Enhanced delay to Bifurcation
J. -P. Francoise, C. Piquet, A. Vidal
本文给出了一个快慢系统的例子，使得大多数轨道在任意长的时间内尽可能地保持在快动力学的非稳定流形附近。
This article provides an example of fast-slow system such that most orbits remain as close as possible to the unstable manifold of the fast dynamics for an arbitrarily long time.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Delayed Feedback Control near Hopf Bifurcation
研究了时滞反馈下泛函微分方程在Hopf分支附近的稳定性。利用平均理论，得到了平衡解稳定的充要条件。结果被用来比较延迟与非延迟反馈，以及离散与分布式延迟。条件获得延迟反馈与部分状态信息可以产生稳定的非延迟反馈是无效的。此外，它表明，如果反馈是稳定的（分别，不稳定），然后离散延迟是局部最稳定的（分别，不稳定）具有相同平均值的延迟分布中的一个。如果考虑关于其均值对称分布的延迟，则结果在全局上也成立。
Global Hopf bifurcation and connected components in a delayed predator-prey model
研究具有 Holling type II 功能性反应的时滞捕食-食饵系统，利用局部和全局 Hopf 分岔理论证明时滞参数变化下分岔序列的存在性与连通分支嵌套结构，并揭示时滞在低环境容纳量下诱发振荡共存的反直觉生物学现象。
Bifurcation of Periodic Delay Differential Equations at Points of 1:4 Resonance
考虑了时间周期标量时滞微分方程$\dot x(t)=γf(t,x(t-1))$，在参数的临界值处平衡点发生共振分岔.利用Floquet理论、谱投影和中心流形约化，给出了分支不变曲线和四周期轨道的稳定性条件。三阶规范形的系数被显式地导出。我们证明了1：4共振对形式为$\dot z(t)=-γr(t)g(x(t-1))$的方程没有影响。
Control by time delayed feedback near a Hopf bifurcation point
本文研究了旋转波的时滞反馈控制镇定问题。我们的目的是把一些最近的结果在更广泛的背景下，讨论两种不同的方法来确定目标周期轨道的稳定性在控制系统：1）通过直接研究Floquet乘子和2）通过使用的Hopf分支定理。我们还提出了一个扩展的金字塔控制方案，控制系统成为一个功能的中立型微分方程。使用的观察，我们能够确定一个相对简单的计算的根趋势的分叉的方向，我们找到稳定的条件，作为解决方案的中立型方程的周期轨道。
Two delays induce Hopf bifurcation and double Hopf bifurcation in a diffusive Leslie-Gower predator-prey system
研究了一类修正的具有双时滞和扩散的Leslie-Gower捕食-食饵系统的动力学性质。通过计算稳定性开关曲线，研究了双时滞参数平面上正平衡点的稳定性以及Hopf分支和双Hopf分支的存在性.以两个时滞为分岔参数，导出了双Hopf歧点附近中心流形上的规范形，并给出了临界点附近的开折。最后，我们得到了双Hopf歧点附近的复动力学，包括2-环面上的拟周期解、3-环面上的拟周期解以及奇异吸引子的存在性.
On the Bautin bifurcation for systems of delay differential equations
对于时滞微分方程系统的Hopf分支，已有许多学者进行了研究。我们在这里考虑的问题是，可能出现的余维二分叉，即Bautin分叉，对于一些这样的系统。
On Bifurcation Delay: An Alternative Approach Using Geometric Singular Perturbation Theory
为了解释$\dot{x}=εf(x,z,ε)$，$\dot{z}=g(x,z,ε)z$形式的平面系统中的分岔延迟现象，其中$f(x,0,0)>0$和$g(x,0,0)$在$x$轴上至少改变一次符号，我们使用几何奇异扰动理论中的交换引理来跟踪解的极限行为.利用扩展维数的技巧克服了在转向点处的退化，证明了极限吸引点和排斥点由著名的出入函数给出，轨迹上的$z$的最大值为$\exp(-1/ε)$阶.证明了在$ε$中返回映射到任意有穷级的光滑性.
Bifurcation delay - the case of the sequence: stable focus - unstable focus - unstable node
我们给出一个二维实向量场族。我们假设线性化向量场存在一个驻点，在该驻点上依次有一个稳定焦点、一个不稳定焦点和一个不稳定节点。当参数缓慢移动时，由于Hopf分岔，出现分岔时滞。本文研究的问题是焦点节点分岔后时滞的延续问题。
Bifurcation of periodic and antiperiodic solutions in non-autonomous potential-type delay systems
研究五类多延迟非自治势时滞微分系统周期解和反周期解的分岔，通过将系统重述为广义哈密顿系统，应用哈密顿分岔理论建立了法德尔 - 拉宾诺维茨型和拉宾诺维茨型的分岔结果。
Global Hopf bifurcation for differential-algebraic equations with state dependent delay
利用$S^1$ -等变度，建立了一类时滞依赖于状态的代数方程方程的全局Hopf分歧理论.我们应用全局Hopf分歧理论，对一类具有阈值型状态依赖时滞的基因调控动力学模型，描述了周期振荡的全局连续性.
