A Polynomial Time Algorithm for Graph Isomorphism
Reiner Czerwinski
我们声称有一个多项式算法来测试两个图是否同构。但算法是错误的。它只测试两个图的邻接矩阵是否具有相同的特征值。有两个具有相同特征值的非同构图的反例。
We claimed that there is a polynomial algorithm to test if two graphs are isomorphic. But the algorithm is wrong. It only tests if the adjacency matrices of two graphs have the same eigenvalues. There is a counterexample of two non-isomorphic graphs with the same eigenvalues.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the Complexity of Matroid Isomorphism Problem
研究了两个拟阵同构的判定复杂性。很容易看出问题出在$Σ_2^p$中。在线性拟阵的情况下，这是多项式增长领域表示，我们注意到，这个问题是不太可能是$Σ_2^p$ -完全的，是$\co\NP$ -硬。我们证明了当拟阵的秩有界时，线性拟阵同构和拟阵同构都是图同构的多项式时间多-一等价。给出了图拟阵同构问题到图同构问题的多项式时间Turing约简。利用这一点，我们能够证明，平面图的图形拟阵同构测试可以在确定性多项式时间内完成。然后给出了有界秩拟阵同构问题到图拟阵同构的多项式时间多一约化，从而证明了上述问题是多项式时间等价的.进一步，对于线性拟阵和图拟阵，我们证明了自同构问题与相应的同构问题是多项式时间等价的。此外，我们还给出了图拟阵的自同构群的多项式时间隶属度检验算法。
On the Solution of Graph Isomorphism by Dynamical Algorithms
近年来，一些多项式算法的动态性质已被提出来解决图同构问题。在本文中，我们提出了一个推广的方法暴露在cond-mat/0209112，并发现，这种动态算法所涵盖的组合方法。这是可能的推断，多项式动态算法解决图同构涵盖适当的多项式组合方法，从而解决了同样的弱点，因为最后的。
Graph Isomorphism is PSPACE-complete
结合A.R. Meyer和L. J. Stockmeyer“平方正则表达式的等价问题需要指数空间”，以及K.S. Booth“Isomorphism testing for graphs，semigroups，and finite automata are polynomiamly equivalent problems”表明图同构是PSPACE-完全的。
3-connected Planar Graph Isomorphism is in Log-space
证明了3连通平面图的同构可以在确定性对数空间中判定。这改进了先前已知的Thierauf和Wagner的结合UL $\cap$ coUL。
Polynomial-time Algorithm for Isomorphism of Graphs with Clique-width at most Three
图的宽度是将图分解为某些树状结构的复杂性的度量。具有有界树宽的图类包含有界树宽图。本文给出了一个多项式时间的图同构算法。我们的工作是独立的工作Grohe等人。\cite{grohe2015isomorphism}表明，同构问题的有界圈宽度是多项式时间。
Restricted Space Algorithms for Isomorphism on Bounded Treewidth Graphs
限制于有界树宽或有界树距离宽度的图的图同构问题已知在多项式时间内可解[Bod 90]，[YBFT 99]。我们给这些问题的限制空间算法证明了以下结果：-同构有界树距离宽度图是在L，从而完成类。我们还表明，这种图的佳能可以计算内对数空间。- 对于有界树宽图，当两个输入图都与树分解一起给出时，是否存在尊重分解的同构（即只考虑将一个分解中的袋逐块映射到另一个分解中的袋的同构）的问题在L中。- 对于有界树宽图，当一个输入图具有树分解时，同构问题在LogCFL中。- 作为推论，有界树宽图的同构问题是在LogCFL中。这改进了Grohe和Verbitsky [GroVer 06]给出的问题的已知TC 1上界。
Faster FPT Algorithm for Graph Isomorphism Parameterized by Eigenvalue Multiplicity
给出了特征值重数为$k$的图的$O^*(k^{O(k)})$时间同构检验算法，改进了$O^*(2^{O(k^2/\log k)})$的最佳运行时间界.
