Sign patterns with minimum rank 3 and point-line configurations
\emph{sign pattern (matrix)}是其条目来自集合$\{+, -, 0\}$的矩阵。符号模式矩阵$\cal A$的\emph{minimum rank}（分别为\emph{rational minimum rank}）是实（分别为有理数）矩阵的秩的最小值，这些矩阵的条目的符号等于$\cal A$的相应条目。如果$\cal A$没有零行或零列，并且没有两行或两列彼此相同或相反，则符号模式$\cal A$被称为\emph{condensed}。本文建立了具有最小秩$r$的凝聚$m \times n $符号模式与$m$点--${\mathbb R}^{r-1}$中的$n$超平面组态之间的一种新的直接联系。特别地，最小秩为3的压缩符号模式与平面上的点-线配置密切相关。证明了对任意具有最小秩$r\geq 3$的符号模式$\cal A$，如果$\cal A$的每列零元个数至多为$r-1$，则$\cal A$的有理最小秩也为$r$ .此外，我们还构造了已知的最小符号模式，其最小秩为3，但其有理最小秩大于3。
2013-12-20 math.CO
Variants on the minimum rank problem: A survey II
一个（简单）图$G$的最小秩问题是确定所有实对称矩阵的最小可能秩，当$\{i,j\}$是$G$中的边时，这些实对称矩阵的第$ij$项（对于$i\neq j$）不为零，否则为零.本文综述了自\cite{FH}发表以来，（标准）最小秩问题及其变体的许多发展。特别是，半正定的最小秩，迫零参数，和最小秩问题的模式进行了讨论。
2014-10-08 math.CO
Computing the minimum rank of a loop directed tree
一个图的最小秩是一个实矩阵的最小可能秩，该矩阵的零-非零模式由该图描述。现有的算法可以有效地计算无向树的最小秩。本文给出了一个在多项式时间内计算允许循环的有向树的最小秩的算法。
2014-06-13 math.CO
Table of minimum ranks of graphs of order at most 7 and selected optimal matrices
单图$G$的最小秩被定义为所有对称实矩阵的最小可能秩，当$\{i,j\}$是$G$中的边时，其第$ij$个条目（对于$i\neq j$）不为零，否则为零。最小秩是一个很难计算的参数。然而，现在有一些已知的减少技术和界限，可以在计算机上编程;我们已经开发了一个程序，使用开源数学软件Sage来实现几种技术。我们还建立了几个额外的策略计算最小秩。这些技术已被用来确定最小秩的所有图的顺序7。本文给出了阶数不超过7的所有图的最小秩。我们还提出了选定的最佳矩阵。
2008-12-04 math.CO
Minimum Vector Rank and Complement Critical Graphs
给定一个图G，G的实正交表示是从其顶点集到R^d的函数，使得两个顶点映射到正交向量当且仅当它们不是邻居。图的最小向量秩是存在这种表示的最小维数d。这个量与G的最小半定秩密切相关，它已经被广泛研究。考虑到最小向量秩是色数的一个类似物，本文定义了临界图为那些删除任何顶点降低最小向量秩的图;和补充临界图为那些删除任何顶点降低最小向量秩的图或其补充图。在计算某类图的最小向量秩的过程中，给出了该类图是补临界图的充要条件。此外，这项工作表明，补充临界图形成一个充分的集合，以证明图补猜想，这仍然是开放的。
2013-04-13 math.CO
Critical ideals, minimum rank and zero forcing number
图的迫零数与图的最小秩之间有着深刻的关系。我们研究了这两个参数的关系与第三个，代数的共同秩，这是定义为最大的$i$，使$i$次临界理想是平凡的。这为边界和计算这三个图形参数提供了一个新的视角。
2017-10-10 math.CO
The minimum rank of a sign pattern matrix with a 1-separation
符号模式矩阵是其条目来自集合$\{+,-,0\}$的矩阵。如果$A$是一个$m\times n$符号模式矩阵，则$A$的定性类，记为$Q(A)$，是所有实$m\times n$矩阵$B=[b_{i,j}]$的集合，如果$a_{i,j}$为+（分别为$-$，0），则$b_{i,j}$为正（分别为负，0）。符号模式矩阵$A$的最小秩，记为$\mr(A)$，是$Q(A)$中实矩阵秩的最小值。确定符号模式矩阵的最小秩是一个长期存在的公开问题。对于符号模式矩阵具有1-分离性的情况，利用与1-分离性相关的广义符号模式矩阵的最小秩，给出了符号模式矩阵的最小秩的计算公式.