Effect of leakage delay on Hopf bifurcation in a fractional BAM neural network
最近，泄漏延迟对整数阶神经网络动力学的影响得到了广泛的研究。研究表明，分数阶微积分能更准确地描述神经网络的记忆和遗传特性。研究了一类具有泄漏时滞的六神经元分数双向联想记忆（BAM）神经网络的Hopf分支的存在性。通过选取两个合适的分岔参数并分析相应的特征方程，验证了当分岔参数通过某个临界值时，时滞分数阶神经网络发生Hopf分岔。为了衡量泄漏延迟对系统Hopf分岔的影响程度，引入了散点图和部分秩相关系数（PRCCs）等灵敏度分析方法来评估分岔幅度对泄漏延迟的敏感性。数值算例说明了理论结果，并有助于我们更形象地了解泄漏延迟的影响。
Bifurcation Analysis in a Continuous-Time Information Model with Discrete and Distributed Delays
本文考虑一个具有离散和分布时滞的连续时间模型来描述在线社交网络中两条信息如何交互。给出了各平衡点稳定性的充分条件。以时滞为分岔参数，当时滞通过一个临界值时，系统发生一系列的Hopf分岔。利用多尺度方法证明了系统的Hopf分支的方向依赖于与时滞有关的条件。
"An example of Bautin-type bifurcation in a delay differential equation", plus errata
指出了作者在“时滞微分方程中Bautin型分支的一个例子“（JMAA，329（2007），777-789）中的一些错误，并进行了修正.原摘要：在前一篇文章中，我们给出了时滞微分方程系统存在Bautin型分支的充分条件。在目前的工作中，我们提出了一个例子的延迟方程，满足这些条件。
Hopf bifurcation in a dynamic IS-LM model with time delay
本文研究了税收延迟对财政政策效果的影响。选择时滞作为分支参数，研究了分支周期解的方向和稳定性。对于时滞，我们证明了系统何时是稳定的。最后给出了一些数值例子来验证理论结果。
Bifurcations of periodic and antiperiodic orbits near an equilibrium in autonomous differential delay systems with one or two delays
研究四类含一或两个时滞的自治微分时滞方程平衡点附近周期和反对称解的分支，通过转化为哈密顿系统，利用哈密顿分支理论及马斯洛夫型指标计算，得到相关分支结果。
Universal bifurcation scenarios in delay-differential equations with one delay
本文证明具有单个时滞的时滞微分方程存在普适分岔情景，通过渐近连续谱显式描述稳定化与失稳化Hopf分岔序列，并应用于非线性Stuart-Landau振荡器。
Bautin bifurcation in delayed reaction-diffusion systems with application to the Segel-Jackson model
本文给出了一个求解具有Neumann边界条件的时滞反应扩散系统Bautin分支标准形的算法。在Bautin分岔点附近的中心流形上，显式计算了第一和第二李雅普诺夫系数，它们完全决定了歧点附近的动力学行为.作为例子，研究了Segel-Jackson捕食-食饵模型.在Bautin分支附近，我们发现周期轨道的折叠分支，以及亚临界和超临界Hopf分支的存在。理论和数值结果表明，小（大）初始条件下的解收敛到稳定的周期轨道（发散到无穷大）。
Hopf bifurcation in a delayed reaction-diffusion-advection population model
本文研究了一类具有时滞效应的反应-扩散-平流模型。研究了当模型参数在椭圆算子主特征值附近时，空间非齐次正平衡态的稳定性和不稳定性以及相应的Hopf分支.结果表明，时滞可以使反应扩散平流模型的空间非齐次正平衡态不稳定，并且该模型可以通过Hopf分岔而呈现振荡模式.