Polynomial-time isomorphism test for solvable groups with abelian Sylow subgroups
本文针对具有阿贝尔Sylow子群的群（A-群）提出多项式时间同构测试算法，推广了Babai和Qiao关于可解群的结果，并利用了其计算方法和A-群的结构性质。
Graph Isomorphism and Circuit Size
众所周知[KST 93]，图自同构问题的复杂性由图同构的特殊情况表征，其中输入图满足刚性的“承诺”（即，没有非平凡的自同构）。在这个简短的说明中，我们观察到，即使使用Grollman和Selman的“智能还原”概念，也可以将图自同构还原为刚性图同构问题。
Graph Isomorphism by Conversion to Chordal (6, 3) Graphs
Babel证明了对于一类扩展的弦（6，3）图，粗正则单纯划分等价于图的自同构划分。利用Booth将图约化为弦图和通过添加边消除这些图的Babel禁止子图，给出了任意图到这些图之一的可逆变换.
Polynomial-time isomorphism test for $k$-generated extensions of abelian groups
本文提出了一种多项式时间算法，用于测试交换群的循环扩展和简单群扩展的同构性，推广了已有研究成果。
Computing Complete Graph Isomorphisms and Hamiltonian Cycles from Partial Ones
我们证明，计算一对顶点映射到彼此之间的同构$ϕ$两个同构图是很难计算$ϕ$本身。这一结果最佳改善后，结果的Gál等人。我们建立了一个类似的，虽然稍弱，结果计算完全的图从部分哈密尔顿圈。
Graph Pattern Polynomials
研究了模式图固定的诱导子图同构问题的时间复杂度。最早已知的改进平凡算法的例子是Itai和Rodeh（1978），他们使用快速矩阵乘法加速了图中的三角形检测。该算法由Nešetzil和Poljak（1985）推广，以加速k-团的检测。对于某些小尺寸的图案，改进的算法是已知的。例如，已知用于检测长度为4的路径的线性时间算法。在本文中，我们给出了第一个模式检测算法，改进后Nešetzil和Poljak的算法，任意大的模式图（不集团）。该算法通过将导出子图同构问题归结为常次数多项式中多线性项的检测问题而得到。我们表明，同样的技术可以用来减少诱导子图同构问题的许多模式图构造算术电路计算这些模式图的同态多项式。利用这一点，我们获得了更快的组合算法（算法，不使用快速矩阵乘法）的k-路径和k-循环。我们还获得了更快的算法，为5路径和5周期，匹配运行时的三角形检测。我们表明，这些算法是使用多项式家族，我们称之为图形模式多项式家族表示。然后，我们定义了一个概念，减少这些多项式，使我们能够在这个框架内比较各种模式检测问题的复杂性。例如，我们表明，诱导子图同构多项式的任何模式，包含一个k-团是困难的诱导子图同构多项式的k-团。这个定理的一个类似物是不知道关于一般算法的硬度。
Reduction of the group isomorphism problem to the group automorphism problem
本研究类比图同构与图自同构问题的多项式时间等价关系，证明群同构问题可多项式时间归约为群自同构问题，并给出向自同构计数等相关问题的归约方法。
Quantum Algorithms for Tree Isomorphism and State Symmetrization
图的同构问题在理论上是一个有趣的问题，同时也有许多实际应用。经典的图同构算法在最坏的情况下都是在时间上超多项式的图的大小。一个有趣的开放问题是量子计算机是否可以在多项式时间内解决图同构问题。本文给出了一个在多项式时间内判定两棵有根树是否同构的算法。虽然这个问题很容易在经典计算机上有效地解决，但开发的技术可能是有用的，可以作为量子算法的基础，用于决定更有趣类型的图的同构。并研究了与之相关的量子态对称化问题。本文给出了在任意置换群上对称化一组标准正交状态的多项式时间算法。
Algorithms based on *-algebras, and their applications to isomorphism of polynomials with one secret, group isomorphism, and polynomial identity testing
