数域的Bost-Connes型系统研究

Bost-Connes系统、Hecke代数与归纳法

Bost-Connes systems, Hecke algebras, and induction

该研究引入与数域上全正仿射群关联的Hecke代数，证明其是Bost-Connes C*-代数的满角并得到相变定理，还将Bost-Connes系统构造扩展为数域到C*-动力系统的函子并研究了KMS态的诱导性质。

Shimura品种的Bost-Connes-Marcolli系统。I.定义和形式分析性质

Bost-Connes-Marcolli systems for Shimura varieties. I. Definitions and formal analytic properties

我们构造了一个量子统计力学系统$(A,s)$，它类似于Bost-Connes和Connes-Marcolli在Shimura簇的情况下构造的系统。在此过程中，我们定义了一个新的Bost-Connes数域系统，它具有“正确”的分拆函数和“正确”的对称性。我们给出了一个形式主义，适用于一般志村数据$(G,X)$。这一系列论文的目的是表明这些系统表现出自发对称性破缺的相变，并对它们的KMS态进行分类，至少在低温下是这样。

Bost和Connes的Hecke C* 代数的理想结构

The ideal structure of the Hecke C*-algebra of Bost and Connes

通过将Bost-Connes Hecke C* 代数-代数作为一个满角嵌入到一个变换群C* 代数-代数中，并应用Williams的一个一般定理，我们显式地计算了它的本原理想空间.这就要求计算乘法正有理数在有限三角空间上作用的拟轨空间。然后，我们进行了一个类似的计算的作用的非零有理数的空间上的充分adeles。

正有理数在有限阿代尔群上作用的遍历性与Bost-Connes相变定理

Ergodicity of the action of the positive rationals on the group of finite adeles and the Bost-Connes phase transition theorem

该研究证明了β∈(0,1]时正有理数在带典范测度μ_β的有限阿代尔环A_f上的作用具有遍历性，并据此推导了Bost-Connes系统KMS_β态的唯一性。

源自Bost-Connes型系统的冯·诺依曼代数

Von Neumann algebras arising from Bost-Connes type systems

该研究证明数域Bost-Connes型系统与Connes-Marcolli GL₂系统特定β区间的KMS_β态为III₁型，等价于阿代尔空间上相关作用的遍历性，并给出GL₂系统β=2时的对应实例。

与函数域相关的Bost-Connes系统

Bost-Connes systems associated with function fields

该研究构造了与整体函数域、素理想有限集及阿贝尔扩张相关的C*-动力系统，统一了已有构造，证明了相变定理并刻画了KMS态对应的因子类型与权重流性质。

Hecke C^*-代数的子代数

Subquotients of Hecke C^*-algebras

Bost-Connes Hecke C^*-代数可以看作是包含有限个素数集的子代数的直接极限。博斯特-康纳斯代数的每一个有限素类似物都是半群N^F的交叉积，其中F是有限的。我们描述了这些半群交叉积的理想的合成列，其中中间子代数是可分类AT-代数的有限直和。然后，我们使用类似的技术，以确定子代数的Bost-Connes代数分类AT-代数。

函数域的Bost-Connes型系统

Bost-Connes type systems for function fields

我们描述了一种结构，它关联到任何功能字段$k$和$k$的任何地方$\infty$的$C^*$ -动力系统$(C_{k,\infty},σ_t)$，这是类似于Bost-Connes系统相关联的$\QQ$和它的阿基米德的地方。我们的建设依赖于Hayes的显式类域理论的符号规范化秩一Drinfel的模块。我们证明了$C_{k,\infty}$具有$\Gal(K/k)$的忠实连续作用，其中$K$是Hayes构造的某个域，使得$k^\abi\subset K\subset k^\ab$，其中$k^\abi$是$k$在$\infty$处完全分裂的最大阿贝尔扩张.我们对$(C_{k,\infty},σ_t)$在任何温度下的极端KMS $_β$态进行了分类，并表明在温度为$0<1/β<\infty$时发生了具有自发对称性破缺的相变。在高温$1/β\geqslant 1$，存在唯一的KMS $_β$状态。在低温$1/β<1$下，KMS $_β$极端态的空间在$\Gal(K/k)$下是基本均匀的.每个这样的状态是$\I_\infty$类型，并且配分函数是戴德金ζ函数$ζ_{k,\infty}$。此外，我们构造了一个“有理”*-子代数$\HH$，给出了$\HH$和$C_{k,\infty}$的表示，并证明了低温极端KMS $_β$态在$\HH$的某些元素处的值与偏zeta函数的特殊值有关. \n勘误表：…

$\mathbb{Q}$ -格和非交换几何的量子统计力学

Quantum Statistical Mechanics of $\mathbb{Q}$-lattices and noncommutative geometry