Stability and Hopf bifurcation analysis of a two state delay differential equation modeling the human respiratory system
我们研究了描述二氧化碳和氧气平衡方程的两态模型。这些是非线性参数依赖的，并且由于呼吸控制系统中的传输延迟，它们用延迟微分方程建模。因此，研究了一类两状态单时滞模型的动力学行为。通过选取时滞作为参数，得到了系统的稳定性和Hopf分支条件.我们注意到，当时滞超过其临界值时，正平衡点失去稳定性，出现Hopf分支。给出了时滞系统的稳定区域和分岔图。构造了两状态模型的三维稳定性图。我们发现延迟参数对系统的稳定性有影响，但对系统的平衡态没有影响。利用时滞微分方程的规范形理论和中心流形定理，给出了系统Hopf分支方向的显式推导和分支周期解的稳定性.最后，通过数值算例和仿真验证了分析结果。数值模拟验证了理论结果。
Zero-Hopf bifurcation in the Van der Pol oscillator with delayed position and velocity feedback
在本文中，我们考虑了传统的范德波尔振荡器与强迫依赖于延迟的反馈。延迟被认为是一个非线性函数的位置和速度，从而引起许多不同类型的分叉。特别是，我们研究了零Hopf分支，发生在某些参数值使用的方法，中心流形约化的DDE和规范形理论。我们提出了数值模拟，已准确预测的相图在零Hopf分岔，以确认我们的数值结果，并提供了一个物理理解的振荡器的延迟反馈。
A Condition for Hopf bifurcation to occur in Equations of Lotka - Volterra Type with Delay
具有时滞或分布时滞的Lotka-Volterra型微分方程在生态系统建模中具有重要作用。本文研究了分布时滞对一个捕食者-两个被捕食者收获模型动力学的影响。利用时滞分布的期望值作为分支参数，证明了当期望值超过某个临界值时，渐近稳定的平衡点会变得不稳定，并且会发生Hopf分支.
Bifurcations in Delay Differential Equations: an algorithmic approach in frequency domain
本文用频域方法研究了时滞微分方程的局部振荡。主要结果是一个分歧方程，从该方程可以确定局部周期解的存在性和表达式。我们提出了一种迭代法来获得分支方程直到一个固定的任意阶。它示出了这种方法可以在符号数学程序中实现。
Bifurcation Analysis in A Diffusive Mussel-Algae Model with Delay
本文研究一类具有时滞的反应扩散贻贝-藻类系统在Neumann边界条件下的动力学行为。当时滞为零时，我们证明了正解的存在性和边界平衡点的全局稳定性。当时滞不为零时，通过分析特征值的分布，得到了正常定态的稳定性和Hopf分支的存在性。利用偏泛函微分方程的规范形和中心流形约化理论，得到了判定Hopf分支方向和分支周期解稳定性的算法.最后，进行了一些数值模拟，以支持我们的理论结果。
Delayed bifurcation phenomena in reaction-diffusion equations: persistence of canards and slow passage through Hopf bifurcations
在一个空间扩展模型的背景下，在垂体催乳细胞系的电活动，我们建立了两个延迟的分歧现象，从常微分方程-折叠节点鸭和缓慢通过霍普夫分叉-持续存在的扩散。对于鸭翼，单胞（ODE）模型表现出鸭翼诱导的爆发。PDE的数值模拟揭示了丰富的时空鸭翼动力学，不同爆发之间的过渡是由时空最大鸭翼介导的。ODE模型也表现出延迟的稳定性损失，由于缓慢通过霍普夫分岔。PDE的数值模拟表明，这种延迟稳定性损失持续存在的扩散。为了量化和预测的延迟损失的稳定性，我们表明，复杂的金斯堡-朗道方程具有相同的属性，并推导出一个公式的时空边界，作为一个缓冲曲线，超过该缓冲曲线的振荡延迟开始必须发生。
Hopf bifurcation and period functions for Wright type delay differential equations
我们提出了最简单的标准，确定的方向的Hopf分支的延迟微分方程$x'(t)=-μf(x(t-1))$，参数$μ$通过临界值$μ_k$。我们给出了可能的分歧序列的完整分类。利用这些信息和Cook变换，我们得到了Hopf分支上分支极限环周期的局部估计和单调性.此外，我们展示了我们的结果与经常需要的非线性具有负Schwarzian导数的属性。
DDE-BIFTOOL Manual - Bifurcation analysis of delay differential equations
DDEBIFTOOL是一个Matlab例程的集合，用于具有离散常数和状态依赖延迟的延迟微分方程系统的数值分叉分析。该软件包支持稳态解和周期解的连续性和稳定性分析。此外，人们可以计算和继续几个本地和全球的分歧：折叠和霍普夫分歧的稳定状态;折叠，周期doubles和环面分歧的周期轨道;和连接轨道之间的平衡。为了分析稳态解的稳定性，近似计算到特征方程的最右边的稳定性确定根，该特征方程随后可以用作牛顿过程中的起始值。对于周期解，近似的Floquet乘数计算。该手册描述了软件包的结构、例程及其数据和方法参数结构。