我们考虑两个基本的算法问题（斜）对称矩阵的元组。第一个问题要求决定，给定两个元组的（斜）对称矩阵$(B_1, \dots, B_m)$和$(C_1, \dots, C_m)$，是否存在可逆矩阵$A$，使得对于每个$i\in\{1, \dots, m\}$，$A^tB_iA=C_i$。我们表明，这个问题可以解决在随机多项式时间在有限域的奇数大小，真正的领域，和复杂的领域。第二个问题要求判定，给定方阵$(B_1, \dots, B_m)$的元组，是否存在可逆矩阵$A$和$D$，使得对于每个$i\in\{1, \dots, m\}$，$AB_iD$是（斜）对称的。我们表明，这个问题可以解决在确定性的多项式时间字段的特征不$2$。对于这两个问题，我们利用底层$*$ -代数的结构，并利用结果和方法从模块同构问题。我们的结果的应用范围从多元密码学，组同构，多项式身份测试。具体而言，这些结果意味着有效的算法，为以下问题。(1)奇数大小有限域上单秘密二次型的同构检验。这个问题属于一个家庭的问题，作为安全基础的某些认证计划提出的Patarin（Eurocrypto 1996）。(2)测试同构的$p$ -群类2和指数$p$（$p$奇）与阶$p^k$的时间多项式在组的顺序，当换位子组是阶$p^{O(\sqrt{k})}$。(3)确定性地揭示由斜对称结构引起的两个奇异性见证族，这代表多项式恒等式测试问题的…
On the graph isomorphism problem
我们将图同构问题与某些非负变量线性方程组的可解性联系起来。这个版本取代了本文的前两个版本。
Graph isomorphism completeness for trapezoid graphs
梯形图的图同构问题的复杂性已经公开了十多年。本文证明了该问题是GI-完全的。更确切地说，我们证明了图同构问题是GI-完全的可比图的偏序集的区间维数为2和高度为3。与此相反，已知的问题是可解决的多项式时间的可比性图的偏序集的区间维数最多为2和高度最多为2。
Average-case algorithms for testing isomorphism of polynomials, algebras, and multilinear forms
本文提出多项式、代数及多重线性形式同构测试的平均情形算法，并证明交替三线性形式等价性测试与对称三线性形式等价性测试多项式等价且均为张量同构完全问题。
Testing Isomorphism of Graphs in Polynomial Time
本文提出利用Weisfeiler-Lehman算法计算结合图的稳定划分以产生自同构划分，从而在多项式时间内测试图同构，证明该问题属于复杂度类P。
Graph Isomorphism and the Lasserre Hierarchy
在本文中，我们显示了一定的大类算法解决图同构问题的下界，即使在扩展图的情况下。Spielman [25]给出了一个在时间上运行的强正则扩展图同构的算法exp（O（n^（1/3））（这个界最近被改进为expf O（n^（1/5）[5]）。从那以后，删除图是强正则的要求一直是一个悬而未决的问题。最近的算法结果表明，对于许多问题的Lasserre层次结构的工作令人惊讶的是，当底层图具有扩展属性。此外，Atserias和Maneva [3]最近的工作表明，Lasserre层次的k轮是图同构的k维Weisfeiler-Lehman算法的推广。这两个事实相结合，使Lasserre层次的一个很好的候选人解决图同构的扩展图。我们的主要结果排除了这个有前途的方向表明，即使欧米茄（n）轮的Lasserre半定程序层次未能解决图同构问题，即使在扩展图。
The Isomorphism Problem for Planar 3-Connected Graphs is in Unambiguous Logspace
平面图的同构问题是一个有效的可解问题。对于平面3-连通图，同构问题可以用有效的并行算法来解决，它属于$AC^1$类。本文将平面3-连通图的上界推广到无二义性的对数空间，实际上推广到$UL \cap coUL$。作为我们的方法的结果，我们得到了有向图的同构问题是在$NL$。我们还表明，问题是困难的$L$。
A Family of Counter Examples to an Approach to Graph Isomorphism
我们给出一个家庭的反例表明，两个序列的多面体$Φ_{n,n}$和$Ψ_{n,n}$是不同的。最近S. Friedland在图同构的多项式时间算法的尝试。
A Message-Passing Algorithm for Graph Isomorphism
提出了一种解决图同构问题的消息传递方法。该过程类似于图模型推断和LDPC解码的上下文中的置信传播算法。为了使该算法，输入图被转换成二部图的中间规范表示。匹配过程将专门设计的输入模式注入到规范图中，并运行消息传递算法以生成当且仅当输入图同构时匹配的两个输出指纹。