2013-10-13 math.CO
Zero forcing parameters and minimum rank problems
利用图G的迫零集的最小顶点数Z（G），研究了图G所描述的对称矩阵族的最大零度/最小秩.证明了对于阶至少为2的连通图，没有顶点在每个迫零集中。引入了半正定迫零数Z+（G），证明了Z+（G）等于|G| -OS（G），其中OS（G）是最近定义的序集数，是最小半正定秩的下界.利用半正定迫零数计算某些图的半正定最小秩。给出了实对称半正定最小秩大于复埃尔米特半正定最小秩的图的例子。
2010-03-10 math.CO
Minimum ranks of sign patterns via sign vectors and duality
{\it符号模式矩阵}是其条目来自集合$\{+,-, 0\}$的矩阵。符号模式矩阵$A$的最小秩是其条目具有等于$A$的对应条目的符号的实矩阵的秩的最小值。本文证明了对任何具有最小秩$n-2$的$m \times n$符号模式$A$，最小秩的合理实现是可能的.这是使用一种新的方法，涉及符号向量和对偶。证明了对于每个整数$n\geq 9$，存在一个非负整数$m$，使得存在一个具有最小秩的$n\times m$符号模式矩阵$n-3$，对于该矩阵，有理实现是不可能的.给出了具有最小秩$n-1$的$m\times n$符号模式$A$的一个特征（它解决了Brualdi等人在\cite{Bru10}中的一个公开问题），以及具有最小秩$r$的符号模式在某些子空间的符号向量方面的更一般的描述.得到了$\mathbb R^n$的$k$维子空间的最大和最小符号向量个数的一些结果。特别地，证明了$\mathbb R^n$的$2$维子空间的符号向量的最大个数为$4n+1$.几个相关的开放性问题，沿途陈述。
2013-12-20 math.CO
Program for calculating bounds on the minimum rank of a graph using Sage
单图$G$的最小秩被定义为所有对称实矩阵的最小可能秩，当$\{i,j\}$是$G$中的边时，其第$ij$个条目（对于$i\neq j$）不为零，否则为零。最小秩是一个很难计算的参数。然而，现在有一些已知的减少技术和界限，可以在计算机上编程;我们已经开发了一个程序，使用开源数学软件Sage来实现几种技术。在本文中，我们提供了这个程序的信源编码。
2008-12-09 math.CO
Relationships between minimum rank problem parameters for cobipartite graphs
本文研究了二部补图的最小秩问题，证明了图的零强迫数与模式的三角形数遵循与最小秩相同的简单关系，并探讨了相关参数在二部补图和一般图中的联系。
2025-10-31 math.CO
A note on the minimum skew rank of a graph
域$\mathbb{F}$上的图$G$的最小斜秩$mr^{-}(\mathbb{F},G)$是$\mathbb{F}$上的所有斜对称矩阵中的最小可能秩，其（$i$，$j$）-项（对于$i\neq j$）在$ij$是$G$中的边时非零，否则为零。给出了图的最小斜秩的一些新性质，包括刻画了无限域$\mathbb{F}$上割点为$mr^{-}(\mathbb{F},G)=4$的图$G$，确定了域$\mathbb{F}$上$k$ -路的最小斜秩，推广了已有的结果，证明了$mr^{-}(\mathbb{F},G)=2match(G)=MR^{-}(\mathbb{F},G)$对于不含偶圈且有域$\mathbb{F}$的连通图$G$，其中，$match(G)$是$G$的匹配数，而$MR^{-}(\mathbb{F},G)$是$\mathbb{F}$上所有斜对称矩阵中的最大可能秩。
2012-06-15 math.CO
Expected values of parameters associated with the minimum rank of a graph
我们研究了与图的最小秩相关的各种图参数的期望值，包括最小秩/最大空度和相关的Colin de Verdière型参数.设$G(v,p)$表示通常的边概率为$p$的顶点为$v$的Erdens-Rényi随机图.我们得到的期望值的随机变量${\rm mr}(G(v,p))$，${\rm M}(G(v,p))$，$ν(G(v,p))$和$ξ(G(v,p))$，这些参数的平均值产生的界在所有标记的图的顺序$v$。