Spatiotemporal patterns near the Turing-Hopf bifurcation in a delay-diffusion mussel-algae model
研究了一类具有时滞的反应扩散贻贝-藻类系统在Neumann边界条件下的时空模式。本文是我们以前对时滞扩散贻贝-藻类模型研究的继续。得到了解的整体存在性和正性。通过分析特征值的分布，讨论了正定常平衡态的稳定性以及Hopf分支和Turing分支的存在性。通过计算中心流形上的规范形，得到了无量纲参数空间中Turing-Hopf歧点附近的动力学分类，并通过数值模拟得到了该参数空间中由空间齐次周期解、空间非齐次稳态解和空间非齐次周期解组成的时空模式.理论和数值结果都表明，Turing-Hopf分岔可以丰富种群空间分布的多样性。
Bifurcation Analysis of Systems with Delays: Methods and Their Use in Applications
这一章提出了一个动力系统的观点来研究时滞系统。重点是如何从分歧理论，先进的工具，例如在包DDE-BIFTOOL，可以应用到延迟微分方程（DDE）的研究中产生的应用程序，包括那些功能状态依赖的延迟。我们讨论的最新版本的DDE-BIFTOOL目前的能力。它们包括稳态、周期轨道及其余维1分叉的数值延拓，以及余维2某些分叉的检测和规范形的计算。两个较长的案例研究，概念DDE模型的厄尔尼诺现象和一个典型的标量DDE与两个状态相关的反馈条款，展示了什么样的见解，可以通过这种方式获得。
Double Hopf bifurcation in delayed reaction-diffusion systems
双Hopf分岔分析可以用来揭示动力系统中某些复杂的动力学行为，如周期轨道、拟周期轨道的存在或共存，甚至混沌。本文利用中心流形约化技术和规范形方法，严格地建立了一类具有Neumann边界条件的时滞反应扩散系统余维2双Hopf分支附近规范形的算法.我们发现在歧点附近的动力学行为被证明是由12个不同的开折系统所控制的。通过两个例子来说明我们的结果：对于一个具有阶段结构的传染病模型，我们发现当扩散率和时滞变化时会出现双Hopf分支，并证明在歧点附近存在两个稳定的空间非齐次周期振荡;在扩散捕食系统中，我们从理论上证明了在双Hopf歧点附近的两个或三个环面上存在拟周期轨道，该轨道在轻微扰动后将崩溃，使系统成为一个奇怪的吸引子。
Border-collision bifurcations in a driven time-delay system
我们发现，一个简单的分段线性系统的时间延迟和周期性强迫引起丰富的分叉结构的环面分叉和阿诺德舌头，以及多稳定性在很大一部分的参数空间。我们的模型的简单性，使我们能够研究分析的动力学特征。具体而言，这些功能的解释在相关的庞加莱映射的边界碰撞分叉。考虑到时间延迟和周期强迫是数学模型中的常见成分，这种分析提供了广泛适用的见解。
Pseudospectral approximation of Hopf bifurcation for delay differential equations
伪谱近似将延迟微分方程（DDE）简化为常微分方程（ODE）。接下来可以使用ODE工具来执行数值分叉分析。通过一个例子，我们表明，这产生了一个有效的和可靠的方法来定性和定量分析某些DDE。为了证实该方法，我们接下来表明，近似常微分方程的结构是让人想起沿着DDE的解决方案的翻译生成器的结构。集中在霍普夫分歧，我们然后利用这种相似性，揭示DDE和ODE分歧系数之间的联系，并证明后者收敛到前者时，尺寸接近无穷大。
Codimension-two Bifurcations Induce Hysteresis Behavior and Multistabilities in Delay-coupled Kuramoto Oscillators
滞后现象和多稳定性在耦合振子动力学中起着至关重要的作用，现在可以从余维2分岔的角度来解释。在N-Antonsen流形上，以耦合强度和时滞为分岔参数，导出了时滞耦合Kuramoto模型的完全分岔集。严格证明了系统在某些临界值处必然发生Bautin分支，从而存在周期解的鞍结分支.借助中心流形约化方法和Matlab软件包DDE-Biftool，从理论上确定了系统的Bautin点和双Hopf点的位置以及详细的动力学过程。我们发现，在这些临界点附近，最多可以共存四个相干态（其中两个是稳定的）和一个稳定的非相干态，并且系统经历周期解的Neimark-Sacker分支.最后，给出了延迟Kuramoto模型中同步跃迁的清晰描述。
Bifurcation structure of two coupled FHN neurons with delay
本文研究了两个耦合的不同FitzHugh-Nagumo神经元在延迟突触连接下的动力学行为。我们考虑了耦合强度和时滞作为分岔参数，并尝试对所有可能的动力学进行分类，这是相当丰富的。利用非平凡静止点的叉状分岔，使神经系统在不同的耦合强度下呈现唯一的静止点或三个静止点。通过分析相应的特征方程，研究了平凡静止点的渐近稳定性和可能的霍普夫分支。在参数平面上给出了时滞相关的稳定区域，通过这些稳定区域可以从Hopf分支的两个分支的交点得到双Hopf歧点点.系统的动力学行为可能表现出一个，两个，或三个不同的周期解，由于干草叉循环和环面（Neimark-Sacker）分叉。此外，还发现了非平凡静止点的Hopf、双Hopf和环面分岔，并从数学模型中得到了数值或解析的分岔图，明确了不同行为的参数区域。