Testing Graph Isomorphism in Parallel by Playing a Game
我们的出发点是观察到，如果在一个类C中的图具有低描述的复杂性在一阶逻辑，那么同构问题C是可解决的快速并行算法（本质上，由一个简单的组合算法称为多维Weisfeiler-Lehman算法）。使用这种方法，我们证明了有界树宽的图的同构是可测试的TC 1，回答了一个开放的问题所提出的Escherasekharan。此外，我们得到了一个AC 1算法测试同构的旋转系统（组合规格的图嵌入）。AC 1上界以前是已知的，但这个界可以通过简单的Weisfeiler-Lehman算法实现的事实是新的。结合已有的结果，给出了平面图的一个新的AC 1同构算法。
Planar Graphs: Logical Complexity and Parallel Isomorphism Tests
我们证明了每一个三连通平面图是可定义的一阶句子，使用最多15个变量，量词深度最多$11\log_2 n+43$。因此，这样的图的规范形式可以通过14维Weisfeiler-Lehman算法在$AC^1$中计算。这提供了另一种方法来证明平面图同构在$AC^1$中是可解的。
Limitations of Algebraic Approaches to Graph Isomorphism Testing
我们研究了基于代数推理技术的图同构算法，如格罗布纳基计算。这些算法的思想是将两个图编码成一个方程组，当且仅当图是同构的时，方程组是可满足的，然后使用例如格罗布纳基算法来（尝试）确定系统的可满足性。在某些情况下，这可以在多项式时间内完成，特别是，如果方程在代数证明系统（如Nullstellenetron或多项式演算）中允许有界度反驳。我们证明了线性下界的多项式演算度在所有领域的特征不同于2，也线性下界的程度Positivstellenbrand演算导子。我们比较这种方法最近研究的线性和半定规划方法同构测试，这是已知的组合Weisfeiler-Lehman算法。我们确切地证明了Weisfeiler-Lehman算法在代数证明系统方面的能力，该代数证明系统位于k度Nullstellenetrance和k度多项式演算之间。
Constructing Hard Examples for Graph Isomorphism
我们描述了一种生成图的方法，为实际的图同构测试提供了困难的例子。我们首先给出了理论结构，表明我们可以有一个家庭的图没有任何非平凡的自同构，也有高Weisfeiler-Leman维数。该构造基于随机3XOR公式的性质。我们描述了如何将这样的公式转换成具有高概率的所需属性的图。我们通过实验验证了该方法。我们构造随机公式，并使用SAT求解器对其进行验证，以筛选合适的公式，然后将其转换为图形。实验结果表明，所得到的图形确实提供了硬的例子，匹配已知的最难的基准图同构。
Graph isomorphism in quasipolynomial time parameterized by treewidth
我们扩展了Babai的拟多项式时间图同构测试（STOC 2016），并开发了多陪集同构问题的拟多项式时间算法。多陪集同构问题的算法允许利用图分解的给定输入图内Babai的群论框架。我们用它来开发一个图同构测试，运行在时间$n^{\operatorname{polylog}(k)}$，其中$n$是顶点的数量和$k$是给定的图的最小树宽和$\operatorname{polylog}(k)$是一些多项式在$\operatorname{log}(k)$。我们的结果推广了Babai的拟多项式时间图同构检验。
On the complexity of isomorphism problems for tensors, groups, and polynomials III: actions by classical groups
本文研究经典群作用下张量同构问题的复杂性，证明正交群和辛群情形可归约到一般线性群，并建立不同作用间的多项式时间等价及图同构到张量同构的归约。
Dynamic Planar Graph Isomorphism is in DynFO
本文研究动态平面图同构性问题，证明其可通过一阶逻辑公式和多项式大小辅助数据维护，属于DynFO复杂性类，并提出常数时间并行算法。
Computational complexity of reconstruction and isomorphism testing for designs and line graphs
