A numerical method for solution of ordinary differential equations of fractional order
提出一种将分数阶微分方程分解为整数阶方程组以数值求解的算法，适用于线性和非线性方程。
2002-02-26 cs.CE cs.NA math.NA
Numerical simulation of time fractional Kudryashov Sinelshchikov equation describing the pressure waves in a mixture of liquid and gas bubbles
本文采用再生核希尔伯特空间方法求解时间分数阶Kudryashov Sinelshchikov方程，获得高精度近似解，并证明其一致收敛于精确解。
2024-12-18 cs.NA math.AP math.NA
A class of monotonicity-preserving variable-step discretizations for Volterra integral equations and time fractional ordinary differential equations
该研究针对非均匀网格上带非递增完全正核的Volterra积分方程，提出互补单调性与右互补单调（R-CMM）核概念，证明具R-CMM性质的离散格式的数值解可继承原方程单调性，且步长比不受限，为相关方程保单调变步长离散提供理论支撑。
2023-10-03 cs.NA math.NA
Local discontinuous Galerkin methods for fractional ordinary differential equations
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）；École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文提出用于求解一阶/多阶分数常微分方程的迎风局部间断伽辽金方法，通过自然迎风选择数值通量保证方法稳定性，实现元素内最优收敛阶和超收敛阶的解计算。
2014-03-23 cs.NA math.NA
Fast procedures for Caputo fractional derivative and its applications to ordinary and partial differential equations
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Department of Mathematics, University of South Carolina（南卡罗来纳大学数学系）
本文提出快速求解含Caputo分数导数的常微分和偏微分方程的算法，通过快速傅里叶变换和矩阵结构优化，将计算复杂度从O(N³)降至O(Nlog²N)，内存需求从O(N²)降至O(N)。
2018-01-30 cs.NA math.AP math.NA
Wavelet Galerkin method for fractional elliptic differential equations
School of Mathematics and Statistics, Gansu Key Laboratory of Applied Mathematics and Complex Systems, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院，甘肃省应用数学与复杂系统重点实验室）
本文提出小波伽辽金法用于求解分数椭圆偏微分方程，通过分析分数偏微分方程工作空间中的小波基底，利用矩阵的Toeplitz结构提升计算效率，数值实验验证了该方法的优越性。
2014-05-27 cs.NA math.NA
Fractional differentiation matrices with applications
本文基于Jacobi-Gauss点推导了针对Caputo和Riemann-Liouville分数导数运算的分数微分矩阵，并通过数值分析其谱半径，展示了用于求解分数常微分方程和分数偏微分方程的谱格点方案，通过数值实例验证了方法的有效性。
2015-11-04 cs.NA math.NA
A semi-analytical collocation method for solving multi-term variable-order time fractional partial differential equations
提出了一种求解多项变阶时间分数阶偏微分方程（VOTFPDE）的新的半解析配置法。该方法采用傅里叶级数展开进行空间离散，将原始的多项VOTFPDE变换为一系列多项变阶时间分数阶常微分方程（VOTFODE）。然后，这些VOTFODE可以解决使用最近发展的向后替代方法。数值算例验证了所提出的数值方法在求解多项VOTFPDE时的准确性和有效性。
2020-07-18 cs.NA math.NA
Fractional Order Runge-Kutta Methods
研究了一类新的分数阶Runge-Kutta（FORK）方法，用于分数阶微分方程的数值逼近.利用Caputo广义Taylor公式和Caputo分数阶导数的全微分，构造了显式和隐式的FORK方法，作为求解常微分方程的Runge-Kutta格式.在所提出的方法中，由于分数阶导数依赖于一个固定的基点$t_0,$，我们必须修改的右手边的给定方程在所有步骤的FORK方法。给出了显式和隐式FORK格式的系数。文中还讨论了该方法的收敛性分析。数值实验验证了该方法的有效性和鲁棒性。
2023-03-03 cs.NA math.NA