Hopf bifurcation of a financial dynamical system with delay
本文研究了一类具有时滞的金融动力系统的定性行为。本文研究了以利率、投资需求、物价指数和平均利润率为变量的系统的动态响应。我们进行了稳定性分析的不动点，并表明该系统进行了Hopf分岔。分岔分析得到了数值模拟的支持。
Turing-Hopf bifurcation and spatiotemporal patterns in a ratio-dependent diffusive Holling-Tanner system with time delay
研究了具有离散时滞的扩散Holling-Tanner模型的Turing-Hopf型时空斑图。利用特征值分析和先验估计的方法，给出了$τ=0$的一个全局Turing分支定理和$τ>0$的一个局部Turing分支定理.进一步考虑退化情形，得到了Bogdanov-Takens分支和Turing-Hopf分支的存在性.利用规范形方法研究了Turing-Hopf奇点附近的显式动力学，建立了各种自组织时空模式的存在性，如两个非定常稳态（条纹模式）共存和两个空间非均匀周期解（斑点模式）共存.此外，当存在另一条与所研究的Turing分岔曲线相对接近的Turing分岔曲线时，还发现并从理论上解释了Turing-Turing-Hopf型时空斑图，即具有两个空间波数和一个时间频率的亚谐现象.
On Local Bifurcations in Neural Field Models with Transmission Delays
具有传输延迟的神经场模型可以转化为抽象延迟微分方程（DDE）。对偶半群理论（也称为日星演算）为分析一类广泛的延迟方程提供了一个自然的框架，其中包括DDE。特别是，它可以有利地用于调查的稳定性和分岔的稳态。在介绍了神经场模型的基本功能分析设置和讨论其频谱特性，我们详细阐述了一个例子，并推导出一个特征方程。在一定的条件下，相关的平衡点可能会在Hopf分岔中失稳。此外，在二维参数空间中，两条霍普夫曲线可以相交于双霍普夫点。我们提供了相应的临界范式系数的一般公式，这些数值计算和解释的结果。
Local bifurcations in differential equations with state-dependent delay
在分析动力系统时，一个常见的任务是确定平衡点局部分叉附近的规范形。由于大多数这些规范形式已被分类和分析，找到哪一类特定的规范形式，在数值分岔研究中遇到的指导后续计算。本文基于最近在DDE-Biftool中开发和实现的常时滞微分方程平衡点的规范形算法。我们展示了如何将这些方法扩展到具有状态依赖延迟的延迟微分方程（sd-DDE）。由于更高程度的正则性的本地中心流形仍然开放的sd-DDE，我们给一个独立的（仍然只是部分）参数，从截断正常的现象必须坚持在全sd-DDE。特别是，我们表明，所有不变流形具有足够程度的正常双曲预测的规范形式也存在于充分的sd-DDE。
Bifurcation analysis of Bogdanov-Takens bifurcations in delay differential equations
本文研究了经典时滞微分方程在一般和跨临界余维2 Bogdanov-Takens分支附近的参数依赖中心流形约化问题。使用推广的Lindstedt-Poincaré方法来近似同宿解，使我们能够初始化从这些点发出的同宿分叉曲线的延续。正规形变换是在对偶半群（太阳-恒星演算）的泛函解析扰动框架下，基于Fredholm替代的正规化技术导出的。得到的表达式给出了明确的公式，已实现在免费提供的分叉软件包DDE-BifTool。在各种模型上证明了其有效性。
Switching to nonhyperbolic cycles from codimension two bifurcations of equilibria of delay differential equations
本文研究了延迟微分方程（DDEs）中广义霍普夫（Bautin）、折叠霍普夫（fold-Hopf）、霍普夫-霍普夫（Hopf-Hopf）和跨临界霍普夫（Transcritical-Hopf）分支附近的参数相关中心流形约化。这使我们能够初始化余维一平衡的延续和循环分叉从这些余维二歧点发出。正规形系数推导出的功能解析扰动框架的对偶半群（太阳星演算）使用的Fredholm替代的基础上的归一化技术。得到的表达式给出了明确的公式，已在免费提供的数值软件包DDE-BifTool中实现。虽然我们的理论结果被证明适用于更普遍的，软件实现和例子集中在DDE与许多离散延迟。再加上DDE-BifTool的连续功能，这为研究此类DDE的动态平衡附近提供了一个强大的工具。在各种模型上证明了其有效性。
Turing instability and Turing-Hopf bifurcation in diffusive Schnakenberg systems with gene expression time delay