具有高度对称性或规则性的图是众所周知的困难图同构问题的实验困难实例的主要来源。本文研究了$t$ - $(v,k,λ)$设计线图同构检验的计算复杂性。对于这类高度正则图，我们得到了有界参数$t,k,λ$的最坏情况运行时间为$O(v^{\log v + O(1)})$。在第一步中，我们的方法利用Babai-Luks算法来计算$t$ -设计的标准型。在第二步中，我们表明，$t$ -设计可以重建从他们的线图在多项式时间。第一个是代数性质的，第二个是纯组合性质的。对于这两种情况，都需要在设计理论方面有深刻的结构知识。我们的研究结果扩展了早期的复杂性结果的同构测试所产生的图从施泰纳三元系和块设计。
The Isomorphism Problem of Power Graphs and a Question of Cameron
本文研究有限幂零群产生的幂图、有向幂图和增强幂图的同构问题，给出无需底层群的多项式时间算法，并解决了 Cameron 关于从幂图或增强幂图恢复有向幂图的问题。
Recognition and Isomorphism of Proper $\boldsymbol{U}$-graphs in FPT-time
$H$ -图是固定图$H$的适当细分的连通子图的交图。许多重要的图类，包括区间图、圆弧图和弦图，都可以表示为$H$ -图，特别地，每个图对于合适的图$H$都是$H$ -图。一个$H$ -图称为真图，如果它有一个表示，其中没有一个子图正确地包含另一个。考虑了真$U$ -图的识别和同构问题，其中$U$是单圈图.证明了对某些$U$，判定一个图是否为（真）$U$ -图是NP-困难的.在积极的一面，我们给出了一个FPT时间识别算法，参数化的$\vert U \vert$。作为应用，我们得到了用$\vert U \vert$参数化的真$U$ -图的FPT-时间同构算法。为了补充这一点，我们证明了（正常）$H$ -图的同构问题，是一样困难的一般同构问题，每个固定的$H$这不是单圈的。
On the solution of the Graph Isomorphism Problem Part 1
所提出的材料致力于从顶点图的等价转换到边图。我们认为，所证明的定理解决了图的同构问题，解决了图的计数问题，解决了图的同构问题，解决了图的计数问题。我们认为，它也说明了与NP完全性斗争的同步可能性和不可能性。
Graph Isomorphism Parameterized by Elimination Distance to Bounded Degree
一个常用的研究方法参数化图的问题是删除距离平凡（Guo et al. 2004），它计数顶点，需要从一个图中删除，把它放在一些类，其中有效的算法是已知的。在图同构的上下文中，我们定义平凡性是指一个图的最大程度由一个常数界定，因为这样的图类承认多项式时间同构测试。我们一般删除距离的措施，我们称之为消除距离平凡，基于消除树或树深度分解。我们建立了当通过消除距离参数化到有界度时，图的规范化以及图的同构是FPT，扩展了Bouland等人的结果。
Revisiting the Graph Isomorphism Problem with Semidefinite Programming
图的同构问题可以等价地归结为判定一个辅助图结构是否包含一个特定阶的团的问题。然而，到目前为止，已经开发的算法，这个问题要么是不有效的或不准确的。在本文中，我们提出了一个新的算法，解决了这个等价的配方通过半定规划。具体来说，我们表明，问题的确定是否包含一个集团的辅助图的特定顺序可以制定为一个半定规划问题，因此可以（几乎完全）解决多项式时间。此外，我们表明，我们可以确定，如果图中包含这样一个集团四舍五入的最佳解决方案，以最接近的整数。我们的算法提供了一个显着的复杂性结果图同构测试，也代表了第一次使用半定规划解决这个问题。
On the Isomorphism Problem for Helly Circular-Arc Graphs
已知同构问题对于区间图是有效可解的，而对于更大类的圆弧图，其复杂性状态保持开放。我们考虑满足Helly性质的圆弧族的交图的中间类。我们在对数空间中解决了该类的同构问题。如果一个输入图有一个Helly圆弧模型，我们的算法构造它的规范，这意味着同构图构造的模型是平等的。
Towards an Isomorphism Dichotomy for Hereditary Graph Classes
在本文中，我们解决了同构问题的复杂性，但大多数的图类特征在于两个禁止诱导子图。为此，我们开发适用于图形的结构和算法分析的新技术。首先，我们通过提供统一各种约简技术的通用框架来开发一种方法来显示图类上同构问题的同构完整性。其次，我们推广的概念的模块分解着色图，允许非标准的分解。我们表明，给定一个合适的分解函子，图同构问题减少到检查着色素图的同构。第三，我们将有界色价和超图同构的技巧推广到有界色大小的超图上。我们说一个着色图的广义色价至多为k，如果在去掉所有大小至多为k的色类中的顶点后，对于每个色类C，每个顶点在C中至多有k个邻居或至多有k个非邻居。我们证明了有界广义色价图的同构可以在多项式时间内求解。