2016-05-21 math.CO
The minimum rank problem for circulants
最小秩问题是确定图$G$的厄米特（或实对称）矩阵的最小秩，该厄米特矩阵的非对角零-非零模式是$G$的邻接矩阵的非对角零-非零模式。这里把$G$看作循环图，只考虑循环矩阵.所得到的图参数被称为图的最小循环秩。这个值被确定为每一个循环图中的顶点邻域形成一个连续的集合，在这种情况下，是符合通常的最小秩。在对正半定矩阵的附加限制下，所得到的参数被证明等于图具有具有一定对称性的正交表示的最小维数，也等于图所确定的多项式族中出现的最小项数.当顶点数为素数时，该值被确定。还研究了实数上的相似参数。
2015-11-24 math.CO
Matrices in ${\cal A}(R,S)$ with minimum $t$-term ranks
设$R$和$S$是两个和相同的非负整数序列，${\cal A}(R,S)$是所有具有行和$R$和列和$S$的$(0,1)$ -矩阵的类.对于正整数$t$，$(0,1)$ -矩阵$A$的$t$ -项秩被定义为$A$中$1$的最大数目，其中每列中至多一个$1$，并且每行中至多$t$ $1$.在本文中，我们解决的条件存在一个矩阵类${\cal A}(R,S)$，实现所有的最小$t$长期的行列，为$t\geq 1$。
2019-04-24 math.CO
The minimum rank problem over the finite field of order 2: minimum rank 3
我们的主要结果是一个尖锐的界限，在一个最小禁止子图的顶点数的最小秩至多为3的有限域上的二阶图。我们还列出了所有62个这样的最小禁止子图。最后，我们探讨如何在有限域的顺序2扩展到任意领域，并证明至少有三分之一的62个最小禁止子图在任意领域的一类图具有最低秩至多3在该领域。
2008-09-03 math.CO math.RA
Orthogonal Representations, Projective Rank, and Fractional Minimum Positive Semidefinite Rank: Connections and New Directions
利用$r$ -折忠实正交表示定义了分数阶最小半正定秩，并证明了任意图的射影秩等于其补图的分数阶最小半正定秩.一个$r$倍版本的传统定义的最小半正定秩的图使用埃尔米特矩阵，适合图。本文还引入了图的$r$ -折叠正交表示，并将图的投影秩的理解形式化为分数正交秩。连接这些概念的量子理论，包括Tsirelson的问题，进行了讨论。
2015-09-02 math.CO quant-ph
Matroid adjoints and the minimum rank of zero-nonzero matrix patterns
本文将零-非零模式的最小秩问题推广至拟阵，通过定义基本模式与拟阵伴随，揭示了三角形数与拟阵最小秩差距的对偶关系，并证明了最小秩拟阵的唯一性及其在不同域上对可表示性的依赖。
2025-11-04 math.CO
The complexity of computing the minimum rank of a sign pattern matrix
我们证明了计算符号模式矩阵的最小秩是NP困难的。我们的证明是基于一个简单的，但有用的连接之间的最小秩的符号模式矩阵和可拉伸性问题的伪线安排。事实上，我们的硬度结果表明，它已经很难确定是否最小秩的符号模式矩阵是$\leq 3$。我们补充这一点，给出了一个多项式时间算法，用于确定一个给定的符号模式矩阵是否具有最小秩$\leq 2$。我们的结果回答了Linial等人[Combinatorica，27（4）：439--463，2007]的一个公开问题。
2015-05-14 cs.CC math.CO
Minimum rank and zero forcing number for butterfly networks
单图$G$的最小秩是所有对称实矩阵$A$上的最小可能秩，其非零非对角项对应于$G$的边。利用迫零数，证明了蝶形网络的最小秩为$\frac19\left[(3r+1)2^{r+1}-2(-1)^r\right]$，且与其邻接矩阵的秩相等.
