1的向量的正交补的标准规范正交基的矩阵.我们还推广和简化了Musin [16]的结果，导出了确定G的J-球面表示和根据补图\bar{G}的邻接矩阵\bar{A}的最大特征值确定dim_J（G）的显式公式.作为副产品，我们得到了几个相关的结果，特别是我们回答了Musin在[16]中提出的一个问题。
2018-08-17 math.CO math.MG
Energy minimization, periodic sets and spherical designs
研究了欧几里得空间中周期集对势的能量极小问题。我们得到了点晶格局部极小化一大类势函数能量的一些充分条件。这使得特别是要证明一个本地版本的科恩和库马尔的猜想，即$\mathsf{A}_2$，$\mathsf{D}_4$，$\mathsf{E}_8$和水蛭格是全球普遍最佳的，关于能量最小化，并定期设置之间的不动点密度。
2011-02-02 math-ph math.MG math.MP
An extension the semidefinite programming bound for spherical codes
在本文中，我们提出了一个已知的半定和线性规划上界的球形码的扩展，并考虑距离图的这个版本的限制。我们应用的主要结果的距离分布的球形代码。
2019-03-14 math.MG math.OC
An upper bound for the size of $s$-distance sets in real algebraic sets
在最近的一份文件彼得罗夫和Pohoata开发了一种新的代数方法，结合了Croot-列夫-Pach引理从添加剂组合和西尔维斯特定律的惯性真正的二次型。作为应用，他们给出了$s$ -距离集（子集$\mbox{$ \cal A $}\subseteq {\mathbb R}^n$最多确定$s$不同距离）大小的Bannai-Bannai-Stanton界的简单证明。在本文中，我们推广了他们的工作，并证明了上界的大小$s$ -距离集在各种实代数集。这种方法得到了Delsarte-Goethals-Seidel在球面$s$ -距离集上的界的一个新的简短证明，并推广了Bannai-Kawasaki-Nitamizu-Sato在球面并上的$s$ -距离集上的界.在我们的论点中，我们使用彼得罗夫和Pohoata的方法与一些Gröbner基础技术。
2020-07-01 math.AC math.CO math.MG
Spherical sets avoiding a prescribed set of angles
令$X$为区间$[-1,1]$的任何子集。如果对于任何$u,v \in I$都有$<u,v >\notin X$，则$R^n$中单位球面的子集$I$将被称为\emph{$X$-avoiding}。问题的确定最大表面措施的$\{ 0 \}$，避免了一套首先指出，在1974年的说明Witsenhausen;有上限的$1/n$倍的表面措施的领域是来自一个简单的平均参数。弗兰克尔-威尔逊定理的一个结果是这个分数呈指数下降，但直到现在，$n=3$情况下的$1/3$上限还没有移动。我们改进这个绑定到$0.313$使用的方法启发Delsarte的线性规划界限的代码，结合一些组合推理。在本文的第二部分中，我们利用调和分析证明了对于$n\geq 3$，总是存在一个$X$ -避免的最大测度集。我们还显示了一个例子，一个最大化不需要存在时$n=2$。
2015-02-25 math.CO math.MG math.OC
Semidefinite programming bounds for distance distribution of spherical codes
本研究将球面码的半定规划界简化为单变量多项式不等式，通过四点论证得到六次多项式，从而简洁地证明了24胞腔在四维空间中 kissing 构型的唯一性，并给出了距离图限制。
2026-10-20 math.CO math.MG math.OC
On Pinned Falconer Distance Problem for Cartesian Product Sets: the Parabolic Method
本文针对笛卡尔乘积集的固定点Falconer距离问题，利用与特定抛物线结构相关的笛卡尔乘积集的新观察开展研究，在特定情形下改进了已有文献中的Falconer距离集阈值。
2025-03-18 math.CA math.CO math.MG
On the distance sets spanned by sets of dimension $d/2$ in $\mathbb{R}^d$
该研究在全维数下对满足Hausdorff与packing维数相等的集合证明了Falconer距离集猜想的维数版本，给出低维及高维下距离集维数的显式估计，依赖的径向投影维新估计具独立价值。
2024-08-13 math.CA math.CO math.MG
Linear Spherical Sliced Optimal Transport: A Fast Metric for Comparing Spherical Data
Vanderbilt University（范德堡大学）；Tufts University（塔夫茨大学）
本文提出线性球面切片最优传输（LSSOT）框架，通过切片将球面分布嵌入L2空间，在保留几何结构的同时实现高效度量，并在皮质配准、点云插值和形状嵌入中验证了其计算效率和准确性。
2024-11-09 cs.LG math.MG
Number of bounded distance equivalence classes in hulls of repetitive Delone sets