Combinatorial invariants for graph isomorphism problem
提出的方法在多项式时间内计算每个顶点的大量不变量，这些不变量不随图的同构而改变，并且应该完全确定图。例如，给定起始点的长度为k的闭合路径的数量，可以认为是邻接矩阵的k次幂的对角项。当k=2时，我们得到的是实点的度不变，越高，描述的局部拓扑就越深。现在，如果两个图是同构的，它们有相同的一组这样的不变量向量-我们可以对这些向量进行字典排序并比较它们。如果它们一致，排序的置换允许重构同构。我提出的论点是，这些不变量应该完全决定图，但不幸的是，我不能证明这一点在这一刻。这种方法可以带来希望，也许P=NP -而不是检查所有的实例，我们应该对这些大数字进行算术。
Graph Isomorphism for Graph Classes Characterized by two Forbidden Induced Subgraphs
我们研究了图类的图同构问题的复杂性，其特征在于由有限数量的禁止诱导子图，主要集中在两个禁止子图的情况下。我们显示硬度的结果和开发技术的结构分析，这样的图形类，适用于两个禁止的子图的情况下，给出了以下结果：二分法到同构完整的多项式时间可解的图形类的所有，但许多情况下，每当禁止的图形是一个集团，一个泛，或补充这些图形。进一步减少剩余的开放的情况下，我们表明，（相对于图同构）禁止泛相当于禁止一个大小为3的集团。
Graph isomorphism and volumes of convex bodies
我们证明了两个无向图的非平凡图同构问题，更一般地说，两个给定的$n\times n$矩阵的置换相似性，等价于诱导的三个凸有界多面体与给定的球序列，以原点为中心，半径为$t_i\in (0,\sqrt{n-1})$，其中$\{t_i\}$是一个递增序列收敛到$\sqrt{n-1}$。这些多面体的特征在于至多$n^2$变量中的$n^2$不等式。计算凸体体积的fpras的存在性最多产生一个$O^*(n^{14})$阶的半fpras，以确定给定的两个无向图是否同构。
On Subgraph Isomorphism
本文明确地表示子图同构的多项式大小的非对称线性系统。
Two graph isomorphism polytopes
最近，在图同构方面考虑了某些$(n!)^2$张量的凸包$ψ_{n,n}$。我们考虑这些张量中的$n!$对角线的凸包$ψ_n$。我们显示：1.多面体$ψ_n$是$ψ_{n,n}$的一个面。2.判定图$G$是否具有与$H$同构的子图简化为对$ψ_n$的优化。3.对$ψ_n$的优化简化为对$ψ_{n,n}$的优化。特别地，这意味着子图同构问题简化为在$ψ_{n,n}$上的优化。
On the complexity of isomorphism problems for tensors, groups, and polynomials IV: linear-length reductions and their applications
本文提出新型张量构件实现张量同构问题的线性长度归约，改进了三次型等价、代数同构及多类p-群同构测试的时间复杂度，还解答了相关群同构判定的公开问题。
The Graph Isomorphism Problem and approximate categories
目前还不知道是否可以在多项式时间内测试两个图的同构。图同构问题的经典方法是d维Weisfeiler-Lehman算法。d维WL-算法可以区分许多图对，但不能区分Cai，Furer和Immerman构造的非同构图对。如果d是固定的，则WL算法在多项式时间内运行。我们将图同构问题表述为一个轨道问题：给定一个代数群G的表示V和V中的两个元素v_1，v_2，判定v_1和v_2是否位于同一个G-轨道上。然后通过构造某些近似范畴C_d（V），d= 1，2，3，.我们证明了v_1和v_2在范畴C_d（V）中对某些d不同构，从而证明了v_1和v_2不在同一轨道上。对于每个d，这给了我们一个同构测试的算法。我们将表明，WL-算法减少到我们的算法，但我们的算法不能减少到WL-算法。与Weisfeiler-Lehman算法不同，该算法可以在多项式时间内区分Cai-Furer-Immerman图。
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