对于具有Neumann边界条件的时滞反应扩散Schnakenberg系统，给出了Turing不稳定性的充分必要条件.建立了Turing、Hopf和Turing-Hopf分支的存在条件。在余维为2的Turing-Hopf奇点处截断到3阶的规范形。通过研究Turing-Hopf分支，在$(τ,\varepsilon)$参数平面（$τ$表示时滞，$\varepsilon$表示扩散率）上，得到了周期解、一对空间非齐次定态和一对空间非齐次周期解稳定的参数区域.结果表明，扩散和延迟的联合作用可以导致混合空间和时间模式的发生。此外，它也表明，各种空间不均匀图案具有不同的空间频率可以通过改变扩散率。并从理论上解释了Gaffney和Monk（2006）观察到的时间延迟可能导致图灵不稳定性失效的现象。
Saddle-Node Bifurcation of Periodic Orbits for a Delay Differential Equation
考虑了具有依赖于参数$K$的非减反馈函数$f_{K}$的标量时滞微分方程$$ \dot{x}(t)=-x(t)+f_{K}(x(t-1)) $$，并验证了当$K$变化时，周期轨道发生鞍结分支.选择非线性$f_{K}$，使其具有两个不稳定不动点（因此动力系统具有两个不稳定平衡点），并且当$K$变化时，这些不动点保持彼此有界。所产生的周期轨道是大振幅的，因为它们围绕$f_{K}$的两个不稳定不动点振荡。
Diffusion-induced spatio-temporal oscillations in an epidemic model with two delays
研究了一类具有成熟时滞和自由移动时滞的阶段结构传染病模型。选择时滞和扩散率作为分支参数，使地方病平衡点失稳的唯一可能途径是通过Hopf分支。计算了中心流形上霍普夫分岔的规范形，并推导出确定分岔临界性的显式公式。在第一分支附近存在两种不同的稳定振荡：一方面，我们从理论上证明了当未成熟感染个体的扩散率足够小或足够大时，Hopf分支解的第一分支总是空间齐次的;另一方面，将该扩散速率固定在适当的大小，观察到具有不同空间分布的稳定振荡，并给出了保证解存在的条件。通过计算拉普拉斯算子在第一个Hopf歧点的本征函数，研究了这些现象.
Hopf bifurcation analysis of pathogen-immune interaction dynamics with delay kernel
本文研究了描述多种传染病病原免疫动力学的具有时滞核的数学模型的稳态问题。在传染病数学模型的研究中，预测传染病是否消失或病原体是否持续存在是很重要的。延迟核由反映过去血液中病原体密度的影响的记忆函数描述。以核系数k作为分支参数，发现该模型经历一系列的Hopf分支。利用规范形理论和中心流形定理，得到了分支周期解的方向和稳定性判据。文中还给出了一些数值模拟例子来验证理论结果。
Pulsating dynamics of slow-fast population models with delay
我们讨论了一个分歧的情况下，创建周期性脉动的解决方案，在慢-快延迟系统通过级联的几乎同时Hopf分歧。这种情况以前已经与锁模半导体激光器的延迟模型中的脉冲形成相关联。在这项工作中，通过几个例子的案例研究，我们建立了一个级联的霍普夫分岔可以产生周期脉冲，周期接近的延迟时间，在人口动力学模型，并探讨了确保实现这种情况下的跨临界分岔阈值附近的条件。我们推导出脉动解的渐近近似，并考虑解的尺度及其周期与测量时间尺度之比的小参数。竞争的作用，实现的分叉的情况下强调。
Periodic Solutions of a Singularly Perturbed Delay Differential Equation With Two State-Dependent Delays
研究了奇摄动状态依赖时滞微分方程（DDE）的周期轨道及其分支，当周期轨道的轮廓在奇异极限处包含跳跃间断时，系统的周期轨道及其分支.引入了一种基于可能不连续极限解的连续参数化的奇异解的定义。这减少了建设的限制配置文件的代数问题。详细研究了一个两状态依赖时滞微分方程的模型，构造了每个周期具有一个和两个局部极大值的周期奇异解。这些奇异解存在的参数上的条件的一个完整的表征有利于调查的分叉结构的奇异情况下，揭示折叠和可能的尖点分叉。利用复杂的边值技术数值计算了扰动参数接近零时的状态依赖型DDE的分岔图。这证实了在奇异情况下构造的解和分支在扰动参数为非零时持续存在，从而表明使用我们的奇异解定义构造的解是有用的，并且与奇摄动问题相关。折叠和尖点分叉被发现非常接近的参数值预测的奇异解理论，我们还发现倍周期分岔以及周期轨道与两个以上的局部极大值每个周期，并解释了对齐的折叠不同的分歧分支。
Stability and Hopf Bifurcation in a delayed viral infection model with mitosis transmission
在本文中，我们研究了一个模型的HCV有丝分裂增殖，饱和感染率和离散的细胞内延迟：延迟对应于感染的目标肝细胞和新的HCV颗粒的生产之间的时间。我们建立了无感染平衡点的全局稳定性和感染平衡点的存在性、唯一性、局部稳定性和全局稳定性，并建立了霍普夫分支的发生。我们将确定模型持久的条件，以及保持稳定的时滞长度。在嗜肝病毒为非细胞病变病毒的特殊情况下，唯一的感染平衡点是全局渐近稳定的。我们对基本再生数进行了灵敏度分析。数值模拟进行了说明的分析结果。
Stability and Hopf bifurcation analysis for the hypothalamic-pituitary-adrenal axis model with memory