两个Delone集是有界距离等价的，如果它们之间存在一个双射使得对应点的距离一致有界。有界距离等价是一种等价关系。我们证明了具有有限局部复杂度的重复Delone集的壳有一个等价类或不可数个等价类。在arXiv：2011.00106 [math.MG]中证明了一个非常相似的结果。
2021-01-17 math.CO math.DS math.MG
Metrics Based on Average Distance Between Sets
本文提出了一种基于集合元素间距离平均值的集合间距离函数。距离函数是度量，如果集合是度量空间的非空有限子集。它可以用于在集合上构造各种度量空间，在计算机科学和信息科学领域中，它将对分析复杂数据集有重要意义。它的推广，包括Hausdorff度量和扩展到无限集治疗模糊集也进行了讨论。
2011-09-12 math.MG
On Borsuk's conjecture for two-distance sets
本文回答了Larman关于两距离集的Borsuk猜想的问题。我们发现一个两个距离集组成的416个点的单位球的尺寸65不能被划分成83个部分的较小的直径。这也减少了最小的维度，其中Borsuk的猜想是错误的。其他例子的两个距离集与大Borsuk的号码将被给予。
2013-08-29 math.MG
Large-volume open sets in normed spaces without integral distances
研究赋范空间$X$中的开集$\mathcal{P}$在避免整数距离上的点对的情况下获得大的体积.建议的任务是找到尖锐的最大可能的$d$维体积不等式。这个问题可以被看作是一个相对的已知问题的点集与成对积分或合理的距离。
2014-01-31 math.MG
Sets avoiding integral distances
本文研究欧几里得空间$\mathbb{R}^d$中的开点集，其中点对之间的距离不为整数。结果Furstenberg，Katznelson，和Weiss这样的集合必须勒贝格上密度为零。我们感兴趣的是如何大，这样的集可以在$d$维体积。我们根据连通分支的个数和维数确定了集合体积的上下界上界，并给出了一些精确值。我们的问题可以被看作是一种逆已知的问题集与成对的合理或整数距离。
2013-06-12 math.MG
Sets of tetrahedra, defined by maxima of distance functions
我们从内禀距离函数的局部和全局极大值的角度研究四面体和四面体空间。
2012-07-14 math.MG
Some remarks on spherical harmonics
本文包含了对球谐函数及其节点集的几点观察：具有指定零点的调和函数的构造;这种调和函数在$\bbS^2$上的正则表示;节点长度和内径的上界和下界（上界是尖锐的）; $\bbS^2$上两个球谐函数公共零点个数的精确上界; $\bbS^m$上不同阶谐波的$k$节点集的交点上的平均Hausdorff测度，其中$k\leq m$（特别是$m$谐波的公共零点的平均数）。
2008-08-06 math.CA math.MG
Growth Competitions on Spherically Symmetric Riemannian Manifolds
我们提出了一个黎曼流形上两个子集之间的增长竞争模型。集合以两种不同的速率增长，彼此避免。结果表明，如果竞争发生在一个关于慢集的起点旋转对称的曲面上，则如果该曲面共形等价于欧氏平面，则慢集保持在有界区域内，而如果该曲面非正弯曲且共形等价于双曲平面，则两个集合都可以无限增长.
2022-07-07 math.DG math.MG
Quantum spherical codes
本文提出了量子球面码的构造框架，将其应用于玻色子编码和CSS码级联，以提升性能并自主抵御退相干噪声。
2023-12-07 cond-mat.mes-hall cs.IT math.IT
Computing the Hausdorff Distance of Two Sets from Their Signed Distance Functions
Hausdorff距离是两个集合之间（不）相似性的度量，广泛用于各种应用中。大多数应用文献都致力于计算由有限个点组成的集合。这在例如图像处理中具有应用。然而，我们希望将Hausdorff距离应用于基于水平集的形状优化中的控制和评估优化方法。在这种情况下，所涉及的集不是有限点集，但其特征在于水平集或有符号的距离函数。本文讨论了两个这样的集合之间的Hausdorff距离的计算。我们回顾Hausdorff距离的基本性质，包括距离函数的表征。在数值应用中，该结果至少给出了Hausdorff距离的精确下界。我们还得到了一个上界，从而精确的误差估计。通过一个例子，我们表明，我们的误差估计不能进一步改善的一般情况。另一方面，我们还表明，更好的准确性，可以预期的非病理情况下，更有可能发生在实践中。如果假设网格相对于所涉及的集合随机旋转，则所得到的误差估计甚至可以进一步改进。
2018-12-17 cs.CG math.MG
Distances between fixed-point sets in 2-dimensional Euclidean buildings are realised
我们证明了，如果两个有限生成群作用在度量完备的2维欧氏建筑上，则它们的不动点集之间的距离是可实现的。我们的证明使用几何的欧几里得建筑，我们认为CAT（0）空间，和性质的超幂的欧几里得建筑。
2022-10-24 math.GR math.MG
Spiral Delone sets and three distance theorem
证明了费马螺线上的常角级数构成Delone集的充要条件是它的角是不好逼近的。
2019-04-30 math.DS math.MG math.NT