2018-07-04 cs.DM math.CO
On the minimum rank of a graph over finite fields
本文研究了有限域$\FF_q$上$n$顶点上的简单无向图$G$的最小秩的两个方面，记为$\mr(\FF_q,G)$ .本文的第一部分证明了$\FF_2$上$n$顶点上的简单无向标号图的平均最小秩为$(1-\varepsilon_n)n$，即$\lim_{n\to\infty} \varepsilon_n=0$。在本文的第二部分中，我们假设$G$包含$k$ -顶点上的团$K_k$。证明了如果$q$不是素数，则$\mr(\FF_q,G)\le n-k+1$对于$4\le k\le n-1$和$n\ge 5$是素数.已知$\mr(\FF_q,G)\le 3$用于$k=n-2$、$n\ge 4$和$q\ge 4$。我们发现，对于$k=n-2$和每个$n\ge 10$存在一个图$G$，使$\mr(\FF_3,G)>3$。对于$k=n-3$、$n\ge 5$和$q\ge 4$，我们证明了$\mr(\FF_q,G)\le 4$ .
2010-07-20 math.CO
Two spectral extremal results for graphs with given order and rank
图的谱半径和秩分别定义为图的邻接矩阵的谱半径和秩。确定某些图族上具有最大或最小谱半径的极图是谱极值图论中的一个重要问题。Monsalve和Rada [Extremal谱半径of graphs with rank 4，线性代数Appl.609（2021）1-11]得到了所有n阶秩4图中具有最大和最小谱半径的极图。本文首先确定了任意给定阶数和秩为r的图中谱半径最大的极图，进而确定了阶数和秩为5的图中谱半径最小的极图。
2023-01-13 math.CO
Non-minimum tensor rank Gabidulin codes
研究了几类小维Gabidulin码的张量秩。特别地，我们确定了等价于$\mathbb{F}_{q}^{4\times4}$中的$8$维$\mathbb{F}_q$ -线性广义Gabidulin码的任意秩度量码的张量秩.这表明，这样的代码永远不会是最小张量秩。用这种方法，我们检测出了第一类非最小张量秩的Gabidulin码。
2022-01-20 cs.IT math.CO math.IT
The Classification of Graphs on $8$ vertices with Coinciding Zero Forcing number and Maximum Nullity
该研究针对简单无向图的最小秩问题，确定了八顶点图中最小秩矩阵零度与零强迫数界不相等的精确图集，同时还提出了辅助一般图最小秩计算的额外方法。
2025-06-12 math.CO
The minimum size of a linear set
本文首先确定PG（1，q^n）中秩为k的Fq-线性集的最小可能尺寸。我们通过将其与由线性化多项式确定的方向的数量相关来获得这个结果，该线性化多项式的域被限制在子空间内。然后我们利用这个结果找到PG（2，q^n）中秩为k的Fq-线性集的点数的下界。在k = n的情况下，这证实了Sziklai在[9]中的一个猜想。
2018-04-19 math.CO
Subgraph complementation and minimum rank
任何有限简单图$G = (V,E)$都可以用$V$的子集的集合$\mathscr{C}$表示，使得$uv\in E$当且仅当$u$和$v$一起出现在$\mathscr{C}$中的奇数个集合中。让$c_2(G)$表示这样的集合的最小基数。这个不变量等价于在$\mathbb{F}_2$上的$G$的忠实正交表示的最小维数，并且与$G$的最小秩密切相关。当$\operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)$是奇数时，或者当$G$是一个森林时，我们证明了$c_2(G) = \operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)$.否则，为$\operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)\leq c_2(G)\leq \operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)+1$。此外，我们证明了以下是等价的任何图$G$至少有一个边缘：i。$c_2(G)=\operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)+1$ ; ii. $G$的邻接矩阵是秩为$\operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)$的唯一矩阵，其拟合$G$超过$\mathbb{F}_2$ ; iii.存在如所述的最小集合$\mathscr{C}$，其中每个顶点出现偶数次;以及iv.对于$G$的每个组分$G'$，$c_2(G') = \o…