本文推广了现有的极小模型的下丘脑-垂体-肾上腺（HPA）轴在一个现实的方式，包括记忆项：分布时间延迟，一方面和分数阶导数，另一方面。证明了该数学模型的唯一平衡点的存在性，并对一般分布时滞系统进行了局部稳定性分析。对具有几种延迟核的分布延迟模型进行了深入的分支分析。对分布时滞模型和分数阶离散时滞模型进行了数值模拟，验证了理论分析的正确性。结果表明，这些模型能够捕捉HPA系统的重要机制。
Numerical investigation of the Bautin bifurcation in a delay differential equation modeling leukemia
在以前的工作中，我们研究了Hopf退化歧点的存在性的微分延迟方程模型白血病，我们实际上发现了Hopf点的余维2所考虑的问题。如果在对应于这样一个点的参数周围，我们改变两个参数（所考虑的问题有五个参数），那么应该发生Bautin分叉。在这项工作中，我们选择了一个余维2的Hopf点所考虑的问题，并进行数值积分的歧点参数的邻域中选择的参数。结果表明，我们确实有一个Bautin分支的选择点。
Stability and Hopf bifurcation analysis of an HIV infection model with latent reservoir, immune impairment and delayed CTL immune response
本文研究了HIV感染模型中延迟免疫反应对稳定性的影响，通过Hopf分岔分析揭示了免疫延迟对平衡点稳定性的转变作用。
Bifurcation analysis of the statics and dynamics of a logistic model with two delays
本文研究了具有两个延迟的逻辑模型，通过数学分析和数值示例探讨了其动态和静态特性及分支行为。
Hopf-like bifurcations induced by hysteresis and time-delay near monodromic tangential singularities
该研究针对平面分段解析向量场，在切换条件引入迟滞或时滞时，于单值切奇点附近推导极限环渐近表达式，发现迟滞与时滞诱导的极限环增长率及与伪霍普夫分岔的增长率均存在差异。
Data-Driven Modeling of Global Bifurcations and Chaos in a Mechanical System under Delayed and Quantized Control
本文提出了一种基于SSM理论的数据驱动建模方法，用于研究具有延迟和量化控制的机械系统中的全局分支和混沌现象，通过数值验证展示了其在预测复杂动力学方面的有效性。
Global dynamics in a predator-prey model with cooperative hunting and Allee effect and bifurcation induced by diffusion and delays
研究了一类具有Allee效应的捕食者-食饵合作捕食模型的局部分支和全局动力学。对于弱合作模型，在转换率为$p=p^{\#}$的阈值下，证明了极限环、异宿环的存在性。当$p>p^{\#}$出现时，两个物种都灭绝了，当$p<p^{\#}$出现时，有一个分界线。初始种群在分界线以上的物种最终灭绝，否则，它们共存或振荡。在强合作情形下，我们给出了系统在三种不同情形下的复杂动力学，包括极限环、三个平衡点之间的异宿轨道环和同宿环。此外，我们还发现扩散可能导致Turing不稳定性和Turing-Hopf分岔，使系统的物种分布空间不均匀，两种不同的时空振荡共存.最后，我们研究了由两个时滞引起的扩散系统的Hopf和双Hopf分支。
Bifurcation Analysis of Generalized Hopf Bifurcation in Ordinary and Delay Differential Equations
针对 ODE 与 DDE 中广义 Hopf 点附近一阶预测子无法区分 H 与 LPC 曲线的问题，本文推导并实现了需要七阶导数的 LPC 高阶预测子，并通过多个模型验证其有效性。
Calculation of explicit expressions for the Hopf bifurcation limit cycles in delay-differential equations
本文提出一种迭代算法，推导自治离散时滞微分方程中 Hopf 分岔极限环的显式幂级数近似，并应用于车辆跟驰模型和 SIR 传染病模型验证。
The spatially inhomogeneous Hopf bifurcation induced by memory delay in a memory-based diffusion system
基于记忆的扩散系统在实际中有着广泛的应用。从这样的系统中观察到Hopf分岔。为了满足计算这类系统Hopf分支规范形的需要，我们提出了一种新的有效算法，其中记忆延迟被视为扰动参数。为了说明算法的有效性，我们考虑了一个具有记忆扩散和Holling Ⅱ型功能反应的扩散捕食系统。通过采用这种新开发的程序，我们调查的方向和稳定性的延迟诱导模式-1和模式-2的Hopf分岔。数值模拟证实了我们的理论发现，即存在具有模式1和模式2空间模式的稳定的空间非齐次周期解，以及从不稳定的模式2空间非齐次周期解到稳定的模式1空间非齐次周期解的过渡.