A $\star$-Product Approach for Analytical and Numerical Solutions of Nonautonomous Linear Fractional Differential Equations
Università di Pisa（比萨大学）；Université Littoral Côte d'Opale（滨海大学）；Charles University（查理大学）
本文提出了一种新的非自治线性分数微分方程求解方法，基于星积法重构解析解，并通过适当离散化得到闭式解。
2026-04-11 cs.NA math.NA
Numerical Analysis of a High-Order Scheme for Nonlinear Fractional Differential Equations with Uniform Accuracy
介绍一种求解含Caputo导数的分数阶常微分方程的高阶数值格式。该方法通过将区域划分为若干子区间，并在每个子区间上应用二次插值来实现。该方法被证明是无条件稳定的，并为一般的非线性方程，一致尖锐的数值阶$3-ν$可以严格证明在所有时间步长足够光滑的解决方案。该证明为证明高阶格式在非线性情况下的锐阶性提供了一般指导。最后给出了一些数值例子来验证我们的理论结果。
2020-02-22 cs.NA math.NA
Weighted average finite difference methods for fractional diffusion equations
本文提出加权平均有限差分法求解分数阶扩散方程，分析不同Riemann-Liouville导数离散格式的稳定性，并通过类似von Neumann方法验证界限。
2004-08-23 cond-mat.stat-mech cs.NA math.NA
Numerical method based on Galerkin approximation for the fractional advection-dispersion equation
Indian Institute of Technology, Banaras Hindu University（印度瓦拉纳西印度教大学理工学院）
本文提出基于Legendre缩放函数的Galerkin近似法，用于求解分数对流-扩散方程，通过求解分数常微分方程得到近似解，并证明该序列解构成弱渐近解。
2015-04-30 cs.NA math.AP math.NA
Optimal Control, Numerics, and Applications of Fractional PDEs
本文简要介绍了两种非局部算子：分数阶拉普拉斯算子和分数阶时间导数算子的研究进展。我们首先考虑这些运算符在成像科学，电子物理学，谐波映射和深度（机器）学习中的几个应用。给出了线性分数阶椭圆型方程解的各种概念，讨论了分数阶拉普拉斯算子和分数阶时间导数的数值格式。重点讨论了以线性椭圆型方程为约束的外部最优控制问题。此外，还考虑了具有内部控制和状态约束的最优控制问题。我们还讨论了分数阶深度神经网络，这是一个以分数阶时间常微分方程为约束的最小化问题。本文最后讨论了几个开放的问题。
2021-06-24 cs.NA math.AP math.NA
deepFDEnet: A Novel Neural Network Architecture for Solving Fractional Differential Equations
Shahid Beheshti University（沙希德·贝赫什提大学）
提出一种名为deepFDEnet的新型深度神经网络架构，结合高斯积分规则和$L_1$离散化技术准确求解多种分数阶微分方程，实验证明其具有极高精度与通用性。
2023-09-14 cs.AI cs.LG cs.NA
A new approach to solving multi-order fractional equations using BEM and Chebyshev matrix
本文将边界元法与Chebyshev运算矩阵技术相结合，求解二维多阶时间分数阶偏微分方程，分别为关于空间变量的非线性和关于时间变量的线性。分数阶导数是用Caputo意义估计的。用边界元法将问题转化为一个多阶分数阶常微分方程的问题。然后，利用Chebyshev运算矩阵技术对产生的系统进行逼近，并分析了其条件数。通过数值求解三种不同类型的二维时间分数阶对流-扩散方程，验证了该混合格式的精度和效率。计算了边界元技术在不同网格划分下的收敛速度。数值结果以图表的形式给出了解和不同类型的误差范数。
2020-02-17 cs.NA math.AP math.NA
Numerical Approximations to Fractional Problems of the Calculus of Variations and Optimal Control
Center for Research and Development in Mathematics and Applications (CIDMA)（数学与应用数学研究与发展中心）；Department of Mathematics, University of Aveiro（阿威罗大学数学系）
本文提出解决分数变分与最优控制问题的数值方法，通过离散分数项或用整数阶导数展开分数导数，分析了两种方法的精度与应用。
2013-11-01 cs.NA math.NA math.OC
On an explicit finite difference method for fractional diffusion equations
本文提出一种结合FTCS方法与Grunwald-Letnikov分数阶导数定义的显式格式，用于求解分数阶扩散方程，并通过稳定性分析和数值测试验证了其有效性。
2003-11-10 cond-mat.stat-mech cs.CE cs.NA