2022-12-06 math.CO
Minimum rank and failed zero forcing number of graphs
设$G$是一个简单的、有限的、无向图，每个顶点的初始着色为蓝色或白色。图$G$上的迫零是一个迭代过程，在有限次应用指定的颜色变化规则后，迫使其白色顶点变为蓝色。我们说$G$的蓝色顶点的初始集合$S$是$G$在指定的颜色变化规则下的迫零集合，如果迫零的有限次迭代导致$G$的所有顶点都是蓝色的更新着色。否则，我们说$S$是指定颜色变化规则下$G$的失败的迫零集。不难看出，失效的迫零集的任何子集也失效。因此，我们的兴趣在于失败的迫零集的最大可能基数，我们称之为$G$的失败迫零数。本文考虑了$-$标准和半正定两种颜色变化规则。我们计算了几个图族的失败迫零数。此外，在每个图族下，我们刻画了失败迫零数等于$G$的最小秩的图$G$。
2022-02-10 math.CO
Minimum-rank parameters of complements of threshold Kneser graphs
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
该研究确定克内泽尔图$\operatorname{KG}(n,k)$在无限域上补图的对称最小秩，给出公式$\operatorname{mr}^{\mathbb F}(I(n,k)) = n - 2k + 2$，解决了AIM研讨会关于图描述矩阵族谱的一个开放问题。
2026-07-24 math.CO
Kneser ranks of random graphs and minimum difference representations
每个图$G=(V,E)$是秩为$k$的某个Kneser图的导出子图，即，存在对顶点$v\in V$的（不同的）$k$ -集合$v \mapsto A_v$的分配，使得当且仅当$uv\in E$时$A_u$和$A_v$不相交。最小的这样的$k$被称为$G$的Kneser秩，并且由$f_{\rm Kneser}(G)$表示。作为Frieze和Reed关于随机图的团覆盖数的结果的应用，我们证明了对于常数$0< p< 1$，存在常数$c_i=c_i(p)>0$，$i=1,2$，使得具有高概率\[ c_1 n/(\log n)< f_{\rm Kneser}(G) < c_2 n/(\log n). \]我们将其应用于Boros，Gurvich和Meshulam定义的其他图形表示。图$G$的{ \em $k$ -min-difference representation}是集合$A_i$到每个顶点$i\in V(G)$的分配，使得\[ ij\in E(G) \,\, \Leftrightarrow \, \, \min \{|A_i\setminus A_j|,|A_j\setminus A_i| \}\geq k. \]最小的$k$使得存在$G$的$k$ -min-difference representation由$f_{\min}(G)$表示。Balogh和Prince在2009年证明…
2017-01-28 math.CO
The skew-rank of oriented graphs
有向图$G^σ$是一个没有环和多弧的有向图，其中$G$称为$G^σ$的底层图。令$S(G^σ)$表示$G^σ$的斜邻接矩阵. $G^σ$的斜邻接矩阵的秩被称为$G^σ$的{ \it斜秩}，由$sr(G^σ)$表示。有向图的斜邻接矩阵是斜对称的，斜秩是偶数。本文研究简单定向图的斜秩。首先，我们给出了关于偏秩的一些初步结果。其次，我们刻画了斜秩为2的定向图和斜秩为4的具有悬挂点的定向图。作为结果，我们列出了定向单圈图，定向双圈图的悬垂顶点达到斜秩4。此外，我们还利用匹配数确定了具有围长$k$的$n$阶有向单圈图的斜秩。研究了具有围长$k$的$n$阶有向单圈图的斜秩的最小值，并刻画了达到最小值的有向单圈图.另外，我们考虑了斜邻接矩阵非奇异的定向单圈图。
2014-04-29 math.CO
Zero forcing number, Grundy domination number, and their variants
本文给出了迫零数的四个变体与Grundy控制数的四个变体之间的强联系。这些连接桥接了控制问题和最小秩问题。我们证明了Grundy控制型参数是由最小秩型参数上界的。给出了利用Grundy全控制数计算$L$ -Grundy控制数的方法，给出了$L$ -Grundy控制数的线性代数界.