在回顾了量子统计力学的一些基本概念之后，我们解释了Bost-Connes系统，该系统将$\mathbb{Q}$的最大阿贝尔扩展的结构与\cs -动力系统的\kms态空间联系起来。然后，我们简要地研究了Connes-Marcolli $\text{GL}_2$ -系统作为前者的推广。

Ground states of groupoid C*-algebras, phase transitions and arithmetic subalgebras for Hecke algebras

We consider the Hecke pair consisting of the group $P^+_K$ of affine transformations of a number field $K$ that preserve the orientation in every real embedding and the subgroup $P^+_O$ consisting of transformations with algebraic integer coefficients. The associated Hecke algebra $C^*(P^+_K,P^+_O)$ has a natural time evolution $σ$, and we describe the corresponding phase transition for KMS$_β$-states and for ground states. From work of Yalkinoglu and Neshveyev it is known that a Bost-Connes type system associated to $K$ has an essentially unique arithmetic subalgebra. When we import this suba…

$\mathbb N^\times \ltimes \mathbb Z$ 的 Toeplitz 代数上的超临界相变

Supercritical phase transition on the Toeplitz algebra of $\mathbb N^\times \ltimes \mathbb Z$

本文研究数论相关C*-代数的高温平衡态，发现临界区间内KMS态单纯形为Bauer单纯形且极端点空间同胚于自然数加无穷，并揭示有限分圆伽罗瓦群导致的自发对称破缺与Bost-Connes相变的联系。

$\F_1$的乐趣

Fun with $\F_1$

我们证明了量子统计力学系统Bost-Connes的代数和内驱力是通过将标量从“一元场”推广到有理数而自然产生的。内动子的阿贝尔部分的归纳结构对应于该“域”的有限扩张的塔，而自同态反映了Frobenius对应。这给出了特别是一个明确的模型在整数这个endomotive，这是有关的原始Hecke代数描述。本文研究了内子代数和相应的非交换交叉积代数在素数处的约化。

Hecke C* 代数-代数上的相变与Q上的类域理论

Phase transitions on Hecke C*-algebras and class-field theory over Q

我们将半直积群的规范Hecke对与代数整数$\oo$在数域$\kk$中的环包含相关联，并在相应的Hecke C*-代数上构造了一个C*-动力系统，类似于Bost和Connes为整数在有理数中的包含而构造的动力系统.我们将所得的Hecke C*-代数的结构描述为一个半群的交叉积，然后，在类数为1的情况下，分析了动力系统的平衡（KMS）状态。极端的KMS $_β$状态在低温下表现出相变与对称性破缺，强烈建议与类场论的连接。事实上，对于一类纯虚域，自由传递作用于极端KMS $_\infty$态的对称群同构于域上最大阿贝尔扩张的伽罗瓦群。然而，由类域理论给出的极限KMS $_\infty$态对$\kk$上的（算术）Hecke代数的限制的伽罗瓦作用对应于对称群的作用当且仅当数域$\kk$是$\Q$ .

自然数上仿射半群的Toeplitz代数的Type III₁平衡态

Type III_1 equilibrium states of the Toeplitz algebra of the affine semigroup over the natural numbers

本研究完成了自然数上仿射半群Toeplitz代数的KMS态分析，证明临界区间[1,2]内唯一KMS_β态为Type III₁型，复原了已有KMS态结果，并解释了β>2时极值KMS态上圆周作用的来源问题。

与Connes-Marcolli $GSp_4$-系统相关的von Neumann代数中的类型转换

Transition of type in the von Neumann algebras associated to the Connes-Marcolli $GSp_4$-system

本文研究了Connes-Marcolli $GSp_4$-系统产生的von Neumann代数，发现其类型在逆温度 $\beta= 4$ 处发生从 $I_\infty$ 型到 $III_1$ 型的相变。

Singular MASAs in type III factors and Connes' Bicentralizer Property

We show that any type ${\rm III_1}$ factor with separable predual satisfying Connes' Bicentralizer Property (CBP) has a singular maximal abelian $\ast$-subalgebra that is the range of a normal conditional expectation. We also investigate stability properties of CBP under finite index extensions/restrictions of type ${\rm III_1}$ factors.

Factoriality, Connes' type III invariants and fullness of amalgamated free product von Neumann algebras

We investigate factoriality, Connes' type ${\rm III}$ invariants and fullness of arbitrary amalgamated free product von Neumann algebras using Popa's deformation/rigidity theory. Among other things, we generalize many previous structural results on amalgamated free product von Neumann algebras and we obtain new examples of full amalgamated free product factors for which we can explicitely compute Connes' type ${\rm III}$ invariants.