Research on Hopf Bifurcation and Stability of Heterogeneous Lorenz System with Single Time Delay
时滞混沌系统是指具有多个正李雅普诺夫指数的超混沌系统。与非时滞混沌系统相比，它具有动力学更复杂、应用范围更广的特点。在三维广义Lorenz混沌系统中，通过在不同位置施加时间延迟，可以构造多个具有单一时间延迟的异质Lorenz系统。对于多个单时滞非均匀Lorenz系统，尽管它们有相同的平衡点，但由于时滞位置的不同，它们的稳定性和Hopf分岔条件也不同。本文应用非线性动力学理论研究了一类非均匀单时滞Lorenz系统在零平衡点的稳定性和发生Hopf分支的条件.首先计算每个非均质Lorenz系统的平衡点，从而确定只存在零平衡点的条件。然后，分析了系统零平衡点对应的特征方程根的分布，得到了系统在零平衡点渐近稳定的时滞临界点和Hopf分岔。最后应用数学软件进行仿真验证。具有时滞的异构Lorenz系统在保密通信等领域有着潜在的应用。
Stability and bifurcations in Wilson-Cowan systems with distributed delays, and an application to basal ganglia interactions
神经元群体中兴奋性和抑制性平均场相互作用的传统Wilson-Cowan模型在处理输入时考虑了弱Γ分布的时间延迟，并且通过平均群体响应的时间粗粒化技术获得。以前的威尔逊-考恩模型的稳定性分析集中在更简化的情况下，其中的延迟要么不存在，常数或特定类型。由于这些简化可能会显着改变模型的行为，我们专注于了解系统的行为之前，时间过程粒度，并为更广泛的延迟分布。对于这些广义延迟方程，我们进行稳定性和分歧的参数，捕获耦合配置文件，和时间延迟分析。调查是通过检查系统的相关特征方程。在较弱的假设下，对一般时滞分布的模型给出了理论结果的完整数学证明，并在推广的背景下证明了可能的Hopf分支的横截性条件.理论上描述了几种延迟核在此参数空间中的稳定区域，并给出了数值模拟来证实理论结果。我们说明这些理论原则的应用程序中的基底神经节电路，其中$β$带振荡已与帕金森氏病。
Effective Reduced Models from Delay Differential Equations: Bifurcations, Tipping Solution Paths, and ENSO variability
本研究通过结合Galerkin-Koornwinder近似和中心不稳定流形约化，从时滞微分方程导出有效约化模型，分析了ENSO模型中的分岔，并揭示随机扰动与不变集相互作用产生的年际和年代际变率机制。
Multiple-parameter bifurcation analysis in a Kuramoto model with time delay and distributed shear
本文在仓本模型中考虑了时滞效应和分布剪力。通过对约化泛函微分方程的特征方程的分析，在N-Antonsen流形上得到了非相干态在多参数空间中的稳定性边界。此外，非常丰富的动力学行为，如稳定开关诱导同步开关可以出现在这个方程。当系统失去稳定性时，系统出现Hopf分岔相干态，利用规范形理论和中心流形定理确定了系统发生Hopf分岔的临界性。一方面，理论分析表明剪切分布宽度和时间延迟都可以消除同步，导致仓本模型的非相干。另一方面，时间延迟可以诱导多个相干态共存。最后，给出了一些数值模拟来支持所得到的结果，其中几个分支图绘制，并讨论了时间延迟和剪切的影响。
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