2017-06-02 math.CO
Matroid Intersection under Minimum Rank Oracle
Eötvös Loránd University（厄特沃什·罗兰大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Hokkaido University（北海道大学）；RIKEN（理化学研究所）；Osaka University（大阪大学）；Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
在最小秩 oracle 下，本文研究了 matroid 交集问题的可处理性，提出了一种固定参数可处理算法，并探讨了其在不同情形下的应用与挑战。
2025-12-25 cs.DS math.CO
On the minimum degree, edge-connectivity and connectivity of power graphs of finite groups
群$G$的幂图是其顶点集为$G$且两个不同顶点相邻的图，如果一个顶点是另一个的幂。本文得到了某些循环群、交换$p$ -群、二面体群和双循环群的最小幂度。确定了幂图的边连通度与最小度相等，从而确定了上述群的幂图的最小不连通集。然后研究了有限群的连通度和幂图的最小度的相等性，并给出了若干必要条件。得到了有限循环群的连通度与幂图的最小度相等的一个充要条件。此外，还研究了交换$p$ -群、二面体群和双圈群的幂图的等价性。
2017-05-11 math.CO
Maximum nullity and zero forcing of circulant graphs
图的迫零数是图的最小秩的一个下界。本文对某些循环图，包括二部循环图、三次循环图和环面积循环图的迫零数进行了界化和刻画，得到了最小秩和最大零度的界.我们还评估何时迫零数将给出相等。
2019-06-07 math.CO
On the influence of the interaction graph on a finite dynamical system
有限动态系统（英语：Finite dynamic system，FDS）是一个在有限字母表上的多变量函数系统，通常用于对交互实体的网络进行建模。有限动力系统的主要特征是它的交互图，它表明哪些局部函数依赖于哪些变量;交互图是网络上实体之间交互的定性表示。因此，一个主要的问题是确定的相互作用图上的FDS的动态的效果。在本文中，我们感兴趣的FDS的三个主要性质：图像的数量（所谓的秩），周期点的数量（所谓的周期秩）和不动点的数量。特别是，我们调查的最小，平均和最大数量的图像（或周期点，或固定点）的FDS与规定的相互作用图和给定的字母表大小，从而产生九个数量的研究。本文分为两部分。第一部分考虑的最小秩，我们得到的第一个有意义的结果迄今为止。特别是，我们表明，最小的秩随着字母表的大小而减小，从而产生一个绝对最小秩的定义。我们得到了这个绝对最小秩的上下界，我们给出了非常低（或最高）秩的图的分类结果。第二部分是对上述九个数量所获结果的全面调查。我们不仅回顾了已知的结果，但我们也给出了相关的开放性问题的列表。
2018-05-30 cs.DM math.CO
Eigenvalue bounds and alternating rank-metric codes
本研究将谱方法应用于交错双线性形式图，推导交错秩度量码的规模上界，验证其与Delsarte线性规划界在小最小秩距离下等价，大取值下的等价性仍待解决。
2024-05-15 cs.IT math.CO math.IT
Four Dimensional Polytopes of Minimum Positive Semidefinite Rank
一个多面体的半正定（psd）秩是最小psd锥的大小，该锥允许一个线性投影到多面体上的仿射切片。d-多面体的psd秩至少是d+1，当等式成立时，我们说这个多面体是psd-极小的。在本文中，我们开发了新的工具来研究psd-极小性，并利用它们给出了psd-极小4-多面体的一个完整分类。介绍的主要工具是三项式的障碍，一个新的代数障碍PSD极小，松弛理想的多面体，它编码的空间实现的多面体射影等价。我们的中心结果是psd-极小4-多面体有31个组合类。我们提供组合信息和明确的PSD最小实现在每个类。对于其中的11个类，它们中的每个多面体都是psd-极小的，并且这些正是已知的射影唯一4-多面体的组合类。我们给出了一个完整的表征PSD-极小在剩余的类，遇到的过程中的反例，一些开放的approximatures。
2016-07-25 math.AG math.CO math.OC
Z_2-genus of graphs and minimum rank of partial symmetric matrices
图$G$的\emph{genus} $\mathrm{g}(G)$是最小$g$，使得$G$在亏格为$g$的可定向曲面$M_g$上有嵌入。在曲面上绘制的图形称为\emph{independently even}，如果图形中每对不相邻的边相交偶数次。图$G$的\emph{$\mathbb{Z}_2$-genus}，记为$\mathrm{g}_0(G)$，是最小$g$，使得$G$在$M_g$上有独立偶图。根据Battle，Harary，Kodama和Youngs在1962年的一个结果，图的亏格在2-连通块上是可加的。在2013年，Schaefer和Štefanković证明了图的$\mathbb{Z}_2$ -亏格在2-连通块上也是可加的，并询问这个结果是否可以扩展到所谓的2-合并，作为Decker，Glover，Huneke和Stahl对亏格的结果的类似。我们给出以下部分答案。如果$G=G_1\cup G_2$、$G_1$和$G_2$在两个顶点$u$和$v$中相交，并且$G-u-v$具有$k$连通分量（如果存在，我们将边$uv$计算在内），则$|\mathrm{g}_0(G)-(\mathrm{g}_0(G_1)+\mathrm{g}_0(G_2))|\le k+1$。对于完全二部图$K_{m,n}$，利用$n\ge m\ge 3$，我们证明了$\frac{\mathrm{g}_0(K…
2019-03-20 cs.CG cs.DM math.CO
On perfect flag-rank metric codes
Université de Rennes（雷恩大学）；Università degli Studi della Campania “Luigi Vanvitelli”（坎帕尼亚路易吉·范维特利大学）
本文研究旗秩度量码的组合几何，通过计算小半径球的大小，推导球包界并定义完美码，证明在低维和特定参数下非平凡完美码不存在。
2026-06-12 cs.IT math.CO math.IT
Linear complete symmetric rank-distance codes
该研究采用几何方法，对有限域$\boldsymbol{\rm F}_q$上3×3矩阵空间中的线性完全对称秩距离码按等价性分类，涵盖最大对称秩距离码分类，为射影平面$\rm PG(2,q)$的二次曲线网分类提供支撑。
2025-09-05 math.AG math.CO
On ML-Certificate Linear Constraints for Rank Modulation with Linear Programming Decoding and its Application to Compact Graphs
摘要将置换码、秩调制和线性规划方法交叉研究，研究了不含分数顶点的矩阵多面体的线性约束问题。通过对矩阵的块结构的讨论，从已知的小多面体出发，得到了一类新的块结构多面体。这个概念，称为“合并”，被应用到寻找一个新的紧凑的图，这是已知的图同构问题的一种方法。我们的新置换码的编码和译码算法是从现有的小多面体算法中得到的。与通过改变置换码的基而获得的码的肯德尔-τ距离和最小欧几里德距离相关联的最小距离可以大于原始距离。
2012-02-05 cs.IT math.CO math.IT
Determining inscribability of polytopes via rank minimization based on slack matrices
University of Coimbra（科英布拉大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
本文通过松弛矩阵的秩最小化问题，提供多面体可内接性的充要条件，并提出SDP近似方法，用于判断多面体的可内接性。
2025-02-03 math.CO math.OC
A counterexample to the Etzion-Silberstein conjecture
该研究构造了Etzion-Silberstein猜想的反例，证明支撑于特定费勒斯图的二元线性秩距离码无法达到Singleton型上界，通过核枚举等方法验证结果，还得到行锥传播恒等式可生成系列反例。
2026-08-25 cs.IT math.CO math.IT
Minimum distance of Symplectic Grassmann codes
我们引入辛格拉斯曼码作为由辛格拉斯曼定义的投射码，类似于[4]中引入的正交格拉斯曼码。拉格朗日-格拉斯曼码是一类特殊的辛格拉斯曼码。本文描述了秩为$2$和$3$的Lagrangian-Grassmann码的重量计数器，并确定了线辛Grassmann码的最小距离.
2015-09-09 cs.IT math.CO math.IT
Maximum Rank and Asymptotic Rank of Finite Dynamical Systems
有限动力系统是在有限字母表上的多变量函数的系统，用于对交互实体的网络进行建模。有限动力系统的主要特征是它的交互图，它表明哪些局部函数依赖于哪些变量;交互图是网络上实体之间交互的定性表示。有限动力系统的秩是其像的基数;周期秩是其周期点的数目。在本文中，我们确定了有限动力系统的最大秩和最大周期秩，它具有一个给定的相互作用图在任何非布尔字母表。对于交互图包含在给定有向图中的布尔有限动力系统（也称为布尔网络），我们也得到了类似的结果。然后，我们证明，平均排名是相对接近（字母表的大小是大）的最大值。上述结果只涉及并行更新调度。我们最终确定的最大秩在所有块顺序更新计划和上确界周期秩在所有完整的更新计划。
2017-01-11 cs.DM math.CO math.DS
